Aktienoptionsbewertung im Sprung/Diffusionsfall - eine Neubetrachtung aus ökonomischer Sicht

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1 Aienopionsbewerung im Sprung/Diffusionsfall - eine Neuberachung aus öonomischer Sich von Dr. Bernhard Nieer Arbeispapier 3/997 uni 997 Dr. Bernhard Nieer Universiä Passau Lehrsuhl für Beriebswirschafslehre mi Schwerpun Finanzierung Innsrasse Passau el.: 085 / Fax: 085 / nieer@uni-passau.de

2 Kurzzusammenfassung Folg der Aienurs einem ombinieren Sprung/Diffusionsprozeß, enziehen sich Aienopionen im allgemeinen arbirageorienieren Bewerungsansäzen - es muß der Übergang zur gleichgewichsorienieren Bewerung vollzogen werden. edoch haben alle derarigen Bewerungsansäze uner Sprüngen bisher einen gemeinsamen Schwachpun: Sie schenen der öonomischen Modellierung der Sprungereignisse zu wenig Aufmersamei, weil sie überwiegend mi onsanen, allenfalls sich deerminisisch ändernden Sprungeinriswahrscheinlicheien argumenieren. Dami implizieren sie ein vorhersagbares Muser für das Aufreen von Sprüngen, eine Modellierung, die dem Eingang außerordenlicher und eilweise überraschender Informaionen, den Sprünge abbilden sollen, nich gerech wird. Folglich is eine öonomisch präzisere Charaerisierung des Phänomens "Sprung" vonnöen: Dazu unereilen wir ersens Sprünge e nach irungsreis in "firmenspezifische" und "Marsprünge", e nach irungsrichung in Kurseinbrüche (Crashes) und Kursexplosionen. Zweiens verwenden wir sochasische Sprungeinriswahrscheinlicheien und Dichefunionen der Sprungampliuden, um dem unsicheren Aufreen außergewöhnlicher Informaionen Rechnung zu ragen. Basierend auf dieser im Vergleich zur Lieraur wesenlich modifizieren Sprungdarsellung, ermieln wir Opionsbewerungsformeln für den Sprung/Diffusionsfall uner modellexogenem und -endogenem Zins.

3 Aienopionsbewerung im Sprung/Diffusionsfall - eine Neuberachung aus öonomischer Sich Einleiung. Problemsellung Folg der Aienurs einem ombinieren Sprung/Diffusionsprozeß, enziehen sich Aienopionen arbirageorienieren Bewerungsansäzen, wenn Umschichungen ausschließlich zwischen Aie und sicherer Anlage möglich sind: Dieenigen erpapieraneile, die das (lineare) Diffusionsrisio eliminieren, önnen nämlich nich zugleich das (nichlineare) Sprungrisio beseiigen e vice versa, da der Aienopionspreis eine onvexe Funion des Aienurses darsell (vgl. Meron (973b), S. 50). - Es verbleib ein nich hedgebares Resrisio, das nur uner engen Prämissen - z.b. Exisenz eines mi dem Resrisio vollsändig orrelieren Papiers (vgl. Mercurio/Runggaldier (993)) - durch Porfolio- Sraegien enfern werden ann. ill man sich bei der Bewerung nich ausschließlich auf derarige Spezialfälle beschränen, muß der Übergang von der arbirage- zur gleichgewichsorienieren Bewerung vollzogen werden. Die erse Adapion dieses Ansazes an ein Sprungumfeld finde sich bei Meron (976), der das nich hedgebare Resrisio unersuche und mi Hilfe des lassischen CAPM den unsysemaischen Charaer der von ihm beracheen "firmenspezifischen Sprünge" nachwies - Sprünge gehen nich in die Bewerungssysemai des CAPMs ein. Aus diesem nun vollsändig spezifizieren Bewerungsrahmen ermiele er Opionspreise als um Sprünge modifiziere Blac/Scholes-ere. - edoch beruh Merons Argumenaion auf unsysemaischen Sprungrisien und scheier dann, wenn das Marporfolio selbs Sprüngen unerlieg. Die Lieraur (z.b. Ahn (99), Nai/Lee (990) und Chang (995)) ha deshalb und gesüz auf die empirische Relevanz von "Marsprünge" (vgl. z.b. Kim/Oh/Broos (994)) Merons Opionspreisformel weierenwicel. Hervorzuheben is dabei Chang (995), da sie den sysemaischen Charaer von Sprungrisien heoreisch fundiere und die bisher ziieren Lieraurmodelle als Spezialfälle in einen Gesamansaz inegriere. Ineressanerweise blieb auch uner sysemaischen Sprungrisien die Sruur von Merons Opionspreis - "an Sprünge angepaßer Blac/Scholes-Preis" - erhalen. Alle bisherigen Bewerungsansäzen uner Sprüngen haben edoch einen gemeinsamen Schwachpun: Sie schenen der öonomischen Modellierung der Sprungereignisse zu wenig Aufmersamei. So posulieren Mercurio/Runggaldier (993) sich deerminisisch ändernde, Meron (976) und Chang (995) sogar onsane Sprungeinriswahrscheinlich-

4 eien und implizieren dami ein vorhersagbares Muser für das Aufreen von Sprüngen. Eine derarige Modellierung gib aber den Eingang außerordenlicher und eilweise überraschender Informaionen, den Sprünge abbilden sollen (vgl. Meron (976)), nich orre wieder. Zudem fäng die Definiion sysemaischer Sprünge als "Marporfolio unerlieg Sprüngen" (vgl. Ahn (99), S. 99) Sprünge nur unzureichend ein. eder wird die Zusammensezung des Marporfolios uner Sprüngen abgeleie (für die Enwiclung einer Porfolio-heorie uner Sprüngen vgl. Nieer (996), (997)) noch is der Indiaor "Marporfolio" eindeuig: Das Marporfolio spring nämlich sowohl wenn eine in ihm enhalene Aie Sprünge aufweis als auch wenn alle Aien des Aienmares springen. Folglich is eine öonomisch präzisere Charaerisierung des Phänomens "Sprung" vonnöen: Dazu unereilen wir ersens Sprünge e nach irungsreis in "firmenspezifische" und "Marsprünge", e nach irungsrichung in Kurseinbrüche (Crashes) und Kursexplosionen. Zweiens verwenden wir sochasische Sprungeinriswahrscheinlicheien und Dichefunionen der Sprungampliuden, um dem unsicheren Aufreen außergewöhnlicher Informaionen Rechnung zu ragen. - enn wir aber mi einer im Vergleich zur Lieraur wesenlich modifizieren Sprungdarsellung operieren, dann haben wir auch deren Opionsbewerungsformeln im Sprung/Diffusionsfall einer Neuberachung zu unerziehen: Es zeig sich, daß Sprünge sysemaische Risioomponenen enhalen, deshalb grundsäzlich bewerungsrelevan und von den Diffusionsrisien bewerungsmäßig rennbar sind. ähl man als Modell "normaler" Kursbewegungen die ubiqiäre geomerisch Brownsche Bewegung, erhalen wir auch uner sochasischen Sprungcharaerisia die lieraurübliche Grob-, d.h. Blac/ Scholes-, Sruur des Opionspreises. Die Feinsruur, d.h. wie Sprungrisien onre zu beweren sind, unerscheide sich freilich sar, ri an dieser Selle doch die unerschiedliche Modellierung der Sprünge zuage. Das Ziel der Arbei "Ableiung und Inerpreaion von Opionspreisen in einem öonomisch fundieren Sprungumfeld" induzier folgenden Aufbau des Ariels: In KAPIEL erfolg eine Einführung in Kurssprünge. KAPIEL bewere Opionen uner "firmenspezifischen Sprüngen", indem es zuers den allgemeinen gleichgewichsorienieren Bewerungsrahmen enwicel und darauf aufbauend Opionspreise uner modellexogenem und -endogenem Zins ableie. KAPIEL 3 überräg die Argumenaionsee von "firmenspezifischen" auf "Marsprünge", KAPIEL 4 faß die wichigsen Ergebnisse nochmals zusammen.. Einführung in Kurssprünge.. Allgemeine Charaerisierung von Kurssprüngen Diffusionsprozesse als Modell unsicherer Aienurse sind durch laufende infiniesimale Veränderungen und dami zeiseige Sichprobenpfade, wenn auch mi unbeschräner

5 3 Variaion, geennzeichne. Kurssprünge unerscheiden sich davon maran. Zum einen verursachen sie nich permanen, d.h. zu edem Zeipun, Änderungen des Aienurses, sondern nur zu besimmen, endlich vielen. Zum anderen variier der Kurs dann in nichinfiniesimalem Umfang. Dami ennzeichnen, wie Meron (99) auf S. 86 ausführ, unseige Sichprobenpfade ein erpapier, dessen Preis einem ombinieren Sprung/Diffusionsprozeß folg. Neben vorangegangenen formalen Eigenschafen ineressier naürlich besonders die öonomische Inerpreaion von Sprüngen: Die geomerisch Brownsche Bewegung repräsenier "normale" Änderungen des Aienurses. Insofern erschein es naürlich, Veränderungen durch Sprungprozesse als explizie Abbildung urzfrisiger Kursveränderungen infolge außergewöhnlicher Vorgänge zu berachen. Daher ann ein Sprung Informaionen berücsichigen, die sich nich in einen Diffusionsprozeß inegrieren lassen, d.h. es wird der Übergang von adapiven, rein auf Zeireihenanalysen beruhenden Erwarungen zu raionalen Erwarungen ermöglich. In einem weieren Operaionalisierungsschri is das Ausmaß dieses Preisausschlags einzugrenzen. Von einem Sprung ann man ers sprechen, wenn eine besimme Mindesursbewegung a aufri, die gerade nich mehr als "normal" angesehen wird. eder Enscheider dürfe freilich eine andere "Normaliäsvorsellung" haben - die Unergrenze a is folglich als subeive Grenze anzusehen, obwohl Kursverluse von uner einem Prozen äglich enseis aller grundsäzlichen Subeiviä aum mehr als Sprung bezeichenbar sind. Analog moivieren wir eine Obergrenze b. Nach 43 Abs. Börsengesez ann der Börsenvorsand die amliche Noierung zugelassener erpapiere aussezen. Insofern spring eine Aie pro ag nur maximal um einen besimmen Prozensaz b, auch wenn es in Deuschland eine explizien Preislimis gib (vgl. Roll (989), S. 54). Bei b handel es sich demnach um eine aus Sich des Mareilnehmers exogen fesgelege Obergrenze. Nennen wir den Sprung nach unen Kurseinbruch oder Crash, den nach oben Kursexplosion, önnen wir zusammenfassend feshalen: Ein Crash oder Kurseinbruch is ein Kurssprung nach unen mi a C Kurssprung b C Eine Kursexplosion is ein Kurssprung nach oben mi a E Kurssprung b E Im weieren Verlauf der Arbei werden wir aus Gründen der Übersichlichei bei den Berechnungen nich mehr zwischen Crash und Explosion differenzieren, sondern nur noch mi einer einheilichen Sprungampliude operieren. - Die Bewerungsaussagen bleiben hiervon maeriell unberühr. Ers bei der Inerpreaion unserer Ergebnisse biee sich eine Präzisierung der Sprungampliuden in Crash und Explosion an. Neben dem Ausmaß des Preisausschlags ineressier auch sein irungsreis, der sich aus der Ursachendisussion von Sprüngen herausfilern läß: Als Sprungauslöser idenifizier

6 4 die Lieraur einerseis wichige neue fundamenale Informaionen über ein Unernehmen (vgl. Meron (976), S. 7), eine Branche (vgl. Meron (976), S. 7) oder den Mar (vgl. Blac (988), Roll (989) und Fama (989)). Für "Marsprünge" exisieren darüber hinaus nichfundamenale Erlärungen, z.b. Überreaionen des Mares (French (988)) oder Informaionsasymmerien im Zusammenhang mi der Porfolio Insurance (Gennoe/Leland (990) und aclin/kleidon/pfleiderer (99)). Deshalb gib es: "firmenspezifische Sprünge": Sie bereffen nur die Aien eines Unernehmens und lassen die Aien anderer Unernehmen unberühr. "gruppenspezifische Sprünge": Sie bereffen sämliche Aien einer Gruppe (z.b. Branche), wobei die Sprungampliuden der einzelnen Aien der Gruppe in echselwirung zueinander sehen, lassen aber die Aien anderer Gruppen unberühr. "Marsprünge": Sie bereffen sämliche Aien des Mares, wobei die Sprungampliuden der einzelnen Aien in echselwirung zueinander sehen. Konsruionsbeding erweisen sich "gruppenspezifische Sprünge" in ihrer heoreischen Behandlung als Mischung zwischen "firmenspezifischen" und "Marsprüngen" - die echselwirungen zwischen den Aien einer Gruppe ragen den Charaer von "Marsprüngen", die fehlende Beeinflussung anderer Aien außerhalb der Gruppe den "firmenspezifischer Sprünge" - und werden daher nich weier behandel... Mahemaische Darsellung nichinfiniesimal leiner Änderungen Komprimier man die Sprunginformaion des vorangegangenen Unerapiels in ein Aienursmodell, erhäl man folgendes Ergebnis: Zu allen Zeipunen folg der Aienurs dem Diffusionsprozeß der geomerisch Brownschen Bewegung. Im Zeipun τi spring zusäzlich der Aienurs, wobei wir vom "normalen" Aienurs unabhängige proporionale Sprünge berachen. Das Absellen auf einen Prozensaz a b für die Sprünge sell nämlich sicher, daß () ses größer Null is und dami zeiseige Formulierungen überhaup zulässig sind (vgl. Dybvig/Huang (988)). Formal ausgedrüc gil für die Veränderung der Aienpreise: (a) d S( ) = IS ( ) α d IS ( ) σ d z( ) τ S( τi) S( τ ) = I S ( τi ) ( τi) = τi i + [ i, τi) α S() n Veor der im Zeiablauf onsanen Momenanerwarungswere der ex-dividendenrendien n Veor der ex-dividendenpreise in Prinzipiell wäre es ein leiches, einen allgemeineren Preisprozeß für die Diffusionsomponene des Aienurses zu verwenden. Allerdings ergäben sich hieraus für die ineressierende Sprungomponene eine weieren Änderungen (vgl. Nieer (996), S. 8 ff.), so daß wir es beim einfachsen Diffusionsmodell belassen wollen.

7 5 d S() I S( ) I S( ) α n Veor der Änderungen der ex-dividendenpreise zwischen und + d n n Diagonalmarix der ex-dividendenpreise in τi 0 i n Veor der Momenanerwarungswere der ex-dividendenpreise in d infiniesimale Veränderung der Zei σ n n Diagonalmarix der im Zeiablauf onsanen Momenansandardabweichungen der ex-dividendenrendien I S( ) σ n n Diagonalmarix der Momenansandardabweichungen der ex-dividendenpreise in d z() n Veor der Inremene orrelierer iener-prozesse; es gil: d zi d z = ηi η i Korrelaionsoeffizien zwischen Papier i und ( τi ) n Veor von Zufallsvariablen, der die Sprunghöhen der n erpapiere in τi angib τi τ = 0 < τ τ τ... Zeipun, zu dem die relaive Kursänderung des Aienurses über a lieg. echnisch gesprochen handel es sich (uner der Voraussezung τ i < ) bei dem Zeipun τ i um eine Soppzei; das Zeiinervall zwischen τ i- und τ i is insofern sochasisch. Zeipun unmielbar vor dem Sprungzeipun τ i ; genauer formulieren wir: S ( τ ) = lim S ( s ) mi: s < τ i (vgl. Nefci (996), S. 4) i bzw. für den Kurs der Aie nach Sprüngen (d.h. Lösung der sochasischen Differenialgleichung (a) (vgl. S. 4) bzgl. S ()) (b) S = ( + ) ( ) i= 0 s τ i ( τ i ) S ( )exp α σ + σ d z ( s ) Gleichung (a) berücsichig Sprünge explizi, indem sie die Aienursenwiclung im Diffusions- von der im Sprungfall renn. Dami weichen wir bewuß von der lieraurüblichen Modellierung dieses Sachverhals in Form sochasischer Differenialgleichungen ab (z. B. Meron (976), S. 9, Gleichung ()): ( ) ds ( ) = α λ E d + σ d z ( ) + d q ( ) S ( ) () { } d q ( ) Inremen eines unabhängigen Poisson-Prozesses mi Inensiä λ Die Darsellungsform () sez nämlich Sprungampliuden mi ompaen, d.h. ausschließlich durch Erwarungswer und Varianz charaerisierbaren, Vereilungen voraus (vgl. Kushner (967), S. 8). Bei der öonomischen Charaerisierung von Sprüngen auf S. 3 haben wir edoch herausgearbeie, daß es Uner- bzw. Obergrenzen für Sprünge gib. Des-

8 6 halb önnen ausschließlich auf Erwarungswer und Varianz basierende Vereilungen Sprünge öonomisch nich adäqua abbilden. Zusäzlich seh dem Anleger eine Aienopion F[S (),] zur Verfügung, deren Kursenwiclung wie die der zugrundeliegenden Aie in einen Diffusions- (abgeleie nach Iôs Lemma) und einen Sprungeil zerfäll: (3) d F( ) = F + FS S ( ) + FSS S ( ) d FS S ( ) d z ( ) α σ + σ αff σ F F() = F[ S ( )( ) [ τi, τi) ( ), ] F [ S ( ), τ + τ τ τ τ ] = τi i i i i i F F[.] F() F S F SS Preis der Aienopion, deren Underlying Aie is Veränderung des Opionspreises durch Sprünge des Papiers F S F S Die sichere Anlage soll einen Kurssprüngen, ewa durch Boniäsrisien, unerliegen, so daß wir formulieren önnen (4) d P ( ) = r P ( ) d 0 0 P0() r Preis der sicheren Anlage in risioloser Momenanzinssaz ir wissen naürlich nich ex ane, zu welchen Zeipunen τi ein Sprung mi welcher Ampliude aufri, so daß die Gleichungen (a) (vgl. S. 4) und (3) lediglich einer didaischen Einführung dienen. edoch lassen die in () und (3) eingearbeieen speziellen Eigenschafen von Sprüngen (Aufreen nur zu endlich vielen Zeipunen und Variaion in nichinfiniesimalem Umfang) Konsequenzen für die explizie Sprungmodellierung erennen: Zum einen müssen die nich laufend einreenden Kursänderungen über Sprungeinriswahrscheinlicheien eingefangen werden, zum anderen benöigen wir ein Modell dieser nichinfiniesimal leinen Änderungen, der sog. Sprungampliuden. Zum drien is der sochasische Charaer von Sprungeinriswahrscheinlicheien und Dichefunionen der Sprungampliude zu berücsichigen. - Gerade der Eingang außergewöhnlicher Informaionen, den Sprünge einfangen sollen, erfolg nämlich nich onsan im Zeiablauf. Formal schlagen sich variierende Sprungcharaerisia in Abhängigeien der Sprungparameer sowohl von der Zei (vorhersagbare Änderung) als auch von einer sochasischen Größe x() (unvorhersehbare Änderung) nieder. Diese Größe x() enhäl einerseis alle enscheidungsrelevanen Ereignisse, d.h. Ereignisse, die Einfluß auf die Sprungcharaerisia der erpapiere dadurch ausüben, daß sie zu einer Änderung des Erwarungsnuzens des

9 7 Enscheiders führen. Folglich schließen wir Faoren, deren irungen sich exa neuralisieren, aus der Menge relevaner Größen x() aus (vgl. die analoge Sichweise zur Modellierung sochasischer erpapiercharaerisia des Diffusionsprozesses (sochasische Opporuniäsmenge) bei Breeden (979), S. 7). - Im übrigen erlaub es die absrae Darsellung von x(), Sprungfaoren der Lieraur als Spezialfälle zu inegrieren: Z.B. argumenier Aase (993) mi springenden Dividendenzahlungen oder Nai (993) mi Kursvolailiäen, die Sprüngen unerworfen sind. Andererseis wird x() sar davon beeinfluß, ob wir "firmenspezifische" oder "Marsprünge" berachen. Deshalb disuieren wir ers in Kapiel ab S. 8 die formale Darsellung inlusive näherer öonomischer Inerpreaion von x() und eablieren an dieser Selle nur die allgemeine Sruur der Sprungcharaerisia: Auf Basis des soeben enwicelen Modellrahmens gil für die sich sochasisch im Zeiablauf ändernden Sprungeinriswahrscheinlicheien des erpapiers (5) ahrscheinlichei{ein Sprung ri im Zeiinervall (, + d) auf} λ x ( ), d = ( ) ahrscheinlichei{mehr als ein Sprung ri im Zeiinervall (, + d) auf} = o(d) ahrscheinlichei{ein Sprung ri im Zeiinervall (, + d) auf} λ x ( ), d = - ( ) λ ( x( ), ) x() o(d ) erwaree Inensiä eines Cox-Prozesses für erpapier beding uner den Informaionen in m Veor von sochasischen Variablen Funion der Zeiveränderung höherer als erser Ordnung; solche erme sind vernachlässigbar, wenn d infiniesimal lein is. Die Sprungampliude als zweien Sprünge charaerisierenden Parameer fangen wir über sich sochasisch im Zeiablauf ändernde Dichefunionen ein. ir präzisieren Sprungprozesse mi sochasischer Inensiä bezeichne man als Cox-Prozesse (= Prozeß in einem zufälligen Umfeld oder "doubly sochasic process") (vgl. Snyder (975), S. 35). Für die ahrscheinlichei, daß ein Ereignis in der Periode zwischen und + d -mal aufri, erhalen wir (vgl. Snyder (975), S. 87) { + d = } = { { + d = } x( ) + } prob y y E prob y y s s d = E + d λ ( x ( s), s) d s + d λ ( x( ), )! e s s d s =,,... λ ( x ( ), ) Inensiä, d.h. die durchschniliche Anzahl von Sprüngen pro Zeieinhei eines Cox-Prozesses Sezen wir λ( x ( ), ) : E { λ ( x ( ), ) } =, approximieren linear zwischen und + d und vernachlässigen erme der Ordnung o(d ), erhalen wir das Ergebnis von Gleichung (5).

10 8 (6) φ ( ) = φ (, x ( ), ) φ (, ( ), ) x Dichefunion der Sprungampliude beding uner den Informaionen in Generell ann die Sprunghöhe mi allen ahrscheinlicheisvereilungen nachgebilde werden, die den auf S. 3 enwicelen Definiionsbereich für Sprünge einhalen, d.h. für die gil: a(x ( ), ) b(x ( ), ). Innerhalb dieser Grenzen ann aber eden er annehmen, φ ( ) muß daher seig sein. Z.B. eignen sich die Gleichvereilung, wenn man eine Vorsellung über die Lage der Ampliuden ha, die Dreiecvereilung zur pauschalen oder die Beavereilung zur nichpauschalen Berücsichigung rechs- bzw. linsschiefer Zusammenhänge. Opionsbewerung uner "firmenspezifischen Sprüngen". Modellierung "firmenspezifischer Sprünge" Sprünge, die eweils nur eine Aie bereffen, beschreiben eine Siuaion, in der ein Ausschlag bei Aie einerlei irung auf die Kurse anderer Aien ha, es sich also um einen "firmenspezifischen Sprung" handel. Genau diesen Sprungyp leg beispielsweise Meron (976) seiner Opionsbewerungsformel uner Sprüngen zugrunde. Einen Muserfall der üngsen Zei sell die V Aie dar. Ihr Kurs fiel am um 5,7% aufgrund der negaiven Enwiclung in der sog. "Lopez-Affäre", die Kurse anderer Aien, auch der Auomobilbranche, blieben davon unberühr. Uner der Sprungoperaionalisierung "firmenspezifischer Sprung" lassen sich die zuvor enwicelen formalen Beschreibungen von Sprüngen miels Sprungeinriswahrscheinlichei und -ampliude folgendermaßen präzisieren: Die Sprungeinriswahrscheinlichei sell ez die ahrscheinlichei dar, daß nur Aie spring; andere Aien werden definiionsgemäß von einem "firmenspezifischem Sprung" nich beeinfluß. Für die Sprungampliuden gil, daß sie wechselseiig unorrelier sind. Darüber hinaus hängen bei "firmenspezifischen Sprüngen" die Charaerisia x ( ), und x( ), (inl. a(x ( ), ) und b(x ( ), )) des erpapiers eweils von einem Veor x() relevaner, aber unernehmensindividueller Faoren ab. Derarige Faoren sammen einerseis aus dem Geschäfsfeld des Unernehmens (Aufragseingänge, Managemen, Umsazenwiclung, Forschungs- oder Enwiclungsergebnisse usw.), andererseis aus seiner Kursenwiclung. Z.B. ann der Crash des Vorages höhere Chancen auf eine Explosion am nächsen ag mi sich bringen, Crash- und Explosionsprozesse müssen also nich unabhängig voneinander sein (vgl. Schwer (990), S. 80). Im übrigen gefährden die eilweise mehrperiodigen Rücopplungen, wie sie x() abbilde, nich die Marovsche Eigenschaf des

11 9 Preisprozesses. Viele Nich-Marov-Prozesse önnen nämlich miels Erweierung des Zusandsraumes in Marov-Form gebrach werden (vgl. Meron (99), S. 75 f.). Die spezielle Eigenar der Faoren x() - zu disreen Zeipunen eingehende fundamenale "firmenspezifische" Ereignisse - führ zu zwei Konsequenzen hinsichlich ihrer formalen Darsellung. Ersens muß zumindes eine Komponene von x() springen, um einen Kursausschlag der Aie auszulösen. Folglich ann x() nich über einen reinen Diffusionsprozeß dargesell werden. Allerdings önnen manche Komponenen, wie z.b. die Umsazenwiclung, durchaus einen Diffusionseil aufweisen. In diesem Fall heiß das onre: ir nur der Diffusionserm, lös die Umsazenwiclung einen Sprung aus, der beobachee Sprung der Aie is dann auf andere Komponenen von x() zurüczuführen, z.b. einen Managemenwechsel. ir dagegen der Sprungeil der Umsazenwiclung, is sie für den Sprung (mi)veranworlich. Daher formulieren wir x() in der von (a) (vgl. S. 4) her beannen Sprungdarsellung: Zu allen Zeipunen wird der Verlauf von x() durch den Diffusionseil, zu den Sprungzeipunen τ i zusäzlich durch den Sprungeil besimm oder formal: (7) d x ( ) = ( x ( ), ) d + G ( x ( ), ) d ( ) µ ξ [ τi, τi) x ( i) x ( i ) ( x ( τ τ = Γ τi ), τi ) = τi µ ( x ( ), ) n Veor der Momenanerwarungswere von x() G ( x ( ), ) n n Diagonalmarix der Sandardabweichungen von x() d ξ ( ) n Veor der Inremene orrelierer iener-prozesse Γ ( x ( τ ), τ i i ) m Veor von Zufallsvariablen, die die Sprünge von x() in = τ abbilden 3 i Dami unerlieg nich nur der Kurs der Aie Sprüngen, sondern auch der ihre Sprungcharaerisia seuernde Faorenprozeß x(). Zweiens enhäl x() nich Faoren, die auch andere Unernehmen bereffen. Verschlecher z.b. ein überraschend schlecher echselurs die Expormöglicheien, so riff dies alle Unernehmen einer expororienieren Branche. Ein derariger Faor ann deshalb einen "firmenspezifischen" Crash, sondern nur eine scharfe Kursorreur einer ganzen Branche seuern. Folglich gil x() nur für die Aie, d.h. es beseh eine Korrelaion zwischen den Elemenen x() und x(); zwischen den Einflußfaoren innerhalb x() önnen durchaus echselwirungen besehen (Varianz/Kovarianzmarix von x() is eine Diagonalmarix!) 3 Die Annahme addiiv vernüpfer ere der Sprungampliude dien nur der Vereinfachung. Alernaive Modelle bereien einerlei Probleme.

12 0 ha x() einen Einfluß auf den "normalen" Preisprozeß der Papiere, d.h. es beseh eine Korrelaion zwischen d x() ( =,..., n) und dem Diffusionspfad d z() der erpapierpreise Dami wird auch lar, daß wir die Prozeßparameer α, Ω und r onsan belassen önnen. Diese erpapiercharaerisia beschreiben die "normale" Enwiclung der erpapierpreise enseis "überraschender" ursbeeinflussender Nachrichen und unerliegen allgemeinen wirschaflichen Rahmendaen, also denselben Komponenen für alle erpapiere. Sich "im Normalen" bewegende "firmenspezifische" Unerschiede werden lediglich über individuelle Gewichungsfunionen α usw. aufgefangen. Gemeinsame Faoren für alle erpapiere sind aber mi den Anforderungen, die ein "firmenspezifischer Sprung" sell, nich vereinbar. Man müße daher zwei disune Mengen von Faoren annehmen: Faoren x(), die den "firmenspezifischen Sprung" auslösen, und Faoren x(), die den "normalen" Preisprozeß seuern. Davon sehen wir ab, da die Vielzahl von Variablen - es wäre eine gerenne Berachung disuner Mengen für x() und x() erforderlich - die Effee von Sprüngen verschleiere.. Enwiclung des Bewerungsrahmens Der lassische eg zur Besimmung von Aienopionspreisen beseh darin, ein Papier im Vergleich zu anderen Papieren zu beureilen (relaive Bewerung). Diese sog. arbirageorieniere Bewerung duplizier den Rücsrom der Opion über ein Porfolio aus Aie sowie sicherer Anlage, wobei aus Arbiragegründen der unbeanne Opionspreis dem Preis des Dupliaionsporfolios ensprechen muß. Freilich is dieser eg uner Sprüngen im allgemeinen nich zielführend. Zwar geling es Cox/Ross (976) in einem reinen Sprungumfeld Opionen arbirageorienier zu beweren, da dann nur eine Risioquelle (Sprungrisio) vorhanden is. Exisieren allerdings zwei unabhängige Risioquellen (Diffusions- und Sprungrisio, vgl. S. 4), ann das Porfolio, das die Zahlungen des Derivas im Diffusionsfall duplizier, die Zahlungswirungen im Sprungfall nich abbilden: eil der Aienopionspreis eine onvexe Funion des Aienurses darsell (vgl. Meron (973b), S. 50), önnen nämlich dieenigen erpapieraneile, die das (lineare) Diffusionsrisio eliminieren, nich zugleich das (nichlineare) Sprungrisio beseiigen e vice versa. Bilde aber eine Porfolio-Sraegie die Zahlungswirungen der Opion nich nach, ann ihr Preis auch nich dem der Opion ensprechen. Die arbirageorieniere Bewerung liefer deshalb eine Preise für Opionen im Sprung/Diffusionsfall, wenn man nich durch Einführung weierer Papiere die Sprungrisien heraushedgen ann (vgl. z.b. arrow/madan (99) für die Eliminaion eines eils der Sprungrisien mi Hilfe der Zinssruur, deren Sprünge von denselben Faoren wie die der Aien ausgelös werden oder Mercurio/Runggaldier (993) für ein vollsändig mi dem Resrisio orrelieres Papier). edoch exisier uner

13 "firmenspezifischen Sprüngen" ein anderes Papier, das von demselben "firmenspezifischen Sprung" beroffen wird. Daher haben wir einen alernaiven Bewerungsweg einzuschlagen: ir beureilen die Opion im Margleichgewich anhand ihrer exogenen erpapierdaen sowie den Präferenzen und der Anfangsaussaung eines repräsenaiven Invesors. Voraussezung dafür is die Berechnung der opimalen Konsum/Porfolio-Enscheidung besagen repräsenaiven Invesors, um seine Risiobewerungssysemai zu ermieln. Dies geschieh innerhalb des üblichen Modellrahmens der dynamischen Konsum- und Porfolio-Opimierung (vgl. z.b. Long (974), S , Meron (973a), S und Meron (98), S. 603): Märe sind arbiragefrei, friionslos und Enscheider agieren als Mengenanpasser Erlöse aus Leerveräufen sind vollsändig verwendbar und Anlagebeschränungen nich vorhanden Invesoren haben freien und gleichen Zugang zu bewerungsrelevanen Informaionen Invesoren verfügen über einerlei exogenes Einommen, d.h. Vermögensveränderungen werden ausschließlich durch erpapierransaionen und Konsum induzier ransaionen in den durch (a), (3) und (4) (vgl. S. 4 f.) charaerisieren erpapieren und der Momenanonsum induzieren eine Vermögensveränderung e nach Diffusions- und Sprungfall in Höhe von (8) d () = ( α ) ( ) w ( ) r ( ) d + r ( ) C( ) d + ( )w ( ) σ dz( ) ( α ) + w ( ) r ( ) d + w ( ) σ ( ) d z ( ) F F F F für [ τi, τi) n ( i ) ( i ) w ( i ) τ τ = τ ( x ( τi ), τi ) ( τi ) + w F = ( + x ) F[ S ( i ) τ ( ( τi ), τi ), τi ] ( ) ( ) F[ S ( τi ),( τi )] für = τi ( mi τ = 0 < τ τ... τi...) 0 C() Konsum pro Zeieinhei ("Momenanonsum") im Zeipun ; der Konsumberag ann nur für Perioden und nich für Zeipune ermiel werden (zwischen den Zeipunen und + d beräg er C( ) d ). () Vermögen in w() n Veor der erpapieraneile ransposiionszeichen eines Veors oder einer Marix w ( F ) Aneil, der an der Opion gehalen wird

14 Der Enscheider opimier im Zeiablauf den Konsumnuzen und im Planungshorizon den Vererbungsnuzen durch Konsum- und Porfolio-Enscheidungen (ahl aus einer sicheren Anlage, einer Aienopion und n Aien mi inverierbarer Varianz/Kovarianzmarix). Die Nuzenfunionen seien addiiv separierbar (nur Konsumnuzenfunion), seig, sreng monoon seigend und sreng onav bzgl. ihrer Argumene Konsum bzw. Endvermögen. Zusäzlich is eine zeiliche Abhängigei der Nuzenfunionen zu berücsichigen. Konreisieren wir diese zeiliche Abhängigei, indem wir eine Zeipräferenzrae einführen, (9) U[ C( ), ] = e ρ U[ C( ) ] bzw. (0) B[ ( ), ] = e ρ B[ ( ) ] U[C(),] B[(),] ρ Nuzenfunion bzgl. des Konsums in Nuzenfunion bzgl. des Vermögens in Zeipräferenzrae des Enscheiders läß sich das Enscheidungsproblem des Invesors folgendermaßen formalisieren: ρs ρ () Max E0 e U[ C( s) ] d s + e B[ ( ) ] C, w, wf 0 Konsumnuzen Vererbungsnuzen E {} Erwarungswer beding uner den Informaionen in Planungshorizon Als Vorbereiung zur Ermilung opimaler Konsum/Porfolio-Programme, definieren wir, S, x,..., x n,, die den Erwarungsnuzen der opimalen Sraegie vom eine Funion [ ] Berachungszeipun bis zum Planungshorizon bezeichne 4 : ρs ρ () [, S, x,..., xn, ] Max E e U[ C( s) ] d s + e B[ ( ) ] C, w, w F ährend die Abhängigei von [.] von der Zei und dem Vermögens lar is bedarf die Abhängigei vom Aienurs und von x i () (i =,...,n) einer Erläuerung. Definiionsgemäß häng der er der Opion von S() ab. Änder sich also S(), ergeben sich diree irungen auf den Opionspreis. [.], das den Nuzen der opimalen Konsum- Aien- und Opionssraegie widerspiegel, muß deshalb diese veränderen Ausgangsbedingungen berücsichigen und eine Funion von S() sein. Analog ann man bei x i () (i =,...,n) argumenieren: Die Sprungcharaerisia hängen von x i () (i =,...,n) ab, deshalb muß auch der Erwarungsnuzen der opimalen Sraegie von x i () (i =,...,n) abhängen. 4 Exaer wäre [.] als [Y,X,Z,] zu schreiben, wobei Y das Sarvermögen, X den Saraienurs und Z den Sarwer des Faors x eweils im Zeipun darsellen. Anschließend wäre an der Selle Y = (), X = S() und Z = x() zu beweren. Um der Einfachhei der Noaion willen, führen wir edoch die Berechnung dire mi [(),S(),x(),] durch.

15 3 Opimale Konsum/Porfolio-Enscheidungen sind mi Hilfe von [.] in zweifacher Hinsich zu charaerisieren: Zum einen läß sich der Erwarungsnuzen durch weieres Umschichen nich mehr seigern, die Veränderung von [.] beräg gerade Null. Zum anderen gil im Endzeipun =, daß der Erwarungsnuzen der opimalen Sraegie von bis, also onre von bis, gleich dem Vererbungsnuzen im Zeipun sein muß. Formal omm dies in der sogenannen Hamilon/acobi/Bellman-Gleichung sam Randbedingung zum Ausdruc 5. Die gesuchen Opima der Enscheidungsvariablen erhalen wir durch Differeniaion der Hamilon/acobi/Bellman-Gleichung. Da sich aber im Gleichgewich Angebo und Nachfrage nach Opionen ensprechen müssen und dami eine offenen Aienopionsposiionen exisieren önnen, häl der für den Gesammar repräsenaive Invesor eine Aienopionen, d.h. es gil: w F = 0. Deshalb gewinnen wir für die Besimmungsgleichungen der opimalen Enscheidungsvariablen (bewere an der Selle w F = 0) (3) (4) (5) Φ C Φ w( ) = U = 0 C = ( α ) r Ω w { [ ] (.) ( ) } λ(.) E ( ) + ( ) ( ) + λ (.) E λ (.) E n η + S( ) σ σ S ( ) = 0 ηn { [ ] (.) ( ) } { [ ] (.) ( ) } n n η Φ w ( F ) = ( ) α F r ( ) + ( ) w ( ) σ σf + S( ) σfσ S( ) η n F[ S ( + (.)), ] + λ (.) E [ ] ( ) = 0 F Φ Kurzschreibweise für die Hamilon/acobi/Bellman-Gleichung (A.) (vgl. S. 3) λ (.) Kurzschreibweise für λ ( ) x ( ), (.) Kurzschreibweise für ( x ( ), ) [ i ] Kurzschreibweise für [ ] ( + wi S i (.)),, x,..., xn, (i =,,..., i ) ( + w (.)), S + (.), x,..., x, [ ] [ ] Kurzschreibweise für ( ) n 5 Für eine Ableiung dieser Formel vgl. Anhang, S. 3. Die hinreichenden Bedingungen für ein Opimium sind erfüll, wenn < 0, d.h.srenge Konaviä von bzgl., gil (vgl. Anhang, S. 33).

16 4 Aus Gleichung (3) bis (5) (vgl. S. 3) ann nun prinzipiell die fundamenale Bewerungsgleichung für Aienopionen besimm werden (vgl. Schöbel (995), S. 6 ff.): Lösen wir (5) nach dem Momenanerwarungswer der Opionsrendie auf, erhalen wir (6) α F = r λ η S ( ) w ( ) σ σ F σ Fσ S ( ) η [ ] (.) E n F[ S( + (.)), ] F Andererseis wissen für aus der Preisdynami der Opion (3) (vgl. S. 6), daß gil F + FSα S ( ) + FSSσ S ( ) (7a) α F = F und (7b) σ F = F S Sσ ( ) F Sez man (6) und (7a) gleich, ergib sich uner Verwendung von (7b) nach Umformung als Bewerungsgleichung (8) 0 = FSSσ S r F + F + η S F SS α ( ) w ( ) σ S ( ) σ S ( ) σ ηn. erm [ ] λ (.) E ( F[ S ( + (.)), ] F). erm Obige Bewerungsgleichung räg beiden Risien der Opion - Diffusions- und Sprungrisio - Rechnung, indem sie sowohl die ahrscheinlicheisvereilung des Diffusionsrisios als auch die der Sprungampliude risioneuralisier. Dies geling beim Diffusionsrisio dadurch, daß vom Momenanerwarungswer der Aie das beweree Risio σ (. erm) abgezogen also zu einer risioneuralisieren Drif übergegangen wird, wobei die indiree Nuzenfunion des repräsenaiven Invesors den Bewerungsfaor präg. Bei der Sprungomponene (. erm) wird zur Berücsichigung des Risios die Dichefunion der

17 5 Sprungampliude mi dem Grenznuzen vor und nach Sprung (berechne miels der indireen Nuzenfunion) ransformier..3 Bewerung von Opionen bei exogenem Zins.3.Präzisierung der fundamenalen Bewerungsgleichung Die Bewerungsgleichung (8) (vgl. S. 4) verdeulich zwar die grundsäzliche Vorgehensweise der risioneuralen Bewerung im Sprung/Diffusonsfall, ann aber noch nich zur Besimmung von Opionspreisen verwand werden, da sie unbeanne erpapieraneile enhäl. Gib man sich allerdings den sicheren Zins exogen vor, önnen aus der ersen Ableiung der Hamilon/acobi/Bellman-Gleichung nach den erpapieraneilen (4) (vgl. S. 3) genau diese erpapieraneile berechne werden. η S Ω α Ω σ ( ) ( ) η (9) w() = ( r) ( ) Ω λ (.) E λ (.) E λ (.) E { [ ] (.) } { [ ] (.) } { [ n] (.) } n n σ S ( ) Gleichung (9) demonsrier allgemein, daß sich "firmenspezifische Sprünge" in Korreurporfolios niederschlagen. Sprünge sind folglich im Marporfolio enhalen, woraus der sysemaische Charaer des "firmenspezifischen" Sprungrisios folg (für nähere Ausführungen zu diesem hemenomplex und zur Enwiclung einer Porfolio-heorie uner Sprüngen vgl. Nieer (997)). Insofern widersprechen wir Meron (976) und Kim/Oh/Broos (994), die allein aufgrund des "firmenspezifischen" Charaers auf eine Diversifizierbarei der Sprungrisien in einem Porfolio schließen. Dagegen omm Chang (995) zu einem ähnlichen Ergebnis wie wir, indem sie die zweie Enscheidungsvariable des repräsenaiven Invesors, den Konsum, berache. Sie weis auf S allerdings lediglich für den Spezialfall einer isoelasischen Konsumnuzenfunion - nach, daß Sprünge den opimalen Konsum beeinflussen. ären Sprünge unsysemaisch, veränderen Krisen den Konsum nich, eine Behaupung, die sich empirisch z.b. anhand des Konsumverhalens während der Golfrise widerlegen läß. n

18 6 Sez man obige erpapieraneile in die Bewerungsgleichung (8) (vgl. S. 4) ein, önnen wir die risioneuralisiere Drif der Aie (. erm in (8)) nach Vereinfachungen folgendermaßen präzisieren: (0) α α λ r (.) E σ σ { [ ] (.) } Dami laue die fundamenale Bewerungsgleichung uner exogenem Zins () 0 = λ FSSσ S r F + F + F SS r λ (.) E [ ( +. erm (.) E { [ ] (.) }. erm [ ] ( F S (.)), ] F) Gleichung () enhäl die im Umfeld eines exogenen Zinses präzisieren erme der Gleichung (8). Die Bewerungsonsequenzen von () werden deulich, wenn wir () mi beannen Lieraurmodellen onrasieren: In einer Blac/Scholes-el - ihre Fundamenalgleichung laue (vgl. Blac/Scholes (973), S. 643, Gleichung (7)) σ erm. erm () 0 = FSS S r F F FSS [ r] beräg die risioneuralisiere Drif (. erm) der Aie r, zusäzliche Sprungbewerungen auchen weder im. noch im. erm auf. Der. erm unserer Formel () zeig, daß in einer risioneuralen el uner "firmenspezifischen Sprüngen" die Aie nich mehr mi der sicheren Verzinsung wächs, sondern daß Sprünge einen orrigierenden Einfluß ausüben: Beseh die Gefahr eines Börsen-Crashes, d.h is (.) leiner Null, muß die Aie eine höhere achsumsrae als den sicheren Zins aufweisen, bei Kursexplosionen verhäl es sich umgeehr. Das lassische Meron-Modell (vgl. Meron (976), S. 33, Gleichung (4)) (3) 0 = FSS S r F F + F S r λ E. erm σ + S { } λ E F[ S ( + ), ] F. erm berücsichig diese Risioneuralisierung des Driferms. Allerdings wird eine Risioneuralisierung der Sprungampliuden vorgenommen, womi Meron [ ] = implizier. Die-

19 7 se Beziehung bedeue öonomisch einen gleich hohen Grenznuzen vor und nach Sprüngen. Unsysemaisches Sprungrisio - als solches nimm Meron (976) (vgl. S. 33) "firmenspezifische Sprünge" an - is diversifizierbar, liefer somi weder einen Rendie noch einen Risiobeirag und führ deshalb zu einer Nuzenänderung. - Dagegen berücsichig unsere fundamenale Bewerungsgleichung uner "firmenspezifischen Sprüngen" () (vgl. S. 6) explizi, auf welchem Grenznuzenniveau [ ] man sich nach Sprüngen im Verhälnis zum Grenznuzenniveau vor Sprüngen befinde. Schließlich sei noch beon, daß () einerlei im Zeiablauf onsane risioneurale Drif der Aie (. erm in ()) durch onsane Sprungeinriswahrscheinlichei λ d und im Zeiablauf idenisch vereile Sprungampliuden unersell, wie das bei Meron (976) (vgl. Gleichung (3) unserer Arbei) aber auch bei Chang (995) der Fall is. Zusäzlich nimm Chang eine zeiinvariae indiree Nuzenfunion an, die sie dadurch sichersell, daß der opimale Konsum in ihrem Modell zeionsane Parameer aufweis (vgl. S. 357 ihrer Arbei). Konre: Ein zeionsaner Konsum bedeue bei zusandsunabhängiger Konsumnuzenfunion einen zeionsanen Konsumgrenznuzen U C und dies wiederum aufgrund der "envelope condiion" ( U =, vgl. (3), S. 3) ein zeionsanes. Öonomisch im- C plizier dies in Verbindung mi der unersellen isoelasischen Nuzenfunion einen unendlichen Planungshorizon. Zusammengefaß geh Chang von folgender Fundamenalgleichung aus (vgl. Gleichung (37), S. 376 ihrer Arbei): (4) 0 = λ E I [ ] FSSσ S r F + F + F S S r I. erm λ E I + I. erm [ ] ( F[ S ( F ), ] ) { } I[.] zeiunabhängige indiree Nuzenfunion Die vorangegangene Disussion verdeulich den allgemeinen Charaer der Fundamenalgleichung () (vgl. S. 6), da sie sowohl Blac/Scholes als auch Meron (976) als auch Chang (995) als Spezialfälle enhäl..3. Ermilung von Opionspreisen Die fundamenale Bewerungsgleichung () (vgl. S. 6) enhäl prinzipiell alle Informaionen, die zur Bewerung von Aienopionen nöig sind, liefer edoch eine explizien Opionspreise. Deshalb muß sie bzgl. des Opionspreises F gelös werden. Allerdings wer-

20 8 den wir nich versuchen, eine diree Lösung der Fundamenalgleichung, wie es Meron (976) im Anhang auf S. 4 u, zu schäzen. Vielmehr greifen wir zur Preisbesimmung auf ein Grundergebnis der Arbirageheorie zurüc (vgl. z.b. ilhelm (985), Proposiion 6, S. 44): Der Preis eines eden erpapiers ensprich dem Erwarungswer bzgl. der risioneuralen Vereilung seines sicher disonieren Zahlungssroms: (5) ( ) * r( ) { } { } r F( ) = e E F( ) = e E ξ( ) F( ) E * ξ( ) F() Erwarungswer uner der risioneuralen ahrscheinlichei ("Pseudowahrscheinlichei") beding uner den Informaionen in Radon/Niodym-Ableiung ("Pseudowahrscheinlicheienerzeuger") Zahlungssrom der Opion im Zeipun (charaerisische Funion) Der "Pseudowahrscheinlicheienerzeuger", die sog. Radon/Niodym-Ableiung, is aus der Fundamenalgleichung () (vgl. S. 6) ermielbar: Allerdings verdeulich Gleichung () die Nowendigei zweier verschiedener "Pseudowahrscheinlicheienerzeuger", die für den Diffusion- (. erm in ()) und die für den Sprungeil (. erm in ()). Insofern muß auch die Radon/Niodym-Ableiung ξ() aus einer Diffusions- ( ξ Diff ( ) ) und einer Sprungomponene ( ξ Sprung ( )) besehen: ( ) gewinnen wir aus der Gegenübersellung von Diffusionsomponene der Aie ξ Diff uner empirischer ahrscheinlichei (6) d S S = α d + σ d z ( ) und risioneuralisierer ahrscheinlichei (. erm in Gleichung ()) (7) ds S [ ] r E (.) * = λ (.) d + σ d z ( ) d z * ( ) Inremen eines iener-prozesses uner risioneuraler ahrscheinlichei Berücsichig man, daß nach dem ersen eil von Girsanovs heorem (vgl. z.b. Duffie (996), S. 89) der Zusammenhang zwischen empirischem und risioneuralisierem iener-prozeß als * (8) d z( ) = d z ( ) θ( ) d geschrieben werden ann, is die Idenifiaion der Risioransformaion θ() lar: Es muß gelen