Nicht-lineare Finanzprodukte

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1 Kapitel 3 Nicht-lineare Finanzprodukte Im diesem Abschnitt der sogenannten nicht-linearen Produkte wird zur Vereinfachung von einer konstanten und deterministischen Zinskurve ausgegangen Aktienoptionen Sei S t der Aktienkurs einer Aktie zum Zeitpunkt t (einer festen AG). Eine Aktienoption ist die Vereinbarung zwischen zwei Parteien im Zeitpunkt t 0, zum Zeitpunkt T den Betrag (S T K) + oder (K S T ) + auszutauschen. Genauer: Bei einer (europäischen) Kaufoption (engl. (european) call option ) verspricht der Optionsverkäufer, im Zeitpunkt T > t 0 eine Aktie zum Preis von K an den Optionshalter zu verkaufen, falls der dann kaufen möchte. Selbstverständlich möchte der Halter in T nur kaufen, falls S T > K ist, sonst könnte er die Aktie am Markt (bzw. an der Börse, falls der Titel börsennotiert ist) billiger kaufen. Falls S T > K ist, hat der Optionshalter einen Gewinn von (S T K) (abzüglich der Optionsprämie), denn er könnte die Aktie am Markt für S T verkaufen. Der Gewinn ist also (S T K) + (mit der Notation x + := max(x, 0)). Der Wert der Kaufoption unter Einbeziehung der Prämie ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Bei der (europäischen) 1 Betrachte folgende Argumentation: Eine konstante Zinskurve impliziert die Gleichheit des Zinses und der Terminzinsen. Da der Terminzins aber im stochastischen Zinsmodell Schätzer für den zukünftigen Zins ist, ist der Zins notwendigerweise nicht-stochastisch. 27

2 28 KAPITEL 3. NICHT-LINEARE FINANZPRODUKTE C T K S T Abbildung 3.1: Wert einer Kaufoption (mit Prämie) Verkaufoption (engl. (european) put option ) darf der Optionshalter zum Preis K im Zeitpunkt T verkaufen. Wir werden im Folgenden ausschließlich europäische Optionen behandeln (und deshalb das Adjektiv meist weglassen). K nennt man Kursgrenze (engl. strike (price) ). Von grundlegendem Interesse für den Optionshandel ist der Wert der Option zum Zeitpunkt t < T. Für t = t 0 entspricht der Wert dem Ausgabekurs, der Prämie. Im Gegensatz zu den Termingeschäften und den Swaps, hat die Option für den Halter schon im Punkt t 0 einen positiven und für den Verkäufer einen negativen Wert. Das liegt daran, dass der Käufer nur gewinnen kann. Bei einem Swap haben beide Seiten Gewinn- und Verlustmöglichkeiten, die durch den fixen Zins fair austariert werden. Dadurch, dass der Optionskäufer keine Verlustmöglichkeit hat, muss er eine Prämie in t 0, den Wert der Option, zahlen. Bemerkung: Optionen heißen nicht-lineare Produkte, weil ihre Gewinnsituation nicht linear vom Wert des referenzierten Produktes (engl. underlying ) abhängen, wie Abbildung 3.1 zeigt. Bei einem Termingeschäft bezieht sich die Gewinnsituation - zumindest lokal - linear auf den im Ausübungszeitpunkt aktuellen Zins, wie Formel (2.2) zeigt, wenn man die Exponentialfunktion linear Taylor-approximiert. Natürlich könnten wir auch die Gewinnfunktion (S T K) + linear approximieren, aber das ist

3 3.1. AKTIENOPTIONEN 29 aufgrund der Nichtdifferenzierbarkeit, insbesondere für die interessante Situation von S T = K, falsch. Zusammenhang zwischen Kauf- und Verkaufoption Bezeichne C t den Wert einer Kaufoption im Zeitpunkt t und P t den Wert einer Verkaufoption im Zeitpunkt t unter arbitragefreien Umständen. Beide haben die identische Kursgrenze K und den Ausübungszeitpunkt T. Betrachte folgende zwei Portfolien in t < T: Portfolio A: Eine (europäische) Kaufoption +Ke r(t t) Bargeld. Portfolio B: Eine (europäische) Verkaufoption + eine (dazugehörige) Aktie. Der Wert von Portfolio A ist in T: (S T K) + + K = max(s T,K). Der Wert von Portfolio B ist in T: (K S T ) + + S T = max(s T,K). Die Portfolien sind also gleichwertig in T, dann sind sie aber auch in jedem t < T gleichwertig, da sonst Arbitrage möglich wäre. Denn sonst kaufe man ein billiges Portfolio und verkaufe ein teures. Der Gewinn wäre risikolos, da man nur bis T warten müsste bis sich die Werte wieder neutralisieren. Genauer formuliert verkauft man in T das ehemals billigere Portfolio und kauft das ehemals teurere Portfolio und ist damit glatt, d. h. man besitzt keines der Portfolien, schuldet aber auch keines. Also gilt C t + Ke r(t t) = P t + S t. (3.1) Man kann also den Preis der Verkaufoption durch den der Kaufoption mit derselben Kursgrenze ausdrücken. P t = C t + Ke r(t t) S t. (3.2) Diesen Zusammenhang nennt man auf englisch call-put parity ; vergleiche auch Hull (2000). Es reicht also, sich mit der Bewertung der Kaufoption zu beschäftigen. Deswegen werden wir auch häufig die Kaufoption einfach als Option bezeichnen.

4 30 KAPITEL 3. NICHT-LINEARE FINANZPRODUKTE Das einperiodiges Bernoulli Modell Elementare Modelle zur Optionspreisfindung sind in der Literatur weit verbreitet, siehe z. B. Hull (2000) oder Elliott and Kopp (1999). Man betrachte nur zwei Zeitpunkte t 0 and T, die ohne Beschränkung der Allgemeinheit 0 und 1 seien. S 0 ist bekannt und fest, S 1 eine Zufallsvariable (auf (Ω, F,P)) und wir werden feststellen, dass sich C 0 als E P (βc 1 ) berechnet, also der Verkäufer den zu erwartenden Wert der Kaufoption zum Zeitpunkt T = 1 in Rechnung stellt. Sei β der Diskontfaktor, also e r bei Annahme eines konstanten Zinses. Der Einfachheit halber nehmen wir in diesem Abschnitt β 1, also r = 0 an 2. Die Bewertung eines zufälligen Zahlungsstroms mit dem Erwartungswert basiert wieder auf der Idee der Arbitragefreiheit: Wenn der Wert nicht der Erwartungswert wäre, könnte man zwar gänzlich keinen risikofreien Gewinn machen, aber im Erwartungswert. Allgemein wollen wir jeden Anspruch (engl. claim ) H eines Vertrages (engl. contract ) in 1 mit E(H) bewerten. Nun hängt das Bernoulli-Maß bei gegebenen Aus- prägungen S 1 (ω 1 ),S 1 (ω 2 ) von der persönlichen Einschätzung des Käufers ab. Diese ergibt eine Präferenz für oder gegen das Geschäft je nach Angebot des Verkäufers, also dessen Einschätzung. Das angenommene Aktienkursmodell ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Black und Scholes (Black and Scholes (1973)) machen in ihrer Darstellung eine Annahme über die Aktienkursentwicklung, oder allgemeiner über die Entwicklung des Referenzproduktwertes, die inzwischen weit verbreitet ist. Die Annahme nennt man Preferenzfreiheit und wir wollen sie zunächst an einem Zahlenbeispiel verdeutlichen: S 0 = 10 und S 1 = { 20 ω = ω 2 7, 5 ω = ω 1 Mit Geldeinheiten sei durchgehend Euro gemeint, solange nicht anders angegeben. Der Anspruch H aus einer (Kauf)Option mit Kursgrenze K = 15 ist dann C 1 (ω 2 ) = 5 (weil S 1 = 20) und C 1 (ω 1 ) = 0 sonst. 2 Wir können wir auch die Datenbasis anpassen und β in den Optionswert absorbieren und dasselbe für den Aktienkurs annehmen, also die Kurse um den Trend des risikofreien Zinses bereinigen.

5 3.1. AKTIENOPTIONEN 31 S 1 (ω 2 ) S 0 p 1 p 0 1 S 1 (ω 1 ) Abbildung 3.2: Bernoulli Aktienkursmodell Bewertung - Variante 1 (Implizite Wahrscheinlichkeitsverteilung): Wir wollen nun das Bernoulli-Maß unter Annahme der Risiko-Neutralität ermitteln, d. h. der Halter einer Aktie soll keinen zu erwartenden Gewinn machen. S t ist dann ein Martingal (bemerke β 1): E P (S 1 ) = S 0 10 = 20p + 7, 5(1 p) p = 0, 2 und 1 p = 0, 8. Das soeben bestimmte Maß nennt man wegen des verschwindenden Trends Martingal-Maß. Der zu erwartende Anspruch aus der Option berechnet sich als E(H) = 0, 2 5(+0, 8 0) = 1. Bewertung - Variante 2 (Replikation/Hedge): Um zu erkennen, dass dieser Preis eindeutig ist, bestimmen wir weiter den Preis über die Replikationsidee. Wir suchen ein Portfolio, das im Zeitpunkt T = 1 denselben Wert hat wie das Originalportfolio, die Option, aber dessen Wert in 0 bekannt ist. Wieder garantiert uns dann die Arbitragefreiheit, dass dieser Wert den Preis von H darstellt.

6 32 KAPITEL 3. NICHT-LINEARE FINANZPRODUKTE Betrachte ein Portfolio aus η Einheiten Bargeld und δ Aktien (Teilbarkeitsannahme). Da wir Verzinsung nicht berücksichtigen, ist der Wert des Portfolios für den Halter V t = η + δs t in t {0, 1} 3. η und δ sind so zu wählen, dass die Replikation möglich ist. Demnach muss V 1 (ω 2 ) = 5! = η 1 + δ 20 und V 1 (ω 1 ) = 0! = η 1 + δ 7, 5, also müssen δ = 0, 4 und η = 3 sein. Wir können den Wert des Portfolios für den Halter, also die Kosten für den Verkäufer, ermitteln als V 0 = η 1 + δ 10 = = 1. q.e.d. Was passiert aus Sicht des Verkäufers? Er leiht sich 3 Euro in t 0 = 0 und kauft mit 1 Euro Prämie 0, 4 = 4 10 Aktien. Falls die Aktie in T = 1 mit 20 gehandelt wird, verkauft er die 0, 4 Aktien mit Erlös von 8 Euro, der die Ausgabe in Höhe von 5 Euro aus der Option und die 3 Euro des Kredits tilgt. Falls die Aktie den Wert 7, 5 annimmt, verkauft er diese mit Erlös von 3 Euro, mit welchem er den Kredit bedient. (Die Option ist wertlos.) Beiden Verfahren sind äquivalent. (Auch wenn wir das hier nur am Beispiel gesehen haben). Wir können in Zukunft also das Martingal-Maß bestimmen und die zukünfigen Auszahlungen (engl. pay-off ) wahrscheinlichkeitsgewichtet (und abdiskontiert) aggregieren. Die konkrete Replikation, der Hedge, ist für die Bestimmung des Preises nicht mehr notwendig! Allgemeines einperiodiges Modell Wir wollen nun den Bernoulli-Ansatz auf eine stetige Menge von Ausprägungsmöglichkeiten von S 1 ausweiten (siehe Elliott and Kopp (1999)). 3 Bemerke: Die Wertveränderung ist V = δ S. Der Portfolioendwert ist also V 1 = V 0 + V und es ist V 0 = E P (V 0 ) = E P (V 1 V ) = E P (V 1 ), da S Martingal ist.

7 3.1. AKTIENOPTIONEN 33 Sei S 0 der Aktienkurs in t 0 und S 1 (ω) der Aktienkurs in T = 1. Bemerke, dass S 0 fest und S 1 eine Zufallsvariable ist. Definere den Zeit-0-Wert Ȳ := βy mit dem Diskontfaktor β, der den Trend des risikolosen Zinses eliminiert. Wie wir gesehen haben, werden damit Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte vergleichbar. Sei H(ω) der Anspruch aus einem Vertrag im Zeitpunkt T, den wir als eine Partei des Vertrages erfüllen müssen. Wieder wollen wir den Anspruch schon in t 0 absichern (hedgen). Beim einperiodigen Bernoulli Modell korrespondierte die Anzahl der Hedginginstrumente, Aktien und Bargeld, mit der Anzahl der möglichen Ausprägungen von S 1. Dadurch war das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar. Trotz der fehlenden Analogie, werden wir nun wieder diese beiden Instrumente verwenden, um ein Hedgeportfolio aufzubauen. Wir kaufen ein Portfolio aus δ Aktien und η 0 Einheiten Geld. Der Wert in 0 ist: V 0 = η 0 + δs 0 Die η 0 eerwirtschaften auf einem Konto (β 1 1)η 0 Zinsen. Wir wollen V 1 = H erzielen (wie im einperiodigen Bernoulli Modell) oder äquivalent V 1 = H. Das erreichen wir indem wir im Zeitpunkt T = 1 unseren Geldbestand η 1 auf H δs 1 aufstocken (oder reduzieren), denn dann ist der Wert unseres Portfolios in T V 1 = δs 1 + η 1 = δs 1 + H δs 1 = H. Bemerke: Wir können nicht mehr annehmen, dass η 1 = 0 ist, wie implizit im einperiodigen Bernoulli Modell. Die Strategie (δ,η 0,η 1 ) ist aber festgelegt mit der Wahl von δ und V 0. Dass wir nicht η 1 = 0 annehmen können heißt, dass wir auch nicht alle Kosten der Portfolioreplikation schon in t 0 kennen (und dem Käufer in Rechnung stellen können). Die Kosten beschreibt der Prozess (C 0,C 1 ), mit C 0 = V 0 als initialer Investition. Aber was ist C 1? Betrachte C, nun sind C 1 und C 0 nicht vergleichbar. Um die Stichtagsbetrachtung zu ermöglichen, definiere allgemein Ȳ := βy 1 Y Der Ansatz C = C 1 C 0 = η 1 β 1 η 0 führt zu einem anderen Ergebnis für C 1. Trotzdem erscheint er zunächst sinnvoll, da C = βη 1 η 0. C ist aber nicht wohldefiniert, da z. B. nicht klar ist wann der Wert des Bargeldes von η 0 auf β 1 η 0 springt.

8 34 KAPITEL 3. NICHT-LINEARE FINANZPRODUKTE In unserem Fall ist die Veränderung der Kosten C nur bestimmt durch die Änderung unseres Geldbestandes η = (η 0,η 1 ). Wir beabsichtigen nicht, den Aktienbestand zu verändern, also haben wir bei den Aktienkosten nur die Anfangskosten δs 0 und keine Kostenveränderung. Das diskontierte Kosteninkrement ist C = βc 1 C 0 = βη 1 η 0 = β(β 1 δs 0 + η 1 ) (δs 0 + η 0 ). Somit ist C 1 = η 1 + β 1 δs 0. Bemerke: Wir können uns den Kostenprozess am Kauf von Schuhen verdeutlichen. Wenn wir im Zeitpunkt 0 ein Paar Schuhe kaufen, zahlen wir einen Betrag A. Das sind unsere Kosten im Zeitpunkt 0. Diese stellen aber nicht unsere gesamten Kosten dar, wenn wir z. B. im Zeitpunkt 1 die Schuhe für den Betrag B neu besohlen lassen. Der Betrag B stellt unser Kosteninkrement dar. Unsere gesamten Kosten sind ungefähr A + B. Wir haben gelernt, dass wir Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkt nicht addieren dürfen. Wir müssen sie erst mit Hilfe des Zinses vergleichbar machen. Im Zeitpunkt 0 können wir die gesamten Kosten noch nicht kennen, da die Notwendigkeit für die Besohlung der Schuhe nicht bekannt ist. Wenn wir die Kosten a posteriori, d. h. im Zeitpunkt 1, bewerten, müssen wir die Zahlung A im Zeitpunkt 0 verzinsen mit β 1 und zu B addieren. Die Summe β 1 A+B stellt dann die Kosten im Zeitpunkt 1 dar. Das Wertäquivalent der Zahlung B in 0, also der Wert, den wir im Zeitpunkt 0 hätten anlegen müssen, um die Kosten für die Schuhsohle in 1 bezahlen zu können, ist βb. Die Analogie zu der Optionspreistheorie ist perfekt, wenn wir A als C 0 betrachten, βb als C und β 1 A + B als C 1. Betrachte nun C = βη 1 η 0 = β(η 1 + δs } {{ } 1 δs 1 ) (η 0 + δs 0 δs } {{ } 0 ) =H =V 0 = H (V 0 + δ S). Um das zu erwartenden Kosteninkrement, d. h. die zusätzlichen Kosten nach der Anfangsinvestition, zu minimieren, ohne Erträge zu erwirtschaften, können wir versuchen C = 0 zu erreichen. Da aber H und S Zufallsvariablen sind, wollen

9 3.1. AKTIENOPTIONEN 35 wir unseren Anspruch reduzieren auf E( C) = 0. Das gelingt uns, wenn wir die Gesamtausgaben der Anfangsinvestition V 0 wählen als Ṽ 0 = E( H) δe( S). (3.3) Denn nun ist E( C) = E H Ṽ0 δe( S) = E H E H + δe( S) δe( S) = 0. Demnach kann man seine Replikationsstrategie verfolgen, ohne (im Mittel) Geld vom Anspruchhalter nachfordern zu müssen. Bemerkung 1: Wir können also jeden beliebigen Betrag ausgeben, nur das Verhältnis von Geld und Aktien ist über die Gleichung (3.3) festgelegt. Wenn wir z. B. δ = E( H) E( S) wählen haben wir gar keine Anfangskosten. Wir brauchen für die Replikation mit Erwartungswert aber auch keine zwei Produkte, ein Produkt reicht aus. Warum haben wir also das Portfolio aus zwei Produkten gewählt? Wir wollen das Risiko minimieren! Wir können unser Verhältnis von Aktien und Bargeld bei fester Wahl von V 0 über die Wahl von δ optimieren, indem wir die Varianz unserer Zusatzkosten E(( C) 2 ) = E(( H (V 0 + δ S)) 2 ). minimieren. Das geschieht durch Wahl von δ als δ = Cov( H, S) V ar S, siehe Krengel (1991). Diese Wahl minimiert die Risikofunktion R = E(( C) 2 ). Das minimale Risiko wird in ( δ, Ṽ0) angenommen als: R min = V ar H δ 2 V ar( S) = V ar H(1 ρ 2 )

10 36 KAPITEL 3. NICHT-LINEARE FINANZPRODUKTE mit ρ = Cov( H, S) V ar HV ar S als Korrelationkoeffizient. Wir sehen nun, dass wir unser Risiko umso besser reduzieren können, je höher die Korrelation des zufälligen Hedgeinstruments mit dem Anspruch des derivativen Instruments ist. Wenn die Korrelation 1 ist, wie bei der Wahl des derivativen Instrumentes selbst, verschwindet das Risiko trivialerweise. Wie lässt sich die Strategie statistisch durchführen? Stellen wir uns vor, dass der diskretisierte Anspruch, z. B. die Optionsauszahlung, vom diskontierten Aktienpreisinkrement abhängt. Wir unterstellen, dass ein linearer und zufällig gestörter Zusammenhang besteht: H = V 0 + δ S + ε, mit E(ε) = 0. Bemerke, dass der Optionswert H vom Inkrement S nicht von S selbst abhängt. Sonst wäre die Frage, von welchem S eine Abhängigkeit angenommen wird: S 1 wäre trivial und S 0 ist uninformativ. Die Abbildung 3.3 stellt den angenommenen Zusammenhang zwischen E( H S = s) und ein paar unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen dar. Die Steigung der Geraden ist positiv genau dann, wenn die Kovarianz zwischen H und S positiv ist. Der Gewinn aus einer Kaufoption steigt, wenn der Wert der zugrunde liegenden Aktie steigt. Der Verlust bleibt indes beschränkt auf die Prämie wenn der Kurs der Aktie sinkt. Dann ist aber der Wert der Option in Summe höher, wenn die Kursschwankung größer wird. Das Kosteninkrement (diskontiert) ist der Fehler, der durch eine lineare Approximation des Anspruchs durch das Aktienkursinkrement gemacht wird. Wir können nun die Parameter der linearen Regression aus historischen Beobachtungen ( H i, S i ), i = 1,...,n mit kleinsten Quadraten schätzen (siehe Krengel (1991)) als 1 n n 1 i=1 ˆδ = ( S i 1 n n i=1 S i )( n i=1 ( H i 1 n H n i=1 i )) 1 n n 1 i=1 ( S i 1 n n i=1 S i ) 2 ˆV 0 = 1 n H i n ˆδ 1 n n S i. i=1 i=1

11 3.1. AKTIENOPTIONEN 37 H Steigung δ V 0 0 s Abbildung 3.3: Der lineare Zusammenhang zwischen E( H S = s) und s Unsere geschätzen Kosteninkremente sind dann 1 n n i=1 ( H i ˆV 0 + ˆδ S i ) 2.

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