Singulärwert-Zerlegung

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1 Singulärwert-Zerlegung Zu jeder komplexen (reellen) m n-matrix A existieren unitäre (orthogonale) Matrizen U und V mit s 1 0 U AV = S = s Singulärwert-Zerlegung 1-1

2 Singulärwert-Zerlegung Zu jeder komplexen (reellen) m n-matrix A existieren unitäre (orthogonale) Matrizen U und V mit s 1 0 U AV = S = s Die singulären Werte s 1 s 2 s k > s k+1 = = 0 sind die Wurzeln der Eigenwerte von A A und k ist der Rang von A. Singulärwert-Zerlegung 1-2

3 Singulärwert-Zerlegung Zu jeder komplexen (reellen) m n-matrix A existieren unitäre (orthogonale) Matrizen U und V mit s 1 0 U AV = S = s Die singulären Werte s 1 s 2 s k > s k+1 = = 0 sind die Wurzeln der Eigenwerte von A A und k ist der Rang von A. Die Spalten u j von U und v j von V bilden orthonormale Basen aus Eigenvektoren von AA bzw. A A, und es gilt Av j = s j u j Singulärwert-Zerlegung 1-3

4 Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung lässt sich die lineare Abbildung x y = Ax in der Form y = k i=1 s i (v i x)u i darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass Kern A = span{v k+1,..., v n }, Bild A = span{u 1,..., u k }. Singulärwert-Zerlegung 1-4

5 Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung lässt sich die lineare Abbildung x y = Ax in der Form y = k i=1 s i (v i x)u i darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass Kern A = span{v k+1,..., v n }, Bild A = span{u 1,..., u k }. Schließlich ist A 2 = s 1 und A 2 F = j,k a j,k 2 = s s2 k. Singulärwert-Zerlegung 1-5

6 Beweis: (i) Konstruktion: Singulärwert-Zerlegung 2-1

7 Beweis: (i) Konstruktion: A A hermitesch und positiv semidefinit = V A AV = diag(s1, 2..., sk 2, 0,..., 0) Singulärwert-Zerlegung 2-2

8 Beweis: (i) Konstruktion: A A hermitesch und positiv semidefinit = V A AV = diag(s 2 1,..., s 2 k, 0,..., 0) = S t S, V V = E (Eigenwerte s 2 j absteigend sortiert) Singulärwert-Zerlegung 2-3

9 Beweis: (i) Konstruktion: A A hermitesch und positiv semidefinit = V A AV = diag(s 2 1,..., s 2 k, 0,..., 0) = S t S, V V = E (Eigenwerte sj 2 absteigend sortiert) Spalten von AV orthogonal mit Norm s i = AV = ( s 1 u 1 s k u k 0 0 ) = US mit einer unitären Matrix U; die Spalten u k+1,..., u m ergänzen u 1,..., u k zu einer orthonormalen Basis Singulärwert-Zerlegung 2-4

10 Beweis: (i) Konstruktion: A A hermitesch und positiv semidefinit = V A AV = diag(s 2 1,..., s 2 k, 0,..., 0) = S t S, V V = E (Eigenwerte sj 2 absteigend sortiert) Spalten von AV orthogonal mit Norm s i = AV = ( s 1 u 1 s k u k 0 0 ) = US mit einer unitären Matrix U; die Spalten u k+1,..., u m ergänzen u 1,..., u k zu einer orthonormalen Basis Darstellung A = USV Singulärwert-Zerlegung 2-5

11 (ii) Rang: Singulärwert-Zerlegung 2-6

12 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = Rang A = Rang S = k Singulärwert-Zerlegung 2-7

13 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = (iii) Av j = s j u j : Rang A = Rang S = k Singulärwert-Zerlegung 2-8

14 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = (iii) Av j = s j u j : folgt aus mit e j dem j-ten Einheitsvektor Rang A = Rang S = k A = USV, V v j = e j, Se j = s j e j Singulärwert-Zerlegung 2-9

15 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = (iii) Av j = s j u j : folgt aus mit e j dem j-ten Einheitsvektor (iv) y = i s i(v i x)u i: Rang A = Rang S = k A = USV, V v j = e j, Se j = s j e j Singulärwert-Zerlegung 2-10

16 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = (iii) Av j = s j u j : folgt aus mit e j dem j-ten Einheitsvektor (iv) y = i s i(vi x)u i: folgt aus (iii) und x = i Rang A = Rang S = k A = USV, V v j = e j, Se j = s j e j (v i x)v i (Darstellung bzgl. einer orthonormalen Basis) Singulärwert-Zerlegung 2-11

17 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = (iii) Av j = s j u j : folgt aus mit e j dem j-ten Einheitsvektor (iv) y = i s i(vi x)u i: folgt aus (iii) und x = i Rang A = Rang S = k A = USV, V v j = e j, Se j = s j e j (v i x)v i (Darstellung bzgl. einer orthonormalen Basis) (v) A 2 = s 1, A 2 F = s s2 k : Singulärwert-Zerlegung 2-12

18 (ii) Rang: Invarianz des Ranges unter unitären Transformationen = (iii) Av j = s j u j : folgt aus mit e j dem j-ten Einheitsvektor (iv) y = i s i(vi x)u i: folgt aus (iii) und x = i Rang A = Rang S = k A = USV, V v j = e j, Se j = s j e j (v i x)v i (Darstellung bzgl. einer orthonormalen Basis) (v) A 2 = s 1, A 2 F = s s2 k : folgt aus der Invarianz euklidischer Normen unter unitären Transformationen Singulärwert-Zerlegung 2-13

19 Beispiel: Berechnung der Singulärwert-Zerlegung von A = Singulärwert-Zerlegung 3-1

20 Beispiel: Berechnung der Singulärwert-Zerlegung von A = (i) Bestimmung von V : A t A = Singulärwert-Zerlegung 3-2

21 Beispiel: Berechnung der Singulärwert-Zerlegung von A = (i) Bestimmung von V : A t A = Eigenwert 100 mit Eigenvektor (0, 1, 0) t Singulärwert-Zerlegung 3-3

22 Beispiel: Berechnung der Singulärwert-Zerlegung von A = (i) Bestimmung von V : A t A = Eigenwert 100 mit Eigenvektor (0, 1, 0) t Spalte 3 = (4/3) Spalte 1 Eigenwert 0 mit Eigenvektor (4, 0, 3) t /5 Spur A = 500 Eigenwert = 400 mit orthogonalem Eigenvektor Singulärwert-Zerlegung 3-4

23 absteigende Sortierung der singulären Werte (Wurzeln der Eigenwerte von A t A /5 0 4/5 V = 0 1 0, S = /5 0 3/ Singulärwert-Zerlegung 3-5

24 absteigende Sortierung der singulären Werte (Wurzeln der Eigenwerte von A t A /5 0 4/5 V = 0 1 0, S = /5 0 3/ (ii) Bestimmung von U: Singulärwert-Zerlegung 3-6

25 absteigende Sortierung der singulären Werte (Wurzeln der Eigenwerte von A t A /5 0 4/5 V = 0 1 0, S = /5 0 3/ (ii) Bestimmung von U: AV = Normierung (Division durch s 1, s 2 ) Spalte 1 und 2 von U: 1/2 1/2 u 1 = 1/2 1/2, u 2 = 1/2 1/2 1/2 1/2 Singulärwert-Zerlegung 3-7

26 Ergänzung zu einer orthogonalen Basis U = Singulärwert-Zerlegung 3-8

27 Ergänzung zu einer orthogonalen Basis U = (iii) Probe: A = USV t Singulärwert-Zerlegung 3-9

28 Ergänzung zu einer orthogonalen Basis U = (iii) Probe: A = USV t A = = = USV t Singulärwert-Zerlegung 3-10

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