8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können.

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1 8. A & D - Heapsort Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. Genauer werden wir immer wieder benötigte Operationen durch Datenstrukturen unterstützen. Werden im Laufe des Semesters viel mehr über Datenstrukturen und ihren Zusammenhang mit effizienten Algorithmen lernen. Beispiel Sortieren: Warum nicht Array sortieren, indem wir immer wieder Minimum berechnen? 1

2 Min-Sort Eingabe: Array A Ausgabe: Zahlen in A in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Min - Sort ( A) ( A) 1. for i = 1to length 2. do m Min-Search 3. A i [ ] A[ m] ( A[ i, K,length( A) ]) Aber: Algorithmus Min-Sort hat Laufzeit ( 2 n ) Θ. 2

3 Heaps Definition 8.1: Ein Heap über einem Array A ist das Array A zusammen mit einem Parameter heap-size[a] und drei Funktionen Parent, Left,Right : { 1K,,heap-size[ A] } { 1, K,length[ A] }. Dabei gilt: 1. 1 heap - size[ A] length[ A] 2. Parent ( i ) = i / 2 für alle 1 i heap size[ A] 3. Left( i ) = 2 i für alle 1 i heap size[ A] 4. Right ( i ) = 2i + 1für alle 1 i heap size[ A]. Arrayelemente A[1],, A[heap-size[A]] heissen Heapelemente. 3

4 Heaps (2) Die Funktionen Parent, Left, Right versehen ein Array mit einer binären Baumstruktur. Nehmen dabei an, dass der Baum fast vollständig ist, d.h. der Baum ist bis auf die letzte Ebene auf jeder Ebene vollständig besetzt. Die letzte Ebene ist von links nach rechts besetzt. Parent liefert Elternknoten, Left und Right liefern linkes und rechtes Kind eines Knotens. Liegt dabei ein Funktionswert außerhalb des Intervalls [ 1, K,heap size[ A ], so bedeutet dies, dass der Knoten kein Eltern oder kein linkes bzw. rechtes Kind besitzt. Es gibt nur einen Knoten ohne Eltern, dies ist die Wurzel A[1]. 4

5 Arrays und Bäume

6 Heaps Definition 8.2: Ein Heap heisst 1. max-heap, wenn für alle [ ] gilt A 2 [ Parent( i) ] A[ i]. i heap size A 2. min-heap, wenn für alle [ ] gilt A 2 [ Parent( i )] A [ i ]. i heap size A Die Eigenschaften in 1. und 2. werden max-heapbzw. min-heap-eigenschaft genannt. 6

7 Max-Heaps 16 Kein max-heap! max-heap!

8 Definition 8.3: Höhe von Knoten und Heaps 1. In einem binären Baum ist die Höhe h eines Knoten v des Baums die Länge des längsten abwärts gerichteten Pfades von v zu einem Blatt des Baums. Dabei ist ein Pfad abwärtsgerichtet, wenn jede Kante von einem Knoten w zu einem Kind von w führt. 2. Die Höhe eines binären Baums ist die maximale Höhe eines Knoten des Baums. 3. Die Höhe eines Heaps ist die Höhe des durch den Heap gegebenen Baums. Satz 8.4: Ein Heap mit n Elemente hat Höhe ( n) log. 8

9 Höhe eines Heaps Höhe 2 16 Höhe Höhe Höhe 0 9

10 Algorithmen auf Heaps Max-Heapify wird benutzt, um die Max-Heap Eigenschaft aufrecht zu erhalten. Build-Max-Heap konstruiert aus einem unstrukturierten Array einen max-heap. Heapsort sortiert mit Hilfe von Heaps. Mit Heaps können Prioritätswarteschlangen realisiert werden. 10

11 Max - Heapify ( A,i ) Max-Heapify ( i ) ( i ) size[ A] und A[ l] > A[ i] 1. l Left 2. r Right 3. if l heap 4. then largest l 5. else largest i 6. if r heap size 7. then largest r 8. if largest i 9. then A i 10. Max - Heapify [ A] und A[ r ] > A[ largest ] [ ] A[ largest] ( A,largest ) 11

12 Illustration von Max-Heapify(A,2) (1)

13 Illustration von Max-Heapify(A,2) (2)

14 Max-Heapify Korrektheit Lemma 8.5: Sei A ein Heap und i length[ A] 1. Die Teilbäume mit Wurzel Left(i) und Right(i) erfüllen die max-heap-eigenschaft. Dann erfüllt nach Durchlauf von max-heapify(a,i) der Teilbaum mit Wurzel i die max-heap-eigenschaft. 14

15 Max-Heapify Analyse Lemma 8.6: 1. Ist h die Höhe des Teilbaums mit Wurzel i im Heap A, so hat Max-Heapify(A,i) Laufzeit Θ h. ( ) 2. Ist n die Größe des Teilbaums mit Wurzel i im Heap A, so hat Max-Heapify(A,i) Laufzeit Θ log n. ( ( )) Lemma 8.7: In einem Heap der Größe n haben sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum der Wurzel höchstens Größe 2/3n. 15

16 Maximal unbalancierte Teilbäume Höhe h Höhe h-1 Höhe h-2 jeweils vollständig Gesamtgröße des Baums : h h-1 h = Größe linker h 2 1 Teilbaum : Größe linker Teilbaum Größer Gesamtbaum

17 Aufbau eines Heaps Eingabe: (unstrukturiertes) Array A Ausgabe: max-heap über A Build - Max - Heap ( A) length /. [ A] length[ A] [ A] 2 ( A,i ) heap size for i do Max - Heapify downto 1 17

18 Illustration von Build-Max-Heap (1)

19 Illustration von Build-Max-Heap (2)

20 Illustration von Build-Max-Heap (3)

21 Illustration von Build-Max-Heap (4)

22 Invariante für Build-Max-Heap Invariante: Vor Durchlauf der for-schleife in den Zeilen 2 und 3 für Index i sind die Knoten i+1,, n Wurzeln von max-heaps. Initialisierung: Zu Beginn gilt i = n / 2. Knoten i > n / 2 sind Blätter und damit Wurzeln von max-heaps. Erhaltung: Max-Heapify(A,i) stellt max-heap-eigenschaft bei Knoten i her und erhält max-heap-eigenschaft bei Knoten j>i. Terminierung: Knoten 1 ist Wurzel eines max-heaps. Damit ist Algorithmus korrekt. 22

23 Analyse für Build-Max-Heap (1) 1. Ein n-elementiger Heap hat Höhe ( n) besitzt höchstens n 2 h +1 log und Knoten der Höhe h. 2. Es existiert eine Konstante c, so dass Max-Heapify bei Knoten der Höhe h Laufzeit höchstens ch besitzt. 3. Laufzeit von Build-Max-Heap ist dann höchstens log( n) log( n ) h= 0 n 2 ch h+ 1 2cn h= 0 h. h 2 23

24 Analyse für Build-Max-Heap (2) 4. Es gilt h= 0 h 2 h = Damit ist log( n ) log( n ) h= 0 n h h ch 2cn 2cn = 4cn. h+ 1 h h h= 0 h= 0 Satz 8.8: Die Laufzeit von Build-Max-Heap ist O(n). 24

25 Heapsort Eingabe: Array A Ausgabe: Zahlen in A in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Heapsort ( A) ( A) [ A] downto 2 [ 1] A[ i] [ A ] heap-size [ A ] ( A, 1) 1.Build - Max - Heap 2. for i length 3. do A 4. heap-size 5. Max - Heapify 1 25

26 Illustration von Heapsort

27 Laufzeit von Heapsort Satz 8.9: Heapsort besitzt Laufzeit ( nlog( n) ) Beweisskizze: O. 1. Aufruf von Build-Max-Heap: O ( n). 2. for-schleife in Zeilen 2-5 (n-1)-mal durchlaufen. 3. Pro Durchlauf Laufzeit ( log( n) ) O (Max-Heapify). 27

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