Finanz- und Risikomanagement II

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Finanz- und Risikomanagement II"

Transkript

1 Finanz- und Risikomanagement II Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II

2 Einperiodenmodell Marktmodell Bewertung von Derivaten Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 2

3 Marktmodell Bewertung von Derivaten Marktmodell Ein Investor kann sein Geld sowohl in Aktien (risikoreiche Anlage), Anleihen oder Sparbuch (risikofreie Anlage), Forwards auf Aktien und Optionen auf Aktien anlegen. Wert der Aktie zum Zeitpunkt t: Wert der risikofreien Anlage zum Zeitpunkt t: Wert des Forwards zum Zeitpunkt t: Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t: Wert einer Put-Option zum Zeitpunkt t: Vermögen des Investors zum Zeitpunkt t: S(t) A(t) F (t) C(t) P(t) V (t) Für einen Investor, der z 1 Aktien, z 2 risikofreie Anlagen, z 3 Forwards, z 4 Call-Optionen und z 5 Put-Optionen besitzt, berechnet sich der Wert seines Portfolios zum Zeitpunkt t als V (t) = z 1 S(t) + z 2 A(t) + z 3 F (t) + z 4 C(t) + z 5 P(t) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 3

4 Marktmodell Bewertung von Derivaten Einfaches Marktmodell Wir betrachten zunächst nur zwei Anlagemöglichkeiten (Aktien, Anleihen) und zwei Zeitpunkte t = 1 und t = 0 und machen dabei die folgenden Annahmen: Zufälligkeit: Der zukünftige Aktienkurs S(1) ist eine Zufallsvariable, die mindestens zwei verschieden Werte annehmen kann. Der zukünftige Wert der risikofreien Anlage A(1) ist bekannt. Positivität: Alle Aktienkurse und alle Werte einer risikofreien Anlage sind immer positiv. Liquidität und Short-Selling: Ein Investor kann jede beliebige (rationale, negative oder postive) Anzahl x von Aktien, y von risikofreien Anlagen besitzen, d. h. x, y IR wobei x > 0 : Aktienbesitz x < 0 : Aktienleerverkäufe y > 0 : Geldanlage y < 0 : Kreditaufnahme Einheitlicher Zinssatz: Ein Investor kann für denselben Zinssatz Geld aufnehmen und Geld anlegen. Es gibt keine Transaktionskosten. Es gilt das No-Arbitrage-Prinzip. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 4

5 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung eines Finanzderivats, z. B. Call-Option Wie kann die Option auf den Kauf einer Aktie zu einem späteren Zeitpunkt (t = 1) beim Optionskauf (t = 0) bewertet werden? Trick: man konstruiert ein Ersatzportfolio aus hinterlegtem Gut (Aktie) und einer risikolosen Anlage (Anleihe). Die Gewichte zwischen Aktie und Anleihe versucht man nun so zu bestimmen, dass das Ersatzportfolio zum Zeitpunkt t = 1 sowohl im günstigen als auch im ungünstigen Fall dasselbe Resultat liefert wie das Derivat. Das Finanzderivat und das Ersatzportfolio müssen nach dem No-Arbitrage-Prinzip dann auch zum Zeitpunkt t = 0 denselben Wert besitzen. Der Wert des Ersatzportfolios zu diesem Zeitpunkt liefert dann den Wert des Derivats zum Zeitpunkt t = 0. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 5

6 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0) Prinzip: V (t) = x S(t) + y A(t) = C(t) für t = 0, 1 C : Call-Option auf Aktie S mit Strike K; S(0) = S 0 ; risikolose Anlage: A(0) = 1, A(1) = q Annahme: { 2 Möglichkeiten für Aktienkurs bei t = 1; S d < K < S u Su mit Wahrscheinlichkeit p S(1) = für 0 < p < 1 S d mit Wahrscheinlichkeit 1 p Fall S u : V (1) = x S u + y A(1) = C(1) = S u K Fall S d : V (1) = x S d + y A(1) = C(1) = 0 LGS für Gewichte x, y: ( Su q S u K S d q 0 C(0) = x S 0 + y =... = (S u K)(q S 0 S d ) q(s u S d ) unabhängig von Wahrscheinlichkeit p!! ) x = Su K S u S d, y = S d (K S u) q (S u S d ) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 6

7 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0); Zahlenbeispiel C : Call-Option auf Aktie S mit Strike K = 100; S(0) = S 0 = 100; risikolose Anlage: A(0) = 1, A(1) = 1.1 Annahme: { zwei Möglichkeiten für Kurs der Aktie für t = mit Wahrscheinlichkeit p S(1) = für 0 < p < 1 80 mit Wahrscheinlichkeit 1 p Fall S u : V (1) = x y 1.1 = C(1) = 20 Fall S d : V (1) = x 80 + y 1.1 = C(1) = 0 ( ) x = , y = Optionspreis: C(0) = = Das Äquivalenzportfolio besteht aus einer halben Aktie und einer Kreditaufnahme in Höhe von e Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 7

8 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0); Abhängigkeiten C(0) = (S u K) (q S 0 S d ) q (S u S d ) Bei variablem Strike K liegen die Optionsprämien bei diesem einfachen Modell auf einer Geraden. Die Abhängigkeit von den übrigen Parametern ist nichtlinear. Die Optionsprämie C(0) steigt mit zunehmendem Zinssatz q. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 8

9 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0); Abhängigkeiten C(0) = (S u K) (q S 0 S d ) q (S u S d ) Die Optionsprämie C(0) steigt bei zunehmendem oberen Kurs S u ; bei wachsendem S d wird sie kleiner. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 9

10 Marktmodell Bewertung von Derivaten Umformulierung des Einperiodenmodells S 3 Aktie S u S d Startwert S 0 = S Fall I S u = S u Fall II S d = S d Gewichte: C 3 Option C u C d Startwert C(0) = C Fall I C(1) = C u = S u K Fall II C(1) = C d = 0 x (u S) + y q = C u x = Cu Cd x (d S) + y q = C d y = Optionspreis zu Beginn: C = (q d) C u + (u q) C d q (u d) Problem: Bestimmung der Faktoren u und d! Antwort: Drift µ und Volatilität σ! S (u d) u C d d C u q (u d) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 10

11 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Binomialbaum Der Baum eines n-perioden s entsteht durch Aneinandersetzen der Bäume von Ein- Perioden en. Simulation des Aktienkurses im In jedem Ein-Perioden-Modell kann der Optionspreis am Anfang der Periode berechnet werden. Optionspreise zum Ausübungszeitraum T können im n-periodenmodell aus dem Payo-Prol bestimmt werden. Der Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich durch Rückwärts rechnen im Binomialbaum. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 11

12 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Binomialbaum; Zahlenbeispiel Jahresdrift µ = 0.155; jährliche Volatilität σ = 0.4; Strike K = e 85; aktueller Kurs S = e 78; Zinssatz 3.35% p. a. Optionspreis für eine Call- bzw. Put-Option bei einem Verfallstermin in fünf Monaten mittels 5-Perioden-Modell Periode entspricht einem Monat Umrechnung von Jahresdrift auf Monatsdrift µ jährlich = µ monatlich = Umrechnung von Jahresvolatilität in Monatsvolatilität σ jährlich = 0.4 σ monatlich = Umrechnung von Jahreszins auf Monatszins q jährlich = q monatlich = Faktoren u bzw. d für Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegung u = e µ monatlich+σ monatlich = e d = e µ monatlich σ monatlich = e EXCEL-Sheet binomial1.xls Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 12

13 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Amerikanische Optionen im n-perioden- Vorgehensweise: Simulation des Aktienkurses im Berechnung des Optionspreises am Laufzeitende wie bei europäischen Optionen Berechnung des Optionspreises an den restlichen Knotenpunkten als den gröÿeren der folgenden Werte: Wert, der sich über das für eine europäische Option ergibt die Auszahlung bei einer vorzeitigen Ausübung Man erhält den Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 durch Rückwärts arbeiten im Binomialbaum Amerikanische Optionen sind immer mindestens soviel wert, wie die entsprechenden europäischen Optionen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 13

14 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Amerikanische Option; Zahlenbeispiel Jahresdrift µ = 0; jährliche Volatilität σ = ; Strike K = e 13; aktueller Kurs S = e 11.69; Zinssatz 3.9 % p. a. Optionspreis für eine amerikanische Call- bzw. Put-Option bei einem Verfallstermin in sechs Wochen mittels 3-Perioden-Modell Periode entspricht zwei Wochen Jahresdrift µ = 0 ergibt Periodendrift µ 2-Wochen = 0 Umrechnung von Jahresvolatilität in Zwei-Wochen-Volatilität σ jährlich = σ 2-Wochen = Umrechnung von Jahreszins auf Zwei-Wochen-Zins q jährlich = q 2-Wochen = Faktoren u bzw. d für Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegung u = e µ Wochen+σ 2-Wochen = e d = e µ 2-Wochen σ 2-Wochen = e EXCEL-Sheet binomial2.xls Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 14

15 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Abhängigkeiten Faktoren, die den Wert einer Aktienoption beeinussen: der aktuelle Kurs der zugrundeliegenden Aktie, der Strike-Preis der Option, die Laufzeit der Option, die Volatilität der zugrundeliegenden Aktie, der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, eventuelle Dividenden, die während der Laufzeit der Option erwartet werden. In diesem Abschnitt sollen die Auswirkungen auf den Optionspreis untersucht werden, wenn sich einer dieser Faktoren ändert. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 15

16 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Qualitative Einüsse I Auswirkungen des derzeitigen Aktienkurses auf den Optionspreis: mit steigendem Aktienkurs steigt auch der Wert einer Call-Option mit steigendem Aktienkurs fällt der Wert einer Put-Option des Strike-Preises auf den Optionspreis: mit steigendem Strike-Preis fällt der Wert einer Call-Option mit steigendem Strike-Preis steigt der Wert einer Put-Option der Laufzeit der Option auf den Optionspreis: mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen Call-Option mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen Put-Option Bei europäischen Optionen ist hier keine Aussage möglich Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 16

17 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Qualitative Einüsse II Auswirkungen der Volatilität auf den Optionspreis: mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer Call-Option mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer Put-Option des risikolosen Zinssatzes auf den Optionspreis: mit steigendem Zinssatz steigt der Wert einer Call-Option mit steigendem Zinssatz fällt der Wert einer Put-Option von Dividendenzahlungen auf den Optionspreis: Der Wert einer Aktie wird nach einer Dividendenzahlung geringer, daher gilt: mit zunehmenden Dividenden fällt der Wert einer Call-Option mit zunehmenden Dividenden steigt der Wert einer Put-Option Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 17

18 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Schranken für Call- und Put-Optionen Sei C a t bzw. C e t der Wert einer amerikanischen bzw. europäischen Call-Option zum Zeitpunkt t. Mit P a t bzw. P e t bezeichnen wir den Wert einer amerikanischen bzw. europäischen Put-Option zum Zeitpunkt t. S t ist der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t, K der Strike-Preis und T die Laufzeit der jeweiligen Option. Den risikolosen Zinsfaktor nennen wir q. Dann gilt immer: C a t C e t und P a t P e t mehr Möglichkeiten! C e t C a t S t und P a t K sofortige Ausübung! max(0, S t K) C a t und max(0, K S t ) P a t max(0, S t K q T t ) C e t und max(0, K q T t P e t K q T t S t ) P e t Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 18

19 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Put-Call-Paritäten für dividendenlose Aktien Ct e Pt e = S t K q T t Beweis mit No-Arbitrage-Prinzip für die beiden Portfolios V I (t) = Ct e + K q T t ; V II (t) = Pt e + S t ; Vergleich für t = T { V I (T ) = CT e + K = (ST K) + K für S T K { K für S T < K V II (T ) = PT e + S S T = T für S T K (K S T ) + S T für S T < K Für amerikanische Optionen ergeben sich nur die Ungleichungen: S t K C a t P a t S t K q T t Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 19

20 Formel von Black und Scholes; kontinuierliches Modell Es liege ein n-perioden mit u n = e µ T σ T n n +σ T n n und d n = e µ T vor, wobei µ die Jahresdrift und σ die Jahresvolatilität der jeweiligen Aktie beschreibt. Der risikolose Zinsfaktor wird mit q bezeichnet. C 0,n sei der aus dem bestimmten Preis einer europäischen Call-Option mit Strike-Preis K und Laufzeit T auf eine dividendenlose Aktie, die zum Zeitpunkt t = 0 den Kurs S hat. Dann gilt für n : lim C 0,n = C BS n 0 = S Φ(d 1 ) K q T Φ(d 2) ( ) S q T ln + σ2 K 2 T wobei d 1 = σ T und d 2 = d 1 σ T ist und Φ, die Verteilungsfunktion für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bezeichnet. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 20

21 Formel von Black und Scholes (Call); Approximation Bei den folgenden Bildern wurde die Anzahl der Teilintervalle von 2 bis 1024 stets verdoppelt. Der Grenzwert ist unabhängig von µ. MATLAB: black_scholes_approx.m Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 21

22 Formel von Black und Scholes; kontinuierliches Modell Voraussetzungen zum Beweis der Black-Scholes Formel: Der Aktienkurs bzw. die Rendite des Aktienkurses entwickelt sich gemäÿ dem Black-Scholes Modell. Der Leerverkauf (Short-Selling) von Aktien ist immer möglich. Es gibt keine Transaktionskosten. Es werden keine Dividenden während der Laufzeit der Option gezahlt. Es gibt keine Arbitrage Möglichkeiten. Der Handel von Aktien ist stetig möglich (d. h. jeder Bruchteil einer Aktie ist handelbar). Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, ist konstant über die gesamte Laufzeit der Option. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 22

23 Formel von Black und Scholes; Bemerkungen Über die Put-Call-Parität erhält man die Black-Scholes Formel für den Preis einer europäischen Put-Option als: lim P 0,n = P BS n 0 = S Φ( d 1 ) + K q T Φ( d 2) Bemerkungen: Die Black-Scholes Gleichung erhält man auch, wenn man das Black-Scholes-Modell für die Aktienkursentwicklung zugrunde legt und nach dem No-Arbitrage-Prinzip vorgeht. In der taucht der Drift-Parameter µ nicht auf. Sein Verschwinden erklärt sich ähnlich wie das Verschwinden der Wahrscheinlichkeit für die Aufwärts- oder Abwärtsbewegung im. Weil es nie lohnend ist, eine amerikanische Call-Option vorzeitig auszuüben, ist C0 BS auch der Preis für eine amerikanische Call-Option. (nur bei dividendenlosen Aktien!) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 23

24 Formel von Black und Scholes (Put); Approximation Bei den folgenden Bildern wurde die Anzahl der Teilintervalle von 2 bis 1024 stets verdoppelt. Der Grenzwert ist unabhängig von µ. MATLAB: black_scholes_approx.m Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 24

25 Formel von Black und Scholes; Beispiel Volatilität: σ = 40 %; Zinssatz p. a %; Strike e 85; Kurs e 78. Verfallstermin in fünf Monaten T = 12 5 ; q = ( ) ln 78 d 1 = 85 (1.0335) ; d 2 = d C BS 0 = S Φ(d 1 ) K q T Φ(d 2) C BS 0 = 78 Φ(d 1 ) 85 (1.0335) 5 12 P BS 0 = S Φ( d 1 ) + K q T Φ( d 2) P BS 0 = 78 Φ( d 1 ) + 85 (1.0335) 5 12 Φ(d 2 ) Φ( d 2 ) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 25

26 Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 1 Der Optionspreis hängt auf vielfältige Art von den Parametern T, q, σ, K und S ab. Bevor wir uns analytisch damit befassen (totales Dierenzial), seien hier einige Abhängigkeiten graphisch skizziert. MATLAB: black_scholes_paramter.m Dabei bestätigen sich qualitativ die Zusammenhänge des s. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 26

27 Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 2 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 27

28 Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 3 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 28

29 Formel von Black und Scholes; Sensitivitäten Veränderungen der Parameter S, K, T, q, σ bewirken eine Änderung des Optionspreises Ct BS bzw. Pt BS. Für kleine Veränderungen ds, dk, dt, dq, dσ der Parameter S, K, T, q, σ kann die Veränderung C BS bzw. P BS mit dem totalen Dierenzial angenähert werden. Mathematik 1!! dc BS = C BS S BS C ds + K dk + C BS T dt + C BS q BS C dq+ σ dσ Grundidee: Zu verkauften Optionen werden parallel Aktien gekauft, um sich gegen Kursschwankungen abzusichern. Um Veränderungen des Zinssatzes zu kompensieren, wird man festverzinsliche, sichere Anleihen kaufen... Hier soll nur der Kauf bzw. Verkauf von Aktien diskutiert werden, um so eine Absicherung gegen Kursschwankungen zu erreichen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 29

30 Formel von Black und Scholes; - Für eine verkaufte Call-Option wird man von den hinterlegten Aktien zur Absicherung des Kursrisikos weitere Aktien kaufen. Bezogen auf eine Option sei x der Anteil der betreenden Aktie. Ein Portfolio könnte dann wie folgt aussehen: V t = x S t C BS t Betrachten wir nur Kursschwankungen, so ergibt sich dv = ( ) ( ) x S S t Ct BS BS C ds = x t ds S } {{ }! = 0 Wählen wir den Aktienanteil so, dass das Dierenzial verschwindet, dann ist das Portfolio risikoneutral bzgl. kleiner Kursschwankungen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 30

31 Formel von Black und Scholes; Griechen Unter den Sensitivitäten des Optionspreises versteht man die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den Inputvariablen S (Aktienkurs), σ (Volatilität) und q (risikoloser Zinsfaktor). Formeln für die partiellen Ableitungen 1 der europäischen Optionen: Bezeichnung Ableitung bzgl. Call-Option Put-Option Delta Aktienkurs S Φ(d 1 ) Φ(d 1 ) 1 Vega υ Volatilität σ S T N(d 1 ) S T N(d 1 ) Rho ρ Zinsfaktor q T K q T 1 Φ(d 2) T K q T 1 Φ( d 2) N(x) : Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Call-Option 0 < < 1 1 für S : Put-Option 1 < < 0 0 für S 1 Man benutzt: Φ( u) = 1 Φ(u) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 31

32 Formel von Black und Scholes; -; Beispiel Sie sind Verkäufer von 100 Call-Optionen mit Strike K = e 90 und einer Restlaufzeit von neun Monaten auf eine Aktie mit Tageskurs e Die Jahresvolatilität werde mit 29 % angenommen. Der risikolose Zinssatz ist 3 % p. a. Wie viele Aktien müssen gekauft werden, damit die Position gegenüber kleinen Kursschwankungen risikoneutral wird? ( ) ln 90 (1.03) d 1 = ; = Φ(0.26) = Um das Portfolio -neutral zu machen, müssen Aktien gekauft werden. Zweite Deutung von : Erhöht sich der Kurs um e 1, so erhöht sich der Wert einer Call-Option um ca. e Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 32

33 Formel von Black und Scholes; dynamisches - Dynamische - -Strategie: Fortlaufende Änderung des Aktienbestands, so dass das Portfolio risikoneutral bzgl. Kursschwankungen bleibt. Kurs Optionspreis Zukauf Kum. Kosten Dynamische Delta Stategie; Strike = 50 ; (Call Option) Zeit Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 33

34 - mit Fremdkapital Finanzierung eines Optionsverkaufs durch festverzinsliches Kapital Portfolio: V = x S + y C BS ; -neutral x = Φ(d 1 ) V 0 = Φ(d 1 ) S 0 + y 0 C BS 0 ; y 0 so festlegen, dass V 0 = 0 V 0 = y 0 = C BS 0 Φ(d 1 ) S 0 = K q T Φ(d 2) Aktien { }} { Φ(d 1 ) S 0 Kapital { }} { K q T Φ(d 2) Optionen {}}{ C BS 0 = 0 Wert nach einer Zeiteinheit: V 1 = Φ(d 1 ) S 1 K q T 1 Φ(d 2) C1 BS V 1 hängt von Kursentwicklung ab! Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 34

35 - mit Fremdkapital; Beispiel I S 0 = 60; K = 60; σ jährlich = 0.3; q jährlich = 1.08; T = 90 [Tage] Φ(d 1 ) = ; V 1 = Φ(d 1 ) S 1 K q T Φ(d 2) = ; C BS 0 = K q T 1 Φ(d 2) C BS 1 ; Ṽ 1 = C0 BS q C1 BS ; Optionspreis wird festverzinslich angelegt! S Φ(d 1 ) S K q T 1 Φ(d 2) C1 BS C0 BS q V 1 = Ṽ 1 = Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 35

36 - mit Fremdkapital; Beispiel II Bei dem Portfolio ohne schlägt die Kursänderung direkt aufs Portfolio durch. Das -neutrale Portfolio protiert von kleinen Kursschwankungen; der Verlust für gröÿere Schwankungen hält sich in Grenzen. Wert einer Call Option nach einem Tag; Strike = 60 ; S Bei kleinen Kursschwankungen wird mit Hed- 0 = 60 ; T = 90 ; Zins = ging ein Gewinn erwirtschaftet unabhängig davon, in welche Richtung die Schwankungen 0 gehen. Bei Berücksichtigung der Dierenzen zweiter Ordnung wird dieser Bereich gröÿer... V mit ohne Kurs Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 36

37 ; historische und implizite Volatilität I Die wertbestimmenden Parameter eines Optionspreises sind durch Marktdaten feststellbar mit einer Ausnahme: Volatilität σ. Eine Möglichkeit zur Schätzung von σ ergibt sich aus den Vergangenheitskursen der Aktie (historische Volatilität). Kennt man umgekehrt den Marktpreis einer Option, so kann man daraus (zusammen mit den übrigen bekannten Marktdaten) mittels der Black-Scholes-Gleichung numerisch die sogenannte implizite Volatilität berechnen. Sie gibt sozusagen die Markteinschätzung der Aktie wieder. Theoretisch sollten historische und implizite Volatilität in normalen Zeiten ungefähr gleich groÿ sein. Häug treten aber auch groÿe Abweichungen auf, wie die folgenden Beispiele zeigen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 37

38 ; historische und implizite Volatilität II März-Call-Optionen der Eurex vom ; (T = 1/4) Zinssatz: % Deutsche Bank S 0 = e K C e σ implizit Die Übersicht über die Call-Optionen auf Dezember 09 zeigt eine veränderliche Volatilität bzgl. des Strike-Preises. Volatilität Call Option auf DAX am ; S 0 = ; q = ; T = 5/6 Abrechnungpreis Letzter Preis Quelle: Strike bzw. de.euribor-rates.eu/euribor-zinssatz-12-monate.asp Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 38

39 ; Schlussbemerkungen Die liefert auch unter abgeschwächten Voraussetzungen (z. B. Normalverteilung der logarithmischen Renditen nicht streng erfüllt) gute, praktisch verwertbare Resultate. Ihre Attraktivität besteht vor allem darin, dass durch einen einzigen Parameter die Volatilität σ Optionen schnell und einfach bewertet werden können. Diese Bewertungen mittels einer analytischen Funktion einschlieÿlich ihrer Ableitungen sind Grundlage sämtlicher -Strategien. Inzwischen sind Modikationen bekannt, bei denen z. B. auch variable Zinssätze berücksichtigt werden können. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 39

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe 3... 3 Aufgabe 4... 3 Aufgabe 5... 4 Aufgabe 6... 4 Aufgabe 7... 4 Aufgabe 8... 4 Aufgabe 9...

Mehr

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2 Optionspreismodelle Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis

Mehr

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg 1 Übersicht Der Optionsvertrag Pay Offs / Financial Engineering Wertgrenzen Put-Call-Paritätsbedingung Bewertung von Optionen

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21

Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21 Quiz: 1, 2, 4, 6, 7, 10 Practice Questions: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 13 Folie 0 Lösung Quiz 7: a. Das Optionsdelta ergibt sich wie folgt: Spanne der möglichen Optionspreise Spanne der möglichen Aktienkurs

Mehr

Einführung in die Optionspreisbewertung

Einführung in die Optionspreisbewertung Einführung in die Optionspreisbewertung Bonn, Juni 2011 MAF BN SS 2011 Huong Nguyen Gliederung Einführung Definition der Parameter Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Callwert-Kurve Wirkungen

Mehr

Musterlösung Übung 2

Musterlösung Übung 2 Musterlösung Übung 2 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

Musterlösung Übung 3

Musterlösung Übung 3 Musterlösung Übung 3 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie Kurzbeschreibung Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie - theoretische Optionspreise - Optionskennzahlen ( Griechen ) und - implizite Volatilitäten von Optionen berechnen und die errechneten Preise bei

Mehr

Derivate. Risikomanagement mit Optionen. Falk Everding

Derivate. Risikomanagement mit Optionen. Falk Everding Derivate Risikomanagement mit Optionen Falk Everding Inhalt Einführung Kassa- und Termingeschäfte Basisgüter bei Optionen Handelsplätze von Optionen Optionsarten Funktionsweisen von Optionen Ausstattungsmerkmale

Mehr

Optionspreistheorie von Black & Scholes

Optionspreistheorie von Black & Scholes Optionspreistheorie von Black & Scholes Vortrag zum Seminar Econophysics Maximilian Eichberger 20. November 2007 Zusammenfassung Nach einer kurzen Erläuterung zu den Grundbegriffen und -prinzipien des

Mehr

Optionskennzahlen. 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich-

Optionskennzahlen. 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich- Optionskennzahlen 1 Einführung Die Abhängigkeit des Optionspreises von den verschiedenen Parametern wird analysiert, indem diese marginal 1 verändert und ins Verhältnis zu der daraus resultierenden Veränderung

Mehr

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Olaf Leidinger 24. Juni 2009 Olaf Leidinger Futures und Optionen 2 24. Juni 2009 1 / 19 Überblick 1 Kurze Wiederholung Anleihen, Terminkontrakte 2 Ein einfaches

Mehr

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Mathematisches Institut, LMU biagini@math.lmu.de Münchner Wissenschaftstage im Jahr der Mathematik 21. Oktober 28

Mehr

Das Black-Scholes Marktmodell

Das Black-Scholes Marktmodell Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt

Mehr

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Forward: Kontrakt, ein Finanzgut zu einem fest vereinbarten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines Zeitraums zu einem vereinbarten Erfüllungspreis zu kaufen bzw. verkaufen.

Mehr

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen Finanzmathematik Absichern und Bewerten von Optionen Arnold Janssen / Klaus Janßen Universität Düsseldorf 27.09.2012 Rohstoffe, Devisen, Aktien, Kredite,... haben Preise, die im Laufe der Zeit zufällig

Mehr

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen Bewertung von europäischen und amerikanischen en 1. Vortrag - Einführung Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 8. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen amerikanische / europäische

Mehr

Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte)

Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden europäische und amerikanische nicht dividendengeschützte Verkaufsoptionen auf eine Aktie mit einer Restlaufzeit von

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement B. rke FH Gelsenkirchen, Abteilung Bocholt February 4, 006 Aufgabenblatt: "Bewertung von Optionen" 1 Lösungshinweise 1 uropean Put Option Zeichnen Sie den einer

Mehr

Inhaltsverzeichnis XVII. Abkürzungsverzeichnis... XXIII. Symbolverzeichnis...XXVII. Abbildungsverzeichnis...XXXI. Tabellenverzeichnis...

Inhaltsverzeichnis XVII. Abkürzungsverzeichnis... XXIII. Symbolverzeichnis...XXVII. Abbildungsverzeichnis...XXXI. Tabellenverzeichnis... XVII Abkürzungsverzeichnis... XXIII Symbolverzeichnis...XXVII Abbildungsverzeichnis...XXXI Tabellenverzeichnis... XXXV 1 Einführung...1 1.1 Entwicklung und Bedeutung der Optionsbewertung...1 1.2 Problemstellung...4

Mehr

Die Black-Scholes-Gleichung

Die Black-Scholes-Gleichung Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt

Mehr

Dynamik von Optionen

Dynamik von Optionen Dynamik von Optionen Plan Der Optionspreis und seine Einflussfaktoren Wert des Calls / Puts bei unterschiedlichen Marktbedingungen Änderung des Optionspreises bei Änderung eines oder mehrerer Einflussfaktoren

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel Seite 1 von 24 Zufallszahlen am Computer 3 Gleichverteilte Zufallszahlen 3 Weitere Verteilungen 3 Quadratische Verteilung 4 Normalverteilung

Mehr

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 22. Juni 2015 Erinnerung Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft zu einem heute festgelegten

Mehr

Aufgabensammlung. Bank II

Aufgabensammlung. Bank II BankII Seite 1 Aufgabensammlung Bank II Inhaltsverzeichnis Optionspreistheorie...2 Unternehmensbewertung...45 Verständnisfragen...62 BankII Seite 2 Klausur WS 1992/93 Aufgabe 1 Optionspreistheorie Teil

Mehr

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen

Mehr

B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte

B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte B. Nyarko S. Opitz Lehrstuhl für Derivate Sommersemester 2014 B. Nyarko S. Opitz (UHH) B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte Sommersemester 2014 1 / 23 Organisatorisches

Mehr

Risikomanagement: Hintergrund und Ziele

Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Beispiel 1 Anfangskapital V 0 = 100 Spiel: man verliert oder gewinnt 50 mit Wahrsch. jeweils 1/2. Kapital nach dem Spiel V 1 = { 150 mit Wahrsch. 1/2 50 mit Wahrsch.

Mehr

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Optionsarten Modellannahmen 2 Aktienmodell Beispiele für e ohne Sprung 3 nach Black-Scholes

Mehr

Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten

Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten www.mumorex.ch 08.03.2015 1 Eigenschaften Erwartung Preis Long Calls Long Puts Kombination mit Aktien Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten www.mumorex.ch 08.03.2015 2 www.mumorex.ch 08.03.2015

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 8 1 / 40 Erweiterungen des Binomialmodells Dividendenzahlungen Sei S der Wert einer Aktie

Mehr

Einfache Derivate. Stefan Raminger. 4. Dezember 2007. 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward... 3 2.2 Future... 4 2.3 Optionen... 5

Einfache Derivate. Stefan Raminger. 4. Dezember 2007. 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward... 3 2.2 Future... 4 2.3 Optionen... 5 Einfache Derivate Stefan Raminger 4. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsbestimmungen 1 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward..................................... 3 2.2 Future......................................

Mehr

Devisenoptionsgeschäfte

Devisenoptionsgeschäfte Devisenoptionsgeschäfte Die kaufende Partei einer Option erwirbt durch Zahlung der Prämie von der verkaufenden Partei das Recht, jedoch keine Verpflichtung, einen bestimmten Währungsbetrag zu einem vorher

Mehr

Anlagestrategien mit Hebelprodukten. Optionsscheine und Turbos bzw. Knock-out Produkte. Investitionsstrategie bei stark schwankenden Märkten

Anlagestrategien mit Hebelprodukten. Optionsscheine und Turbos bzw. Knock-out Produkte. Investitionsstrategie bei stark schwankenden Märkten Anlagestrategien mit Hebelprodukten Hebelprodukte sind Derivate, die wie der Name schon beinhaltet gehebelt, also überproportional auf Veränderungen des zugrunde liegenden Wertes reagieren. Mit Hebelprodukten

Mehr

Internationale Finanzierung 7. Optionen

Internationale Finanzierung 7. Optionen Übersicht Kapitel 7: 7.1. Einführung 7.2. Der Wert einer Option 7.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 7.3.1. Regeln für Calls 7.3.2. Regeln für Puts 7.3.3. Die Put Call Parität

Mehr

76 10. WEITERE ASPEKTE

76 10. WEITERE ASPEKTE 76 10. WEITERE ASPEKTE 10. Weitere Aspekte 10.1. Aktien mit Dividendenzahlungen Betrachten wir das Black Scholes-Modell. Falls die Aktie nun Dividenden bezahlt, wird der Wert der Aktie um den Wert der

Mehr

DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN

DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN von HANS-JüRG BüTTLER In der vorliegenden Notiz werden zuerst Kennziffern des Wechselkurses, die für die lognormale Verteilung

Mehr

Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6)

Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6) Test 1 1 Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6) Bearbeitungszeit: 90 Minuten Aufgabe T1.1: Bekanntmachung EUR 1.000.000.000,- Anleihe mit variablem Zinssatz der Fix AG von 2003/2013, Serie 111 Zinsperiode: 12.10.2006

Mehr

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt,

Mehr

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Mag. Tomáš Sedliačik Lehrstuhl für Finanzdienstleistungen Universität Wien 1 Themenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle i. Grundbegriffe: Rendite,

Mehr

Was kosten Garantien?

Was kosten Garantien? Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung, Köln, 1. Juni 2012 Was kosten Garantien? Prof. Dr. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik EI-QFM und Fraunhofer ITWM

Mehr

Derivate und Bewertung

Derivate und Bewertung . Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str. 0 6049 Frankfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung.......... Wintersemester 006/07 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 006/07 Aufgabe 1: Statische Optionsstrategien

Mehr

VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern

VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen Adrian Michel Universität Bern Aufgabe Tom & Jerry Aufgabe > Terminpreis Tom F Tom ( + R) = 955'000 ( + 0.06) = 99'87. 84 T = S CHF > Monatliche Miete Jerry

Mehr

Computational Finance

Computational Finance Computational Finance : Simulationsbasierte Optionsbewertung Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude

Mehr

Volatilitätsstrategie mit Optionen

Volatilitätsstrategie mit Optionen MT AG MANAGING TECHNOLOGY IMPROVING BUSINESS PERFORMANCE Volatilitätsstrategie mit Optionen Referent: Guido Neander, Senior-Berater, MT AG, Ratingen Agenda Begriffsdefinitionen Optionen Volatilität Preisbestimmungsfaktoren

Mehr

Internationale Finanzierung 6. Bewertung von Aktien

Internationale Finanzierung 6. Bewertung von Aktien Übersicht Kapitel 6: 6.1. Einführung 6.2. Aktienbewertung mittels Kennzahlen aus Rechnungswesen 6.3. Aktienbewertung unter Berücksichtigung der Wachstumschancen 6.4. Aktienbewertung mittels Dividenden

Mehr

Private Banking. Region Ost. Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte

Private Banking. Region Ost. Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte Private Banking Region Ost Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte Ihre Ansprechpartner Deutsche Bank AG Betreuungscenter Derivate Region Ost Vermögensverwaltung Unter den Linden

Mehr

Finanzmanagement 5. Optionen

Finanzmanagement 5. Optionen Übersicht Kapitel 5: 5.1. Einführung 5.2. Der Wert einer Option 5.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 5.3.1. Regeln für Calls 5.3.2. Regeln für Puts 5.3.3. Die Put Call Parität

Mehr

Bevor Sie sich zu einer Anlage in Investmentfonds entscheiden, sollten Sie sich unbedingt vollständig der damit verbundenen Risiken bewusst sein.

Bevor Sie sich zu einer Anlage in Investmentfonds entscheiden, sollten Sie sich unbedingt vollständig der damit verbundenen Risiken bewusst sein. Risikohinweise Bevor Sie sich zu einer Anlage in Investmentfonds entscheiden, sollten Sie sich unbedingt vollständig der damit verbundenen Risiken bewusst sein. Die zukünftigen Werte und Erträge von Investmentfondsanteile

Mehr

Finanz- und Risikomanagement I

Finanz- und Risikomanagement I Finanz- und Risikomanagement I Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Grundbegrie Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Forward/Future Optionen Arbitrage Fakultät

Mehr

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/ Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell

Mehr

Transparentes Reporting von strukturierten Produkten. Zürich, 2. Oktober 2008 Rolf Burgermeister

Transparentes Reporting von strukturierten Produkten. Zürich, 2. Oktober 2008 Rolf Burgermeister Transparentes Reporting von strukturierten Produkten Zürich, 2. Oktober 2008 Rolf Burgermeister Agenda 1. Einführung 2. Konzept: effektives Exposure 3. Umsetzung bei Wegelin & Co. 4. Zusammenfassung und

Mehr

DIPLOMARBEIT. Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien

DIPLOMARBEIT. Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien UNIVERSITÄT BAYREUTH FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK Lehrstuhl für Mathematik V DIPLOMARBEIT Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien eingereicht von: Martin

Mehr

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen?.............................. Modellspezifikation..............................3

Mehr

Numerische Methoden der Finanzmathematik

Numerische Methoden der Finanzmathematik Numerische Methoden der Finanzmathematik Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Irrfahrten Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Alexander Hahn, 04.11.2008 Überblick Ziele der Finanzmathematik Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen Problemstellung in der Praxis Der

Mehr

Bewertung von Optionen auf CO2- Zertifikate mittels des Verfahrens von Black-Scholes

Bewertung von Optionen auf CO2- Zertifikate mittels des Verfahrens von Black-Scholes www.markedskraft.com Bewertung von Optionen auf CO2- Zertifikate mittels des Verfahrens von Black-Scholes Diplomarbeit von Florian Frank Arendal Postboks 62 NO-4801 Arendal Norway Tel +47 37 00 97 00 Fax

Mehr

Zufällige Wetten: Vom Glücksspiel zum modernen Risikomanagement

Zufällige Wetten: Vom Glücksspiel zum modernen Risikomanagement Zufällige Wetten: Vom Glücksspiel zum modernen Risikomanagement Teilnehmer: Lukas Thum Yu Wang Luciana Plocki Johanna Ridder Felix Tschierschke Thu Hien Nguyen Janin Rekittke Johanna Lindberg Gruppenleiter:

Mehr

Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2

Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 UNI BERN BWL Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 FS 2014 bei Prof. Dr. Heinz Zimmermann Zusammenfassung zusammengestellt aus den Folien zur Vorlesung. Zusammenfassung enthält wahrscheinlich noch Typos.

Mehr

Optionen, Futures und andere Derivate

Optionen, Futures und andere Derivate John C. Hull Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch 8., aktualisierte Auflage Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Dr. Wolfgang Mader und Dr. Marc Wagner Higher Education München

Mehr

Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09

Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 Einfache Derivate von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 14 Jänner 2009 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Begriffsbestimmung

Mehr

Die zufällige Irrfahrt einer Aktie

Die zufällige Irrfahrt einer Aktie Die zufällige Irrfahrt einer Aktie Teilnehmer: Daniela Garske (Herder-Oberschule) Joseph Jung (Pamina-Schulzentrum Herxheim) Martin Laudien (Herder-Oberschule) Kaina Schäfer (Herder-Oberschule) Anja Seegert

Mehr

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom 18.01.2008 Datum : 18.01.2008 Verfasser: Martin Schymalla

Mehr

Beispiel Kurs Aktie am 1. April 1'000.00 Kurs Aktie am 1. Juni 1'080.00

Beispiel Kurs Aktie am 1. April 1'000.00 Kurs Aktie am 1. Juni 1'080.00 40 5. Die Option 5.1. Einleitung Gleich wie Futures gehören auch Optionen zur Familie der Derivaten, d.h. ihr Wert entwickelt sich entsprechend dem zugrundeliegenden Basiswert. Dieser kann beliebiger Natur

Mehr

Projekt Finanzmathematik: Derivative und strukturierte Finanzprodukte

Projekt Finanzmathematik: Derivative und strukturierte Finanzprodukte : Derivative und strukturierte Finanzprodukte Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 10. Jänner 2008 Wesentliche Fragen Was sind Derivate? Was sind strukturierte Finanzprodukte

Mehr

zu Aufgabe 3b) Binomialmodell: C 0 = S 0 B(a n;p ) E r -n B(a n;p*) Hier: C 0 = S 0 0,909 165,28 = 16,53

zu Aufgabe 3b) Binomialmodell: C 0 = S 0 B(a n;p ) E r -n B(a n;p*) Hier: C 0 = S 0 0,909 165,28 = 16,53 zu Aufgabe 3b) Binomialmodell: C 0 S 0 B(a n;p ) E r -n B(a n;p*) Hier: C 0 S 0 0,909 65,8 6,53 Frage: Wie setzt sich das Duplikationsportfolio des Calls (anteiliger Aktienkauf teilweise kreditfinanziert)

Mehr

Beispiel 5 Europäische Call Option (ECO) in einer Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis (Strikepreis) K.

Beispiel 5 Europäische Call Option (ECO) in einer Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis (Strikepreis) K. Beispiel 5 Europäische Call Option (ECO) in einer Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis (Strikepreis) K. Wert der Call Option zum Zeitpunkt T: max{s T K,0} Preis der ECO zum Zeitpunkt t < T: C = C(t,

Mehr

Zeit- und Dividendeneinfluss. auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein.

Zeit- und Dividendeneinfluss. auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein. HSBC Zertifikate-Akademie Zeit- und Dividendeneinfluss auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein Liebe Leserinnen und Leser der HSBC Zertifikate-Akademie In den vergangenen Ausgaben wurden verschiedene

Mehr

Option Analysis of Plattform Decisions. Raeed Mayrhofer

Option Analysis of Plattform Decisions. Raeed Mayrhofer Option Analysis of Plattform Decisions Raeed Mayrhofer Softwareplattform ist ein Bündel von Funktionen, das das Ausführen von Applikationen ermöglicht bildet gemeinsam mit Hardware und Know-how die IT-Infrastruktur

Mehr

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a -

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a - : Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Kursverläufe des DA: agesgang 5.1.2011-1a - Kursverläufe

Mehr

Dünngitter-Binomialbäume zur Bewertung von Multiasset-Optionen

Dünngitter-Binomialbäume zur Bewertung von Multiasset-Optionen Diplomarbeit Dünngitter-Binomialbäume zur Bewertung von Multiasset-Optionen Angefertigt am Institut für Numerische Simulation Vorgelegt der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen

Mehr

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Dr. Volkert Paulsen 17. September 2009 Im wesentlichen unternimmt man auf Finanzmärkten eine Zweiteilung in Basis- und derivative Finanzgüter. Ein Anteil an

Mehr

Analytische und numerische Lösung der Black-Scholes-Gleichung für europäische und amerikanische Basket-Optionen

Analytische und numerische Lösung der Black-Scholes-Gleichung für europäische und amerikanische Basket-Optionen Technische Universität Berlin Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Analytische und numerische Lösung der Black-Scholes-Gleichung für europäische und amerikanische Basket-Optionen Diplomarbeit

Mehr

Devisenoptionsgeschäfte

Devisenoptionsgeschäfte Devisenoptionsgeschäfte Die kaufende Partei einer Option erwirbt durch Zahlung der Prämie von der verkaufenden Partei das Recht, jedoch keine Verpflichtung, einen bestimmten Währungsbetrag zu einem vorher

Mehr

Oesterreichische Nationalbank. Leitfadenreihe zum Marktrisiko. Band 4. Berücksichtigung von Optionsrisiken

Oesterreichische Nationalbank. Leitfadenreihe zum Marktrisiko. Band 4. Berücksichtigung von Optionsrisiken Oesterreichische Nationalbank Leitfadenreihe zum Marktrisiko Band 4 Berücksichtigung von Optionsrisiken In der Leitfadenreihe zum Marktrisiko sind erschienen: Band : Band : Band 3: Band 4: Band 5: Band

Mehr

Optionen, Futures und andere Derivate

Optionen, Futures und andere Derivate John C. Hull Optionen, Futures und andere Derivate 6. Auflage Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Prof. Dr. Manfred Steiner, Dr. Wolfgang Mader und Dipl.-Kfm. Martin Wenger, M.Sc. ein Imprint

Mehr

Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps.

Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps. Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps. Warum existieren Derivate? Ilya Barbashin Das Grundprinzip eines jeden Derivats ist, dass Leistung und Gegenleistung nicht wie bei Kassageschäft Zug-um-

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca BIAGINI, München, Daniel ROST, München Money out of nothing? - Prinziien und Grundlagen der Finanzmathematik Die Finanzmathematik hat als jüngste mathematische Diszilin in den letzten 15 Jahren

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Peter Albrecht (Mannheim) Die Prüfung des Jahres 2004 im Bereich Finanzmathematik (Grundwissen) wurde am 09. Oktober 2004 mit diesmal

Mehr

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Seminararbeit von Marleen Laakmann 2. Mai 2010 Einleitung Zur Messung und Steuerung von Kreditrisiken gibt es eine Reihe von Methoden und

Mehr

Risikomanagement: Hintergrund und Ziele

Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Risikomanagement: Hintergrund und Ziele Beispiel 1 Anfangskapital V 0 = 100 Spiel: man verliert oder gewinnt 50 mit Wahrsch. jeweils 1/2. Kapital nach dem Spiel V 1 = { 150 mit Wahrsch. 1/2 50 mit Wahrsch.

Mehr

institut für banken und finanzplanung institute for banking and financial planning www.ibf-chur.ch / max.luescher@ibf-chur.ch

institut für banken und finanzplanung institute for banking and financial planning www.ibf-chur.ch / max.luescher@ibf-chur.ch institute for banking and financial planning www.ibf-chur.ch / max.luescher@ibf-chur.ch Weiterbildungsseminar vom Freitag, 27. März 2009 in Nuolen im Auftrag von Volkswirtschaftsdepartement, Kanton Schwyz

Mehr

Quantitative Finance

Quantitative Finance Kapitel 11 Quantitative Finance Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden XI Quantitative Finance 1 / 30 Lernziele für den Teil Quantitative Finance Die Welt der stetigen Zinsen (Renditen) Wichtige Finanzprodukte:

Mehr

Black Scholes Modell. 1 Vgl. [1].

Black Scholes Modell. 1 Vgl. [1]. Black Scholes Modell Seit dem Aufsatz von FISHER BLACK und MYRON SCHOLES 1 1973 haben sich die Märkte für Optionen schneller als die für jedes andere Finanzprodukt in der Geschichte entwickelt. Damals

Mehr

Target Volatility & Risk Control Indizes. Ulrich Stoof (Bloomberg LP) & Christian Menn (RIVACON & FH Mainz)

Target Volatility & Risk Control Indizes. Ulrich Stoof (Bloomberg LP) & Christian Menn (RIVACON & FH Mainz) Target Volatility & Risk Control Indizes Ulrich Stoof (Bloomberg LP) & Christian Menn (RIVACON & FH Mainz) Agenda Einleitung/Motivation Der Risk Control Mechanismus Exkurs: Varianz- und Volatilitätsschätzer

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Flonia Lengu Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Gliederung 1. Einführung in derivative Finanzinstrumente 2. Futures und Optionen 3. Terminkauf und verkauf von

Mehr

Nicht-lineare Finanzprodukte

Nicht-lineare Finanzprodukte Kapitel 3 Nicht-lineare Finanzprodukte Im diesem Abschnitt der sogenannten nicht-linearen Produkte wird zur Vereinfachung von einer konstanten und deterministischen Zinskurve ausgegangen. 1 3.1 Aktienoptionen

Mehr

Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen

Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen Institut für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Seminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2003/2004 Zuständiger Mitarbeiter: Dipl.-Kfm. Christian Wolff Generalthema:

Mehr

Frage 1: Analyse und Bewertung von festverzinslichen Anlagen (41 Punkte)

Frage 1: Analyse und Bewertung von festverzinslichen Anlagen (41 Punkte) Frage 1: Analyse und Bewertung von festverzinslichen Anlagen (41 Punkte) Sie haben gerade als Analyst im Bereich festverzinsliche Anlagen zu arbeiten begonnen. An Ihrem ersten Arbeitstag werden Sie mit

Mehr

Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II:

Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Seite 1 von 23 Name: Matrikelnummer: Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement und Theory of Banking Hinweise: o Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf die Klausur

Mehr

Binomialmodell für Optionen

Binomialmodell für Optionen Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Universität Münster 4.12.2008, 11.12.2008, 18.12.2008 Definition Optionen Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer (europäischen) Kaufoption

Mehr

Richtig handeln mit Warrants

Richtig handeln mit Warrants Richtig handeln mit Warrants optionen 2 Optionen 2 01 Inhaltsverzeichnis 3 Der Warrant Chooser 6 6 7 Der Optionspreis Der innere Wert Der Zeitwert 9 Umgang mit der Volatilität 10 Zusammenfassung der Einflussfaktoren

Mehr

Die Duration von Standard-Anleihen. - Berechnungsverfahren und Einflussgrößen -

Die Duration von Standard-Anleihen. - Berechnungsverfahren und Einflussgrößen - Die Duration von Standard-Anleihen - Berechnungsverfahren und Einflussgrößen - Gliederung Einleitendes Herleitung einer Berechnungsvorschrift Berechnungsvorschriften für Standardfälle Einflussgrößen und

Mehr

Dr. Boris Nöll Bewertung von Aktien- und Zinsderivaten

Dr. Boris Nöll Bewertung von Aktien- und Zinsderivaten Dr. Boris Nöll Bewertung von Aktien- und Zinsderivaten Wintersemester 2012/2013 Universität Siegen Dr. Boris Nöll / BEW II 1 Literatur Cox, John C./Ross, Stephen A./Rubinstein, Mark (1978): Option pricing:

Mehr