Das führt zu einer periodischen Hin- und Herbewegung (Schwingung) Applet Federpendel (

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1 Elastische SCHWINGUNGEN (harmonische Bewegung) Eine Masse sei reibungsfrei durch elastische Kräfte in einer Ruhelage fixiert Wenn aus der Ruhelage entfernt wirkt eine rücktreibende Kraft Abb. 7.1 Biologische Physik Das führt zu einer periodischen Hin- und Herbewegung (Schwingung) Applet Federpendel ( Darstellung der Bewegung im Weg-Zeitdiagramm Abb. 7.1 Biologische Physik Wie kommt es zu dieser harmonischen Bewegung?? Kraft, die die Feder erzeugt Kraft, nötig für die Beschleunigung der Masse 1

2 Lösung der Differentialgleichung ist Differentialgleichung, gesucht ist die Lage x der schwingenden Masse. x(t) = r. sin (ω.t) oder x(t) = r. cos (ω.t) Andere Darstellung einer HARMONISCHEN BEWEGUNG durch Projektion einer Kreisbewegung mit Winkelgschwindigkeit ω auf eine Gerade Abb. 7.2 Biologische Physik Ein Punkt führt eine Drehbewegung aus, die auf eine Gerade projiziert wird Ergibt eine Auf-Ab- (Links- Rechts-) Bewegung Da φ=ωt, ergibt sich die momentane Lage zu x= r.sin (ω.t) Für die Drehbewegung ist die Zentripetalkraft F Z = m.r ω 2 nötig. Die Projektion ergibt eine zur Ruhelage hin gerichtete Kraft F F = -m. r ω 2. sin (ω.t) = -m. r ω 2.x 2

3 F = -m. ω 2.x Früher F = -k.x Ergibt m. ω 2 = k oder Wie vorhin x momentane Lage des schwingenden Punktes: ELONGATION r. AMPLITUDE der SCHWINGUNG, maximale Elongation, SCHWINGUNGSWEITE ω...kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung) f..anzahl der VOLLEN SCHWINGUNGEN (Umdrehungen) pro SEKUNDE, Frequenz T. PERIODENLÄNGE DAUER einer VOLLEN SCHWINGUNG (einer Umdrehung) Beispiel: Ein Halm trägt 5 g Getreidekörner. Für 5 cm Auslenkung sind 0.05 N erforderlich. Wie groß ist die Schwingungsdauer?

4 Pendel: Masse an einem Faden aufgehängt. Rücktreibende Kraft durch Zerlegung der Schwerkraft, sie ist proportional zur Auslenkung, daher harmonische Schwingung Die Schwingungsdauer ergibt sich zu Unabhängig von der Masse!! Warum??? Schnelligkeit der Schwingung hängt von der Rücktreibenden Kraft und der Masse ab: Große Kraft ---> große Beschleunigung (a = F/m) --> schnelle Schwingung Große Masse ---> kleine Beschleunugung (a=f/m) --> langsame Schwingung Beim Pendel ist aber die rücktreibend Kraft proportional zur Masse F proportional zu m, daher a = F/m proportional zu m/m = m 0 ---> Beschleunigung unabhängig von der Masse Bei jeder reibungsfreien Schwingung: Am Umkehrpunkt nur potentielle Energie; beim Nulldurchgang nur kinetische Energie, dann wieder potentielle Energie am anderen Umkehrpunkt. Dazwischen: Summe ist konstant. 4

5 Mit Reibung z.b. Pendel in Flüssigkeit: Energie wird aufgezehrt (in Wärme verwandelt)--> Schwingungsamplitude nimmt ab. Einfacher Fall: Reibungskraft proportional der Geschwindigkeit Beschleunigungskraft Reibungskraft Federkraft Lösung dieser Differentialgleichung:.t Gedämpfte Schwingung, Amplitude nimmt mit der Zeit ab Abb 7.5 Biologische Physik Zusammensetzung der Winkelfuntion und der Exponentialfunktion 5

6 Gedämpfte Schwingung r=1m, ω=2π s -1, β=1 s -1 Gedämpfte Schwingung r=1m, ω=2π s -1, β=0,1 s Elongation in Meter 0.0 Elongation in Meter Zeit in Sekunden Zeit in Sekunden STARKE DÄMPFUNG, viel Reibung, z.b. Pendel mit großer, leichter Kugel Schwache DÄMPFUNG, wenig Reibung, z.b. Pendel Da es stets Reibung gibt, ist jede Schwingung gedämpft, d.h. Ihre Amplitude nimmt mit der Zeit ab und geht exponentiell gegen Null. ERZWUNGENE SCHWINGUNG. Ein Schwingungsfähiges System wird zu Schwingungen von außerhalb angeregt. Z.B. die Aufhängung des Federpendels wird bewegt. Das System kann nur mit der Schwingungsfrequenz der Erregung schwingen wegen Dämpfung findet eine Schwingung mit der Eigenfrequenz nach Einschwingvorgängen bald ein Ende. Applet Resonanz ( 6

7 Besonders große Amplitude, wenn die Frequenz der Erregung in der Nähe der Frequenz der Eigenschwingung liegt (Resonanz). Dann ist die Schwingung ¼ eine Periodenlange hinter der Erregung (Phasenverschiebung π/2) Dann wird stets Arbeit in das System hineingebracht, und eine große Schwingungsamplitude ensteht Die Schwingungsamplitude wird durch die Reibung begrenzt, in der Nähe der Eigenfrequenz besonders große Amplitude. Abb. 7.6, Biologische Physik Resonanzkurve. Je schwächer die Dämpfung, desto größer die Amplitude bei der Resonanzfrequenz und desto schlanker die Resonanzkurve 7

8 BEISPIELE Auto oder Zug auf schlechter Fahrbahn: Auto hat Masse die auf Federn steht.kann zu Schwingungen angeregt werden. Schwingungsdämpfer (Viskoelastisches Element bringt Reibung) Brücke Getreidehalm knickt meist wegen Resonanz Luftsäule Schwingung kann durch die Projektion einer Drehbewegung auf eine Gerade dargestellt werden Abb. 7.2 Biologische Physik Die Position des roten Punkts und die Winkelgeschwindigkeit charakterisiern die Schwingung vollständig. Das Zeigerdiagramm nützt diese Tatsache aus: Zur Charakterisierung der Schwingung wird die Position des Punktes zum Zeitpunkt Null durch einen Pfeil (Zeiger) dargestellt. 8

9 Abb. 7.7 Biologische Physik Je nach Position des Punktes ensteht ein anderes Weg-Zeit Diagramm Die Länge des Pfeils gibt die Amplitude, die Richtung die Phasenlage Mechanische WELLEN Viele schwingungsfahige Systeme. Die Schwingung wird von einem System auf das benachbarte System übertragen. Dieses schwingt mit Verzögerung PHASENGESCHWINDIGKEIT ist die Geschwindigkeit mit der sich ein Schwingungszustand zb Wellenberg ausbreitet KEIN MATERIETRANSPORT mit einer WELLE nur SCHWINGUNGSENERGIE wird übertragen 9

10 Mathematische Darstellung einer Welle Applet Stwellerefl Schwingung Verzögerung, je weiter weg, desto später ist ist die Schwingung dran WELLENLANGE: Abstand benachbarter Punkte gleichen Schwingungszustandes: Wellenberg -tal oder Nulldurchgang Falls die SCHWINGUNG NORMAL zur AUSBREITUNGSRICHTUNG erfolgt spricht man von einer TRANSVERSALWELLE. Cnrakteristisches Erscheinungsbild sind Wellenberge und Wellentäler, Polarisation ist möglich Abb. 7.9 Biologische Physik Applet Stwellen, Teil

11 Falls die Schwingung PARALLEL zur AUSBREITUNGSRICHTUNG erfolgt, wird die Welle LONGITUDINALWELLE genannt. Abb 7.11Biologische Physik Charakteristsch für sie sind Verdichtungen und Verdünnungen Polarisation ist nicht möglich Die rücktreibende Kraft ist bei Longitudinalwellen immer gegeben. Daher sind Longitudinalwellen in Gasen, Flüssigkeiten, und Festkörpern möglich Für Transversalwellen ist die rücktreibende Kraft nur in Festkörpern, an Grenzflächen und an eindimensionalen Gebilden zb gespanntes Seil gegeben 11

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