= = cm. = = 4.66 cm. = cm. Anschliessend: A = r 2 π = π = π =

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1 Seiten 5 / 6 ufgaben Kreis 1 1 a) u Kreis r cm ( 94.5 cm) Kreis r 15 5 cm ( cm ) b) u Kreis r d 5.6 cm ( cm) Kreis r cm ( 4.63 cm ) c) u Kreis r cm ( 6.04 cm) Kreis r cm ( cm ) d) u Kreis r 1x 4x ( 75.4x) Kreis r (1x) 144x ( 45.39x ) e) u Kreis r d 13 m ( m) Kreis r m ( m ) a) d u b) d u c) d u d) d e) d f) d (5.3x) a) r u b) r u c) r u d) r e) r f) r cm cm 35 x 35x x cm cm 684x 684x x 684 x 684 4x 171 4x x 19 1x cm 0.90 cm 177.5x u Zuerst r cm Zuerst r m cm 64x 64x 8 x cm. nschliessend: r cm. nschliessend: u r cm 6 a) Eine Runde hat die Länge u (Kreisumfang). u r Runden haben also die Länge m. Marili ist also m weit gerannt. b) Peter hat somit m zurückgelegt. 7 Der Radius des Kreises beträgt wie man einfach ablesen kann 16 : 8cm. s16cm Somit ist der Kreisumfang ukreis r 8 16 cm ( 50.7 cm) und die Kreisfläche Kreis r 8 64 cm ( cm ) LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 1

2 Seiten 6 / 7 / 8 ufgaben Kreis 1 8 a) Ein Sechstel des Kreises heisst, dass der Zentriwinkel des Kreissektores gerade : 6 60 gross wird. Der Kreisradius beträgt 15 : 7.5 cm. Somit ist die Sektorfläche Sektor r cm ( 9.45 cm ) b) Entsprechend lässt sich die Bogenlänge berechnen: b r c) Der Zentriwinkel beträgt (Begründung siehe oben): 60 9 a) Kreisradius Durchmesser : 13 : 61.5 cm. lso ist b) 10 a) 11 b) Sektor r b r Sektor b r r ( x ) cm ( cm ) cm ( cm) 170 x x cm ( 7.85 cm) 17x 144 (nicht weiter vereinfachen, nur noch ausrechnen möglich) ( x ) x x (nicht weiter vereinfachen, nur noch ausrechnen möglich) 36 P 1. PB M BM cm. Kreisbogen P (Viertelkreis) r cm) cm ( 3.56 Q M 15cm BM 6cm 3. Kreisbogen BQ (Dreiviertelkreis) r 3 4 ( 8.7 cm) cm 4. Gesamtumfang der Figur: (7.5+9) ( cm) 1 1. PR d1 d cm Q P R. Kreisbogen QR (Halbkreis) r r 8 cm ( cm) 3. Kreisbogen PQ (Halbkreis) r r 6 cm ( cm) 13 r 1 8cm r 6cm 4. Gesamtumfang der Figur: ( cm) 1. Strategie herausfinden: Fläche der Restfigur Fläche Kreis 1 Fläche Kreis Fläche Kreis 3 M P. Kreisfläche Kreis 1 Kreis1 r 15 5 cm M1 M3 3. Kreisfläche Kreis Kreis r 3 9 cm 4. Kreisfläche Kreis 3 Kreis3 r cm r 1 15cm r 3cm r 3 1cm 5. Restfigur: Kreis1 - Kreis - Kreis cm ( 6.19 cm ) 6. Umfang: Der Umfang besteht aus drei Kreisen. 7. lso u1 + u + u3 r1 + r + r3 (r1 + r + r3) ( ) 60 cm ( cm) LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite

3 14 Seiten 8 / 9 ufgaben Kreis 1 1. Radius der Kreise: Jeweils halber Durchmesser C. Halbkreis über B: Kreis B r cm 15 B 10cm BC 8cm C 6cm s s B 3. Halbkreis über BC: Kreis BC r 4 8 cm 4. Halbkreis über C: Kreis C r cm 5. Gesamtfläche cm ( cm ) 1. Es handelt sich hier um ein regelmässiges Fünfeck mit jeweils einem angesetzten Halbkreis über der Fünfecksseite. Somit können wir den Umfang der Figur als 5 gleiche Halbkreise verstehen. s s. r 1 : 6cm s 3. Umfang der Figur 5 Umfang Halbkreis s 1cm 5 r 5 r 5r cm ( 94.5 cm) Da es sich bei der zu Grunde liegenden Figur um ein Sechseck handelt, können wir die inneren drei Kreisbögen als Sektoren mit dem Zentriwinkel 10 auffassen. (Der Innenwinkel eines Sechsecks ist 10, weil die r 5cm Winkelsumme ja (6-) beträgt. Verteilt auf die sechs Innenwinkel ergibt sich ein Innenwinkel von 10 (70 : 6 10). Umfang ussenkreis r 5 10 cm 3. Bogenlänge eines Innenkreises: b r Bogenlänge aller drei gleichen Innenkreise: b Innenkreise cm 5. Umfang der ganzen Figur 10 3 cm u Umfang ussenkreis + Bogenlänge Innenkreise u 10 cm + 10 cm 0 cm ( 6.83 cm) Die drei Innenkreise ergeben zusammen einen ganzen Kreis. Somit ist der Schritt 6 die einfachste Lösung ( ganze Vollkreise berechnen) dgrosser Kreis Durchmesser1 + Durchmesser cm. Damit ist rgrosser Kreis 6 : 13 cm r1 4cm F M 9cm 3. Der bschnitt von M bis F misst cm.(r1 Durchmesser kleinster Kreis) 4. Der Durchmesser des roten Kreises finden wir jetzt mit Pythagoras, wobei d r1 d cm 5. Der Radius ist die Hälfte des Durchmesser, also r 1 : 6 cm 6. Die Fläche des markierten Kreises ist also Kreis r 6 36 cm ( cm ) LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 3

4 Seiten 18 / 19 ufgaben Kreiskonstruktionen (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 1. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Mittelsenkrechte von PQ (Der Kreismittelpunkt muss auf der Mittelsenkrechten von zwei Kreispunkten liegen). Hilfskreis h (P, r 3.5cm) schneiden mit m PQ M 1, M (Der Hilfskreis hat den Radius des gesuchten Kreises, da der Mittelpunkt des gesuchten Kreises 3.5 cm von P (oder Q) entfernt liegt.) 3. Lösungen einzeichnen ( Lösungen). Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Mittelsenkrechte von TS (Der Kreismittelpunkt muss auf der Mittelsenkrechten von zwei Kreispunkten liegen). MS verlängern mit m TS schneiden M (Da der gesuchte Kreis den gegebenen Kreis in S berühren muss, steht die gemeinsame Tangente auf MS senkrecht. lso muss der gesuchte Kreisradius auf der Verlängerung von MS liegen) 3. Lösung einzeichnen: k (M, r MT) 3. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Thaleskreis über M 1. Thaleskreis mit k1 schneiden B 1, B 3. Tangenten t 1 und t einzeichnen 4. Thaleskreis über M 5. Thaleskreis mit k schneiden B 3, B 4 6. Tangenten t 3 und t 4 einzeichnen Diese ufgabe entspricht genau der Grundkonstruktion (Genaueres kannst du dort nachlesen). LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 4

5 Seiten 19 / 0 ufgaben Kreiskonstruktionen (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 4. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Winkelhalbierende von g, h (wh 1). Winkelhalbierende von h, i (wh ) 3. wh 1 mit wh schneiden M 4. Lot auf h durch M ( Radius LM) 5. Lösung einzeichnen Hier wird eine Erweiterung der Grundkonstruktion 3 verwendet. Die Wahl der Winkelhalbierenden ist hier zufällig, es müssen einfach Winkelhalbierende gezeichnet werden. Ebenfalls kann das Lot zur Bestimmung des Kreisradius auf jede der drei Geraden gefällt werden. 5. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. k 1 (, r 1.5cm) und k (B, r 3cm). P auf k 1 wählen, P verbinden. 3. P // durch B verschieben P, P 4. PP mit B schneiden Z 1 5. Thaleskreis über Z 1 mit k 1 schneiden T 1, T 6. Z 1T 1 verlängern, Z 1T verlängern 7. Berührungspunkte mit k einzeichnen (Lot auf t durch B) 8. Lösung einzeichnen b dem Schritt 4 würde auch eine zweite Lösung entstehen (PP mit B schneiden Z). Bei dieser Disposition ist diese Lösung allerdings sehr schwierig zu finden, darum verzichte ich auf die Konstruktion davon. 6. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Winkelhalbierende von g, h wh 1. wh1 mit k schneiden T 1, T 3. Lot auf wh 1 durch T 1 t 1 4. Lot auf wh 1 durch T t 5. Winkelhalbierende t 1, g wh 6. Winkelhalbierende t, g wh 3 7. wh 1 mit wh schneiden M 1 8. wh 1 mit wh 3 schneiden M 9. Lösung einzeichnen Diese ufgabe entspricht der Grundkonstruktion 4 aus dem Dossier. LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 5

6 Seiten 1 ufgaben Kreiskonstruktionen (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 7. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. uf dem Kreis k wählen wir einen Punkt S1. Hilfssehne t von S1 aus einzeichnen (S1S 5cm) 3. Lot auf t durch M B1 4. Hilfskreis h (M, r MB) 5. Thaleskreis über MP mit Hilfskreis h schneiden B, B3 6. Gesuchte Sehnen einzeichnen (Lösungen) (PB und PB3) Hier verwenden wir die Eigenschaft, dass alle Sehnen innerhalb eines Kreises Tangenten an einen kleineren Kreis (hier h) sind und nur gedreht wurden. lso reduzieren wir die ufgabe nach dem Finden des Hilfskreises h auf die Grundkonstruktion 8. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. MP verbinden und verlängern (Der Radius des neuen Kreises muss auf dieser Gerade liegen, da sich die Kreise ja berühren). Lot auf MP durch P t (Diese Gerade ist die gemeinsame Tangenten des gegebenen Kreises und des gesuchten Kreises) 3. Winkelhalbierende t, g wh 1, wh 4. wh 1 mit MP schneiden M 1 5. wh mit MP schneiden M 6. Radius 1 und Radius einzeichnen (Lot auf g durch M1, rsp. durch M) 7. Lösung einzeichnen Diese ufgabe lehnt an die Grundkonstruktion 3 aus dem Dossier an. Sobald man merkt, dass die Kreise in der Geraden t eine gemeinsame Tangente haben, ist man bei Grundkonstruktion 3. LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 6

7 Seiten / 3 ufgaben Kreiskonstruktionen (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 9. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Kreisradius verlängern, rsp. verkürzen um den Radius des gesuchten Kreises (.5cm) Hilfskreis h1 (M, r r +.5cm) und Hilfskreis h (M, r r.5cm). Hilfskreis h3 (P, r.5cm) 3. Schnittpunkte der Hilfskreise bestimmen (h1 mit h3 schneiden M1, M) (h mit h3 schneiden M3, M4) Hier keine Schnittpunkte 4. Lösung einzeichnen Diese ufgabe entspricht der weiteren Konstruktion 1 aus dem Dossier. 10. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Kreisradius verlängern, rsp. verkürzen um den Radius des gesuchten Kreises (1.3 cm) Hilfskreis h 1 (M, r r + 1.3cm) und Hilfskreis h (M, r r 1.3cm). Parallelenpaar g, g mit bstand 1.3cm von g (Der Kreismittelpunkt der gesuchten Kreise muss in bstand von 1.3cm von g liegen, da g Tangente an den Kreis sein muss) 3. h 1 mit g schneiden M 1, M 3, M 4, M 6 4. h mit g schneiden M, M 5 5. Radien der Kreise einzeichnen (Lot auf g durch M 1, M, M 3, M 4, M 5, M 6) 6. Lösung einzeichnen (6 Lösungen) Diese Konstruktion nimmt Bezug auf die die weiteren Konstruktion 1 aus dem Dossier. LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 7

8 Seite 3 ufgaben Kreiskonstruktionen (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 11. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Mittelparallele von g und h p (uf dieser Geraden muss der gesuchte Kreismittelpunkt liegen, da g und h Tangenten an den Kreis sein müssen). bstand von p zu g (oder zu h) Gesuchter Radius des Kreises 3. Kreisradius um den Radius des gesuchten Kreises vergrössern, rsp. verringern. Hilfskreis i 1 (M, r r + Radius) und Hilfskreis i (M, r r Radius) 4. i 1 mit p schneiden M, M 3 5. i mit p schneiden M 1, M 4 6. Radien der Kreise einzeichnen, Berührungspunkte mit dem Kreis k einzeichnen: Gefundene Mittelpunkte M 1-M 4 je mit M verbinden) 7. Lösung einzeichnen (4 Lösungen) Seite 5 Diese Konstruktion entspricht der weiteren Konstruktion aus dem Dossier. ufgaben Konstruktionen mit Inkreis (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 1 a Skizze: Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. festlegen, α 35 einzeichnen. B festlegen Hilfswinkel β 60 einzeichnen a 3. Parallele zu c (B) mit bstand 1.5cm einzeichnen c (Die Seite c ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Lösung: Parallele c ) 4. Winkelhalbierende von α einzeichnen (C und B sind Tangenten an den Inkreis, also ist der Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden) 5. wh mit c schneiden Inkreismittelpunkt I 6. Inkreis k einzeichnen 7. Lot auf a durch I (Damit finden wir den Berührungspunkt der Seite a an den Inkreis) 8. Lösung einzeichnen LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 8

9 Seiten 6 / 7 ufgaben Konstruktionen mit Inkreis (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet). Skizze: Lösung: Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. festlegen, α 60 einzeichnen. C b 4cm C 3. Parallele zu c (B) mit bstand 1.5cm einzeichnen c (Die Seite c ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele c ) 4. Winkelhalbierende von α einzeichnen (C und B sind Tangenten an den Inkreis, also ist der Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden) 5. wh mit c schneiden Inkreismittelpunkt I 6. Inkreis i einzeichnen 7. Thaleskreis über IC (Siehe Grundkonstruktion ). Berührungspunkt für die Seite CB mit dem Inkreis. 8. Lösung einzeichnen 3 Skizze: Lösung: Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Höhenstreifen ha. Punkt B festlegen, β 35 einzeichnen Schnittpunkt mit Höhenstreifen 3. Parallele zu a (BC) mit bstand 1.5cm einzeichnen a (Die Seite a ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele a ) 4. Winkelhalbierende von β einzeichnen (B und BC sind Tangenten an den Inkreis, also ist der Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden) 5. wh mit a schneiden Inkreismittelpunkt I 6. Inkreisradius einzeichnen (Lot auf B durch I) 7. Inkreis i einzeichnen 8. Thaleskreis über I (Siehe Grundkonstruktion ). Berührungspunkt für die Seite C mit dem Inkreis. 9. Lösung einzeichnen LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 9

10 Seiten 7 / 8 ufgaben Konstruktionen mit Inkreis (chtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) 4. Skizze: Lösung: Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Höhenstreifen hb (4cm). Punkt festlegen, B mit Zirkel abtragen k (, r 5cm) B1, B 3. Parallele zu c (B) mit bstand 1.cm einzeichnen c 1, c (Die Seite c ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele c ) 4. Winkelhalbierende von α einzeichnen (C und C sind Tangenten an den Inkreis, also ist der Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden) 5. wh 1 mit c 1 schneiden Inkreismittelpunkt I 1 wh mit c schneiden Inkreismittelpunkt I 6. Inkreisradius einzeichnen (Lot auf c durch I) 7. Inkreis i einzeichnen 8. Thaleskreis über BI 1, rsp. BI (Siehe Grundkonstruktion ). Berührungspunkt für die Seite BC mit dem Inkreis. 9. Lösungen einzeichnen ( Lösungen) 5. Konstruktionsbericht (Lösungsplan) 1. Quadrat konstruieren (s 5cm). Diagonale e einzeichnen (DB) 3. Winkelhalbierende d, e einzeichnen (Die Seite d und die Diagonale e sind Tangenten an den gesuchten Halbkreis, also ist der Kreismittelpunkt auf der Winkelhalbierenden) 4. wh mit a schneiden M 5. Lösung einzeichnen LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 10

11 Seite 8 / 9 ufgaben Kreisberechnungen 1 Berechnung 1. M 1R 1a (4a : 1a). PR 5a (10a : 5a) 3. M 1P mit Pythagoras: M 1P r (1a) + (5a) 144a + 5a 169a 13a 4. Der gesuchte Umfang besteht aus zwei Halbkreisen mit Radius r, sowie zwei Strecken mit der gleichen Länge wie M 1M. Somit können wir den Umfang berechnen: Halbkreis + Strecke M 1M r + 4a r + 48a 13a + 48a 6a + 48a a (13 +4) 19.68a Wenn wir PM verbinden, so entsteht mit dem Dreieck PMB ein halbes gleichseitiges Dreieck. Damit muss die Strecke PM r sein (da BM die halbe Seite darstellt und BP die Höhe des gleichseitigen Dreiecks.) Mit Pythagoras folgt die Länge von PB 40 BP (r) + r 4r + r 5r r 5.36r 10 MBP ist ein Viereck (Winkelsumme ). Somit ist der Winkel bei M 10 ( ) a) Umfang: Der Umfang besteht aus dem Streckenanteil BP und P (beide gleich lang) und dem Kreisbogen. Dieser hat einen Zentriwinkel von 40 u r 5 + r r 5 + r 3 r ( ) 8.661r b) Fläche: Die Fläche besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken und einem Kreissektor mit Zentriwinkel 40 r 5 r + r r 5 + r 3 r ( ) 4.33r LoesungenGeometrie-Dossier 6 - Rund um den Kreis.docx. Räz / Seite 11