Inhaltsverzeichnis. Vorwort 1. I Zahlen 5. II Algebra 29

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1 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 I Zahlen 5 1. Rechnen mit ganzen Zahlen 6 Addition, Subtraktion und Multiplikation Division mit Rest Teiler und Primzahlen Der ggt und das kgv Rechnen mit Brüchen 12 Rationale Zahlen Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Potenzen und Wurzeln 18 Potenzen mit ganzen Exponenten Wurzeln aus ganzen Zahlen Wurzeln aus Brüchen in der Standardform n-te Wurzeln in der Standardform Potenzen mit rationalen Exponenten II Algebra Rechnen mit Buchstaben 30 Prioritätsregeln Rechnen mit Potenzen Klammern auflösen Terme ausklammern Die Bananenformel Die binomischen Formeln 40 Das Quadrat einer Summe oder einer Differenz Die Differenz zweier Quadrate

2 6. Brüche mit Buchstaben 46 Aufspalten und auf einen gemeinsamen Nenner bringen Vereinfachen von Brüchen III Zahlenfolgen Fakultäten und Binomialkoeffizienten 52 Die Formeln für (a + b) 3 und (a + b) Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck Das Berechnen der Binomialkoeffizienten Der binomische Lehrsatz und die Sigma-Notation Folgen und Grenzwerte 60 Arithmetische Folgen Geometrische Reihen Periodische Dezimalzahlen Spezielle Grenzwerte Grenzwerte von Quotienten Wachstumsraten von Folgen Was ist die genaue Bedeutung des Grenzwertes einer Folge?.. 69 IV Gleichungen Lineare Gleichungen 72 Allgemeine Lösungsregeln Ungleichungen Reduktion einer Gleichung zu einer linearen Gleichung Quadratische Gleichungen 78 Quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung Die abc-formel und die pq Formel Lineare Gleichungssysteme 84 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Drei Gleichungen mit drei Unbekannten V Geometrie Geraden in der Ebene 90 Die Gleichung einer Geraden in der Ebene Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte Der Schnittpunkt zweier Geraden Abstände und Winkel 96 Abstand und Mittelsenkrechte Der Normalenvektor einer Geraden Senkrechter Stand von Geraden und Vektoren Das Skalarprodukt vi

3 14. Kreise 104 Kreisgleichungen Die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden Die Schnittpunkte zweier Kreise Tangenten an einen Kreis Raumgeometrie 112 Koordinaten und Skalarprodukt im Raum Ebenen und Normalenvektoren Parallele und einander schneidende Ebenen Drei Ebenen Kugeln und Tangentialebenen VI Funktionen Funktionen und Graphen 124 Lineare Funktionen Quadratische Funktionen und Parabeln Schnittpunkte von Graphen Gebrochen lineare Funktionen Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen und Betragsfunktion Polynome Rationale Funktionen Trigonometrie 138 Winkelmessung Sinus, Cosinus und Tangens Der Tangens auf der Tangente Das rechtwinklige Dreieck Additionstheoreme und Verdopplungsformeln Graphen der Winkelfunktionen Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens Graphen von Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens Ein Standardgrenzwert Dreiecksgeometrie Exponentialfunktionen und Logarithmen 156 Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen Die Funktion e x und der natürliche Logarithmus Weiteres zum natürlichen Logarithmus Standardgrenzwerte vii

4 19. Parametrisierte Kurven 166 Kurven in der Ebene Polarkoordinaten Raumkurven Geraden in Parameterdarstellung VII Differenzial- und Integralrechnung Differenzieren 176 Tangente und Ableitung Rechenregeln und Standardableitungen Differenzierbarkeit Höhere Ableitungen Wachsende, fallende Funktionen, Vorzeichen der Ableitung Extremwerte Kritische Punkte und Wendepunkte Knobeln mit Funktionen und ihren Ableitungen Differenziale und Integrale 192 Differenziale Definition und Rechenregeln Fehlerabschätzungen Wie gut ist das Differenzial als Annäherung? Eine Flächeninhaltsberechnung Flächeninhalt und Stammfunktion Integrale allgemeine Definition und Rechenregeln Stammfunktionen der Standardfunktionen Nochmals der Zusammenhang zwischen Fläche und Integral. 207 Unbestimmte Integrale Die Stammfunktionen von f (x) = 1 x Integrationstechniken 212 Die Substitutionsregel Explizite Substitutionen Partielle Integration Gemischte Aufgaben Beispiele der partiellen Integration Uneigentliche Integrale vom Typ I Uneigentliche Integrale vom Typ II Summen und Integrale Numerische Integration Gibt es immer eine Formel für die Stammfunktion? viii

5 23. Anwendungen 230 Der Tangentialvektor an eine parametrisierte Kurve Die Bogenlänge einer Kurve Der Inhalt eines Rotationskörpers Flächeninhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers Exponentielles Wachstum Logistisches Wachstum das Richtungsfeld Logistisches Wachstum Die Lösungsfunktionen VIII Hintergrundwissen Reelle Zahlen und Koordinaten 247 Die Zahlengerade Die Akkoladen-Notation für Mengen Intervalle Mathematik und Realität Koordinaten in der Ebene Der Satz des Pythagoras Koordinaten im Raum Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit 253 Funktionen, Definitionsbereich und Bildmenge Umkehrbare Funktionen Symmetrie Periodizität Grenzwerte Stetigkeit Ergänzende Herleitungen 261 Skalarprodukt und Cosinussatz Exponentialfunktionen und Logarithmen Rechenregeln für Ableitungen Differenziale und Kettenregel Ableitung der Standardfunktionen Antworten 271 Formelsammlung 313 Stichwortverzeichnis 321 ix

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