Irrfahrten in der Finanzmathematik

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1 Irrfahrten in der Finanzmathematik Alexander Hahn Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar "Mathematische Modellierung" (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Der Vortrag zum Thema Irrfahrten in der Finanzmathematik ist, aus thematischer Sicht, zweigeteilt. Nach einer Vorabbemerkung zu den Zielen der Finanzmathematik wird im ersten Teil grundlegendes Wissen zum Thema Finanzmärkte, Investmentvehikel und Vorgehensweisen institutioneller Anleger vorgestellt. Dies führt zur Frage, wie sich Kurse von Aktien und anderen Finanzinstrumenten mathematisch modellieren lassen. Als eine Antwort auf diese Fragestellung bietet dieser Vortrag die Modellierung von Kursen als diskrete oder stetige stochastische Prozesse. Der Fokus liegt hierbei auf dem Konzept der Irrfahrt. Abschließend wird ein kurzer Ausblick auf stetige Modelle geworfen; eine Liste mit Literaturtipps zu den im Vortrag besprochenen Themen rundet diese Ausarbeitung ab. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Ziele der Finanzmathematik 2 3 Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen Markt, Preis und Aktien Optionen Über die Vorgehensweise institutioneller Anleger Entscheidungskriterien institutioneller Anleger Die technische Analyse und die Mathematik Aktienkurse als stochastische Prozesse Stochastische Prozesse in diskreter Zeit Geometrische Irrfahrten Binomialprozesse mit zustandsabhängigen Zuwächsen Quellen, weiterführende Literatur und Tipps 14

2 1 Einleitung Beim vorliegenden Thema handelt es sich um eine Problemstellung aus der Finanzmathematik. Um klar darzustellen, worum es sich bei diesem Feld überhaupt handelt, sei zunächst ein Hinweis zu den Zielen der Finanzmathematik gegegeben. Um dann betrachten zu können, in wie weit mathematische Modelle sinnvoll zur Modellierung von Kursen von Wertpapieren eingesetzt werden können, ist es nötig, sich zunächst einmal mit verschiedenen Grundlagen der Finanzmärkte vertraut zu machen. 2 Ziele der Finanzmathematik Allgemein formuliert ist das Hauptziel der Finanzmathematik die statistische Behandlung von Chancen und Risiken auf Finanzmärkten. Dieses thematische Feld ist noch vergleichsweise jung. Konkrete Beispiele für finanzmathematische Fragestellungen sind: Quantifizierung von Marktrisiken Wie hoch sind z.b. Verlustpotentiale bei bestimmten Engagements an den Märkten? Wie lassen sich Risiken in der Praxis minimieren bzw. wo sind mögliche Einstiegspunkte mit niedrigem Risiko für neue Engagements? Ermittlung von Korrelationen Hängen bestimmte Preisentwicklungen an den Finanzmärkten tatsächlich miteinander zusammen? Wenn ja, in welcher Art und wie lässt sich dies nutzen? Berechnung und Optimierung von Portfolio-Risiken Welchen Risiken unterliegen Kombinationen von Wertpapieren? Heben sich Risiken der einzelnen Positionen untereinander auf? Verstärken sie sich gegenseitig (sog. Klumpenrisiko)? Ermittlung von fairen Preisen für Derivate Die Finanzwelt ist komplizierter und komplexer als der reine Aktienmarkt. Welcher Preis für Produkte, die von ihrer Kursentwicklung von anderen Produkten abhängen (sog. Derivate) ist fair? Wie kann man dies feststellen und welche Modellierungen eignen sich? Ein konkretes Beispiel einer finanzmathematischen Fragestellung (aus dem täglichen Börsenleben): Da Rohstoffe weltweit in US-Dollar abgerechnet werden, haben Schwankungen im US- Dollar-Kurs immer wieder Auswirkungen auf die Rohstoffpreise. Ist der US-Dollar schwach im Vergleich zu anderen Währungen, führt dies tendentiell zu steigenden Rohstoffpreisen, da Marktteilnehmer mit stärkeren Währungen billiger einkaufen können (höhere Nachfrage). Ein im Vergleich zu anderen Währungen starker US-Dollar führt meist zu fallenden Rohstoffpreisen, da unter solchen Umständen weniger aus den Ländern gekauft wird, deren Währung an Kaufkraft gegenüber dem US-Dollar an Stärke verliert. Es gibt eine Vielzahl weiterer interessanter Fragestellungen. 2

3 3 Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen 3.1 Markt, Preis und Aktien Eine wesentliche Voraussetzung für das Verständnis von Problemem aus der Finanzmathematik ist die Grundkenntnis der Funktion von Börse, Markt und Preisbildung. Definition 3.1 (Markt und Preisbildung) Ein Markt ist ein Ort, an dem Angebot und Nachfrage aufeinander treffen. An den modernen Finanzmärkten findet dies an den jeweiligen Börsen oder im außerbörslichen Direktgeschäft (OTC, over the counter) statt. Preise bilden sich im Markt durch das Prinzip von Angebot und Nachfrage. Überwiegt das Angebot (Verkäufer), sinkt der Preis; überwiegt die Nachfrage (Käufer), steigt der Preis. An den heutigen Finanzmärkten gibt es eine Reihe unterschiedlicher Bereiche, die durch verschiedene Börsen abgedeckt werden. Einige der größten und wichtigsten Märkte sind: Rohstoffe (engl. Commodities) Aktien (engl. Shares, Stocks) Devisen (engl. FOREX) Anleihen (engl. Bonds) Optionen (Handel u.a. an den Terminbörsen CBOE, EUREX) OTC-Märkte (außerbörsliche Geschäfte) Definition 3.2 (Aktie) Eine Aktie ist ein Wertpapier, welches den Anteil an einer Gesellschaft verbrieft; Aktien werden in der Regel an Aktienbörsen gehandelt. Manche Aktien schütten Dividenden (Gewinnbeteiligungen an Unternehmen) an die Aktionäre aus. Aktienkurse unterliegen einer Vielzahl von Schwankungen. Der intuitive Gedanke, dass ein gutes Unternehmen auch eine guten Aktienkurs haben müsse, ist also zu kurz gegriffen. Aktien unterliegen den verschiedensten Einfluss-Faktoren: Massenpsychologie Die meisten Menschen sind Herdentiere, zu ihrem eigenen Verhängnis auch als Akteure an den Finanzmärkten. Ereignisse, wie etwa der 11. September 2001 in den USA oder die aktuelle Wirtschaftskrise, können daher Gruppenreaktionen auslösen, welche nicht selten in kaum einem vernünftigen Zusammenhang zu den fundamentalen Realitäten der Wirtschaftsleistung verschiedener Unternehmen stehen. Allgemeine wirtschaftliche Lage Ist der allgemeine, wirtschaftliche Ausblick eher trüb oder gibt es generellen Grund zum Optimismus? Wie geht es der Weltkonjunktur? 3

4 Fundamentale Daten Wie steht es um das jeweilige Unternehmen (im Falle von Aktien)? Wie steht es um die Angebot-Nachfrage Differenz (bei Rohstoffen)? Wie entwickeln sich Zinsen und Kreditwürdigkeit des Schuldners (bei Anleihen)? Politische Nachrichten Ist die allgemeine politische Lage stabil? Unruhen und Zeiten des Umbruchs sorgen oft für Nervosität und fehlende Kontinuität in einigen Bereichen der Wirtschaft. Zyklik Haben sich die vorherrschenden Zeitfenster bzw. der vorherrschende Monat, Tag, Quartal etc. in der Vergangenheit (wiederholtermaßen) eher als stark oder als schwach erwiesen? Sektorrotation Welche Industrie- bzw. Wirtschaftsbereiche werden von den großen Anlegern bevorzugt? Wo wird dererseits investiert (i.a.w.: Wo sind stabile Kursentwicklungen zu erwarten, da bei Kursschwäche größere Anleger immer wieder nachkaufen und so das Abwärtspotential im Kurs durch die permanenten Zukäufe beschränken)? Hedgefonds Tummeln sich die Heuschrecken irgendwo (meist massiv aufgeblähte Kapitalmengen, welche bewegt werden, was zu sehr starken Kursveränderungen, siehe z.b. aktueller Vorfall um die VW-Aktie, führen kann). 3.2 Optionen Unter einer Option versteht man das verbriefte Recht (in Form eines Kontrakts), eine vorher festgelegte Menge eines vorher bestimmten Basiswerts zu einem vorher bestimmten Preis und Zeitpunkt zu kaufen bzw. zu verkaufen. Der Optionenhandel verläuft über spezielle Börsen (EUREX, Chicago Board Options Exchange, etc.). Man unterscheidet zwischen zwei grundsätzlichen Typen von Optionen: Call-Option Put-Option Definition 3.3 (Call-Option) Unter einer Call-Option versteht man das Recht, zu einem vorher festgelegten Kurs und einem vorher festgelegten Zeitpunkt eine bestimmte Menge eines Basiswerts zu kaufen. Definition 3.4 (Put-Option) Unter einer Put-Option versteht man das Recht, zu einem vorher festgelegten Kurs und einem vorher festgelegten Zeitpunkt eine bestimmte Menge eines Basiswerts zu kaufen. Bei Optionen unterscheidet man zwischen zwei Ausführungstypen, amerikanischen und europäischen Optionen. Dies hat hier allerdings keine geografische Bedeutung, sondern 4

5 gibt lediglich die Ausübungsart an. Europäische Optionen können erst am Laufzeitende ausgeübt werden, amerikanische Optionen allerdings während der gesamten Laufzeit. Optionen eröffnen zahlreiche, teils sehr komplexe Handelsstrategien. Die Finanzmathematik beantwortet hier z.b. Fragen zum fairen Wert von Optionen, aber auch zum Risikoprofil einzelner Strategien. Hierzu ein (vereinfachtes) Beispiel: Angenommen, ein Aktiendepot enthält 100 Aktien der Firma XY. Das Aktienpaket wurde in einer Tranche gekauft zu einem Kurs von 40 US-Dollar pro Aktie. Nun soll gegen die bestehende Position eine Call-Option verkauft werden; ein anderer Marktteilnehmer soll also das Recht erhalten, die 100 Aktien der Firma XY zu einem festgelegten Preis und Zeitpunkt kaufen zu können. Im Gegenzug erhält der Besitzer des Aktienportfolios, welches die 100 Aktien der Firma XY enthält, eine bestimmte Summe bezahlt (die sog. Optionsprämie). Interessante Fragen, welche sich hier ergeben, sind z.b.: In welcher Marktsituation sollten derartige Geschäfte durchgeführt werden? Wie sieht das Risikoprofil solch einer Optionsstrategie aus? Wie lässt sich der Gewinn solch einer Strategie maximal optimieren? Bei der hier beschriebenen Optionsstrategie handelt es sich um eine der einfachsten Strategien, den Covered Call. Deutlich komplizierter wird es, wenn etwa Strategien wie der Eiserne Condor oder umgekehrte Schmetterlinge angewendet werden (Wer mehr über Optionen lernen möchte, sei auf das letzte Kapitel bzw. das Ende dieser Ausarbeitung verwiesen; dort finden sich, wie bereits im einleitenden Abschnitt dieser Ausarbeitung erwähnt, einige weiterführende Literaturempfehlungen zu den verschiedenen Themen dieses Vortrags). Ebenso interessant ist natürlich die Frage, wie sich letzlich Optionskonstruktionen vom Risikoprofil her auf ein Gesamtportfolio aus mehreren Positionen auswirken. 4 Über die Vorgehensweise institutioneller Anleger Mehr als die Hälfte allen Kapitals an den Finanzmärkten wird durch institutionelle Anleger (also Banken, Fonds, Pensionskassen, etc.) bewegt. Auch setzen die wenigsten Privat- und Kleinanleger einen Analyseprozess für die Auswahl von Investments an, der mit institutionellem Vorgehen vergleichbar wäre. Dieses Kapitel erläutert daher grob einige Bausteine und prinzipielle Vorgehensweisen, welche im institutionellen Bereich zum Einsatz gelangen. 4.1 Entscheidungskriterien institutioneller Anleger Natürlich gibt es eine Vielzahl verschiedener Handelsansätze, mit welchen Investmentfonds und andere Kapitalanlagegesellschaften an den Finanzmärkten agieren. Dennoch lassen sich bei genauerer Betrachtung grundsätzliche Parallelen in den Bausteinen der einzelnen Methoden finden. Die Komponenten, aus denen institutionelle Analyseansätze bestehen, unterscheiden sich also hauptsächlich in inhaltlichen Details, nicht aber in 5

6 ihrer grundsätzlichen Logik. Die vier gängigsten Bausteine einer institutionellen Handelsstrategie lassen sich wie folgt beschreiben: Fundamentale Analyse Unter der fundamentalen Analyse eines Investments versteht man die Auswertung der wirtschaftlichen Hintergrund- bzw. Basisinformationen. Bei einem Unternehmen sind dies z.b. wichtige Geschäftsmetriken wie Margenentwicklung, Umsatzwachstum oder andere bilanztechnische Punkte. Bei Rohstoffen hingegen steht fast nur das Verhältnis von Bedarf und Produktion im Vordergrund. Ist der Bedarf höher als die Menge, welche aktuell produziert bzw. gefördert werden kann, ist dies bullisch (d.h. als tendentiell preissteigend) zu sehen. Die fundamentale Analyse sagt (institutionellen) Anlegern, was gekauft werden sollte. Technische Analyse Das Feld der technischen Analyse ist extrem breit gefächert. Manche institutionelle Anleger stehen ihr als "Kaffeesatz-Leserei" negativ gegenüber, die meisten jedoch erkennen in ihr ein hilfreiches Werkzeug. Dieser Zwiespalt hängt sicherlich auch damit zusammen, dass es sehr viele Formen der technischen Analyse gibt. Die meisten hiervon sind relativ unnütz, wenn nicht gar esoterisch und befremdend, doch gibt es andere Ansätze, welche sich seit Jahrzehnten in der Praxis bewährt haben, wissenschaftlich untersucht und gar immer weiter entwickelt wurden. In den USA ist hierbei besonders bei institutionellen Großanlegern die Point&Figure Methodik verbreitet, welche sich u.a. auch auf Finanzmathematik stützt. Die technische Analyse gibt in der Regel an, wann etwas gekauft/verkauft werden sollte. Ziel ist hierbei, in so gut wie allen Fällen, die Risiko-Minimierung und Optimierung des Ein-/Ausstiegszeitpunktes eines Handels an den Finanzmärkten. Zyklik Statistische Untersuchungen der Finanzmarktgeschichte und großer Mengen historischer Kurse ergaben, dass sich bestimmte tendentielle Muster an den Finanzmärkten oft wiederholen (auch hier gibt es natürlich Ausnahmen). Dies wird meist der menschlichen Psyche bzw. externen Faktoren (bei Agrarrohstoffen z.b. Erntezeiten oder bei stark konjunkturabhängigen Industriebranchen der aktuelle Zustand der Weltwirtschaft) zugeschrieben. Zyklen gibt es in den verschiedensten Bereichen und institutionelle Anleger greifen hierbei meist auf umfassendes Datenmaterial zurück. Dies gibt zwar keine Garantie auf einen bestimmten Kursverlauf, da bekanntlich vergangene Entwicklungen nicht für die Zukunft sprechen. Dennoch ist es nicht selten hilfreich zu wissen, ob beispielsweise eher ein tendentiell starker oder schwacher Monat vorliegt. Oft rundet dies das Gesamtbild einer Bewertung eines potentiellen Investments/Handels nützlich ab. Sentiment Unter dem Begriff Sentiment wird die dominierende Gefühlslage bzw. Handelsgesinnung der Marktteilnehmer verstanden. Die Überlegung hierbei ist, dass ein Anleger, der sehr pessimistisch ist, höchstwahrscheinlich bereits seine Positionen verkauft hat, 6

7 wogegen ein Optimist höchstwahrscheinlich bereits gekauft hat. Liegt also zu viel Optimismus an den Märkten vor, ist unter dem Gesichtspunkt des Sentimens des Risiko sehr hoch, denn Kurse können nur so lange steigen, wie es genug Käufer gibt. Ist die Masse optimistisch, so deutet dies nach der Logik des Sentiments darauf hin, dass fallende Kurse in nächster Zeit wahrscheinlicher sind als steigende. Ist hingegen der Pessimismus und die Weltuntergangsstimmung hoch, so kann davon ausgegangen werden, dass kaum Anleger an den Märkten engagiert sind und somit das relative Risiko (aus Sicht der Massenpsychologie) eher begrenzt sein dürfte. Es gibt zahlreiche Methoden, welche versuchen die Sentimentlage im Markt festzustellen. Viele basieren auf Umfragen, doch meist zeigen sich solche Ergebnisse als wenig hilfreich. Andere wiederum greifen auf bestimmte Verhältnisse wie z.b. von Call- Optionskäufern und Put-Optionskäufern zurück. Alternativ werden hier auch Volatilitätsindizes verwendet, wie etwa der VDAX oder der VIX, was eine deutlich höhere Aussagekraft als Umfragen basierend auf Stichproben hat, da diese Indizes das gesamte Marktgeschehen, also alle Akteure im Markt, berücksichtigen. Natürlich gibt es noch eine Reihe weiterer Bausteine; die hier genannten stellen allerdings die wichtigsten dar. 4.2 Die technische Analyse und die Mathematik Natürlich erfodern alle der o.g. Bausteine bis zu einem gewissen Ausmaß mathematische Rechenmethoden. Die technische Analyse nimmt hierbei im institutionellen Bereich jedoch eine Sonderstellung ein, denn dort findet primär die Finanzmathematik statt. Die wenigsten Fondsmanager sind rundum solide Mathematiker, weshalb meist computergestützte Hilfssysteme zum Einsatz gelangen, welche die Auswahl eines Investments aus Sicht der technischen Analyse vereinfachen sollen. Solch komplexe Systeme bieten meist sehr viele verschiedene Optionen für den Anwender (Marktbetrachtung, Portfolio- und Positionsrisikomanagement, Vergleichsanalysen, etc.). Auf den folgenden Seiten sind zwei Beispiele aus einem Point&Figure System gegeben, welches unter institutionellen Anlegern und unabhängigen Vermögensverwaltern in den USA recht verbreitet ist. Oftmals sind es gerade solche sehr leistungsfähigen Computersysteme, welche bei der erfolgreichen Geldanlage den Unterschied machen können, da mit diesen eine große Vielzahl an Daten verarbeitet werden kann. Auch wenn die folgende Grafik in ihrer Darstellungsform eher einfach wirken mag, so sind in dieser Darstellung über verschiedene Datensätze berücksichtigt: 7

8 Abbildung 4.1: Beispiel einer US-Sektorenkurve, (c) DWA Die Abbildung 4.1 zeigt eine US-Sektorenkurve vom Der Sinn solch einer Darstellung ist es, dem Nutzer des Analysesystems einen Überblick über die einzelnen US Industriesektoren zu geben, wobei jeder einzelne Sektor durch eine Buchstabenkombination abgekürzt wird. Je weiter ein Sektor sich links befindet, desto stärker ist er im Vergleich zum Normalzustand (48-52) überverkauft und desto geringer ist das tendentielle Risiko in diesem Sektor einen Ausverkauf zu erleben. Ist ein Sektor sehr weit rechts in der obigen Darstellung, so bedeutet dies, dass dieser überkauft ist (also viel Kapital in diesem Sektor steckt). Sollte es in solch einem Fall zu schlechten Nachrichten oder gar Panik kommen, ist der Weg, den einzelne Aktien aus dem Sektor fallen können, im Vergleich zum Normalzustand deutlich höher, d.h. neue Engagements sollten aus Risikogründen erst einmal abgewartet werden. Die genauen Regeln, nach denen die obige Darstellung erstellt wird, sind durch die Point&Figure Methodik genau vorgeschrieben und können in der entsprechenden Literatur (siehe Literaturverzeichnis) im Detail nachgelesen werden. 8

9 Abbildung 4.2: Beispiel eines Point&Figure Charts, (c) DWA Der in Abbildung 4.2 dargestellte Chart enthält eine Reihe an Informationen. Einerseits wird der Kursverlauf mittels der Point&Figure Methodik dargestellt, andererseits ist hier auch das sog. 10-Wochen-Kursband erkennbar (eingetragen als Top, Med und Bot). Der hierdurch gekennzeichnete Kursbereich zeigt u. a. an, in welcher absoluten Bandbreite der Kurs des Wertpapiers in den letzten Wochen notierte. Ähnlich wie in der Darstellung auf der vorherigen Seite ist auch hier erkennbar, ob eine Aktie überverkauft bzw. überkauft ist. Die absolute Spanne des Kursbandes entspricht jeweils 3 Standardabweichungen nach oben und drei Standardabweichungen nach unten (ausgehend vom Mittelkurs). 5 Aktienkurse als stochastische Prozesse Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Frage, auf welche Weise Aktienkurse mathematisch modelliert werden können. Hierbei wird ein Aktienkurs als stochastischer Prozess aufgefasst. Dieser kann entweder in stetiger oder diskreter Zeit erfolgen (auch kurz: Prozess in stetiger oder diskreter Zeit). Die vorliegende Ausarbeitung widmet sich schwerpunktmäßig stochastischen Prozessen in diskreter Zeit. In den folgenden Abschnitten findet eine schrittweise Annährung an ein erstes, theoretisches Modell zur Aktienkursmodellierung statt; abschließend wird ein kurzer Ausblick auf stochastische Prozesse in stetiger Zeit gegeben. 9

10 Definition 5.1 (Stochastischer Prozess) Ein stochastischer Prozess besteht aus zeitlich angeordneten Zufallsgrößen (Zufallsvariablen) {X t ; t 0}. Der Einfachheit halber beginnt ein Prozess immer zur Zeit t = 0. Ein stochastischer Prozess heißt in diskreter Zeit, wenn die Beobachtungen nur in regelmäßigen Abständen, also t =0, 1, 2,..., erhoben werden. Sind für t alle reellen Zahlen zulässig, so heißt der Prozess in stetiger Zeit. 5.1 Stochastische Prozesse in diskreter Zeit Mittels stochastischer Prozesse in diskreter Zeit lassen sich eine Vielzahl typischer Beispiele modellieren: täglich, monatlich oder jährlich erhobene Wirtschaftsdaten, Aktienkurse, Arbeitslosenziffern, Absatzzahlen, etc. Einer der einfachsten stochastischen Prozesse ist die einfache Irrfahrt. Hierbei handelt es sich um einen Prozess, dessen Zuwachs Z t von der Zeit t 1 zurzeittnurdie beiden W erte +1oder 1 annehmen kann : X t = X 0 + Z k und es ist P (Z k =1)=p, sowiep (Z k = 1) = 1 p für alle k Natürlich sind einfache Irrfahrten für die Modellierung von Aktienkursen nicht ausreichend, da u.a. nur Zuwächse von +1 oder -1 möglich sind, was die Realität an den Finanzmärkten nicht widerspiegelt. Möglichkeiten, dieses Konzept zu verallgemeinern bzw. zu erweitern, gibt es verschiedene, wie z.b.: Zulassen der Nulländerung als Zuwachs (Trinomialprozess) Zulassen anderer Änderungen als +1 oder -1 Zunächst jedoch einige Beispiele einfacher Irrfahrten: Abbildung 5.1: Mehrere Realisierungen einer symmetrischen (d.h. p =0.5) Irrfahrt. 10

11 Die hier vorliegende Irrfahrt hat einen neutralen Trend oder Drift. Der Prozess bleibt im Mittel bei Null. Das Netz der möglichen Pfade (bei Aktienkursen wird dies auch der Kursbaum genannt) ist bei allgemeinen Irrfahrten relativ einfach zu ermitteln; bei Binomialprozessen ist das Netz schon ein wenig komplizierter. Der Pfad einer Irrfahrt ergibt sich hierbei durch Verbindung der einzelnen Punkte und spiegelt den zeitlichen Verlauf des Prozesses anschaulich wieder. Es gilt: allgemeine Irrfahrt Bei allgemeinen Irrfahrten können die Werte in Abhängigkeit von t sich bewegen innerhalb von b [a t, a + t] Binomialprozesse Bei allgemeinen Binomialprozessen können die Werte in Abhängigkeit von t annehmen: b = a + n u m d, wobei n, m 0, n+ m = t Ein weiteres Beispiel: Abbildung 5.2: Verschiedene Realisierungen einer Irrfahrt mit negativem Drift (hier mit p =0.4). Die fallende Gerade ist der Trend. Für den Drift einer einfachen Irrfahrt gilt der folgende Zusammenhang: E[X t ]=t (2p 1), dennesiste[z k ]=2p 1. 11

12 Für allgemeine Binomialprozesse mit Startwert X 0 gilt dementsprechend E[Z k ]=(u + d) p d und somit ist E[X t ]=E[X 0 ]+t ((u + d) p d). Hierbei ist E[X t ] der Erwartungswert. Ein weiteres Beispiel einer einfachen Irrfahrt (p =0.6) findet sich in Abbildung 5.3 Abbildung 5.3: Verschiedene Realisierungen einer Irrfahrt mit positivem Drift (hier mit p =0.6). Die steigende Gerade ist der Trend. 5.2 Geometrische Irrfahrten Binomialprozesse und allgemeinere Irrfahrten beschreiben den Verlauf von Aktienkursen bestenfalls lokal. Sie gehen (außerdem) davon aus, dass u.a. die Verteilung der Zuwächse stets dieselbe ist, egal wie sich der Kurs inzwischen entwickelt hat. Geometrische Irrfahrten hingegen lassen den absoluten Zuwachs vom erreichten Kursniveau abhängen, wodurch sich etwa Wirtschaftsdaten wie Absatzzahlen (welche auf absoluter Basis schwanken, jedoch aus relativer Sicht gleichbleiben können, je nach Marktlage) modellieren lassen. Definition 5.2 (Geometrische Irrfahrten) Mansprichtvoneinergeometrischen Irrfahrt {X t ; t 0}, wenn die relativen Zuwächse R t = Xt X t 1 wobei T =1, 2,... unabhängig, identisch verteilt sind (Prinzip analog zu Irrfahrten und absoluten Zuwächsen). 12

13 Ein geometrischer Binomialprozess hat z.b. die Form: X t = R t X t 1 = X 0 R k wobei X 0,R 1,R 2,... unabhängig und für u>1,d<1: P (R k = u) =p und P (R k = d) =1 p. Wird diese Modellierung jedoch Aktienkursen gerecht? Man stelle sich vor, eine Aktie steigt sehr schnell sehr stark an. Ist die Wahrscheinlichkeit auf weitere, schnelle Anstiege noch genauso wie vorher? In den seltensten Fällen. Es ist also eine weitere Komponente im Modell nötig: Zustandsabhängigkeit. Eine Lösung bieten hier: 5.3 Binomialprozesse mit zustandsabhängigen Zuwächsen Binomialprozesse mit zustandsabhängigen Zuwächsen bieten ein erstes, nicht sehr praktisches, theoretisches Modell zur Modellierung von Aktienkursen In der Praxis ist es sehr schwer, die p(x, t) aus Beobachtungen des tatsächlichen Aktienverlaufs zu schätzen Dennoch hat diese Modellierung von Aktienkursen durchaus ihre Berechtigung und tritt auch bei einigen anderen Berechnungsmethoden und verfahren immer wieder auf (z.b. als numerische Lösung bei der Black-Scholes-Gleichung für amerikanische Optionen). Im Detail gilt: Binomialprozesse mit zustandsabhängigen Zuwächsen bieten Lösungen für die genannten Probleme, indem Zuwächse zustandsabhängig (evtl. auch zeitabhängig) werden: X t = X t 1 + Z t mit t =1, 2,... und P (Z t = u) =p(x t 1,t) und P (Z t = d) = 1 p(x t 1,t). Die festen Funktionen p(x, t) ordnen jedem möglichen Wert des Prozesses zur Zeit t und jedem t eine Wahrscheinlichkeit zu. Analog lässt sich der Binomialprozess mit zustandsabhängigen relativen Zuwächsen definieren. Nicht immer ist es aus mathematischer Sicht sinnvoll, mit stochastischen Prozessen in diskreter Zeit zu operieren. Zwar sind von der Modellierung her Aktienkurse und zahlreiche Wirtschaftsdaten durchaus Prozesse in diskreter Zeit, doch ist es für einige Rechnungen (etwa wie das Optionsmodell von Black-Scholes) sinnvoller, durch Prozesse in stetiger Zeit zu approximieren. Der Vorteil hierbei ist, dass man auf diese Weise deutlich leichter analytisch rechnen kann. Möchte man nach der Berechung Prozesse wieder auf dem Rechner simulieren, so werden nun die Prozesse in stetiger Zeit wieder durch Prozesse in diskreter Zeit approximiert; es findet also ein Wechsel zwischen stetiger und diskreter Zeit statt, je nachdem was für die jeweiligen Rechnungen bequemer ist. Überlegungen bzw. Rechnungen in stetiger Zeit führen meist zu stochastischen Integralen und Differentialgleichungen, deren Lösungen wiederum stochastische Prozesse in stetiger Zeit sind. Das nächste Kapitel (Quellenverzeichnis und Literatur) bietet auch zu dieser Thematik eine Literaturempfehlung zur Vertiefung. 13

14 Abschließend bleibt anzumerken, dass dieser Vortrag bzw. die vorliegende Ausarbeitung natürlich nur einen kleinen Eindruck in die Finanzmathematik und deren Anwendung im Analyseprozess von Wertpapieren geben konnte. Aus meiner Sicht ist diese Thematik jedoch höchstinteressant, denn gerade in Zeiten der aktuellen Finanzund Weltwirtschaftskrise zeigt sich eindrucksvoll, was geschehen kann, wenn Risikomanagement an den Finanzmärkten versagt bzw. durch verschiedene Marktteilnehmer aufgrund ihrer priviligierten Stellung unterlaufen werden kann. Auch die Tatsache, dass die Finanzmathematik vergleichsweise jung ist und es eine Vielzahl von noch zu bearbeitenden Problemstellungen innerhalb dieser gibt, macht in meinen Augen dieses Feld mit zu einem der interessantesten und praxisbezogensten Bereichen, denen ich in meinem Studium der Mathematik bisher begegnet bin. 6 Quellen, weiterführende Literatur und Tipps (1) Jürgen Franke: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte, Springer Verlag, (2) Jeffrey A. Hirsch: Stock Trader s Almanac, Wiley, (3) Zack s Investment Research: (4) Dorsey Wright & Associates: (5) Thomas Dorsey: Point & Figure Charting, Wiley, (6) Brian Overby: The Options Playbook, TradeKing, (7) Investor s Intelligence: (8) Investopedia: (9) Investoren Wissen: Abbildungsverzeichnis 4.1 Beispiel einer US-Sektorenkurve, (c) DWA Beispiel eines Point&Figure Charts, (c) DWA Mehrere Realisierungen einer symmetrischen (d.h. p =0.5) Irrfahrt Verschiedene Realisierungen einer Irrfahrt mit negativem Drift (hier mit p =0.4). Die fallende Gerade ist der Trend Verschiedene Realisierungen einer Irrfahrt mit positivem Drift (hier mit p =0.6). Die steigende Gerade ist der Trend

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