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1 Optionskennzahlen 1 Einführung Die Abhängigkeit des Optionspreises von den verschiedenen Parametern wird analysiert, indem diese marginal 1 verändert und ins Verhältnis zu der daraus resultierenden Veränderung des Opti- 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich-

2 1Einführung 2 onspreises gesetzt werden. Es wird also der folgende Quotient betrachtet: Preisveränderung der Option marginale Veränderung eines Parameters In Abhängigkeit des veränderten Parameters werden diese Verhältnisse mit verschiedenen griechischen Buchstaben und daher in ihrer Gesamtheit auch als Greeks bezeichnet. Die wichtigsten Parameter sind der Preis des Basiswertes, die Restlaufzeit, die Volatilität und der Zinssatz. Da der Preisveränderung des Basiswertes eine besonders wichtige Bedeutung zukommt, wird häufig zusätzlich noch die Veränderung dieses Einflusses mit betrachtet. Delta drückt die Preissensitivität des Derivats bezüglich des Preises des Basiswertes aus. Gamma drückt die Sensitivität des Deltas bezüglich des Preises des Basiswertes aus. tig sind. So verfällt beispielsweise der Call aus dem Beispiel 1 mit einem heutigen Wert von DM 4:02 in einem Jahr wertlos, im Gegensatz zu DM DM 3.62 = DM 0.40.

3 1Einführung 3 Theta drückt die Preissensitivität des Derivats bezüglich einer Verkürzung der Restlaufzeit aus. Vega (auch Kappa)drückt die Preissensitivität des Derivats bezüglich der Volatilität aus. Rho drückt die Preissensitivität des Derivats bezüglich des Zinssatzes aus. Die Preissensitivitäten beziehen sich immer auf ein theoretisches Modell zur Preisbestimmung und je nach dem verwendeten Modell können sich unterschiedliche Preissensitivitäten ergeben. Im folgenden wird für Optionen ausschließlich das Black-Scholes Modell zugrunde gelegt. Beispiel 1 Eine Aktien Call Option mit einem Strikepreis von DM 50, einer Restlaufzeit von einem Jahr und einer erwarteten zukünftigen Volatilität der Aktie von 30% besitzt bei einem momentanen Aktienkurs von DM 44 und einem stetigen konstanten Zinssatz von 6% die Greeks gemäß Tabelle 2.

4 1Einführung 4 Tabelle 1 Greeks Überblick Veränderung Preis des Basiswertes Delta Restlaufzeit Volatilität Zinssatz Bezeichnung Delta Gamma Theta Vega (Kappa) Rho Dies bedeutet, daß bei einem Anstieg des Aktienkurses um DM 1.00, der Wert des Calls um ungefähr DM 0.47 zunimmt und Delta selbst um DM 0.03 auf DM 0.50 steigt.

5 1Einführung 5 Tabelle 2 Greeks eines Calls Greeks Delta Gamma Vega Theta Rho Werte der Volatilität um 10 Prozent, der Wert des Calls um DM % = DM 1.75 steigt. der Restlaufzeit um -1 Tag, der Wert des Calls um DM 3.62 pro Jahr / 365 Jahr DM 0.01 fällt. des Zinssatzes um 1 Prozent, der Wert des Calls um DM % DM 0.17 steigt.

6 1Einführung 6 Formal entsprechen die Greeks den partiellen Ableitungen nach den entsprechenden veränderlichen Parametern und sind daher linear additiv. Doppelt so große Positionen besitzen also die doppelten Greeks, zusammengesetzte Positionen besitzen die Summe der Greeks der Teilpositionen. Die Eigenschaft der linearen Additivität wird im Rahmen moderner Risikosysteme ausgenutzt: Um die Auswirkungen verschiedener Einflußfaktoren auf ein Portefeuille abzuschätzen, wird nicht für jede mögliche Parameterkonstellation das Portefeuille neu bewertet, sondern seine Wertveränderung analog zum Beispiel 1 abgeschätzt. Aber nicht nur bei der Risikomessung, sondern auch schon bei der Risikobegrenzung kommen den Greeks eine große Bedeutung zu. Bei dynamischen Hedge-Strategien 2 wird versucht, das Portefeuille weitgehendst gegen mögliche Schwankungen in den einzelnen Parametern zu immunisieren. Es wird also versucht, das Portefeuille so zu gestalten, daß seine Greeks möglichst 2 Bei dynamischen Hedge Strategien muß im Gegensatz zu Hedge-and-forget Strategien das Hedge Portefeuille ständig den Marktbedingungen angepaßt werden.

7 2Delta 7 geringe Werte besitzen. Ein dauerndes Immunisieren ist wegen der damit verbundenen Transaktionkosten jedoch praktisch unmöglich. 2 Delta Die häufigste Ursache für größere Veränderungen im Optionspreis besteht in einer Veränderung des Basiswertpreises. Deshalb wird beim Absichern (Hedgen) von Optionen hauptsächlich darauf geachtet, daß die Gesamtposition (annähernd) Delta-neutral, das Delta der gesamten Position also Null ist. Denn dann bleibt der Wert der Position auch bei Preisveränderungen im Basiswert annähernd konstant. Formal ist Delta die erste partielle Ableitung der Optionspreisformel nach dem Basiswertpreis. Dies entspricht im Falle von Black-Scholes dem Ausdruck N(d 1 ) für Calls bzw. N(d 1 ), 1 für Puts. 3 Unabhängig vom Black-Scholes Modell ist dabei, daß die Differenz zwischen den

8 2Delta 8 Delta-Werten von europäischen Call und ansonsten identischen Put Optionen 1 beträgt, da dieser Zusammenhang aus der Put-Call-Parität abgeleitet werden kann. Die absoluten Delta-Werte nähern sich dem Wert 1 an, je tiefer die Optionen im-geld liegen (s. Abb. 4 1 und 2). Die Definition von Delta legt eine Interpretation als Hedge Ratio. Sein Wert gibt also an, um ein wievielfaches mehr sich der Preis des Derivates im Vergleich zu dem des Basiswertes bei einem kleinen Preisschock im Basiswert ändert. Er quantifiziert somit das Risiko des Derivates bezüglich Preisänderungen im Basiswert. 3 In dieser Arbeit steht S für den Aktienkurs, für ihre Volatilität, r für den risikolosen Zinssatz, X für den Strikepreis und T für die Restlaufzeit der Option. Ferner bezeichnet N() die kummulierte Normalverteilung,, d 1 = ln(s=x) +(r + 2 p p =2)T =( T ) und d 2 = d 1, T. 4 Für die Berechnung der Graphen wurde mit Ausnahme des auf der Absisse abgetragenen Parameters stets eine Volatilität von 30%, eine Restlaufzeit von einem Jahr, ein Zinssatz von 6% und ein Aktienkurs von DM 50 unterstellt. Die drei Graphen entsprechen den drei gewählten Strikepreisen (DM 60 ( ), DM 50 ( ) und DM 40 ( )).

9 2Delta 9 Delta Delta Aktienkurs Aktienkurs Abbildung 1 Delta eines Calls in Abhängigkeit des Aktienkurses Abbildung 2 Delta eines Puts in Abhängigkeit des Aktienkurses

10 3 Gamma 10 3 Gamma Da sich der Delta Wert einer Optionsposition mit dem Preis des Basiswertes verändert (s. Abb. 1 und 2), wird eine ursprünglich Delta-neutral gehedgte Position schon nach kleineren Bewegungen im Basiswert nicht mehr Delta-neutral und somit teilweise ungehedged sein. 5 Der Gamma Wert gibt nun Aufschluß über das eingegangene Delta-Hedgerisiko, also über das Ausmaß einer Delta-Positionsveränderung infolge einer Preisveränderung im Basiswert. Bei einem Gamma Hedge wird versucht ein Portefeuille sowohl Delta- als auch Gamma neutral zu gestalten. Dadurch wird das Portefeuille gegen (kleinere) Änderungen im Basiswert weitestgehendst immun und benötigt im Falle von Kursänderungen des Basiswertes keine Transaktionkosten verursachenden Anpassungen. 5 Man beachte, daß sich Delta auch mit einem der anderen Parameter insbesondere auch der Restlaufzeit ändert.

11 3 Gamma 11 Formal ist Gamma die zweite partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswertpreis. Im Black-Scholes Modell ergibt dies: Gamma = 1 p e, 1 2 d2 1 S 2T und dies unabhängig vom Optionstyp. Diese Unabhängigkeit begründet sich in dem gleichen lediglich parallelverschobenen Verlauf der Deltas und gilt daher auch in anderen Optionspreismodellen (vgl. Abb. 1 mit 2). Da Delta der ersten partiellen Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswertpreis entspricht, kann Gamma auch als Steigung der Delta-Kurven in den Abbildungen 1 und 2 interpretiert und daher wie im Beispiel 1 durch den Differenzenquotienten (1) approximiert werden. Gamma Delta Differenz der Option Preisdifferenz des Basiswertes (1)

12 3 Gamma 12 Gamma Aktienkurs Abbildung 3 Gamma in Abhängigkeit des Aktienkurses

13 3 Gamma 13 Eine Konsequenz der konvexen Abhängigkeit 6 des Optionspreises von dem Aktienkurs ist, daß sich Optionen nicht durch eine Hedge-and-forget Strategie, sondern nur durch ein dynamisches Hedge-Verfahren replizieren lassen. Diese dynamischen Hedge-Verfahren basieren auf einer sogenannten konvexen Portfolio-Strategie: Bei steigenden Aktienkursen werden Aktien gekauft und bei fallenden verkauft. Gamma, als Maß für die Krümmung der Kurve, bemißt daher auch die entstehenden Kosten dieser Buy-High / Sell-Low Strategie pro Transaktion. 7 Dies ist auch der Grund, warum eine Option nicht gratis repliziert werden kann. Die aus dem dynamischen Hedge enstehenden erwarteten Kosten entsprechen dem Optionspreis. 6 Eine zweimal differenzierbare Funktion heißt konvex, wenn ihre zweite Ableitung nicht negativ ist. 7 Die Volatilität kann hingegen als eine Kennzahl für die Frequenz (Häufigkeit) dieser Schwankungen angesehen werden.

14 4Rho 14 4 Rho Der Wert der Option hängt vom Zinssatz ab, denn mit dem Zinssatz steigt ceteris paribus der Erwartungswert der Aktie am Verfalltag. Eine Ausübung einer Call Option wird deshalb wahrscheinlicher und die einer Put Option unwahrscheinlicher. Rho, welches die Veränderung des Optionspreises aufgrund einer Veränderung im Zinssatz mißt, ist deshalb für Call Optionen positiv und für Put Optionen negativ. Formal ist Rho die erste partielle Ableitung des Optionspreises nach dem stetigen Zinssatz. Für die Black-Scholes Formel ergibt dies für einen Call Rho = XT e,rt N(d 2 ) und für einen Put

15 4Rho 15 Rho % 4% 8% 12% 16% Zinssatz Rho % 4% 8% 12% 16% Zinssatz Abbildung 4 Rho eines Calls in Abhängigkeit des Zinssatzes Abbildung 5 Rho eines Puts in Abhängigkeit des Zinssatzes

16 5Theta 16 Rho =,XT e,rt N(,d 2 ) : Wie das Beispiel 1 gezeigt hat, sind die berechneten Zinssensitivitäten relativ hoch. Das daraus effektiv resultierende Zinsrisiko ist jedoch vergleichsweise gering, da die Zinsschwankungen betragsmäßig sehr klein (Promille-Bereich) sind und sich nur auf die relativ kurze Restlaufzeit beziehen. 5 Theta Der Parameter der Laufzeit ist insofern etwas Besonderes, als daß dieser sich nicht überraschend, sondern deterministisch verändert. Ein Hedgen gegen den Zeitverfall ist deshalb nicht sinnvoll. Nichtsdestotrotz hat die Zeit einen sich verändernden Einfluß auf den Wert einer Optionsposi-

17 5Theta 17 tion. So verkleinert sich meist der Zeitwert der Option betragsmäßig, bis er am Laufzeitende verschwindet. Die Geschwindigkeit, mit der dies geschieht, wird durch Theta (auch: time decay) ausgedrückt. Formal ist Theta die negative erste partielle Ableitung des Optionspreises nach der Restlaufzeit. Für die Black-Scholes Formel ergibt dies für einen Call und für einen Put Theta =,S p 8T e, 1 2 d2 1, rx e,rt N(d 2 ) Theta =,S p 8T e, 1 2 d2 1 + rx e,rt N(,d 2 ) :

18 5Theta 18 Theta Theta Restlaufzeit in Jahren Restlaufzeit in Jahren Abbildung 6 Theta eines Calls in Abhängigkeit der Restlaufzeit Abbildung 7 Theta eines Puts in Abhängigkeit der Restlaufzeit

19 5Theta 19 Wie man leicht sieht, läßt sich für ein Delta-neutrales Portefeuille aus der Black-Scholes Differentialgleichung die Beziehung (2) herleiten und gut interpretieren. rd T, Theta = S 2 Gamma (2) Der Portefeuilleschreiber verdient in jedem Moment Zinsen auf den Wert des Portefeuilles (rd T ) und profitiert zudem von dessen zeitlichen Verfall (Theta). Dieser Gewinn entspricht dem des Optionskäufers, der ausschließlich durch die Konvexität von Änderungen im Kurs des Basiswertes und zwar unabhängig von der Richtung profitiert, 1 2 (S)2 Gamma. Einem hohen Verlust im Zeitwert ausgedrückt durch Theta steht also stets eine hohe Profitabilität von Kursveränderungen ausgedrückt durch Gamma gegenüber.

20 6Vega 20 6 Vega Vega,auchKappa genannt, drückt das Verhältnis der Veränderung des Optionspreises zu der in der Optionspreisformel eingesetzten Volatilität aus. Mit Vega läßt sich somit das Verlustpotential abschätzen, welches aus einer falschen Einschätzung der in die Optionspreisformel eingesetzten zukünftigen Volatilität resultiert. Formal ist Vega die erste partielle Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität. Im Falle der Black-Scholes Formel ergibt dies unabhängig vom Optionstyp Vega = S p 1 T p e, 1 2 d2 1 : 2

21 6Vega 21 Vega Aktienkurs Abbildung 8 Vega in Abhängigkeit des Aktienkurses

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