WEITERE ASPEKTE

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1 WEITERE ASPEKTE 10. Weitere Aspekte Aktien mit Dividendenzahlungen Betrachten wir das Black Scholes-Modell. Falls die Aktie nun Dividenden bezahlt, wird der Wert der Aktie um den Wert der Dividenden grösser sein. Sei {D t } der Dividendenprozess. Dann ist der Barwert der Dividenden im Interval (t, T ] zum Zeitpunkt t [ T ] IIE e r(s t) dd s Ft. Somit muss der Aktienkurs folgendermassen gegeben sein [ T ] S t = IIE e r(s t) dd s + e r(t t) S T Ft, t t da man S T als Dividendenzahlung im Zeitpunkt T auffassen kann. Der Wert der Aktie lässt sich als Wert der zukünftigen Dividendenzahlungen im Intervall (t, ) auffassen. Berechnet man nun den Wert einer Option, dann muss man den Wert der Dividenden im Interval (t, T ] berücksichtigen. Diese Dividenden bekommt man ja nicht ausbezahlt, wenn man die Option hält Devisenoptionen Eine typische Anwendung von Optionen sind Optionen auf Devisen. Zum Beispiel, eine grosse deutsche Chemiefirma will eine Firma in den USA übernehmen. Sie unterbreitet den Aktionären ein Angebot, so dass die Firma in einem halben Jahr eine Million Dollars braucht. Nun will sich die deutsche Firma absichern, und kauft daher eine Option über eine Million Dollars zum Ausübungspreis von 1 Million Euro. Nun liegt das Riskio bei der Bank, die die Option ausstellt. Der Wechselkurs {X t } kann man dann zum Beispiel mit einer geometrischen Brownschen Bewegung modellieren X t = X 0 exp{σw t + (µ σ 2 /2)t}. Nehmen wir (im deutschen Markt) einen risikolosen Zins mit Intensität r an, erhalten wir den Optionspreis e r(t t) IIE [(MX t K) + F t ],

2 10. WEITERE ASPEKTE 77 L K P K K C A Abbildung 10.1: Auszahlungsfunktion des Straddle, Strangle, Spread und Butterfly. wobei M die Anzahl Devisen im Vertrag bezeichnet. Wir sehen, dass auch hier die Black Scholes-Formel gilt. Man bemerke, dass die Absenz von Arbitrage den Zinssatz im Ausland festlegt. Wir werden dies hier aber nicht beweisen Kombination von Optionspositionen Straddles Ein Straddle ist das gleichzeitige Kaufen einer Call- und Put-Option mit dem gleichen Ausübungspreis, also mit Auszahlung (S T K) + + (K S T ) + = max{s T K, K S T } = S T K Strangles Ein Strangle ist auch ein gleichzeitiges Kaufen einer Call- und Put-Option, wobei die Ausübungspreise sich unterscheiden. Dabei ist der Call-Ausübungspreis K C grösser als der Put-Ausübungpreis K P. Die Auszahlung ist dann (S T K C ) + + (K P S T ) + = max{s T K C, K P S T, 0}. Es ist zu bemerken, dass im Fall K C < K P der Betrag K P K C immer ausbezahlt wird. Man könnte diesen Vertrag somit als Kombination der Auszahlung K P K C

3 WEITERE ASPEKTE mit einem Strangle mit vertauschten Ausübungspreisen betrachten, da (S T K C ) + + (K P S T ) + = (S T K P ) + + (K C S T ) + + K P K C Spreads Ein Call-Spread ist der Kauf einer Call-Option und gleichzeitige Verkauf einer Call- Option mit höherem Ausübungspreis (S T K) + (S T A) + = min{(s T K) +, A K}, wobei A > K. So ein Kontrakt schützt den Käufer vor dem Risiko, das er eingeht, wenn der Markt sich nomal verhält. Die Auszahlung kann wegen der Put-Call- Parität auch mit Put-Optionen und einem Barwert erhalten werden (K S T ) + (A S T ) + + (A K). Ein Put-Spread ist Kauf und Verkauf von Putoptionen (A S T ) + (K S T ) + = min{(a S T ) +, A K} Butterflies Ein Butterfly wird durch den Kauf von zwei Call-Optionen mit verschiedenen Ausübungspreisen A und L und dem Verkauf von zwei Call-Optionen mit einem Ausübungspreis K dazwischen erzeugt, (S T L) + + (S T A) + 2(S T K) +. Oft wählt man dabei K = (L + A)/ Spezielle Optionen Call- und Put-Optionen sowie deren Kombinationen sind etablierte Optionen. Sie werden an der normalen Börse gehandelt. Man nennt dies Optionen auch plain Vanilla. Daneben gibt es auch nicht-so-übliche Optionen. Diese werden ausserhalb der normalen Börse gehandelt, und man nennt sie over-the-counter, oder kurz OTC. Wir wollen hier ein paar dieser Optionen vorstellen.

4 10. WEITERE ASPEKTE Asiatische Optionen In vielen Bereichen ist der Markt nicht genügend liquide. Zum Beispiel, der Aktiv wird nicht täglich gehandelt, oder der Preis wird durch politische Entscheide bestimmt, oder ein paar wenige Händler kontrollieren die Preise des zugrundeliegenden Aktivs. Ein Beispiel eines solchen Marktes ist der Rohölmarkt. Zeichnet man jetzt eine Option auf so einen Aktiv, kann es sein, dass die eine Partei die Möglichkeit hat, den Preis zum Zeitpunkt T stark zu beinflussen. Um diesen Einfluss zu verkleinern, nimmt man daher einen Durchschnittspreis über eine bestimmte Periode statt des Endpreises in die Option ( 1 k k + S tl K), l=1 wobei 0 < t 1 < < t k = T. Eine Version der Option ist der floating Strike, ( S T 1 k k ) + S tl, wobei hier t k < T gilt. Die stetigen Versionen der Option sind und l=1 ( 1 T ) + S s ds K T t t ( S T 1 t s wobei 0 t < T und 0 s < t T. t s S v dv) +, Optionen auf Futures Statt eines Aktivs kann auch der Preis eines Futures (das heisst die Grösse F t, die den Dividendenfluss bestimmt) einer Option zugrundeliegen. Optionen auf Futures werden vor allem zur Wertsicherung verwendet. Da das Kaufen und Verkaufen des Aktivs mit Unkosten verbunden ist, und daher in der Realität eine theoretisch gute Hedgingstrategie sehr teuer ist, versucht man mit Optionen auf Futures die Hedgingstrategie zu approximieren. Das Problem ist aber, dass das Anwenden einer solchen Strategie nur funktionieren kann, wenn faire Futurespreise im Markt existieren. Im weiteren, muss das Hedging-Portfolio mit dem Portfolio, das dem Futures unterliegt, stark korreliert sein.

5 WEITERE ASPEKTE Optionen auf Optionen Eine weitere Möglichkeit sind Optionen auf Optionen (compound Options). Hier wählt man als unterliegenden Aktiv eine Option. Sei U > T. Dann lässt sich zum Beispiel als unterliegenden Aktiv eine Call-Option mit Ausübungszeitpunkt U wählen. Bei einer Call-Option hat dann der Halter das Recht, aber nicht die Verpflichtung zum Zeitpunkt T die Option mit Ausübungszeitpunkt U für einen bestimmten Preis A zu kaufen. Der Wert der Option zum Zeitpunkt 0 wird also { IIE [exp T 0 [ { r(s) ds }(IIE exp U T ] ) r(s) ds }(S U K) + + ] FT A. Der Vorteil dieser Option ist, dass ihr Preis weniger stark fluktuiert als der Preis einer gewöhnlichen Option Barrieren-Optionen Oft braucht man eine Option nur, um sich vor eher unwahrscheinlichen Ereignissen zu schützen. Daher hat man die sogenannten Barriere-Optionen eingeführt. Bei diesen Optionen tritt die Option erst in Kraft (oder verliert ihren Wert) falls der unterliegende Aktiv eine bestimmte Grenze erreicht. Das heisst, nicht nur der Endwert des Aktivs spielt eine Rolle, sondern der gesamte Pfad. Sei {S t } der Preis des Aktivs, M t = sup{s s : 0 s t} und m t = inf{s s : 0 s t}. Die Auszahlung eines Up-and-In-Call ist dann (S T K) + 1I MT B für K < B und S 0 < B. Man bemerke, dass B K keinen Sinn macht, da diese Option nie einen Wert haben würde. Das Gegenstück ist ein Down-and-In-Call, (S T K) + 1I mt B für B < K und S 0 > B. In diesem Falle hat die Option beim Erreichen der Barriere noch keinen Wert, sondern muss zuerst zum Wert K zurückkehren. Diese beiden Optionen nennt man Knock-In-Optionen. Bei einer Knock-Out-Option wird die Option wertlos, falls die Barriere erreicht wird. Man hat den Up-and-Out-Call (S T K) + 1I MT <B für K < B und S 0 > B, und den Down-and-Out-Call (S T K) + 1I mt >B für K > B und S 0 > B. Analoge Optionen erhält man auch, wenn man den Call durch einen Put ersetzt. Ob B > K oder K > B hängt davon ab, welche der Optionen Sinn machen. Eine Version der Barrieren-Option sind die Knock-Out-Optionen mit Prämie. In diesem Fall wird eine eine fixe Prämie fällig, falls die Barriere erreicht wird. Die Barrieren müssen auch nicht konstant über die Zeit sein, sondern können in verschiedenen Perioden verschieden gewählt werden. Da gibt es auch die Variante,

6 10. WEITERE ASPEKTE 81 wo die Barriere in einem bestimmten Zeitraum erreicht oder nicht erreicht werden soll. Also z.b., die Option wird in einem Jahr ausgeübt, aber nur, wenn der Preis in den Monaten 3-9 die Barriere nicht überschreitet. Weiter gibt es die sogenannten Tunnel-Optionen. Bei dieser Version gibt es sowohl eine obere wie auch eine untere Schranke, die nicht erreicht werden sollen. Bei der Pariser-Option muss die Barriere für eine bestimmte Zeit über-, bzw. unterschritten werden. Die Berechnung der Optionenpreise sind im allgemeinen recht kompliziert. Für das Black Scholes Modell aber, kann man geschlossene Formeln für die Preise erhalten, da die gemeinsame Verteilung von (S T, M T, m t ) in geschlossener Form gegeben werden kann Digitale Optionen Ähnlich wie Barrieren-Optionen funktionieren die sogenannten digitalen Optionen. Bei digitalen Optionen wird ein bestimmter Wert ausbezahlt, falls M T B oder m T B. Hier sind auch Kombinationen möglich, wie z.b. 1I MT B1I mt >b für ein b < S 0 < B. Hier wird die Option wertlos, falls ein bestimmter Wert unterschritten wird, erhält aber erst einen Wert, falls eine bestimmte obere Schranke erreicht wird Portfolio Insurance Ein professioneller Inverstor muss oft eine Mindestrendite erziehlen, z.b. in der Lebens- oder Pensionsversicherung. Zu diesem Zwecke muss ein Anlageportfolio abgesichert werden. Eine einfache Möglichkeit ist, auf einem Teil des Portfolios Put- Optionen zu kaufen. Der versicherte Teil hat dann den Wert M[S T + (K S T ) + ] = M max{s T, K}, wobei M die Anzahl Aktien bezeichnet, die versichert sind. Das Problem mit dieser Strategie ist, dass Put-Optionen im Normalfall nicht so lange Laufzeiten haben, wie sie der Investor braucht. Die Black Scholes-Theorie erlaubt aber nun, virtuelle Optionen zu erzeugen. Der Wert einer Put-Option ist nach der Black Scholes-Formel Ke r(t t) Φ( d 2 ) S t Φ( d 1 ). Der Investor muss also KΦ( d 2 ) in den risikolosen Aktiv investieren, und Φ( d 1 ) Aktien verkaufen, das heisst, er sollte Φ(d 1 ) Aktien behalten. Verhält sich also der Markt wirklich wie ein Black Scholes-Modell, dann würde diese Strategie den Wert

7 WEITERE ASPEKTE max{s T, K} ergeben. Auf diese Weise hat der Investor eine virtuelle Put-Option erzeugt, die sein Portfolio versichert. Ein Problem der Portfolio Insurance ist, dass die Strategie stetiges Handeln voraussetzt. Dies ist nicht möglich, da die Börse nicht 24 Stunden geöffnet ist. Weiter kann wegen der Transaktionskosten nicht stetig gehandelt werden. Ein weiteres Problem ist, dass das Black Scholes-Modell nur bedingt den Markt beschreibt. Es gibt immer wieder Crashes, wo die Preise grosse Sprünge aufweisen. Diese Sprünge können durch politische Erreignisse oder Katastrofen erzeugt werden. Oder es kann auch zu Liuiditätsengpässen kommen, wenn z.b. viele Computer verkaufen wollen. Dann wird der Preis wegen des grossen Angebots sinken, und noch mehr Händler, die die Black Scholes-Formel verwenden, werden verkaufen wollen. Um das Risiko von Verlusten bei Preis-Sprüngen zu verkleinern, kann man die sogenannte Constant-Proportion-Portfolio-Insurance anwenden. Hier teilt man die Anlageperiode in n kleinere Perioden auf, in denen man ein konstantes Portfolio hält. Das heisst, man wählt die Handelszeitpunkte 0 = t 0 < t 1 < < t n = T. Zum Zeitpunkt 0 hat man das Anfangsvermögen V 0 und einen Startfloor F 0 = cv 0, wobei c (0, 1). Dies ergibt dassogenannte Start-Cushion (Startkissen) C 0 = V 0 F 0 = (1 c)v 0. Man hat dann einen Wert m IIN, genannt Multiplikator, der angibt, wie hoch die Aktienquote ist, die man haben will. Die Start-Exposure wird dann E 0 = mc 0. Man hat eine Konstante α gewählt, die angibt, welchen Anteil man höchstens in Aktien investieren darf. Diese Konstante kann auch vom Gesetz vorgeschrieben sein. Für einen dänischen Lebensversicherer gilt zum Beispiel α 0.7. Für Investmentfonds kann dies auch das Risikoprofil des Anlegers angeben. Der absolute Umfang der Investition wird dann A 0 = min{mc 0, αv 0 }, oder der Anteil der in die Aktien investiert wird, beträgt { mc0 } q 0 = min, α. Zum Umschichtungszeitpunkt t n wird wie folgt verfahren. Man hat den Floor F n. Der kann z.b. konstant sein, F n = F 0, oder er kann nachgezogen sein, F n = F 0 e rtn, V 0

8 10. WEITERE ASPEKTE 83 das heisst, er folgt einer Mindestverzinsung. Ist das Cushion C n = V n F n, so wählt man { q n = max min { mcn V n } }, α, 0. Liegt man also unter dem Floor, darf nicht in Aktien investiert werden. Je höher man also über dem Floor liegt, umso mehr wird man in Aktien investieren. Man sieht nun auch die Rolle von m. Je höher m, umso mehr investiert man in Aktien. Zum einen ist somit ein grosses m wünscheswert, da man so eine hohe erwartete Rendite erziehlt. Zum andern will man m klein halten, weil man dadurch das Risiko vergrössert.

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