Die Lösung linearer Gleichungssysteme

Transkript

1 Die Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Algebra I Kapitel 6 6 Mai 22

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 4-6 Webseite: wwwmathtu-berlinde/ holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 62, Sprechstunden Donnerstag :3-3 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (3) Vorlesungen: VL am Dienstag -2 im MA4, Mittwoch 8- im H4 Klausur? 722 Mittwoch 8- H4 Der Kurs gilt mit 5% Punkten für Hausaufgaben als bestanden Achtung: Die nächste Vorlesung (652 um 8:) ist in A 5

3 Lineare Gleichungssysteme (i) Ein lineares Gleichungssystem über K hat die Form Ax = b () mit A = [a ij ] K n,m, b = [b i ] K n,, x = [x j ] K m, Das sind n Gleichungen in m Unbekannten: a x + + a m x m = b a n x + + a nm x m = b n

4 Lineare Gleichungssysteme (i) Ein lineares Gleichungssystem über K hat die Form Ax = b () mit A = [a ij ] K n,m, b = [b i ] K n,, x = [x j ] K m, Das sind n Gleichungen in m Unbekannten: a x + + a m x m = b a n x + + a nm x m = b n (ii) Jedes x K m,, welches () erfüllt, heißt Lösung des linearen Gleichungssystems ()

5 Lineare Gleichungssysteme (i) Ein lineares Gleichungssystem über K hat die Form Ax = b () mit A = [a ij ] K n,m, b = [b i ] K n,, x = [x j ] K m, Das sind n Gleichungen in m Unbekannten: a x + + a m x m = b a n x + + a nm x m = b n (ii) Jedes x K m,, welches () erfüllt, heißt Lösung des linearen Gleichungssystems () (iii) Die Menge aller Lösungen des linearen Gleichungssystems () hei st Lösungsmenge von () Die Lösungsmenge von () ist also eine Teilmenge von K m,

6 Lineare Gleichungssysteme (i) Ein lineares Gleichungssystem über K hat die Form Ax = b () mit A = [a ij ] K n,m, b = [b i ] K n,, x = [x j ] K m, Das sind n Gleichungen in m Unbekannten: a x + + a m x m = b a n x + + a nm x m = b n (ii) Jedes x K m,, welches () erfüllt, heißt Lösung des linearen Gleichungssystems () (iii) Die Menge aller Lösungen des linearen Gleichungssystems () hei st Lösungsmenge von () Die Lösungsmenge von () ist also eine Teilmenge von K m, (iv) Falls b =, so hei st das Gleichungssystem homogen Zu jedem Gleichungssystem der Form () gibt es das zugeordnete homogene System Ax = (2)

7 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme Die Menge aller Lösungen von Ax = b bezeichnen wir mit L(A, b) Lemma Ist x eine Lösung von Ax = b und L(A, ) die Menge aller Lösungen des zugeordneten homogenen Systems Ax =, so ist die Lösungsmenge von Ax = b L(A, b) = {x + z z L(A, )}

8 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme Die Menge aller Lösungen von Ax = b bezeichnen wir mit L(A, b) Lemma Ist x eine Lösung von Ax = b und L(A, ) die Menge aller Lösungen des zugeordneten homogenen Systems Ax =, so ist die Lösungsmenge von Ax = b Beweis Sei z L(A, ), so gilt L(A, b) = {x + z z L(A, )} A(x + z) = Ax + Az = b + = b Umgekehrt: Ist x eine Lösung von Ax = b, dann müssen wir ein z L(A, ) finden, so dass x = x + z Lösung von A x = b ist Wir zeigen, dass z = x x diese Anforderung erfüllt, denn es ist Lösung des homogenen Systems: A( x x) = A x Ax = b b =

9 Äquivalente Umformungen Lemma Sei A K n,n und b K n, Ist T K n,n invertierbar, so sind die Lösungsmengen von Ax = b und TAx = Tb identisch

10 Äquivalente Umformungen Lemma Sei A K n,n und b K n, Ist T K n,n invertierbar, so sind die Lösungsmengen von Ax = b und TAx = Tb identisch Beweis Sei x Lösung von Ax = b dann gilt TAx = Tb Also ist x auch Lösung von TAx = Tb Umgekehrt sei y eine Lösung von (TA)x = Tb, dh (TA)y = Tb, also auch und womit die Behauptung bewiesen ist T (TA)y = T (Tb) Ay = b,

11 Äquivalente Umformungen Lemma Sei A K n,n und b K n, Ist T K n,n invertierbar, so sind die Lösungsmengen von Ax = b und TAx = Tb identisch Beweis Sei x Lösung von Ax = b dann gilt TAx = Tb Also ist x auch Lösung von TAx = Tb Umgekehrt sei y eine Lösung von (TA)x = Tb, dh (TA)y = Tb, also auch und womit die Behauptung bewiesen ist T (TA)y = T (Tb) Ay = b, NB: Wir können also die Matrix A K n,m auf TNF bringen, ohne die Lösungsmenge zu ändern

12 Reduktion auf TNF Nach der Reduktion bekommen wir das System TAx = Tb: x = b b n

13 Reduktion auf TNF Nach der Reduktion bekommen wir das System TAx = Tb: x = b b n Es gibt eine Umordnung der Komponenten von x, welche durch eine Permutationsmatrix gegeben ist, so dass unser Gleichungssystem diese Form hat: TAP }{{} C Px }{{} y = y y r y r+ y m = b b r b r+ b n = Tb }{{} d

14 TNF und das Lösen der Gleichungssysteme I Dabei ist y = [y,, y m ] = Px, C = TAP, d = Tb

15 TNF und das Lösen der Gleichungssysteme I Dabei ist y = [y,, y m ] = Px, C = TAP, d = Tb Wie sieht die Permutationsmatrix aus? P =

16 TNF und das Lösen der Gleichungssysteme II Im folgenden bezeichne [A, b] die n (m + ) Blockmatrix die durch Anhängen von b hinter A ensteht Wir nennen [A, b] auch die erweiterte Koeffizientenmatrix Lemma Das Gleichungssystem Ax = b hat mindestens eine Lösung, genau dann wenn RangA = Rang[A, b]

17 TNF und das Lösen der Gleichungssysteme II Im folgenden bezeichne [A, b] die n (m + ) Blockmatrix die durch Anhängen von b hinter A ensteht Wir nennen [A, b] auch die erweiterte Koeffizientenmatrix Lemma Das Gleichungssystem Ax = b hat mindestens eine Lösung, genau dann wenn RangA = Rang[A, b] Beweis Es reicht, die Aussage für das Gleichungssystem Cx = d in der letzteren Form zu zeigen, denn RangC = RangA und Rang[C, d] = Rang[A, b]

18 TNF und das Lösen der Gleichungssysteme II Im folgenden bezeichne [A, b] die n (m + ) Blockmatrix die durch Anhängen von b hinter A ensteht Wir nennen [A, b] auch die erweiterte Koeffizientenmatrix Lemma Das Gleichungssystem Ax = b hat mindestens eine Lösung, genau dann wenn RangA = Rang[A, b] Beweis Es reicht, die Aussage für das Gleichungssystem Cx = d in der letzteren Form zu zeigen, denn RangC = RangA und Rang[C, d] = Rang[A, b] Falls Rang(C) = Rang[C, d], so ist b r+ = b m = und damit ist [y,, y m ] = [ b, b r,,, ] eine Lösung (Es kann noch mehr Lösungen geben) Falls Rang(A) < Rang[A, b], so ist eines der b r+,, b m nicht gleich und damit hat das System keine Lösung

19 Gauß scher Algorithmus Ein Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems Ax = b () Sei A = [A, b] die erweiterte Koeffizientenmatrix Transformiere A und A auf TNF B und B (2) Ist Rang(A) < Rang(A ), so besitzt das Gleichungssystem keine Lösung (3) Ist r = Rang(A) = Rang(A ), so bilde das assoziierte Gleichungssystem Cy = d mit C = QAP, y = Px, d = Qb = [ b i ] Eine spezielle Lösung ist b ỹ = b r (3)

20 Gauß scher Algorithmus (4) Bestimme alle Lösungen des homogenen Systems Cy = durch Rückwärtseinsetzen m c j y j j=r+ ŷ = m c rj y j für beliebige y r+,, y m K (4) j=r+ y r+ y m Die Lösungsmenge ist: L = { x = P y y = ỹ + ŷ, ỹ wie in (3), ŷ wie in (4) }