Musterlösung Vortragsübung Blatt 14 Vorwort. Variante der harmonischen Reihe.

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1 Musterlösug Vortragsübug Blatt 4 Vorwort. Variate der harmoische Reihe. Folgede Aussage wird i der achfolgede Musterlösug ab ud a gebraucht ud öte sich für Sie auch außerhalb der HM durchaus als ützlich erweise. Für α + overgiert die Reihe α geau da, we α >. Beweis: i Kotrapositio: α! icht Kovergez. Für α ist α ud letzteres ist die divergete, harmoische Reihe. Da die zu utersuchede Reihe größer ist, divergiert sie ebefalls. diret: α >! Kovergez. Uabhägig vo α + \[0, ] sid alle Glieder der Reihe positiv. Für Kovergez geügt es also, eie obere Schrae für die Reihe zu fide. Es gilt folgede Abschätzug ( ) ( + α α 2 + ) ( + α 3 α 4 + α 5 + α 6 + ) +... α 7 α ( ) ( < + α 2 + ) ( + α 2 α 4 + α 4 + α 4 + ) +... α 4 α + 2 α α α 2 0( α) + 2 ( α) + 2 2( α) +... ( ) 2 α 0 Nu ist aber ach Voraussetzug ( α) < 0 ud t : 2 α (0, ), weswege die geometrische Reihe gege /( t) overgiert. Demach overgiert auch die leiere Reihe, für die die Kovergez zu zeige war.

2 V05. Harmoisches Stapel. Diese Aufgabe a vo obe ach ute durchgezoge werde: Ma ehme eie Stapel aus Blöce ud schiebe eie + -ste Bloc uter. Stelle Sie sich eie irgedwie gestapelte Stapel aus Bretter vor. Sei Schwerput liege auf dem Zahlestrahl bei x Meter. Dieser Bloc a u auf eie + -ste Bloc so gestellt werde, dass x gerade die lie Kate bildet. Sei y der Schwerput des + -ste Bloces (da die Bretter die Läge zwei habe ist damit y x + ). Damit erhält ma für de Schwerput des auf + Bretter erweiterte Stapels, uter Awedug eier elemetare Formel aus der Experimetalphysi, dass x + y + x + (x + ) + x + Das ist eie Reursiosformel für die Schwerpute! Für x : ergibt sich die Folge x x 2 x x 3 x x 4 x x. x + + Ma erhält also geau die harmoische Reihe. Da diese Reihe aber divergiert bedeutet das, sofer ma techisch i der Lage ist geüged Bretter zu stapel, dass Bretterberge ostruiert werde öe, die beliebig weit überhäge. V06. Kovergez mit Partialbruchzerlegug. Gegebe ist die Reihe S : ( + )() S overgiert, de für die eizele Summade gilt 0 < ud overgiert (vgl. Vorwort). 3 (+)(+2) < 3 Um de Grezwert zu bereche, werde zuächst die eizele Glieder der Summe mit eier Partialbruchzerlegug vereifacht. Mit dem Asatz ( + )() A + A A 3 2

3 erhält ma ach Durchmultipliziere mit, ( + ) oder () ud Grezwertbildug 0, oder 2 vgl. mit der machmal verbreitete Zuhaltemethode. lim 0 lim lim 2 ( + )() lim A 0 + ( + )() lim ( + )() lim 2 + A A 3 ( + )A + ( + )A 2 + ()A + ()A 2 + A 2 + ( + )A 3 + ()A 3 A 2 A 3 2 Damit a S umgeschriebe werde i S : 2 + 2() +. Explizit ausgewertet erhält ma schließlich S lim m m m 2 + m 2() + lim m m m + 2(m + ) + 2(m + 2) m 2 2(m + ) lim m 2 4 2(m + ) + 2(m + 2) 4 V07. Reihe Test auf Kovergez. a) ( 2 + ) lim ( 2 + ) lim was für divergiert. Eie Alterative wäre, die ( 2 + ) mit ( ) zu eiem Bruch zu erweiter. Wege der Form des dritte Bioms fällt im Zähler die Wurzel ud auch der Summad weg ud ma a die Reihe ach ute mit der harmoische Reihe abschätze. 3

4 b) Sehr ählich zur (a) aber diesmal overget: Alle Summade sid positiv ud es gibt eie obere Schrae, de ( 2 + ) < 2 ( )( 2 + ) ( ) 2 ( ) 3/2 ud letztere Reihe ist overget (vgl. Vorwort). c) Da der si (0, ) liegt, futioiert folgede Abschätzug si si > si (si ) ( )/ ud die harmoische Reihe divergiert. d) Hier hilft das Quotieteriterium vo d Alembert weiter. a + a ( + )!! ( + ) (+) ( ) +!! ( + ) ( + ) e (0, ) Demach overgiert die Reihe. e) Auch diese Aufgabe lässt sich mit dem Quotieteriterium löse. a + a! 2(+) ( + )! 2 2 (0, ) für > + V09. Kovergezaussage. Seie a, b > 0 für ud es existiere a 0 < c : lim b Zu zeige ist: I obigem Fall overgiert die Reihe a geau da, we die Reihe b overgiert. Beweis: Da a c lim b 4

5 liege alle außer edlich viele Quotiete a /b i eier beliebig leie (aber icht verschwidede) ε-umgebug vo c. Sei 0 < ε < c. Da gibt es eie Idex j so, dass für alle > j gilt 0 < c ε a b c + ε Daraus a ma folger: c + ε a b (c ε) b a, wobei isbesodere (c ε), /(c + ε) > 0. Damit ist der Beweis erbracht, de sollte b overget sei, so ist es aufgrud der obere Ugleichug ud der Tatsache, das alle Glieder vo a > 0 sid, auch die Reihe a ud aalog folgt aus eier Kovergez vo a mittels der utere Ugleichug ud der Positivität aller Glieder vo b die Kovergez vo b. V0. Reihe (absolute) Kovergez. a) S : 3 S : 3 ( ) Leibiz: / ist eie Nullfolge ud S alteriered. Ergo: Kovergez. Bei der absolute Kovergez hilft die harmoische Reihe (/) weiter. Für jede beliebige -te Summade vo S ist ud damit auch > > S übersteigt also die harmoische Reihe. Da letztere divergiert, divergiert auch S. b) S : S : ( ) + ( + ) ( + ) 5

6 S overgiert ach dem Leibizriterium, da / ( + ) eie Nullfolge repräsetiert ud S eie alterierede Reihe ist. Bei der absolute Kovergez hilft wieder die harmoische Reihe. Für de -te Summade vo S ist ( + ) > ( + ) 2 ( + ). Damit also wieder ( + ) > + m2 m c) S : Betrachte wir die eizele Summade: / exp ( ). ( l ) Für große beommt ma also eie Teilfolge dere Beiträge jeweils i der Nähe vo + ud eie dere Beiträge i der Nähe vo liege. Das führt auf zwei verschiedee Häufugspute, also eie Kovergez. Für die absolute Reihe gehe die eizele Summade für große gege. Sie divergiert also. d) S : S : ( ) 2 ( + ) 2 ( + ) S overgiert dem Leibizriterium zufolge. Was S betrifft, so geügt es, da wir es mit eier mooto wachsede Folge zu tu habe, eie obere Schrae für S zu fide. Ma wäre auch fertig, sobald es geläge eie Majorate für S zu fide, die ach obe beschrät ist. Um das Gegeteil zu zeige, wäre eie ubeschräte Miorate hilfreich. 6

7 I diesem Fall geligt das Fide eier ach obe beschräte Majorate. 2 ( + ) < 3 3/2 Die Reihe a also ach obe durch eie overgete Reihe abgeschätzt werde ud (da die abbrechede Reihe eie mooto wachsede Folge bilde) overgiert daher. 7

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