10 Das Riemannsche Integral

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1 10 Ds Riemnnsche Integrl Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t = b 6 Abbildung 11: Grph einer Funktion mit Untersumme Wir pproximieren diesen Flächeninhlt, indem wir zunächst ds Intervll [, b] unterteilen: = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b. In diesem Fll spricht mn von einer Zerlegung der Länge n in die Teilintervlle I i = [t i 1, t i ] ; i = 1,..., n. Für jedes dieser Teilintervlle definieren wir m i := inf {f(x) t i 1 x t i }, M i := sup {f(x) t i 1 x t i }. Flls die Funktion f beschränkt ist, dnn existieren diese Zhlen für jede Unterteilung des Intervlls I = [, b]. Definition Es sei f : I = [, b] R eine beschränkte Funktion und P = {t 0, t 1,..., t n } eine Zerlegung von I, d.h. t 0 = < t 1 <... < t n = b. Die Zhlen m i, M i ; i = 1,..., n seien wie oben definiert. (i) Die Untersumme von f bezüglich der Zerlegung P ist definiert durch U(f, P ) := m i (t i t i 1 ).

2 10 Ds Riemnnsche Integrl 51 (ii) Die Obersumme von f bezüglich der Zerlegung P ist definiert durch O(f, P ) := M i (t i t i 1 ). Unmittelbr us der Definition folgt, dss stets gilt U(f, P ) O(f, P ). Wir vergleichen nun, ws pssiert, wenn wir verschiedene Zerlegungen betrchten. Definition Wir sgen, dss eine Zerlegung Q = {t 0,..., t m } eine Verfeinerung der Zerlegung P = {t 0,..., t n } ist, flls P Q gilt. Stz 10.1 Es sei Q eine Verfeinerung von P. Dnn gilt U(f, P ) U(f, Q) O(f, Q) O(f, P ). Beweis. Wir hben bereits bewiesen, dss die zweite Ungleichung gilt. Wir werden hier die erste Ungleichung zeigen, die dritte geht nlog. Ferner genügt es, die Sitution zu betrchten, wo mit Es sei Es gilt dnn P = {t 0,..., t n }, Q = {t 0,..., t k 1, u, t k,..., t n } = t 0 < t 1 < < t k 1 < u < t k < < t n = b. m := inf {f(x) t k 1 x u} m := inf {f(x) u x t k }. U(f, P ) = m i (t i t i 1 ). k 1 U(f, Q) = m i (t i t i 1 ) + m (u t k 1 ) + m (t k u) + i=k+1 m i (t i t i 1 ). Vergleichen wir die beiden Summen, so sehen wir, dss wir die folgende Ungleichung beweisen müssen: m k (t k t k 1 ) m (u t k 1 ) + m (t k u). Nun gilt nch Definition der Größen m k, m und m : Dmit gilt m k m, m k m. m k (t k t k 1 ) = m k (u t k 1 ) + m k (t k u) m (u t k 1 ) + m (t k u).

3 10 Ds Riemnnsche Integrl 52 Stz 10.2 Es sei f : I = [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt für zwei beliebige Zerlegungen P 1 und P 2 von I, dss U(f, P 1 ) O(f, P 2 ). Beweis. Es sei P = P 1 P 2 die gemeinsme Verfeinerung von P 1 und P 2. Dnn gilt nch Stz 10.1 Wir betrchten nun die Mengen U(f, P 1 ) U(f, P ) O(f, P ) O(f, P 2 ). U := {U(f, P ) P ist Zerlegung von [, b]}, O := {O(f, P ) P ist Zerlegung von [, b]}. Nch Stz 10.2 ist die Menge U nch oben und die Menge O nch unten beschränkt. Dher besitzt U ein Supremum und O ein Infimum. Definition Es sei f : I = [, b] R eine beschränkte Funktion. (i) Ds Unterintegrl von f uf dem Intervll I ist definiert durch U f(x)dx = sup {U(f, P ) P ist Zerlegung von f}. (ii) Ds Oberintegrl von f uf dem Intervll I ist definiert durch O Aus Stz 10.2 folgt sofort, dss f(x)dx = inf {O(f, P ) P ist Zerlegung von f}. U f(x)dx O Definition Eine beschränkte Funktion f : I = [, b] R heißt uf dem Intervll I (Riemnn) integrierbr, flls gilt: U f(x)dx = O Schreibweise: Mn schreibt: f(x)dx := f(x)dx := U I f(x)dx = O

4 10 Ds Riemnnsche Integrl Abbildung 12: Die Funktion f us Beispiel 10.1 Beispiel 10.1 Es sei I = [0, 2] und { 1 für 0 x < 1 f(x) := 2 für 1 x 2. Für jede Zerlegung P, die den Punkt 1 enthält, gilt Also ist f integrierbr und es gilt U(f, P ) = = 3 = O(f, P ). 2 0 f(x)dx = 3. Beispiel 10.2 Es sei I = [0, 1] und { 0 für x Q f(x) = 1 für x R \ Q. Dnn gilt für jede Zerlegung P von [0, 1]: U(f, P ) = 0 (t i t i 1 ) = 0, Also gilt O(f, P ) = 0 = U 1 0 i=0 1 (t i t i 1 ) = 1. i=0 f(x)dx < O und die Funktion f ist nicht integrierbr. 1 0 f(x)dx = 1 Stz 10.3 Es sei < c < b. Dnn ist eine beschränkte Funktion f genu dnn uf dem Intervll [, b] integrierbr, wenn sie uf [, c] und [c, b] integrierbr ist. In diesem Fll gilt f(x)dx = c f(x)dx + c

5 10 Ds Riemnnsche Integrl 54 Beweis. Mn betrchte die Prtitionen von [, b], die den Punkt c enthlten. Stz 10.4 Flls f und g uf I = [, b] integrierbr sind, dnn ist uch f + g uf I = [, b] integrierbr, und es gilt (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x). Beweis. Es sei P = {t 0,..., t n } eine Zerlegung von [, b]. Wir definieren m i := inf {f(x) t i 1 x t i }, und nlog M i, M i m i := inf {g(x) t i 1 x t i }, m i := inf {f(x) + g(x) t i 1 x t i } und M i. Dnn gilt Dmit gilt für jede Zerlegung P : m i m i + m i, M i M i + M i. U(f, P ) + U(g, P ) U(f + g, P ) O(f + g, P ) O(f, P ) + O(g, P ). Hierus folgt die Behuptung sofort. Stz 10.5 Die Funktion f sei uf I = [, b] integrierbr, c R. Dnn ist uch die Funktion cf uf I = [, b] integrierbr, und es gilt Beweis. Klr. (cf)(x)dx = c Stz 10.6 Die Funktion f sei uf I = [, b] integrierbr. Es gelte m f(x) M, x [, b]. Dnn gilt m(b ) f(x)dx M(b ). Beweis. Für jede Zerlegung P des Intervlls I = [, b] gilt m(b ) U(f, P ) O(f, P ) M(b ). Bemerkung 10.1 (1) Ist > b, so definiert mn f(x)dx := b (2) Ist f 0, so versteht mn ds Integrl f(x)dx ls den Flächeninhlt, der vom Grphen der Funktion und der x-achse eingeschlossen wird. Ist f 0, so wird dieser Flächeninhlt negtiv gezählt.

6 10 Ds Riemnnsche Integrl _ b Abbildung 13: Ds Integrl ls Flächeninhlt

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