Optionsbewertung. Elke Korn Ralf Korn 1

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1 MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools Optiosbewertug Elke Kor Ralf Kor Diese Veröffetlichug ist Teil des Buchprojektes Mathematik ud Ökoomie, das durch die BertelsmaStiftug uterstützt wird. Das Projekt MaMaEuSch wurde veröffetlicht mit Uterstützug durch die EU mittels eier teilweise Förderug im Rahme des Sokrates Programms. Der Ihalt des Projektes reflektiert icht otwedigerweise de Stadpukt der EU, och uterliegt es irgedeier Veratwortug seites der EU. Techische Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik, Fiazmathematik

2 90 Kapitel 6: Optiosbewertug Übersicht Stichwörter der Ökoomie: - Termigeschäfte (Futures ud Forwards) - Optioe - Derivate - Duplikatiosprizip - Geldbeträge abzise ud aufzise - Vollstädige Märkte - Risiko-eutrale Bewertug Stichwörter der Schulmathematik: - Löse vo lieare Gleichugssysteme - Matrize ud Vektore - Beweis durch Iduktio - Biomialverteilug - Normalverteilug - Satz vo de Moivre-Laplace - Mote-Carlo-Simulatio Ihalt - 6. Optioe - prägedes Merkmal der modere Fiazmärkte Hitergrud: Optioe - Begriffe, Grudlage ud Geschichte Gespräch: Hoch motiviert - Optioe als leistugsorietierte Bouszahluge Fortsetzug des Gesprächs: So oder so - das Duplikatiosprizip Mathematische Grudlage: Prizipie der Optiosbewertug Mathematische Grudlage: Der Optiospreis im Biomialmodell Fortsetzug des Gesprächs Mathematische Grudlage: Die Black-Scholes-Formel für europäische Calls ud Puts Mathematische Grudlage: Simulatio vo Optiospreise mit Hilfe der Mote-Carlo- Methode, isbesodere bei exotische Optioe Zusammefassug Leitfade für das 6. Kapitel Das Hauptziel dieses Kapitels besteht i eier Eiführug der Grudbegriffe des Optioshadels ud des Duplikatiosprizips zur Bewertug vo Optioe i vollstädige Märkte. Dabei sollte besoders Wert auf das Verstehe des Duplikatiosprizips ( Nachbildug vo Zahlugsströme ) ud der daraus resultierede risiko-eutrale Bewertug gelegt werde, die auf de erste Blick dem ituitive Gefühl zu widerspreche scheit. Hitergrudiformatioe zum Begriff ud zur Geschichte der Optio werde i de Abschitte 6. ud 6.2 vermittelt. Mögliche Aweduge vo verschiedee Optiostype werde im erste Gespräch der Clever Cosultig Mitarbeiter i Abschitt 6.3 vorgestellt, währed das zweite

3 9 Gespräch i Abschitt 6.4 eie Eiführug i das Duplikatiosprizip zur Optiosbewertug beihaltet. Die achfolgede beide Abschitte 6.5 ud 6.6 behadel das mathematische Grudgerüst der Optiosbewertug. Im erstgeate Abschitt wird eie mathematische Defiitio eier Optio ud des Duplikatiosprizips gegebe, die im achfolgede Abschitt agewadt werde, um explizite Formel zur Optiospreisbestimmug herzuleite. Ahad dieser Formel wird der Begriff der risiko-eutrale Bewertug geprägt. A mathematische Grudlage werde ur der Begriff des Erwartugswertes ud das Lösugsverfahre bei lieare Gleichugssysteme (i der Regel 2 x 2-Systeme) beötigt. Zur Begrüdug des Duplikatiosprizips ist der i Kapitel 6 vorgestellte Begriff der Arbitragefreiheit otwedig. Will ma auf kompliziertere Marktmodelle verzichte, so sid die Abschitte 6.5 ud 6.6 für eie Eiführug i die Optiosbewertug ausreiched. I de Abschitte 6.7 (im dritte Gespräch) ud 6.8 wird auf heuristischem Weg i die Nobel- Preis gekröte Awedug der Black-Scholes-Formel zur Bewertug europäischer Call-ud-Put- Optioe eigeführt. Dabei werde als mathematische Grudlage das i Kapitel 6 vorgestellte Black-Scholes-Modell sowie der Satz vo de Moivre-Laplace vorausgesetzt (für de Gesprächsteil reicht die Ketis des etsprechede Gesprächs aus Kapitel 6). Exotische Optioe ud eie populäre Methode, dere Preise zu bereche, die Mote-Carlo- Simulatio, sid Gegestad vo Abschitt 6.9. Währed die Darstellug der exotische Optioe hauptsächlich dazu diet, eie Eiblick i die Vielfalt des Derivatehadels zu vermittel, ist die Mote-Carlo-Methode durchaus vo selbststädigem Iteresse. Sie ist eie gute Möglichkeit, um de Computereisatz i der Fiazmathematik zu demostriere. 6. Optioe - prägedes Merkmal der modere Fiazmärkte Fiazmärkte im Wadel Gaz abgesehe davo, dass die Hädler icht mehr auf dem Börseparkett herumschreie, soder die Aktiekurse lautlos über de Computerbildschirm flacker, uterscheidet sich die Börsekultur vo heute auch i adere Gesichtspukte deutlich vo der vor 50 Jahre. Auch we die Stimmug i heutige Börse och so ruhig erscheit, es wird sehr viel mehr als früher gehadelt ud icht ur Aktie ud Rohstoff-Termigeschäfte präge das Bild. Ei typisches Kezeiche der modere Märkte ist der verstärkte Hadel mit Derivate vielfältigster Struktur. Derivate sid abgeleitete Fiazistrumete, dee ei Basiswert wie eie Aktie, eie Aleihe, ei Zisistrumet oder ei Rohstoff uterliegt ud dere Wert deshalb vom Wert des Basiswerts abhägt. So gibt es z.b. Tracker-Zertifikate auf Kakao oder Alumiium, Wertpapiere, mit dee ma de Kurs eier Aktie ach ute absicher ka oder ma ka euerdigs sogar eie gewisse Schutz vor ausgefallee Uterehmesaleihe kaufe. Zu de am häufigste geutzte Derivate zähle Futures ud Optioe. Im Rahme dieses Kapitels beschäftige wir us allerdigs icht mit de Futures, zu dee ei kompliziertes System vo Sicherheitszahluge gehört, soder ur mit de eifacher strukturierte Forwards, beides sid Termigeschäfte. Auch wird der Schwerpukt des Kapitels auf de mathematisch iteressatere Optioe liege, de wir wolle i erster Liie spaede Aweduge der Mathematik vorstelle. Bei Forwards hadelt es sich um Verträge, die es ermögliche, eie bestimmte Basiswert a eiem festgelegte Termi i der Zukuft zu eiem feste Preis zu kaufe oder zu verkaufe. Ma ist bei Futures bzw. Forwards verpflichtet, zu diesem Zeitpukt de Basiswert zum vereibarte Preis zu kaufe bzw. zu verkaufe. Der Besitzer eier Optio higege ka auswähle, ob er zur festgelegte Zeit de Basiswert zum vereibarte Preis erwirbt oder icht (bzw. verkauft oder icht). Er hat also eie Wahlmöglichkeit. Termigeschäfte gibt es scho seit dem Mittelalter. Bedeuted für die Fiazwelt wurde sie mit dem Ede des 9. ud dem Begi des 20. Jahrhuderts, achdem ma bega, die Verträge

4 92 für de Börsehadel zu stadardisiere. Optioe erschiee erst viel später auf dem Markt. Als 637 der hollädische Tulpemarkt zusammebrach, ware uter aderem auch erste Vorläufer vo Optioskotrakte dara beteiligt. Populär wurde Optioe jedoch erst, als die Mathematiker Black ud Scholes 973 i eiem wisseschaftliche Artikel eie Formel zur Berechug ihres Preises agebe kote. Zur gleiche Zeit wurde i Chicago die Chicago Board Optios Exchage speziell für de Hadel mit Aktieoptioe eröffet. Daach blühte der Hadel mit Derivate auf. Aktie - aber sicher? Es gibt viele Grüde, sei Vermöge i Aktie azulege. Ma möchte vielleicht eie Firma, dere Uterehmesidee eiem gefällt, uterstütze. Mach eier leht Zise prizipiell ab ud möchte sei Geld ur durch Produktivität vermehre. Ei weiterer Grud köte sei, dass ma bestrebt ist, dass sich das eigee Kapital etspreched dem Iflatiosiveau etwickelt. Schließlich köte ma schlicht ud ergreifed feststelle, dass die erwartete Redite eier Aktie deutlich höher als das allgemeie Zisiveau für festverzistes Geld ist. All diese Argumete steht aber immer das Risiko der uerwartete Kursschwakuge der Wertpapiere gegeüber. Falls der Aktiemarkt eibricht, hat ma am Schluss evetuell erheblich weiger Geld als vorher DAX (blau) Zeichug 6. Vergleich der Etwicklug des DAX-Idex mit eier 7%-ige Verzisug Ma fragt sich daher, ob ma icht i Aktie alege ud dabei das Afagskapital sicher ka. Das ist der Pukt, a dee Optioe is Spiel komme, de außer zum Spekuliere werde Optioe zur Kursabsicherug geutzt. Die Bakistitute habe mittlerweile erkat, dass sich Kude eie Art sichere Aktie wüsche ud biete euerdigs Produkte wie z.b. Aktie mit Sicherheitsetz zum Verkauf a. I der Regel hadelt es sich dabei um eie Kombiatio vo Aktie mit Festgelder ud Optioe. Besoders i schlechte Börsezeite sid Fiazprodukte mit Kapitalgaratie sehr beliebt ud der verstärkte Hadel mit solche Produkte führt dazu, dass der Hadel mit Optioe idirekt weiter zuimmt. Im Rahme des Privatisierugsprozesses der Deutsche Telekom, 996, erschie eies der erste Garatieprodukte, die i Deutschlad der breite Öffetlichkeit agebote wurde. Mit dem Papier Safe-T der Commerzbak erwarb ma, stark vereifacht beschriebe, eie Optio, die es ermöglichte, jederzeit bis zum Jahre 2002 de Vertrag gege die Telekom-Aktie eizutausche oder am Ede der Laufzeit des Vertrages de Wert der Telekom-Aktie zum Ausgabekurs vo 996 zu erhalte. Das bedeutete im Prizip, dass ma das Afagskapital, das ma am Emmissiostag i die Telekom-Aktie ivestiert hätte, garatiert zurückbekommt. Im Zusammehag mit der Volksaktie Deutsche Telekom köte ma dieses Wertpapier durchaus als erste deutsche Volksoptio betrachte.

5 93 Diskussio : - Recherchiere Sie im Iteret, ob der Kauf der Safe-T -Optio tatsächlich eie Kursabsicherug für de Aleger bewirkt hat (vergleiche Sie de Emissioskurs der Telekom-Aktie vo 8.November 996 mit dem Preis vo 2002). Der zu zahlede Preis dieser Optio bestad aus eier Afagszahlug i Höhe des Startkurses der Telekom-Aktie (womit die Aktie erworbe wurde) sowie der Überlassug der Dividedezahluge währed der Laufzeit des Vertrages (als Gegeleistug für die Kursabsicherug). Die Depotverwaltug für dieses Produkt war kostelos. Diskutiere Sie diese Preis! - Iformiere Sie sich über aktuelle Garatieprodukte, die der Markt abietet! Wie sid diese Produkte gestaltet? Welche Bediguge ud welche Preise gibt es? Ist immer der gesamte Kursverlust abgesichert oder ur ei Teil? 6.2 Hitergrud: Optioe - Begriffe, Grudlage ud Geschichte Optioe ud Forwards Der Begriff der Optio ist icht ur aus dem Bereich der Fiazwelt bekat. Er wird gleichfalls im tagtägliche Sprachgebrauch verwedet ud bedeutet dort soviel wie, eie Möglichkeit habe ( ich habe auch och die Optio, dieses Agebot azuehme... ). Das wesetliche Merkmal eier solche Optio ist, dass ma sie zwar utze ka, we ma will, sie aber icht ubedigt wahrehme muss. Isofer stellt eie Optio immer etwas Positives dar. Dieselbe Merkmale besitzt auch eie Optio im Sie der Fiazwelt. Im Allgemeie versteht ma uter eier Optio eie Vertrag, der seiem Käufer eie ichtegative Zahlug usicherer Höhe zu eiem feste zuküftige Zeitpukt zusichert. Ma wird also schlimmstefalls ichts (das heißt eie Zahlug der Höhe Null), im güstige Fall aber eie strikt positive Zahlug erhalte. Dabei bezeichet ma de Verkäufer des Optioskotraktes als Zeicher der Optio, de Käufer als Halter der Optio. Die bekateste Forme vo Optioe sid die europäische Kauf- bzw. Verkaufsoptioe auf Aktie, egl. Calls bzw. Puts. Sie garatiere ihrem Besitzer das Recht (icht aber die Pflicht!), eie Aktie eier bestimmte Firma zum festgelegte Edzeitpukt T (der sogeate Fälligkeit) zum festgelegte Preis K, dem Ausübugspreis oder Strike, vom Zeicher der Optio zu erwerbe (im Falle des Calls) oder aber a de Zeicher der Optio zu verkaufe (im Fall des Puts). Bei de Optioe uterscheidet ma zwische europäische ud amerikaische Optioe. Bei amerikaische Optioe darf ma sei Wahlrecht jederzeit währed der Laufzeit des Kotraktes ausübe, bei europäische ur am Ede der Laufzeit. Optioe ähel i gewisser Hisicht de Futures bzw. de Forwards, allerdigs gibt es dort keie Wahlmöglichkeit. Ei Forwardkotrakt ist ei Vertrag darüber, ei bestimmtes Gut zu eiem feste Zeitpukt i der Zukuft zu eiem feste Preis zu kaufe bzw. zu verkaufe. Futures uterscheide sich vo de Forwards uter aderem dadurch, dass sie für die Börse stadardisiert wurde ud Sicherheitszahluge zu leiste sid. Forwards werde aders als Futures icht a der Börse gehadelt, diese Kotrakte werde vo de Bake, sozusage am Bakschalter, idividuell gestaltet, deswege versieht ma sie mit dem Kürzel OTC ( over the couter ). Optioe - Call ud Put Der Besitzer eies Calls wird da sei Recht wahrehme, die Aktie zum Preis K im Zeitpukt T zu erwerbe, we der Preis P (T) der Aktie größer als der Ausübugspreis K ist. Aschließed köte er die Aktie zum Preis P (T) am Markt veräußer ud hätte somit durch Ausübe der Optio eie Gewi der Höhe P (T) K gemacht. Ist higege der Preis P (T) der Aktie kleier als K, so wird der Besitzer des Calls sei Recht verfalle lasse. Wollte er ämlich die

6 94 Aktie erwerbe, so wäre es für ih güstiger, dies am Markt zu tu. Der Besitz des Calls führt i diesem Fall zu keier positive Zahlug. Ma idetifiziert daher eie europäische Call mit der Edzahlug B = P T K +. call ( ( ) ) Graphisch wird die Edauszahlug des europäische Calls durch das folgede Payoff- Diagramm (Auszahlugs-Diagramm) dargestellt: Zeichug 6.2 Payoff-Diagramm für eie europäische Call Ählich verhält sich der Besitzer eies Puts. Dieser wird da sei Recht wahrehme, die Aktie zum Preis K zu verkaufe, we der Preis P (T) der Aktie im Zeithorizot kleier als der Ausübugspreis K ist. Durch Ausübe der Optio hätte er eie Gewi der Höhe K P (T) gemacht. Ist higege der Preis P (T) der Aktie größer als K, so wird der Besitzer des Puts sei Recht verfalle lasse. Wollte er weiterhi die Aktie verkaufe, so wäre es für ih güstiger, dies am Markt zu tu. Der Besitz des Puts führt i diesem Fall icht zu eiem Gewi. Ma idetifiziert daher eie europäische Put mit der Edzahlug put ( ( )) B = K P T +. Graphisch wird die Edauszahlug des europäische Puts durch das folgede Payoff-Diagramm dargestellt: Zeichug 6.3 Payoff-Diagramm für eie europäische Put Vergleich: Optioe - Forwards Sowohl Optioe als auch Forwards sid Verträge über Geschäfte, die i der Zukuft liege. Optioe beihalte ei Wahlrecht, Forwards icht. Die Höhe der zuküftige Zahlug beim Forwardkotrakt ist bereits heute bekat, jedoch ist icht klar, ob das i der Zukuft getätigte Geschäft da auch vorteilhaft ist. Im Falle eier Optio ist die Höhe der zuküftige Zahlug zwar

7 95 ubekat, es ist aber wege des Wahlrechts des Optioshalters sichergestellt, dass das zugehörige Geschäft (zumidest für de Halter) icht zu eiem Verlust führt ( icht-egative Edzahlug ). Hieraus ergibt sich u, dass ma für de Erwerb eier Optio heute eie Zahlug ( Prämie ) zu leiste hat. Wege der Usicherheit der Höhe der zuküftige Zahlug ka ma die Höhe dieser Prämie icht so eifach bestimme. Das allgemei akzeptierte Grudprizip, ämlich das Duplikatiosprizip, zur Bestimmug des Optiospreises ist Gegestad des ächste Abschitts. Warum hadelt ma mit Optioe? Da Optioe keie origiäre Wertpapiere sid, soder sich immer auf ei zugrude liegedes Gut (z.b. Aktie, Hadelsgüter, Wetter (!), usw.) beziehe, ist es atürlich berechtigt, ach dem Nutze vo Optioe überhaupt zu frage. Der erste wichtige Aspekt ist der der Absicherug gege uerwüschte Preisschwakuge des zugrude liegede Guts. Besitzt ma z.b. eie Aktie mit dem heutigem Wert vo 200, so ka ma durch de Kauf eier Put-Optio mit dem Ausübugspreis vo 50 für die Laufzeit der Optio eie utere Greze des Werts des Pakets aus Put-Optio ud Aktie vo 50 festschreibe (siehe Zeichug 6.4). Fällt ämlich der Aktiekurs uter de Wert vo 50, so ka ma sei Optiosrecht utze ud dem Verkäufer der Put-Optio die Aktie zum Stückpreis vo 50 verkaufe. Fällt der Aktiepreis ie uter diese Greze, so muss ma auch sei Optiosrecht icht ausübe. Aalog ka ma durch de Kauf eier Call-Optio auf eie Aktie de zuküftige Kaufpreis dieser Aktie begreze. Zeichug 6.4 Payoff-Diagramm eies Pakets aus Aktie ud Put Ei aderer Aspekt besteht i der Preisetwicklug der Optio. Wir werde us zwar erst später um die exakte Bestimmug des Preises eier Optio kümmer, aber es ist auch ohe dieses Wisse plausibel, dass sich eie Optio im Preis aders etwickelt als die zugrude liegede Aktie. We ma z.b. eie Call-Optio auf eie Aktie betrachtet, ka ma folgede Zusammehäge leicht erkee (oder aber empirisch am Markt beobachte): - Steigt der Aktiekurs, so steigt der Call-Preis auf diese Aktie ebefalls. - Steigt der Aktiekurs um, so steigt der Call-Preis i der Regel um weiger als, aber der prozetuale Astieg des Call-Preises ist größer als der der Aktie. Aalog gelte diese Überleguge auch für Kursverluste. Wege des höhere prozetuale Gewis/Verlusts der Call-Optio spricht ma vo eiem Hebeleffekt (eglisch: Leverage effect), de sich Spekulate gere zu Nutze mache.

8 96 50,00% 25,00% 0,00% ,00% -50,00% Zeichug 6.5 Vergleich der tägliche prozetuale Äderuge des Aktiekurses(blau) mit dee des Callpreises (rotbrau) (bereiigte empirische Date) Diese beide Effekte werde auch i de Zeichuge 6.5 ud 6.6 illustriert. Betrachtet wird dort eie Aktie, die Ede des Jahres 2003 um de Kurs 6 schwakte ud ei Call auf diese Aktie mit Ausübugspreis 6 ud Fälligkeit 9.Dezember Hierbei verdeutlicht die erste Zeichug de Hebeleffekt, idem sie die Tagesredite der Aktie mit dee des Calls vergleicht. Die zweite Zeichug vergleicht eie Ivestitio i die Aktie mit eier i Calls. Am wurde hierzu das gleiche Kapital i die Aktie wie i die Optio ivestiert (dazu musste ma etwa 5 Optioe kaufe) ud daach wurde das jeweilige Portfolio uverädert gehalte. Die zweite Zeichug soll außerdem die Risike des Optioshadels verdeutliche: - Optioe sid auslaufede Wertpapiere, d.h. sie existiere ur zeitlich begrezt. - Ma ka bei eiem Optiosivestmet eie TOTALVERLUST erleide Zeichug 6.6 Vergleich eies Aktieivestmets (blau) mit eiem Ivestmet i Calls (rotbrau) (bereiigte empirische Date) Der Totalverlust, der dari besteht, dass der afags gezahlte Kaufprämie am Ede der Laufzeit des Optiosvertrages eie Zahlug i Höhe Null gegeübersteht, ist kei Ausahmeereigis, soder tritt erfahrugsgemäß ud kostruktiosbedigt recht häufig auf. Dieses Ereigis wäre bei userer Beispieloptio i der Zeichug eigetrete, we die Aktie am 9.Dezember uter de Kurs vo 6 gerutscht wäre, astatt auf 6,60 zu steige.

9 97 Zusammegefasst ergebe sich also zwei wesetliche Beweggrüde für de Optioshadel: Absicherug ud Spekulatio. ( Ü.6.) Diskussio 2: - Wie vermute Sie, hat die Commerzbak 996 das Produkt Safe-T gestaltet? Aktie plus Call oder Aktie plus Put? - Weshalb hadelt ma mit Futures bzw. Forwards? - Was sid die Nachteile der Futures bzw. Forwards? Wo liege wiederum Vorteile vo Termigeschäfte gegeüber Optioe? Geschichte des Optioshadels - 634: Vorläufer vo Optioe werde währed der große Tulpemaie i Hollad gehadelt. Ma schließt Verträge auf (eigegrabee) Tulpezwiebel ab, i dee ma eie Kaufpreis vereibart, der ur zur Kaufzeit fällig wird, we die mittlerweile ausgegrabee Zwiebel ei bestimmtes Midestgewicht icht uterschreitet. 637 bricht der hollädische Tulpemarkt zusamme, was uter aderem auch auf diese spekulative Termigeschäfte mit Optioscharakter zurückzuführe ist : Erste Aktieoptioe der Köiglich Westidische ud Guieasche Kompaie, die zum Kauf vo Ateile der frazösische Isel Ste. Croix berechtige : Grüdug des Chicago Board of Trade, aus dem sich später die größte Termibörse der Welt etwickelt : Das Chicago Board of Trade eröffet die Chicago Board Optios Exchage, die größte Termibörse der Welt. Der Hadel begit mit Call Optioe, vier Jahre später komme außerdem Put-Optioe hizu : Fischer Black ud Myro Scholes veröffetliche ihre Arbeit, die die später mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswisseschafte ausgezeichete Black-Scholes-Formel zur Be- wertug europäischer Call-Optioe ethält. Robert Merto veröffetlicht im selbe Jahr eie Verallgemeierug hiervo. Auch er wird später (997) gemeisam mit Myro Scholes mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswisseschafte ausgezeichet : Die America Stock Exchage (AMEX) begit mit Optioshadel : I der Schweiz wird die Swiss Optios Exchage (Soffex) gegrüdet : Die Deutsche Termi Börse (DTB) wird eröffet : Extrem riskate Optiosgeschäfte des Hädlers Nick Leeso führe zum Bakrott der traditiosreiche Barigs Bak i Eglad : Die erste deutsche Volksoptio erscheit mit Safe-T am Markt. Übugsaufgabe Ü.6. Betrachte Sie sich die Zeichuge 6.5 ud 6.6 geauer. a) Beschreibe Sie die beide Zeichuge ausführlich. b) Stelle Sie sich vor, die Aktie hätte am Fälligkeitstermi des Calls de Kurs vo 5,95 gehabt. Welche Wert hätte der Call? Wieviel wäre ihr Ivestmet i Calls da wert? c) Am 6. kostete übriges ei Call 0,76 ud die Aktie 5,9. Wie hätte sich hier eie Ivestio i die Optio im Vergleich zur Ivestitio i die Aktie ausgewirkt? d) Am 2. kostete der Call 0,34 ud die Aktie 4,9. Stelle Sie sich vor, dass Sie ei besoders cleverer ud glücklicher Börsehädler sid. Wie hätte Sie de Hebeleffekt geutzt?

10 Gespräch: Hoch motiviert - Optioe als leistugsorietierte Bouszahluge Das hatte die Wetterfrösche u so icht vorhergesagt. Ageküdigt hatte sie eie eisige Kälte mit strahledem Soeschei ud eier Niederschlagswahrscheilichkeit vo ur zeh Prozet. Dies hatte das Team vo Clever Cosultig bewoge, die Fahrt zu ihrem ächste Eisatzort i Selias euem azurblaue Sportcoupé zu geieße. Der Wetterbericht lag durchaus richtig mit der Kälte ud auch der mit deutlich positiver Wahrscheilichkeit herabfallede Niederschlag war ja gewissermaße ageküdigt. Allerdigs, dass ma über eier Stude friered auf der soelose Autobah im Schee feststecke würde, das hatte iemad erwartet. Ud wie adere Mesche sich Geschichte zum Aufwärme erzähle, begie die vier Juguterehmesberater über ihre Arbeit ud Mathematik zu rede. Oliver: Also, ich freue mich scho auf usere eue Auftraggeber. Nicht ur, weil es i seiem Büro warm ist. Usere Aufgabe fide ich diesmal besoders reizvoll. Sebastia: Da stimme ich dir zu. Die Idee der Estrella Haarpflegeprodukte AG, ihre leitede Agestellte zu motiviere, idem ma ihe ach Ede des Geschäftsjahres eie Bous i Form vo Aktieoptioe auf die eigee Firma auszahlt, fide ich äußerst raffiiert. Selia: Ausahmsweise hätte ich als Maager dieser Firma lieber die eigee Produkte als Bous astatt Optioe auf die eigee Aktie. Sebastia: Das ka ich mir gut vorstelle. Berge vo Shampoo, Haarspray ud Töuge i alle Farbe würde sich i deiem Bad stapel. Nadie: Auf die eigee Erzeugisse als Bous wäre ich ur scharf, we ich Maageri eier Schokolade- ud Praliefabrik wäre. Will jemad ei paar meier Edelkirsch-Pralie? Selia: Nei dake, die ethalte Alkohol ud ich muss heute och fahre. Oliver: Hoffetlich darfst du auch heute och fahre! Nadie, mir kast du ruhig welche gebe, die wärme so schö! Mit de eigee Produkte zu belohe, ist a sich eie gute Idee. Aber selbst bei mir gäbe es bei Schokolade irgedwa eie Sättigugsgreze. Weitere Schokolade wäre da keie Belohug ud damit kei Areiz mehr für mich. Aber mit de Optioe ist das etwas aderes. Diese habe ja eie Wert ud je mehr Optioe ma hat, desto größer fällt der Bous aus, ud zwar ohe das Badezimmer i eie Drogeriemarkt mit zu eg gestellte Regale zu verwadel. Nadie: Außerdem werde Optioe um so wertvoller, je besser der leitede Agestellte die Firma führt ud je mehr das Uterehme am Markt beachtet wird! Welche eizele Optioe solle wir eigetlich betrachte? Selia: Die Estrella AG überlegt, ihre Maager eifache Call-Optioe zu gebe. Weitere Möglichkeite, die zur Debatte stehe, sid Idex- ud Barriere-Optioe. Eie userer Aufgabe soll sei, die Variate auszuwähle, die die Maager am meiste motiviert ud der Firma zu sage, was das kostet. Oliver: Eie echte Herausforderug für us! Sebastia: Nadie, hast du die Übersicht über die verschiedee Optiostype aus userem Studium eigepackt? Nadie: Na klar, bi doch immer ordetlich vorbereitet!

11 99 Übersicht der verschiedee Optiostype: Call-Optio: Ma erwirbt das Recht, eie Aktie zu eiem vorher festgelegte Preis zu kaufe. Put-Optio: Ma erwirbt das Recht, eie Aktie zu eiem vorher festgelegte Preis zu verkaufe. Digital-Optio: Liegt der Kurs der Aktie zum Ede der Laufzeit des Kotraktes über (bzw. uter) eiem vorher festgelegte Wert, erhält ma eie festgelegte Geldbetrag ausgezahlt. Optio auf Miimum/Maximum mehrerer Aktie: Ma erwirbt das Recht, die billigste (bzw. teuerste) Aktie eies Aktiepaketes zu eiem vorher festgelegte Preis zu kaufe (bzw. zu verkaufe). Idizierte Optio: Liegt der Kurs der Aktie zum Ede der Laufzeit des Kotraktes über dem Kurs eier Vergleichsaktie (oft hadelt es sich hierbei um eie Idex wie z.b. der DAX oder der Dow Joes), erhält ma die Differez zwische de Kurse ausgezahlt. Barriere-Optio: Passiert es, dass währed der Laufzeit des Kotraktes der Kurs der Aktie über (bzw. uter) eiem bestimmte Wert liegt, erhält (bzw. verliert) ma das Recht, die Aktie zu eiem vorher festgelegte Kurs zu kaufe (bzw. zu verkaufe). Europäische Optioe: Ma darf die Optio ur zum Ede der Laufzeit des Kotraktes ausübe. Amerikaische Optioe: Ma darf die Optio jederzeit währed der Laufzeit des Kotraktes ausübe. Selia: Call-Optioe als Belohug für die Maager sid sicherlich verlocked. Calls erwirtschafte eie Gewi, we der Kurs der Aktie über dem vorher festgelegte Wert liegt. Ud der Gewi ist um so größer, je größer der tatsächliche Kurs der Aktie ist! We ich mich als Maager meier Aktiegesellschaft astrege, de Wert der AG gewaltig steigere ud der Kurs der Aktie daraufhi tüchtig steigt, da ist das eie beachteswerte Leistug. I diesem Fall werde ich meie Belohugs-Call-Optioe mit hohem Gewi verkaufe köe. Sebastia: Der Nachteil ist allerdigs, dass ma eie Kaufpreis für die Aktie im Call vorher festlege muss. Ei eiigermaße realistischer Wert, der die leitede Agestellte auch wirklich motiviert, ist im Vorhiei ur sehr schwer festzulege. Daher halte ich eie idizierte Optio für geeigeter. Ist der Kurs der AG besser als ei Vergleichskurs, habe die Maager gute Arbeit geleistet ud sollte mit der Optio Gewie erziele. Das motiviert, sich auch i schlechte Zeite azustrege ud immer och besser als die Kokurrez zu sei! Nadie: Na ja, so gaz ka ich mich für diese Optioe, die ur vom Schlusswert der Aktie abhäge, icht erwärme. Das verführt doch die Maager dazu, gaz am Schluss die Lage der Firma zu schöe, um de Wert der Aktie kurzfristig hochzutreibe. Selia: So ei Quatsch! Die Mehrzahl der Maager ist doch ehrlich! Sebastia: Das glaubst auch ur du, Selia! Nadie: Ach Selia, schalt doch mal de Motor ud die Heizug ei! Selia: Ruhe dahite auf de billige Plätze! Das Auto bleibt im Stau aus, das ist ökologischer ud vor allem ökoomischer. Ud gefälschte Bilaze, lieber Sebastia, gibt es bei der Estrella AG bestimmt icht! Oliver: Wie wäre es eigetlich mit eier Barriere-Optio? Damit ka ma zum Beispiel utere Greze setze. Meie Idee ist, dass ma eie Barriere-Optio ausgibt, die das Recht erteilt, die

12 200 Aktie zu eiem vorher festgelegte Preis zu kaufe, aber ur da, we der Aktiekurs iemals eie Schrake uterschreitet. Das verhidert, dass die Maager zu große Risike eigehe ud die Firma dadurch heruterwirtschafte. Außerdem hägt diese Optio icht ur vom Schlusskurs der Aktie ab. Nadie: Ich empfide Barriere-Optioe als ugerecht! We ämlich der gesamte Aktiemarkt eibricht, liegt das i de meiste Fälle icht i der Veratwortug der Maager der Estrella AG. Vielleicht habe sie gerade i dieser Zeit besoders veratwortugsvoll gewirtschaftet. Aber durch die Barriere ist ihre Belohugsoptio ichts mehr wert. Am liebste wäre mir eie Optio, die eie Art Mittelwert aller Zwischekurse berechet ud davo abhägt... Es dauert icht lage ud das Clever Cosultig Team befidet sich mitte i eier hitzige Debatte über die Motivatioseffekte der verschiedee Optiostype. Diskussio 3: - Überlege Sie selbst, iwieweit die verschiedee Optiostype Maager evetuell motiviere würde, ihre Firma erfolgreicher zu führe. Überlege Sie auch Nachteile dieses Belohugssystems! - Iformiere Sie sich im Iteret oder i der Zeitug, ob es solche Optiostype gibt, mit dee ma Nadie begeister köte. 6.4 Fortsetzug des Gesprächs: So oder so - das Duplikatiosprizip Durch das Streitgespräch abgelekt bemerkt Selia icht, dass der Streudiest a ihe vorbeizockelt ud der Stau sich i Bewegug setzt. Nur ei lautes Gehupe veralasst sie schließlich, de Motor wieder zu starte. Doch leider gibt es für Selia ur ei kurzfristiges Fahrvergüge, de scho eie Kilometer weiter steht ei Lastwage quer ud blockiert die Fahrbah für de Räumdiest. Selia, die sich wie immer auf der Überholspur befidet, fährt och weiter ach liks, damit sich eie große breite Gasse für das Fahrzeug des techische Hilfswerks bildet. Währed die vier friered warte ud sich sehsüchtig eie heiße Suppe wüsche, greife sie wieder eies ihrer Liebligstheme auf. Nadie: Also ehrlich gesagt, statt eier Optio oder Haarpflegemittel als Bous wäre mir als Maager ei fester Geldbetrag auf meiem Girokoto am liebste. Das ist viel sicherer. Da weiß ma auch, was ma hat. Sebastia: Na, so eifach kast du das icht betrachte! Als erstes brauche wir eie Vergleichsmaßstab, um zu beurteile, ob der Maager wirklich gut gewirtschaftet hat. Das ist i eier Optio sozusage mitibegriffe. Ud zweites kast du mit Hilfe der mathematische Theorie der Optiosbewertug bereche, was deie Optio wert ist. Nach dem Reche weißt du auch, was du hast! Selia: Dazu verwedet ma uter aderem die Black-Scholes-Formel aus de 70 er Jahre. Erstaulich, dass ma bis etwa 970 gebraucht hat, um de Preis für eie Optio zu bereche! So kompliziert ka die Optiosbewertug doch icht sei? Sebastia: Ach ja? Was schlägst du de als Lösug vor? Selia: Ich bereche eifach de Erwartugswert der Zahlug im Ausübugszeitpukt! Sebastia: Das möchte ich gere sehe!

13 20 Nadie: Sebastia, sei icht so gehässig. So weit daebe liegt Selia icht. Sie hat ur ei paar klitzekleie Kleiigkeite übersehe! Am beste wir betrachte zuächst ei eifaches Beispiel. Wir stelle us eie Aktie vor, die heute kostet ud i eiem Moat mit der Wahrscheilichkeit a auf de Preis 2 steigt oder mit der Wahrscheilichkeit (-a) auf de Kurs vo 0,75 sikt: t =0 t = Call i t = 2 0,75 0 Zeichug 6.7 Preisetwicklug eier fiktive Aktie ud Edzahlug eies fiktive Calls mit Ausübugspreis Nehme wir eimal a, wir habe eie europäische Call-Optio auf diese Aktie gekauft, ud zwar mit dem Ausübugspreis ud eier Laufzeit vo eiem Moat. Falls die Aktie auf de Wert 2 steigt, freue wir us über usere Optio, löse sie ei, kaufe die Aktie zum Preis vo, verkaufe die Aktie gleich wieder ud habe somit eie Gewi vo gemacht. Ist die Aktie allerdigs gefalle, lasse wir die Optio verfalle ud habe eie Verlust i Höhe des Optiospreises hizuehme. Der Erwartugswert für usere usichere Gewi beträgt daher + (( ( ) ) ) E P T K = (2 ) a+ 0 ( a) = a. Oliver: Diese Erwartugswert a köte ma doch jetzt eifach als Wert der Optio wähle. Wir müsste ur eie möglichst gute Wert für diese Wahrscheilichkeit schätze! Sebastia: Oliver, sag bloß, du kast dich icht mehr dara erier, wie ma bei der Optiosbewertug vorgeht! Oliver: Doch, sicher, so vage eriere ich mich. Ei vollkomme ubekater Wert, der geschätzt werde musste, kam im Optiospreis icht vor! Adererseits musste ma beachte, dass es am Markt och adere Alagemöglichkeite wie z.b. das Festgeld gibt. Selia: Natürlich! Jetzt fällt es mir wie Tomate vo de Auge! Da die Optio ja ei vo der Aktie abgeleitetes Wertpapier ist, ka ich die Edauszahlug der Optio mit Hilfe der Aktie, Festgeld ud Kredit achbilde! We ich ämlich eie Kredit vo 60 aufehme ud 80 Aktie kaufe, mit diesem Portfolio ei Depot eröffe, da erhalte ich ach eiem Moat, egal was passiert, exakt de gleiche Geldbetrag, de mir 00 Optioe ausschütte würde. We die Aktie steigt, habe ich ach der Kreditrückzahlug ei Plus vo 00; ud we die Aktie fällt, habe ich ei ausgeglichees Koto, also eie Gewi vo 0. Oliver: Wie kommst du gerade auf diese Zusammestellug? Selia: Das hatte ich im Gefühl. Nadie: So, so, Mathematik mit Gefühl! Leute, ihr müsst ei Gleichugssystem mit zwei Gleichuge ud zwei Ubekate aufstelle. x bezeichet de Geldbetrag, de ma i Festgeld ivestiert, ud y bezeichet die Ateile, die ma vo der Aktie kauft. Der Eifachheit halber sei im Momet der Zis für Kredite ud Festgeld gleich Null. We die Aktie steigt, da muss user Portfolio de Wert habe, das ist der Betrag, de ma i diesem Fall mit eier Optio gewit. We die Aktie fällt, muss das Ergebis 0 sei. Das ergibt die Gleichuge

14 202 x+ y 2=, x+ y 0,75 = 0. Die Lösug dieser Gleichug ist gerade x = 0,6 ud y =0,8. Selia: Haargeau! Mal hudert, da habt ihr meie Zahle. Nadie: We ich mir also dieses Portfolio zulege will, beötige ich dafür das Kapital vo 0,6+0,8 =0,2. Soviel ist die Optio midestes wert, de das ist der Geldbetrag, de ma beötigt, um die Optio achzubilde, um also geau dieselbe Zahluge zu erhalte, als ob ma die Optio besitze würde. Selia: Wäre die Optio am Markt teurer, gäbe es Arbitragemöglichkeite für mich, wuderbar! Läge der Preis der Optio am Markt über 0,2, da würde ich diese Optio massehaft achbilde ud geauso massehaft Optioskotrakte uter die Leute brige. Für die Nachbildug brauche ich ur 0,2, aber pro verkaufter Optio erhalte ich mehr als 0,2. I diesem Momet habe ich mit jeder verkaufte Optio eie satte Gewi gemacht. Nach eiem Moat bezahle ich brav evetuell etstadee Optiosgewie a die Optiosschei-Ihaber aus. Dak exakter Nachbildug der Optio ist das Geld dafür ja vorhade - ud das gaze Geschäft ist ohe ohe Risiko für mich. Traumhaft! Sebastia: Du hast es erfasst! Der Optiospreis berechet sich icht aus der ubekate ud eher subjektive Erfolgswahrscheilichkeit a, soder aus de Koste, die eie Nachbildug der Optio kostet! Nur so ka ma ei Marktmodell ohe Arbitragemöglichkeite formuliere. Dieses Optiosbewertugsprizip et ma übriges das Duplikatiosprizip, da ma die Optio mit Hilfe vo Aktie, Festgeld ud Kredit dupliziert. Selia: Nadie, jetzt erkläre mir och, warum meie Vermutug mit dem Erwartugswert icht gaz so falsch war! Nadie: We du de Erwartugswert i eiem risiko-eutrale Markt betrachtest, da ergibt dies tatsächlich de Optiospreis. Allerdigs musst du i diesem Momet ei aderes Wahrscheilichkeitsmaß heraziehe... Lagsam wird Selia klar, warum die Black-Scholes-Formel zur Optiosbewertug erst relativ spät etdeckt wurde. Nadies detailliertes Fachwisse lässt ihr eie Schauer über de Rücke laufe. Als 00 m vor ihr auf eimal Rückscheiwerfer aufleuchte ud die Autokoloe sich ascheied i Bewegug setzt, startet Selia de Motor mit eiem laute Brumme ud sigalisiert damit alle adere, dass sie u ichts mehr höre ka... Übugsaufgabe Ü.6.2 Beschreibe Sie, wie Sie die Arbitragemöglichkeit ausütze würde, we der Preis der Optio aus dem Gespräch uter 0,2 liege würde! Ü.6.3 Bereche Sie de Erwartugswert der Edzahlug der folgede Optioe! Vergesse Sie dabei icht, dass dies icht der Optiospreis ist! Die Aktie habe heute de Kurs 2, ach eiem Moat steige sie mit der Wahrscheilichkeit p=0,6 auf 2,5 oder falle auf,8. a) Betrachte Sie eie europäische Call auf diese Aktie mit der Laufzeit vo eiem Moat ud dem Ausübugspreis 2! b) Betrachte Sie eie europäische Call auf diese Aktie mit der Laufzeit vo eiem Moat ud dem Ausübugspreis,9! c) Betrachte Sie eie europäische Put auf diese Aktie mit der Laufzeit vo eiem Moat ud dem Ausübugspreis 2!

15 203 d) Betrachte Sie eie europäische Put auf diese Aktie mit der Laufzeit vo eiem Moat ud dem Ausübugspreis 2,2! Ü.6.4 Bestimme Sie die Optiospreise der Optioe i Aufgabe 6.2 ach dem Duplikatiosprizip! Der Eifachheit halber ehme wir a, dass Festgelder ud Kredite mit 0 % verzist werde. Ü.6.5 Welche Optiospreis würde Sie der Optio i folgedem Biomialmodell zugestehe? Die Aktie habe heute de Kurs 0, ach eiem Moat steige sie mit der Wahrscheilichkeit p=0,6 auf 5, asoste falle sie auf 8. Der Eifachheit halber ehme wir a, dass Festgelder ud Kredite mit 0 % verzist werde. Utersuche Sie eie europäische Call-Optio mit dem Ausübugspreis 5! 6.5 Mathematische Grudlage: Prizipie der Optiosbewertug Vorarbeite: Forwardkotrakte Forwardkotrakte werde i der Regel für Güter, Wertpapiere oder Währuge ausgehadelt, die eier der Vertragsparter i aher Zukuft kaufe möchte (oder sogar muss) ud diee meistes der Preissicherug. Oft erwartet derjeige, der kaufe möchte, i absehbarer Zeit eie sichere Geldfluss. Um zu sehe, wie ma Forwards bewertet, betrachte wir eie Forwardkotrakt auf eie Aktie, die im Momet de Kurs P (0)=p hat ud im betrachtete Zeitraum keie Dividede ausschüttet. Der Kaufpreis vo K für die Aktie im Zeitpukt T wird üblicherweise so vereibart, dass der Wert des Kotraktes zum jetzige Zeitpukt t=0 gerade Null beträgt. Es dreht sich also weiger um de Wert des Kotraktes, als vielmehr um die Festlegug des Preises K, der de Kotrakt bei Abschluss kostelos macht, de sogeate Forwardpreis. I die folgede Überleguge um de zuküftige Preis K fließt mit ei, dass es weitere Möglichkeite gibt, Geld (risikolos) azulege. Außer der Ivestitiosmöglichkeit i die Aktie betrachte wir Festgeld mit dem stetige Zissatz vo r %. Des weitere gebe es och die Möglichkeit, Kredite zum gleiche stetige Zissatz aufzuehme. Zuächst wird der Aktiebesitzer erwäge, dass er astatt seie Aktie erst später im Zeitpukt T über de Forwardkotrakt zu veräußer, die Aktie bereits jetzt zum aktuelle Kurs vo p verkaufe köte. Diese Betrag köte er da als Festgeld alege ud hätte schließlich zum Zeitpukt T das Vermöge e p. Der Aktieverkäufer im Forwardkotrakt wird also midestes de Betrag K=e p aushadel wolle. Adererseits köte der Aktiekäufer seie Aktie gleich am Markt kaufe ud de Kauf durch eie Kredit i Höhe vo p fiaziere. Im Zeitpukt T müsste er de Betrag e zurückzahle. Folglich wird er im Forwardkotrakt kei K akzeptiere, dass diese Preis übersteigt. Somit ist der Kaufpreis K eideutig bestimmt. p Forward-Preis: Ei Forwardkotrakt auf eie Aktie zum Kaufpreis K im Zeitpukt T besitzt geau da de heutige Wert 0, we als Kaufpreis K der Wert K = e p gewählt wird, wobei p der aktuelle Aktiekurs ist.

16 204 I de obige Überleguge wurde scho das Duplikatiosprizip, das für die Optiospreisbestimmug sehr wichtig ist, vorgestellt. Wir werde im Folgede sehe, dass es bei der Bewertug eier (usichere) zuküftige Zahlug stets etscheided ist, zu wisse, ob ma diesselbe Zahlug auch durch eie Ivestitio i adere Wertpapiere erziele ( achbilde ) ka. Diskussio 4: Ma köte im Forwardkotrakt auch eie beliebige feste Betrag K vorgebe, da wäre der Kotrakt jedoch icht mehr kostelos. Verwede Sie ei aaloges Duplikatiosargumet, um de Wert dieses Forwards zum Zeitpukt des Vertragsabschlusses zu bereche! Naive Bewertug eies Optioskotraktes Wir wolle zuächst eie auf de erste Blick sivoll erscheiede Vorgehesweise zur Bestimmug des Optiospreises am Ei-Periode-Biomialmodell demostriere ud dabei auch gleich aufzeige, dass dieses aheliegede Vorgehe im Allgemeie zu eiem falsche Preis führt. Wir betrachte eie Markt, i dem es möglich ist, Geld zum stetige Zissatz vo 5 % für eie Periode azulege ud i eie Aktie zu ivestiere, dere Preisverlauf durch das Diagramm 6.8 gegebe ist. Aktiekurs t=0 t= Callzahlug Zeichug 6.8 Aktiekurs ud Edauszahlug eies Calls mit Strike K = 0 Hierbei glaube wir, dass der Aktiekurs mit 80 %-iger Wahrscheilichkeit steige ud mit 20 %- iger Wahrscheilichkeit falle wird. Im Rahme dieses Modells wolle wir de Preis eies europäische Calls mit Ausübugspreis K=0 auf die Aktie bestimme. Uter obige Aahme erhalte wir aus dem Besitz des Calls am Ede mit Wahrscheilichkeit 0,8 eie Zahlug der Höhe 0 ud asoste ichts. Da wir die Zahlug allerdigs erst am Ede der Periode erhalte, erscheit es zusätzlich sivoll, sie mit dem Zissatz der risikolose Geldalage, also 5%, abzuzise. Wir hätte also (( () ) ) E P + erwartete Auszahlug = 0 = 0,8 0+ 0,2 0= 8, 0,05 e " atürlicher Preis(-vorschlag)" =8 7, 6. Ist dies u der richtige Preis der Optio? Ei kritischer Pukt ist sicher, dass dieser Optiospreis vo userer Eischätzug der Wahrscheilichkeit für eie Aufwärtsbewegug der Aktie abhägig ist. Da typischerweise zwei verschiedee Ivestore verschiedee Eischätzuge dieser Wahrscheilichkeit habe, würde sie sich ur schwer auf eie Preis eiige köe. Dieses Problem stellt sich jedoch gar icht erst, de wir werde zeige, dass die richtige Vorgehesweise, de Optiospreis zu bestimme, eie adere ist. Sie beruht ämlich auf dem sogeate Duplikatiosprizip. Duplikatiosprizip:

17 205 Liefer i eiem arbitragefreie Markt zwei verschiedee Güter exakt die gleiche Zahlugsströme, so müsse ihre Preise zu jedem Zeitpukt übereistimme. Beweis des Duplikatiosprizips: Das Duplikatiosprizip ist eie direkte Folgerug aus der Aahme der Arbitragefreiheit (ma vergleiche hierzu die Defiitio der Arbitragefreiheit i Kapitel 5). Wäre z.b. Gut teurer als Gut 2, so köte ma Gut leer verkaufe (d.h. verkaufe, ohe dass ma das Gut besitzt), aus dem Erlös Gut 2 erwerbe ud das restliche Geld risikolos alege (oder, falls dies icht möglich ist, das restliche Geld als Bargeld aufbewahre). Alle aus dem Leerverkauf vo Gut zu leistede Zahluge köe durch de Besitz vo Gut 2 getätigt werde, da beide Güter de gleiche Zahlugsstrom besitze, sich also eutralisiere. Als risikoloser Gewi bleibt da die ursprügliche Differez der Preise vo Gut ud Gut 2. Somit habe wir die Existez eier Arbitragestrategie achgewiese. Dies steht aber im Widerspruch zur Aahme der Arbitragefreiheit des Marktes. Folglich müsse die Preise der beide Güter immer übereistimme. Awedug des Duplikatiosprizip auf das Optiosbewertugsproblem Wir wede u das Duplikatiosprizip auf user Optiosbewertugsproblem im Ei-Periode- Biomialmodell a. Köe wir i diesem Modell eie Ivestmetstrategie i die dem Call zugrude liegede Aktie ud i die risikolose Geldalage fide, so dass diese exakt zur gleiche Edzahlug wie der Besitz des Calls führt, so muss ach dem Duplikatiosprizip der Preis des Calls mit dem Afagsvermöge, das zum Verfolge dieser Ivestmetstrategie beötigt wurde, übereistimme. Es seie hierzu ϕ bzw. ψ der zu Begi der Periode i die risikolose Geldalage ivestierte Betrag bzw. die Azahl der zu Begi der Periode erworbee Aktie. Da der Besitz des Calls im Fall des Kursastiegs der Aktie zu eier Edzahlug vo 0 ud bei falledem Aktiepreis zu eier Zahlug vo Null führt, ist die Duplikatiosstrategie (ϕ, ψ) durch das folgede lieare Gleichugssystem eideutig bestimmt: 0,05 ϕ e + ψ 20 = 0, 0,05 ϕ e + ψ 80 = 0. Da dieses Gleichugssystems die eideutige Lösug (ϕ, ψ) = ( 20/e 0,05, /4) besitzt, erhalte wir de ach dem Duplikatiosprizip (ma beachte auch, dass das obige Ei-Periode- Biomalmodell ei arbitragefreies Marktmodell ist!) eideutige Preis der Call-Optio als de heutige Preis der Duplikatiosstrategie (ϕ, ψ) Optiospreis = ϕ + ψ 00 5,9754. Bemerkug ud Beispiele Da es außer Calls ud Puts och sehr viele weitere Type vo Optioe gibt, so wolle wir u de Begriff der Optio allgemei defiiere, bevor wir das allgemeie Resultat zur Optiosbewertug vorstelle: Defiitio : Uter eier Optio (vom europäische Typ) versteht ma eie icht-egative Zufallsvariable B, die eie Zahlug a de Halter der Optio zum Ede ihrer Laufzeit bestimmt, die ur vom Kursverlauf der Aktie bis zum Zeitpukt T abhägt. Europäische Calls ud Puts mit Ausübugspreis K ud Laufzeit T lasse sich also mit de Edzahluge

18 206 call ( ( ) ) bzw. ( ( )) + + put B = P T K B = K P T idetifiziere, wobei der Eifachheit halber jeweils vo eier Optio auf die erste Aktie ausgegage wurde. Weitere Beispiele teils deutlich komplexerer Optioe werde wir im Abschitt über exotische Optioe kee lere. Bei eier Optio vom amerikaische Typ darf der Besitzer der Optio de Zeitpukt t {0,,...,T} des Ausübes seies Optiosrechts selbst wähle. Das Bewerte amerikaischer Optioe wird deshalb deutlich komplizierter als das Bewerte europäischer Optioe. Wir werde auf diese Problematik im weitere Verlauf gesodert eigehe. I der obige Awedug des Duplikatiosprizips zur Bewertug useres Beispiel-Calls ist die Existez eier Duplikatiosstrtegie vo fudametaler Bedeutug. Wir formalisiere dies i: Defiitio: Ei Markt, i dem ma alle Optioe dupliziere ka, heißt vollstädiger Markt. Aus dem Duplikatiosprizip erhält ma: Satz: I eiem vollstädige Markt ist der Optiospreis eideutig als der heutige Preis der zugehörede Duplikatiosstrategie festgelegt. Es ergebe sich eiige iteressate Fragestelluge: - Wie bestimmt ma i eiem realistische Marktmodell (wie z.b. dem Black-Scholes-Modell aus dem 5. Kapitel) de Preis eier Optio? - Wie erhält ma eie Optiospreis i eiem uvollstädige Markt? - I welcher Beziehug stehe der aheliegede Preisvorschlag ud der (ach dem Duplikatiosprizip bestimmte) Optiospreis? Diskussio 5: Oft beutzt ma auch im Alltag das Duplikatiosprizip, um Preise zu bewerte. Zum Beispiel vergleicht ma uweigerlich de Preis eies Bahtickets vo Maheim ach Saarbrücke mit der Kombiatio der Eizeltickets der verschiedee Verkehrsverbüde. Fide Sie och weitere Beispiele! Übugsaufgabe Ü.6.6 Bereche Sie geeigete Forwardpreise! Welche Preis K sollte ma für die Zukuft T aushadel, we die Aktie heute p kostet ud der aktuelle Marktzissatz ei stetiger Zis der Höhe r ist? a) p =00, r=0,05, T=2 b) p =20, r=0,09, T= c) p =90, r=0,04, T=/2 d) p =0, r=0,02, T=/4 Ü.6.7 Stelle Sie sich vor, sie leite eie Firma ud müsse im zuküftige Zeitpukt T 000$ zahle. Um sich vor Wechselkursschwakuge Euro/Dollar zu schütze, kaufe Sie eie Forward auf Dollar. Welcher Kaufpreis K (i Euro) ist für die Dollars sivoll, we ma beachtet, dass Euros zum stetige Zissatz r ud Dollars zum stetige Zissatz s agelegt werde köe? a) Beschreibe Sie ausführlich Ihr Modell ud gebe Sie eie Formel a! b) Bereche Sie de Kaufpreis K im Fall T=/2, r=0,02, s=0,05, heutiger Wechselkurs: $=0,95! Ü.6.8 a) Bereche Sie de Preis eies europäische Calls i eiem Ei-Periode- Biomialmodell mit p=0,7, d=, u=,, stetigem Zis vo r=0,07, T=, Afagskurs p =00 der Aktie, Ausübugspreis K=00!

19 207 b) Bereche Sie de Preis eies europäische Puts i eiem Ei-Periode-Biomialmodell mit p=0,7, d=, u=,, stetigem Zis vo r=0,07, T=, Afagskurs p =00 der Aktie, Ausübugspreis K=0! 6.6 Mathematische Grudlage: Der Optiospreis im Biomialmodell Der Optiospreis im Ei-Periode-Biomialmodell Wir wolle als erstes die Beziehug zwische dem aheliegede Preisvorschlag, also dem abgeziste Erwartugswert der Edzahlug, ud dem tatsächliche Optiospreis im Biomialbeispiel geauer utersuche. Wir betrachte hierzu ei Ei-Periode-Modell, i dem der Ivestor die Möglichkeite besitzt, sei Geld i ei Festgeldkoto mit stetigem Zissatz r oder i eie Aktie mit heutigem Preis p zu ivestiere. Der Kurs der Aktie wird durch ei Ei-Periode-Biomialmodell mit Vermehrugsfaktore u ud d beschriebe, was graphisch i Zeichug 6.9 dargestellt ist. t=0 t=t up p dp Zeichug 6.9 Aktiekurs im Ei-Periode-Biomialmodell Dabei ehme wir a, dass der Aktiekurs mit Wahrscheilichkeit p bis zum Edzeitpukt T steigt ud mit Wahrscheilichkeit p fällt. Wir forder die übliche Bedigug d < e < u, (*) um i diesem Modell Arbitragemöglichkeite auszuschließe. User Ziel ist es, eie Optio mit der Edzahlug B(P (T)) (d.h. die Edzahlug ist ur vom Aktiekurs am Fälligkeitstag der Optio abhägig) zu bewerte. Wir verwede de im letzte Abschitt vorgestellte Duplikatiosasatz, d.h. wir suche ei Paar (ϕ, ψ), das usere Ivestitio vo ϕ Geldeiheite auf das Festgeldkoto ud i ψ Aktie i t=0 beschreibt ud i t=t diesselbe Zahluge wie die Optio liefert. Dieses Paar muss also de folgede beide Gleichuge geüge ( ) ϕ e + ψ up = B up, ( ) ϕ e + ψ dp = B dp. Die eideutige Lösug dieses Gleichugssystems ist ub dp ϕ = ( ) db( up) e ( u d) Uter Verwedug dieser Lösug erhält ma: Satz: Optiospreis ud risiko-eutrales Maß, B up ψ = ( ) B( dp) p ( u d).

20 208 Uter der Aahme (*) gilt im Ei-Periode-Biomialmodell für de eideutige Preis p B der durch die Edzahlug B(P (T)) gegebee Optio wobei für B ( ( ) ( ) ( )) p = q B up + q B dp e, q = e d u d die Beziehug 0<q< gilt, q also eie Wahrscheilichkeit darstellt. Beweis: Nach dem Satz über das Duplikatiosprizip ud wege der explizite Form der Strategie (ϕ,ψ) gilt für de Optiospreis p B ( ) ( ) e ( u d) ( ) ( ) ( u d) ub dp db up B up B dp = ϕ + ψ p = + Mit Hilfe der Defiitio vo q erhält ma aus dieser Gleichug p B. ( ) ( ) + ( ) ( ) ( u d) ub dp db up e B up e B dp = e ( u e ) B( dp) ( e d) B( up) = + e u d u d ( ) ( ) ( ) ( ) = e q B up + q B dp. Bemerkug zum risiko-eutrale Maß Betrachtet ma die Biomialverteilug mit der Erfolgs-Wahrscheilichkeit q ud bezeichet ma mit E Q de abgeziste Erwartugswert des Aktiekurses i T bzgl. dieser Biomialverteilug, da ergibt sich Q ( ( )) = ( + ( ) ) E e P T e q up q dp ( ) ( ) e d u u e d p = + = p. e u d u d Bezüglich dieser Biomialverteilug ist der erwartete abgeziste Edpreis der Aktie gerade gleich dem heutige Wert der Aktie, d.h. die Aktie verzist sich im Mittel wie Festgeld. Ihr Preis beihaltet keie Risikoprämie (i Form eier bessere mittlere Verzisug) gegeüber Festgeld. Diese spezielle Biomialverteilug wird daher mit dem Symbol Q ud dem Begriff risiko-eutrales Maß bezeichet. Nach dem letzte Satz gilt für dieses Maß B Q ( ( ( ))) p = E e B P T, d.h. bezüglich dem risiko-eutrale Maß ergibt sich der Optiospreis gerade als der abgeziste Erwartugswert der Auszahlug der Optio. Wir habe somit im eifachste Modell, dem Ei- Periode-Biomialmodell, bereits eie Atwort auf die dritte Frage aus Abschitt 6.5 gefude:

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