ESCP-EAP Working Paper Nr. 4 Dezember Zur Angemessenheit von Optionspreisen. Ergebnisse einer empirischen Überprüfung des Black/Scholes-Modells

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1 ESCP-EAP Working Paper Nr. 4 Dezember 2003 Zur Angemessenheit von Optionspreisen Ergebnisse einer empirischen Überprüfung des Black/Scholes-Modells Ulrich Pape Andreas Merk Autoren: Herausgeber: Prof. Dr. Ulrich Pape ESCP-EAP Dipl.-Kfm. Andreas Merk Europäische Wirtschaftshochschule Berlin Lehrstuhl für Finanzierung und Heubnerweg 6 Investition Berlin ESCP-EAP Deutschland Europäische Wirtschaftshochschule Berlin T: ++49(0)30 / Heubnerweg 6 F: ++49(0)30 / Berlin workingpaper-berlin@escp-eap.net Deutschland T: ++49(0)30 / F: ++49(0)30 / upape@escp-eap.net ISSN

2 Zusammenfassung: Die kontroverse Diskussion hinsichtlich der Bilanzierung aktienbasierter Vergütungsregelungen verweist auf die unverändert hohe praktische Bedeutung der Optionsbewertung. Nach dem Standardentwurf des IASB zur Bilanzierung aktienbasierter Vergütungen sollen Aktienoptionen erfolgswirksam erfasst werden, wobei der Wert dieser Optionen mittels anerkannter Optionsbewertungsmodelle ermittelt werden soll, sofern kein Marktwert existiert. Die Frage nach der Angemessenheit der mit Bewertungsmodellen wie dem Black/Scholes-Modell berechneten Optionspreise ist insofern von herausragendem Interesse für die empirische Kapitalmarktforschung. Probleme beim Vergleich von theoretischen Optionspreisen mit realisierten Marktpreisen entstanden in der Vergangenheit vor allem aufgrund der unzureichenden Datenbasis. So nutzen einschlägige empirische Studien überwiegend Aktien-Schlusskurse, um die theoretischen Optionspreise zu berechnen. Diese rechnerischen Optionspreise werden den im Laufe des Tages beobachteten Optionspreisen gegenübergestellt, die sich allerdings mehrheitlich nicht auf die Aktien- Schlusskurse beziehen. Folglich kommen die Studien zu widersprüchlichen Ergebnissen. Angesichts dieser Problematik nutzt die vorliegende Arbeit sekundengenaue Daten, um die Marktpreise von Optionsnotierungen der drei liquidesten deutschen Aktien mit den korrespondierenden theoretischen Optionspreisen zu vergleichen. Nach den Ergebnissen unserer Untersuchung liefert das Black/Scholes-Modell systematische Fehlbewertungen hinsichtlich Laufzeit und Ausübungspreis. Zusätzlich gibt es Indizien dafür, dass der deutsche Optionsmarkt nicht vollkommen effizient ist. Schlüsselwörter: Optionsbewertung, Optionspreistheorie, Black/Scholes-Modell, Kapitalmarkteffizienz, empirische Kapitalmarktforschung, aktienbasierte Vergütungen, Bilanzierung von Aktienoptionen Abstract: This study examines whether the underlying assumptions of the Black/ Scholes model to price European stock options hold in reality. For this purpose we calculate the theoretical values of 1,250 options under the Black/Scholes assumptions and compare them with market prices. The input for calculating the option prices is most accurate as we attribute each option the exact share price at the very moment of trading. We find that the Black/Scholes model systematically misprices options with respect to exercise price and time to maturity. The study also examines the efficiency of the German option market. Key Words: Option pricing, Black/Scholes model, efficient capital markets, empirical capital market research, stock option plans, stock option valuation

3 III Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Das Black/Scholes-Modell Empirische Studien zum Black/Scholes-Modell Kritische Diskussion der Modellprämissen Empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells Beschreibung der Daten Explorative Datenanalyse Überprüfung der Modellprämissen Methodik zur Modellüberprüfung Resultate der Modellüberprüfung Wahrscheinlichkeit von Fehlbewertungen Höhe von Fehlbewertungen Statistischer Test der Nullhypothese Indizien für die Ineffizienz des Optionsmarktes Zur Bilanzierung von Aktienoptionen nach ED Fazit... 21

4 IV Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Sensitivitätsanalyse des Optionspreises... 3 Abbildung 2: Einordnung des Black/Scholes-Modells in die Literatur... 7 Abbildung 3: Negative Korrelation von DAX und Volatilität... 9 Abbildung 4: Dichtefunktion des DAX Abbildung 5: Quantil-Quantil-Diagramm des DAX Abbildung 6: Theoretische versus empirische logarithmierte Dichtefunktion des DAX Abbildung 7: Volatilität des DAX Abbildung 8: Abweichungen der rechnerischen Optionspreise von den Marktpreisen Abbildung 9: Wahrscheinlichkeiten für Über- bzw. Unterbewertungen Abbildung 10: Wahrscheinlichkeit der Überbewertung in Abhängigkeit von Laufzeit und Ausübungspreis Abbildung 11: Abweichungen zwischen rechnerischen Optionspreisen und Marktpreisen Abbildung 12: Höhe der durchschnittlichen Überbewertung in Abhängigkeit von Laufzeit und Ausübungspreis Abbildung 13: Unterschiedliche Marktpreise trotz Quasi-Konstanz der Parameter. 19

5 V Abkürzungs- und Symbolverzeichnis C Preis der Call-Option CAPM Capital Asset Pricing Model CEV Constant Elasticity of Variance DAX Deutscher Aktienindex Delta (Veränderung) e Basis des natürlichen Logarithmus ED Exposure Draft H 0 Nullhypothese H-Statistik Kruskal-Wallis-Test IASB International Accounting Standards Board IFRS International Financial Reporting Standards ln Natürlicher Logarithmus n Anzahl N(.) Kumulative Normalverteilungsfunktion ( 1 x 2π 1 2 e 2 P Wahrscheinlichkeit p-wert statistische Signifikanz r sicherer Anlagezinssatz ρ Spearman-Pearsonscher Korrelationskoeffizient S Aktienkurs σ konstante Volatilität des Aktienkurses sec. Sekunden T Laufzeit U-Statistik Mann-Whitney-Test WPI Wertpapierinformationssystem W-Statistik Wilcoxon-Rank-Test X Ausübungspreis y dy )

6 Einleitung Die kontroverse Diskussion hinsichtlich der Bilanzierung aktienbasierter Vergütungsregelungen verweist auf die unverändert hohe praktische Bedeutung einer korrekten Optionsbewertung. 1 Der Standardentwurf des IASB zur Bilanzierung aktienbasierter Vergütungen sieht in diesem Zusammenhang vor, Aktienoptionen erfolgswirksam zu erfassen, 2 so dass das Bewertungsergebnis einen direkten Einfluss auf die Darstellung der unternehmerischen Ertragslage hat. Sofern kein Marktwert existiert, soll der Wert dieser Optionen mit anerkannten Optionsbewertungsmodellen wie beispielsweise dem Black/Scholes-Modell ermittelt werden. 3 Vor diesem Hintergrund stellt sich die Frage nach der Angemessenheit der mit dem Black/Scholes-Modell ermittelten theoretischen Optionspreise. Die Bewertung von Optionen ist seit über einhundert Jahren ein zentraler Gegenstand der Finanzierungsliteratur. Bereits im Jahr 1900 legte Bachelier durch seine Feststellung, dass der stochastische Prozess von Aktienkursen zufällig ist, den Grundstein für alle folgenden analytischen Modelle. 4 Optionsbewertungsmodelle können differenziert werden in analytische Modelle (Bachelier (1900), Black/Scholes (1973)), numerische Modelle (Boyle (1977)), Differenzialmodelle (Schwartz (1977) und Courtadon (1982)) sowie Binomialmodelle (Cox/Ross/Rubinstein (1979) und Ho/Lee (1986)). Mittlerweile hat sich das auf Arbitrage-Argumenten aufbauende Black/Scholes-Modell als Standardverfahren zur Optionsbewertung durchgesetzt. 5 Die große Beliebtheit und weite Verbreitung des Black/Scholes-Modells rühren daher, dass vier der fünf zur Optionspreisberechnung erforderlichen Variablen unmittelbar beobachtet werden können lediglich die zukünftige Standardabweichung der Aktienkurse muss geschätzt werden. 6 Andererseits erwecken die restriktiven Prämissen des Black/Scholes-Modells Zweifel an der generellen Eignung des Modells zur Bewertung von Optionen. Eine empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells kann durch den Vergleich der theoretischen Optionspreise mit den tatsächlich an der Börse realisierten Optionspreisen erfolgen. Bislang existieren erst relativ wenige empirische Studien zur Überprüfung des Black/Scholes-Modells (Black/Scholes (1972), MacBeth/Merville (1980), Beckers (1980), Ball/Torous (1985), Rubinstein (1985)). Daher bestehen trotz aller theoretischen Fortschritte noch erhebliche Lücken hinsichtlich der empirischen Erkenntnisse zum Black/Scholes-Modell. Problematisch sind beispielsweise die widersprüchlichen Ergebnisse der bisherigen empirischen Studien, die nicht Vgl. z. B. Döring (2003), S. 8; Kuckelkorn (2003) S. 1; Becker (2003), S. 11; Merk (2003a), S. 8; Merk (2003b), S. 11 sowie Schildbach (2003), S Siehe IASB (2002a). ED 2.19 anerkennt, dass in der Regel für aktienbasierte Vergütungen keine Marktwerte existieren. Für die Bestimmung des Optionswertes werden in ED 2.20 explizit das Black-Scholes-Modell sowie das Binomialmodell genannt. Vgl. IASB (2002a). Vgl. Bachelier (1900), S ; Bacheliers Formel enthält allerdings auch unrealistische Annahmen wie beispielsweise die Existenz negativer Aktienkurse. Vgl. Rubinstein (1985), S. 455 sowie IASB (2002b), S. 76. Siehe zu den fünf Variablen Black/Scholes (1973), S. 644; zur Popularität des Modells siehe Black et al. (1992), S. 21.

7 - 2 - zuletzt aus der teilweise unzureichenden Datenbasis dieser Studien resultieren. So bemängelt Rubinstein beispielsweise die geringe Aussagekraft von Untersuchungen, die theoretische Optionspreise auf Basis von Aktien-Schlusskursen berechnen und diese Optionswerte dann mit variablen Optionspreisen vergleichen. 7 Mit Bezug auf die Daten der vorliegenden Untersuchung lässt sich diese Kritik verdeutlichen: für einen September-Call (at-the-money) auf die Deutsche Bank ergab sich z. B. am um 16:02 Uhr 4 sec. unter Verwendung des zeitgleichen Aktienkurses ein rechnerischer Optionspreis von 4,59 Euro, während der theoretische Optionspreis auf Schlusskursbasis bei 8,71 Euro lag. Angesichts der teilweise erheblichen innertäglichen Aktienkurs-Schwankungen greifen wir daher die Kritik von Rubinstein auf und verwenden zur Überprüfung des Black/Scholes-Modells variable, sekundengenaue Options- und Aktiennotierungen. 2. Das Black/Scholes-Modell 1973 leiteten Fischer Black und Myron Scholes ihre Formel zur Bewertung europäischer Call-Optionen ab. 8 Das Black/Scholes-Modell basiert auf Arbitrageüberlegungen. Hierzu wird die zugrunde liegende Aktie gekauft, während gleichzeitig so viele Call-Optionen verkauft werden, dass das Portfolio von Änderungen des Aktienkurses unabhängig wird (Delta-neutrale Position). 9 Das Duplikationsportfolio ist risikofrei und besteht ausschließlich aus Zerobonds. Im Marktgleichgewicht kann ein abgesichertes Portfolio (Hedge) daher keine höhere Rendite generieren als die Verzinsung risikofreier Anlagen. Folglich muss sich ein Optionspreis ergeben, der den Marktteilnehmern keine Arbitragemöglichkeit bietet. 10 Nach dem Black/Scholes-Modell errechnet sich der Optionspreis, der keine Arbitrage zulässt, folgendermaßen: 2 S σ ln + r + X = 2 C S N σ T T X e rt 2 S σ ln + r X 2 N σ T T C N(.) E S = Preis der Call Option = kumulative Normalverteilungsfunktion = Basis des natürlichen Logarithmus = Aktienkurs X T r σ 2 = Ausübungspreis = Restlaufzeit = risikoloser Zinssatz = konstante Varianz des Aktienkurses 7 Vgl. Rubinstein (1985), S. 456f. 8 Vgl. Black/Scholes (1973), S Vgl. Hull (2000), S. 311 und Black/Scholes (1973), S. 641; siehe ähnlich auch Mason in Black et al. (1992), S Vgl. Black/Scholes (1972), S. 400; den Beweis, zur Duplizierung der Auszahlungsströme einer Option mit dem Basiswert und der risikolosen Anlage siehe auch Merton (1973).

8 - 3 - Die Höhe des Optionspreises ist von den folgenden fünf Variablen abhängig: 1. dem Aktienkurs (S), 2. dem Ausübungspreis (X), 3. der Restlaufzeit (T), 4. dem risikolosen Zinssatz (r) und 5. der Varianz des Aktienkurses (σ 2 ). Mit Ausnahme der Erwartung des Marktes hinsichtlich der zukünftigen Aktienvolatilität (σ) während der Laufzeit der Option können die Variablen direkt beobachtet werden. 11 Im Gegensatz zu anderen Bewertungsmodellen wie z. B. dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) üben die Risikoeinstellung des Investors sowie die erwartete Aktienrendite keinen Einfluss auf den Optionspreis aus, weil die in der Black/Scholes- Gleichung verwendeten Variablen unabhängig von Risikopräferenzen sind. 12 Der Optionspreis hängt damit lediglich von der durchschnittlichen Höhe der Aktienkursschwankungen (Volatilität) ab, nicht aber von der Richtung dieser Schwankungen. Abbildung 1: Sensitivitätsanalyse des Optionspreises In Abbildung 1 ist dargestellt, wie stark der rechnerische Optionspreis ceteris paribus auf die Änderung einer Variablen ( S, σ, T, r) reagiert. Ausgangspunkt ist eine 11 Vgl. Schmalensee/Trippi (1978), S Zum CAPM siehe Sharpe (1964), S sowie Lintner (1965), S

9 - 4 - Call-Option mit einem Ausübungspreis von 65 Euro und einer Restlaufzeit von 122 Tagen. Der aktuelle Kurs der zugrunde liegenden Aktie beträgt 50 Euro, die geschätzte Volatilität des Aktienkurses 58% und der risikofreie Zinssatz 4,0%. Nach dem Black/Scholes-Modell hat diese Option einen rechnerischen Wert von 2,50 Euro. Der Zinssatz übt nur einen geringen Einfluss auf den Optionspreis aus: In dem vorliegenden Beispiel sinkt der Optionspreis selbst bei einem Zinssatz von 0% nur von 2,50 Euro auf 2,35 Euro, während der Optionspreis bei einem Zinssatz von 10% lediglich auf 2,74 Euro ansteigt. 13 Bei Änderungen der anderen Variablen reagiert der Optionspreis demgegenüber deutlich stärker. Allerdings lässt sich die mit der Sensitivitätsanalyse verbundene Ceteris-paribus-Annahme angesichts der Interdependenzen zwischen den einzelnen Variablen nicht aufrecht erhalten. So induziert beispielsweise ein sinkender Aktienkurs (d. h. ceteris paribus ein sinkender Optionspreis) in der Regel eine höhere Volatilität (d. h. ceteris paribus einen steigenden Optionspreis), löst also diametral entgegengesetzte Effekte auf den Optionspreis aus. 3. Empirische Studien zum Black/Scholes-Modell Angesichts der mit den Annahmen des Black/Scholes-Modells verbundenen Anwendungsprobleme wurde das Modell bereits frühzeitig empirischen Tests unterzogen. Darüber hinaus finden sich in der einschlägigen Literatur alternative Modelle zur Optionsbewertung. Die erste empirische Überprüfung erfolgte durch die Begründer des Modells selbst noch vor Veröffentlichung ihrer Formel. 14 In ihrer Untersuchung vergleichen Black/Scholes theoretisch errechnete Optionspreise mit Over-thecounter-Optionspreisen. Als Schätzung für die künftige Volatilität verwenden sie die historische Volatilität und halten diese ebenso wie den kurzfristigen Zinssatz auf Basis sechsmonatiger Commercial Papers über die Laufzeit konstant. Ihre Schlussfolgerung lautet, dass das Black/Scholes-Modell 1. Aktien mit einer hohen (geringen) Volatilität überbewertet (unterbewertet), 2. Out-of-the-money-Optionen unterbewertet bzw. In-the-money-Optionen überbewertet 3. Optionen mit einer Laufzeit von weniger als drei Monaten überbewertet. Die Aussagekraft der Ergebnisse leidet allerdings darunter, dass die Zeitgleichheit von Optionspreis und zugeordnetem Aktienkurs nicht gewährleistet ist. Black/Scholes vergleichen die Optionspreise eines Händlerbuches mit den Schlusskursen der zugrunde liegenden Aktien, obwohl sich die Over-the-counter-Optionspreise nicht zwingend auf die Aktien-Schlusskurse beziehen Siehe auch Cox/Ross (1976), S sowie MacBeth/Merville (1979), S Vgl. Black/Scholes (1972), S sowie Black (1975), S Diese Problematik wird erstmals von Rubinstein (1985) thematisiert.

10 - 5 - Im Vergleich zu Black/Scholes gelangen MacBeth/Merville zu diametral entgegengesetzten Ergebnissen. 16 Sie schlussfolgern, dass 1. das Black/Scholes-Modell In-the-money-Optionen unterbewertet und Out-of-themoney-Optionen überbewertet 17, und dass 2. die Unterbewertung (Überbewertung) umso größer ausfällt, je mehr die Option inthe-money (out-of-the-money) liegt. Mit Verkürzung der Restlaufzeit nimmt die Fehlbewertung ab. Von dieser Gesetzmäßigkeit ausgenommen sind In-themoney-Optionen mit weniger als 90 Tagen Restlaufzeit. MacBeth/Merville berücksichtigen in ihrer Untersuchung Dividenden und aktualisieren darüber hinaus den risikofreien Zinssatz wöchentlich, wobei die Autoren jedoch konzedieren, dass die wöchentliche Aktualisierung des Zinssatzes aufgrund der geringen Sensitivität für die Höhe des Optionspreises nicht erforderlich gewesen wäre. In jedem Fall leidet die Studie von MacBeth/Merville ebenso wie diejenige von Black/Scholes unter der Verwendung von Aktien-Schlusskursen. Da die Mac- Beth/Merville-Studie Optionen auf lediglich sechs verschiedene Aktien einbezieht, kritisiert Beckers deren fehlende Repräsentativität. 18 Hierzu bemerkt Rubinstein jedoch, dass ohnehin nahezu alle Aktien die gleichen Resultate hervorbringen, so dass die Repräsentativität auch mit sechs Aktien gewährleistet sei. 19 In einem Vergleich des Black/Scholes-Modells mit dem Modell von Merton (1976) stellen Ball/Torous fest, dass die Abweichungen zwischen beiden Modellen für Outof-the-money-Optionen am größten und für In-the-money-Optionen am geringsten sind. 20 In einer weiteren Studie kommt Beckers (1980) zu dem Ergebnis, dass das Black/Scholes-Modell In-the-money-Optionen niedriger bewertet als das von Cox/Ross (1976) entwickelte Constant-Elasticity-of-Variance-Modell (CEV-Modell), während Out-of-the-money-Optionen höher bewertet werden als im CEV-Modell. 21 Das CEV-Modell modifiziert die Volatilität durch eine zum Aktienkurs inverse Funktion, so dass die Volatilität mit steigendem Aktienkurs sinkt und mit sinkendem Aktienkurs steigt. 22 Somit trägt das CEV-Modell der empirisch belegten negativen Korrelation zwischen Aktienkurs und Volatilität Rechnung. 23 Die Studie von Rubinstein (1985) geht in Umfang und Datenpräzision erheblich über die vorangegangenen Arbeiten hinaus. Als erste Untersuchung ordnet Rubinstein den beobachteten Optionspreisen exakt zeitgleiche Aktienkurse zu. Da sich die beiden für die Überprüfung der rechnerischen Optionspreise notwendigen Kursdaten auf den gleichen Zeitpunkt beziehen, wird das Black/Scholes-Modell durch Rubinstein erstmals auf Basis vergleichbarer Daten überprüft. Die Ergebnisse werden mittels 16 Vgl. MacBeth/Merville (1979), S Vgl. MacBeth/Merville (1980), S Vgl. Beckers (1980), S Vgl. Rubinstein (1985), S Vgl. Ball/Torous (1985), S Vgl. Beckers (1980), S Vgl. Cox und Ross (1976), S Das CEV-Modell definiert die Varianz der prozentualen Aktienkursveränderung als: 2 σ S 2 α 23 Vgl. z. B. MacBeth/Merville (1980), S

11 - 6 - nichtparametrischer Tests ausgewertet. Rubinstein kommt zu dem Ergebnis, dass das Black/Scholes-Modell Out-of-the-money-Optionen mit kurzer Laufzeit relativ zu At-the-money-Optionen mit mittlerer Laufzeit überbewertet. 24 Latané/Rendleman (1976) sehen schließlich einen möglichen Grund für die Abweichungen zwischen theoretischen und tatsächlichen Optionspreisen in der unterschiedlichen Bedeutung der Volatilität für verschiedene Ausübungspreise. Wenn die Prämissen des Black/Scholes-Modells erfüllt und der Optionsmarkt effizient wäre, würden sämtliche Optionen auf eine bestimmte Aktie mit der gleichen monatlichen Standardabweichung bewertet. Dies ist jedoch selbst in einem annähernd effizienten Markt nicht wahrscheinlich, 25 da verschiedene Optionen in unterschiedlichem Maße von der exakten Spezifizierung der Standardabweichung abhängig sind. Bei Optionen, die tief im Geld liegen und nur noch eine geringe Restlaufzeit haben, spielt die Höhe der Standardabweichung kaum eine Rolle, da die Ausübung praktisch sicher ist. Für die Bewertung von Optionen, bei denen die Ausübung sehr unsicher ist, ist die exakte Höhe der Standardabweichung jedoch von großer Bedeutung. Die nachfolgende Abbildung 2 gibt einen Überblick über die Literatur zur empirischen Überprüfung des Black/Scholes-Modells sowie zu alternativen Optionspreismodellen Vgl. Rubinstein (1985), S Vgl. Latané/Rendleman (1976), S An dieser Stelle werden nur die analytischen Modelle betrachtet und keine eigenständigen numerischen Modelle wie die Monte-Carlo-Simulation (Boyle (1977)), Differenzialmodelle (Schwartz (1977) und Courtadon (1982)) oder Binomialmodelle (Cox/Ross/Rubinstein (1979) und Ho/Lee (1986)).

12 Zeit Analytische Modelle und wesentliche Verbesserungen Jarrow/Rudd (1982) Einführung von Korrekturfaktoren zur Behebung von Schiefe und Kurtosis der wahren Aktienkursveränderung Cox/Ross (1976) Konstantes Varianzelastizitätsmodell: Die Varianz ist selbst ein stochastischer Prozess Folge: Berücksichtigung der negativen Korrelation zwischen Aktienkurs und Volatilität; indirekte Kritik an konstanter Volatilität im Black/Scholes Modell Black/Scholes (1973) Optionspreis in Abhängigkeit von fünf Variablen Risikoeinstellung von Investoren ohne Bedeutung Restriktive Annahmen, insbesondere Log- Normalverteilung und konstante Volatilität Bachelier (1900) Stochastischer Prozess von Aktienkursen Aktueller Preis ist beste Schätzung für künftigen Aktienkurs Theoretische und empirische Untersuchungen zum Black/Scholes-Modell Black (1990) Stärkere Gewichtung aktueller Volatilitäten Problem: Kompromiss zwischen historischer Datenlänge und Relevanz neuerer Volatilitäten Beckers (1980) Unterbewertung von In-the-money-Optionen durch Black/Scholes relativ zum CEV-Modell Überbewertung von Out-of-the-money-Optionen durch Black/Scholes relativ zum CEV-Modell MacBeth/Merville (1979) Unterbewertung von In-the-money-Optionen durch Black/Scholes Überbewertung von Out-of-the-money-Optionen durch Black/Scholes Problem: Weiterhin restriktive Annahmen; Studie auf Schlusskursbasis von sechs Aktien Ingersoll (1976) Einführung von Dividendensteuern Folge: relative Verteuerung von Optionen Merton (1976); auch Ball/Torous (1985) Sprünge in Aktienkursen: implizite Kritik an der Black/Scholes Annahme der Stetigkeit Dividenden vermindern Wert der Option Merton (1973) Stochastischer Prozess von Zinsen Rubinstein (1985) Verwendung variabler Aktienkurse und explizite Kritik an bisherigen empirischen Studien wegen unpräzisen Dateninputs MacBeth/Merville (1980) Negative Korrelation zwischen Aktienkurs und Volatilität infolge technologischer Verbesserungen und Mergers & Acquisitions Implizite Volatilität variiert systematisch für Unterschiede in Restlaufzeit und Ausübungspreis Problem: Geringer Datenumfang Latané/Rendleman (1976) Berechnung der impliziten Volatilität statt Schätzung aus historischen Daten Problem: Verwendung von Schlusskursen Merton (1976) Unterbewertung aller nicht At-the-money- Optionen durch Black/Scholes Black (1975) Unterbewertung von Out-of-the-money- Optionen durch Black/Scholes Überbewertung von In-the-money-Optionen durch Black/Scholes Symbolbedeutung: Widerspruch Kritik an (Pfeilspitze) Abbildung 2: Einordnung des Black/Scholes-Modells in die Literatur

13 Kritische Diskussion der Modellprämissen Zur Herleitung ihres Optionsbewertungsmodells treffen Black/Scholes die folgenden Annahmen: Kapitalaufnahme zum risikofreien Zinssatz, der über die Laufzeit der Option konstant bleibt, 2. keine Dividendenzahlungen, 3. keine Steuern, 4. keine Transaktionskosten, 5. Möglichkeit des Leerverkaufs, 6. konstante Volatilität des Aktienkurses sowie 7. zufälliger und stetiger log-normaler Verlauf des Aktienkurses. Angesichts der sehr geringen Sensitivität des Optionspreises auf die Höhe des Zinssatzes ist Annahme (1) unbedenklich. 28 Annahme (2) kann relativ unproblematisch aufgehoben werden, indem die während der Laufzeit fälligen Dividenden in die Bewertungsformel einbezogen werden. 29 Entsprechendes gilt für Annahme (3), da sich auch Steuern in die Black/Scholes-Formel integrieren lassen. 30 Durch Integration von Transaktionskosten kann Annahme (4) ebenfalls aufgehoben werden. Schließlich lässt sich nach der Modifikation von Merton (1976) auch ein unstetiger Verlauf des Aktienkurses in das Modell integrieren. 31 Sieht man von der für das rechnerische Ergebnis nicht relevanten Annahme (5) ab, so verbleiben die konstante Volatilität und der log-normale Verlauf der Aktienkurse als restriktive Annahmen des Modells. Die Annahme der bekannten und konstanten Volatilität ist problematisch, da die zukünftige Volatilität der Aktie zum Bewertungszeitpunkt nicht bekannt ist und da zudem die Volatilität während der Restlaufzeit regelmäßig auch nicht konstant ist. Nach empirischen Erkenntnissen ist die Volatilität vielmehr negativ mit dem Aktienkurs korreliert (siehe beispielhaft Abbildung 3) Vgl. Black/Scholes (1973), S Vgl. Cox/Ross (1976), S sowie MacBeth/Merville (1979), S Vgl. Merton (1973), S Vgl. Ingersoll (1976), S Vgl. Merton (1976), S Diesen Zusammenhang berücksichtigen Cox/Ross (1976) in ihrem CEV-Modell; siehe auch MacBeth/Merville (1980), S. 299.

14 - 9 - ρ = -96,9% n = 214 Handelstage Abbildung 3: Negative Korrelation von DAX und Volatilität Abbildung 3 illustriert die negative Korrelation von Aktienkurs und Volatilität im Zeitraum Januar bis Oktober Die Berechnung des Spearman-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten (ρ) über zwei verschiedene Zeiträume ergibt zudem, dass die Korrelation nicht konstant ist. Im Zeitraum Januar bis Oktober 2002 war die negative Korrelation mit -0,97 fast perfekt (vgl. Grafik), während die Korrelation im Zeitraum Oktober 1998 bis Oktober 2002 bei nur -0,70 lag. Um auf die Annahme der konstanten Volatilität verzichten zu können, haben Cox/Ross (1976), Geske (1979) und Rubinstein (1983) jeweils konkurrierende Alternativen vorgeschlagen. 34 Die weiterhin verbleibende restriktive Annahme der lognormalen Verteilung der Aktienkurse versuchen Jarrow/Rudd (1982) durch Erweiterung der Formel um Korrekturfaktoren aufzuheben Empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells Die beiden problematischen Modellprämissen sind die Annahmen der konstanten Volatilität sowie der log-normalen Verteilung der Aktienkurse. Nachfolgend soll daher untersucht werden, ob diese beiden Annahmen zu restriktiv sind, um das Black/Scholes-Modell sinnvoll zur Bewertung von Optionen anwenden zu können. 5.1 Beschreibung der Daten Eine wesentliche Schwäche bisheriger empirischer Studien zur Überprüfung des Black/Scholes-Modells (z. B. MacBeth/Merville (1979), MacBeth/Merville (1980), Beckers (1980)) liegt in der Verwendung von Schlusskursdaten. MacBeth/Merville (1980) entnehmen sowohl die Optionspreise als auch die Aktienkurse für ihre Studie 33 Quelle: Deutsche Börse AG; eigene Berechnungen. 34 Vgl. Cox/Ross (1976), S ; Geske (1979), S bzw. Rubinstein (1983), S Vgl. Jarrow/Rudd (1982), S

15 dem Wall Street Journal. Beckers (1980) gibt für die von ihm verwendeten Daten keine Quelle an. 36 Optionspreise beziehen sich jedoch nicht zwingend auf den Schlusskurs der zugrunde liegenden Aktie, denn Optionen werden ebenso wie Aktien kontinuierlich gehandelt und Optionspreise sowie Aktienkurse ändern sich fortlaufend. 37 Die Verwendung von Aktien-Schlusskursen zur Berechnung des theoretischen Optionspreises stellt eine häufig vernachlässigte Fehlerquelle empirischer Studien zur Optionsbewertung dar. Entsprechend bemängelt auch Rubinstein die Verwendung nicht korrespondierender Daten: Most empirical work designed to test [the Black/Scholes model] has suffered from a number of deficiencies including ( ) severe limitations created by use of closing option and stock prices ( ). 38 Black bezieht sich ebenfalls auf die Bedeutung variabler Options- bzw. Aktiennotierungen, wenn er als Fehlerquelle bei der Überprüfung des Black/Scholes-Modells angibt: The stock price may be observed at a different time from the option price. 39 Basieren dagegen sowohl Aktienkurse als auch Optionspreise auf variablen Notierungen, kann jeder Option genau der zeitlich passende Aktienkurs zugeordnet werden. Bei der ausschließlichen Verwendung von Aktien-Schlusskursen wird demgegenüber die tatsächliche Volatilität, die sich aufgrund der innertäglichen Wertschwankungen ergibt, nicht berücksichtigt und damit vermutlich unterschätzt. Somit wird das Ziel konterkariert, das Black/Scholes-Modell auf Validität zu überprüfen. In der vorliegenden Studie werden die Preise von Call-Optionen auf die Aktien von Deutscher Telekom, Siemens und Deutscher Bank analysiert. Diese drei Werte haben einen Anteil von 30% am Deutschen Aktienindex (DAX), der die 30 bedeutendsten und umsatzstärksten deutschen Aktien umfasst und ca. 70% der gesamten Marktkapitalisierung inländischer börsennotierter Gesellschaften repräsentiert. 40 Die drei untersuchten Aktienwerte machen damit rund ein Fünftel der Marktkapitalisierung sämtlicher inländischen börsennotierten Gesellschaften aus. Der Untersuchungszeitraum läuft vom 2. September bis 30. September In diesem Zeitraum wurden bei Siemens 285, bei der Deutschen Telekom 451 und bei der Deutschen Bank 514 Optionspreise analysiert. Insgesamt wurden somit die rechnerischen Preise zu Optionsnotierungen berechnet und mit den tatsächlich am Markt zustande gekommenen Optionspreisen verglichen. Um das zeitliche Auseinanderfallen von Optionspreis und Aktienkurs zu vermeiden, werden sekundengenaue Aktien- und Optionsnotierungen verwendet, wobei jeder Option der jeweils passende Aktienkurs zugeordnet wird. Sowohl die Optionsnotierungen als auch die Aktienkurse stammen von der Deutschen Börse. Die variablen Aktienkurse auf Xetra wurden über das Wertpapierinformationssystem (WPI) der Börsen-Zeitung bezogen. Je nach Aktie und Handelsvolumen handelt es sich um ca bis tägliche Kursnotierungen. 36 Vgl. MacBeth/Merville (1980), S. 287 sowie Beckers (1980), S Vgl. Rubinstein (1985), S. 456f. 38 Rubinstein (1985), S Black et al. (1992), S Vgl. Deutsche Börse (2002), S. 3.

16 Explorative Datenanalyse Für die Anwendung der korrekten Testverfahren ist es notwendig, die Eigenschaft der zu untersuchenden Daten zu kennen, weil klassische Methoden der inferenziellen Statistik auf den Annahmen beruhen, dass die Daten 1. normalverteilt, 2. seriell unkorreliert sind und 3. keine Ausreißer haben. Einige ungewöhnlich hohe Aktienkurse im Zeitraum bis führen zu einer leicht rechtsschiefen Dichtefunktion des DAX. Die Verteilung ist bimodal und platykurtisch und entspricht nicht annähernd einer Normalverteilung (siehe Abbildung 4) Dax-Stand Dax-Stand (Xetra-Schlusskurse) µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ Normalverteilung Abbildung 4: Dichtefunktion des DAX Abbildung 5: Quantil-Quantil-Diagramm des DAX Das Quantil-Quantil-Diagramm für den Zeitraum vom bis verläuft insbesondere wegen der Baisse an den Aktienmärkten, in deren Folge der DAX am mit Punkten ein Sechs-Jahrestief erreichte, nicht linear auf der Winkelhalbierenden. Die starken Abweichungen von der Winkelhalbierenden im untersuchten Zeitraum lassen den Schluss zu, dass die empirische Verteilung nicht normalverteilt ist und dass Ausreißer auftreten (vgl. Abbildung 5). Auch nach der Value-at-Risk-Methode treten Extremwerte (über 4,16%) signifikant häufiger auf, als es nach der Normalverteilungshypothese der Fall sein dürfte. Der Autokorrelationskoeffizient erster Ordnung liegt bei 0,51%, während auf dem 95%-Konfidenzniveau serielle Korrelation erst bei 5,21% vorläge. Das heißt, die Kursveränderungen erfolgen nicht nach einem systematischen Muster, sondern sind voneinander unabhängig. Als Ergebnis der explorativen Datenanalyse kann festgehalten werden, dass auf die vorliegenden Daten keine parametrischen Verfahren angewendet werden können, da die Normalverteilungshypothese abgelehnt wird und darüber hinaus Ausreißer auftreten.

17 Überprüfung der Modellprämissen Es wurde bereits gezeigt, dass das Black/Scholes-Modell auf die Aufhebung der Annahmen hinsichtlich Zinssatz, Dividende, Steuern und Transaktionskosten robust reagiert. Als problematische Modellprämissen verbleiben daher die Annahmen der log-normalen Aktienkursverteilung sowie der konstanten Volatilität. Aus diesem Grund wird nachfolgend überprüft, ob diese Annahmen so stark von der Realität abweichen, dass das Black/Scholes-Modell nicht mehr sinnvoll angewendet werden kann. Die von Black/Scholes angenommene Normalverteilung von Aktienkursveränderungen stützt sich auf eine lange Tradition in der Finanzierungsliteratur, deren Ursprung man Bachelier zuschreiben kann. 41 Wie Abbildung 6 allerdings zeigt, folgen die logarithmierten Aktienkurse im Zeitraum bis nicht annähernd einer Log-Normalverteilung. Marktteilnehmer, die Optionen mit dem Black/Scholes-Modell bewerten, unterschätzen offensichtlich die Häufigkeit extremer Wertänderungen. Abbildung 6: Theoretische versus empirische logarithmierte Dichtefunktion des DAX Abbildung 7: Volatilität des DAX Die Annahme einer konstanten Volatilität erscheint für den Zeitraum vom bis aufgrund der hohen Schwankungen zweifelhaft (siehe Abbildung 7) und wird in der H-Statistik auf dem 99%-Konfidenzniveau abgelehnt. Die Volatilität ist für keinen Sechsmonatszeitraum innerhalb dieser Periode konstant. Die Modellprämissen der konstanten Volatilität sowie der log-normalen Aktienkursverteilung müssen aufgrund der empirischen Ergebnisse als problematisch angesehen werden. 41 Vgl. Bachelier (1900), S

18 Methodik zur Modellüberprüfung In der vorliegenden Untersuchung werden theoretische Optionspreise nach dem Black/Scholes-Modell berechnet und mit den korrespondierenden Marktpreisen verglichen, um eventuell vorhandene Fehlbewertungen aufzudecken. Grundsätzlich entspricht die Methodik derjenigen von Black/Scholes (1972). 42 Im Unterschied zu Black/Scholes verwendet die vorliegende Studie allerdings zeitgleiche Daten. Damit wird dem beobachteten Optionspreis die Aktiennotierung zugeordnet, die sich exakt zum Zeitpunkt der Feststellung des Optionspreises ergeben hat. 43 Die zukünftige Volatilität der Aktie wird aus den Kursbewegungen der vorangegangenen 30 Handelstage abgeleitet. In Anlehnung an Rubinstein (1985) werden die Optionen in drei Laufzeitkategorien unterteilt: kurze Laufzeit (T 120 Tage) 2. mittlere Laufzeit (121 T 221 Tage) 3. lange Laufzeit (> 221 Tage) Hinsichtlich des Ausübungspreises wurden die Optionen ebenfalls in drei verschiedene Kategorien eingeteilt (Ausübungspreis im Verhältnis zum Aktienkurs): 1. out-of-the money (< 95%) 2. at-the-money (95-105%) 3. in-the-money (> 105%) Aus der Kombination der unterschiedlichen Laufzeiten mit den verschiedenen Ausübungspreisen ergeben sich neun unterschiedliche Datenreihen, anhand derer überprüft wird, ob es zu systematischen Abweichungen zwischen den theoretischen Optionspreisen und den korrespondierenden Marktpreisen kommt. 42 Vgl. Black/Scholes (1972), S Auch Rubinstein (1985) nimmt eine vergleichbare sekundengenaue Zuordnung vor. 44 Vgl. Rubinstein (1985), S. 466.

19 Resultate der Modellüberprüfung Wahrscheinlichkeit von Fehlbewertungen Die Überprüfung des Black/Scholes-Modells fördert für die untersuchten Aktien systematische Preisabweichungen zu Tage. 45 Für die untersuchten Optionsnotierungen wurden die prozentualen Abweichungen der mit dem Black/Scholes-Modell errechneten theoretischen Optionspreise von den tatsächlichen Optionspreisen ermittelt und hinsichtlich Ausübungspreis und Laufzeit systematisiert (siehe Abbildung 8). In-the-money At-the-money Out-of-the-money Kurze Laufzeit 187 Optionen 241 Optionen 524 Optionen Minimum -15,68% -20,84% -98,12% Maximum 26,77% 435,67% 3.352,83% Mittelwert 3,49% 20,68% 123,61% Median 0,88% 10,73% 67,11% Standardabweichung 8,59% 41,07% 252,93% Mittlere Laufzeit 30 Optionen 33 Optionen 102 Optionen Minimum -13,12% -12,50% -14,48% Maximum 30,65% 53,31% 181,35% Mittelwert 7,68% 15,09% 49,40% Median 4,83% 14,02% 48,41% Standardabweichung 13,57% 13,60% 44,62% Lange Laufzeit 31 Optionen 21 Optionen 81 Optionen Minimum -10,54% -6,14% -5,50% Maximum 17,39% 46,16% 195,61% Mittelwert 5,49% 20,85% 60,49% Median 5,43% 23,52% 61,77% Standardabweichung 7,55% 14,53% 42,15% Abbildung 8: Abweichungen der rechnerischen Optionspreise von den Marktpreisen 45 Rubinstein kommt ebenfalls zu dem Ergebnis, dass systematische Preisabweichungen nicht aktienspezifisch sind, sondern für alle Werte existieren; vgl. Rubinstein (1985), S. 478.

20 Die Wahrscheinlichkeit einer Fehlbewertung (Über- bzw. Unterbewertung) hängt systematisch mit der Änderung der Variablen Laufzeit und Ausübungspreis zusammen. Angesichts der (teilweise deutlich) positiven Mediane besteht nach dem Black/Scholes-Modell eine höhere Wahrscheinlichkeit für die Überbewertung einer Option als für deren Unterbewertung. 46 Die Wahrscheinlichkeiten für Über- bzw. Unterbewertungen sind in Abbildung 9 hinsichtlich unterschiedlicher Ausübungspreise und Laufzeiten zusammengefasst. In-the-money At-the-money Out-of-the-money Kurze Laufzeit 187 Optionen 241 Optionen 524 Optionen Überbewertung 59,7% 75,1% 89,1% Unterbewertung 40,3% 24,9% 10,9% Mittlere Laufzeit 30 Optionen 33 Optionen 102 Optionen Überbewertung 70,0% 90,1% 80,4% Unterbewertung 30,0% 9,9% 19,6% Lange Laufzeit 31 Optionen 21 Optionen 81 Optionen Überbewertung 80,6% 90,5% 96,3% Unterbewertung 19,4% 9,5% 3,7% Abbildung 9: Wahrscheinlichkeiten für Über- bzw. Unterbewertungen In insgesamt 81,2% der Fälle (gewichteter Durchschnitt sämtlicher untersuchten Optionen) bewertet das Black/Scholes-Modell europäische Optionen zu hoch. Die Wahrscheinlichkeit einer Überbewertung liegt im Intervall von [59,7%; 96,3%] in Abhängigkeit von Ausübungspreis und Laufzeit. Abbildung 10 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen den Variablen Restlaufzeit und Ausübungspreis und der Wahrscheinlichkeit einer Überbewertung durch das Black/Scholes-Modell. 46 Das folgt aus der Definition des Medians z = x[(n+1)/2] für ungerade n bzw. z = ½ (x[n/2] + x[n/2+1]) für gerade n, vgl. z. B. Schweitzer (1999), S. 48 oder Rönz (2001), S. 45f.