für alle a, b, x, y R.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "für alle a, b, x, y R."

Transkript

1 Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, Ringe Definition Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes gilt: (R1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. (R2) die Verknüpfung ist assoziativ (R3) (Distributivgesetze) a (x + y) = a x + a y (a + b) x = a x + b x } für alle a, b, x, y R. Manchmal wird diese Definition noch aufgeschlüsselt, wobei dann der Begriff Gruppe nicht mehr benutzt wird. Das läuft auf dasselbe hinaus und erscheint in der obigen Form etwas übersichtlicher. Im allgemeinen wird von einem Ring zusätzlich verlangt, dass ein neutrales Element bzg. der Multiplikation existiert. Ein solches Element heißt Einselement oder einfach Eins und wird mit 1 R bezeichnet. Man spricht auch kurz von einem Ring mit Eins. Ein Ring heißt kommutativ, falls die Multiplikation kommutativ ist: a b = b a für alle a, b R. Die aus der Linearen Algebra wie auch aus der Analysis bekannte Definition eines Körpers kann jetzt sehr kurz gefasst werden: Definition Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt. Die Forderung nach Inversen macht Sinn, weil es für die Multiplikation ein neutrales Element gibt. Beispiele Alle Ringe in den folgenden Beispielen haben ein Einselement. Alle außer (6) sind kommutativ. (1) (Z, +, ): die ganzen Zahlen mit der üblichen Multiplikation und Addition bilden einen kommutativen Ring mit Einselement. (2) (Q, +, ), (R, +, ): die rationalen bzw. reellen Zahlen bilden einen Körper. (3) Z[ 2]: die Menge aller reellen Zahlen x + y 2, x, y Z bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Ring. Hierzu muss man sich vor allem überlegen, dass das Produkt zweier solcher Zahlen wieder von derselben Bauart ist. Dieses gilt allgemeiner für d anstelle von 2, für irgendeine feste Zahl d Z, die kein Quadrat in Z ist. Siehe auch unten

2 Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, (4) F(M, R): die Menge der reellwertigen Funktionen auf einer beliebigen Menge M bildet einen Ring mit der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen: (f + g)(x) = f(x) + g(x) für alle f, g F(M, R). (5) K[X]: der Polynomring über einem beliebigen Körper K; Polynome sind aus der Linearen Algebra (charakteristisches Polynom einer Matrix) und der Analysis bekannt, allerdings sagt man oft nicht, was sie wirklich sind. Polynome sind keine Funktionen, sondern formale Ausdrücke, die allerdings eine Funktion definieren. Dieser Ring K[X] der abstrakten Polynome wird unten in Abschnitt 3.2 exakt definiert. (6) End(V ), die Menge aller Endomorphismen eines K-Vektorraums V der Dimension 2 ist mit der üblichen Addition und der Komposition von Abbildungen als Multiplikation ein nicht-kommutativer Ring mit Einselement Id V. Entsprechend gibt es den Ring der n n-matrizen M n (K). (7) Z/mZ, die Menge der Restklassen ganzer Zahlen modulo m, bildet mit der von der Addition und Multiplikation auf Z abgeleiteten Restklassen- Addition und -Multiplikation (siehe ) einen Ring; man erhält einen in natürlicher Weise isomorphen Ring, wenn man die Verknüpfungen von Z/mZ auf das Vertretersystem Z m überträgt (siehe ). Immer dann, wenn auf einer Menge zwei Verknüpungen gegeben sind, hat man einen möglichen Kandidaten für einen Ring. Sehr wichtig ist dabei das Distributivgesetz, das das Zusammenspiel der beiden Verknüpfungen regelt. Ein einfaches Beispiel, bei dem dieses erfüllt ist, man aber trotzdem keinen Ring hat, liefert die folgende Struktur: Man betrachtet als Menge R die Potenzmenge einer beliebigen Menge M mit den beiden Verknüpfungen und, also Durchschnitt und Vereinigung. Dann gilt das Distributivgesetz (man mache sich das klar!) und trivialerweise auch das Assoziativgesetz jeweils für die einzelne Verknüpfung. Die Ringeigenschaft scheitert daran, dass die erste Verknüpfung keine Gruppe liefert (es gibt keine inversen Elemente). Das Beispiel (3) führt in natürlicher Weise auf den Begriff des Teilrings (oder Unterrings), der dem Begriff der Untergruppe oder des Untervektorraumes (Teilraumes) völlig analog ist. Definition Es sei (R, +, ) ein Ring. Eine Teilmenge S R heißt Teilring (oder Unterring) von R, falls gilt: (TR1) S ist Untergruppe von (R, +), (TR2) S ist abgeschlossen unter Multiplikation: x, y S = x y S.

3 Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, Beispiel (Die Gauß schen Zahlen) (1) Die Menge Z[i] := {x + yi x, y Z} C ist ein Teilring von C, der sogenannte Ring der ganzen Gauß schen Zahlen. (2) Die Menge Q[i] := {x + yi x, y Q} C ist ebenfalls ein Teilring von C und selbst ein Körper. Es handelt sich um einen sog. Teilkörper des Körpers C. Bei völlig systematischer Vorgehensweise wäre als Nächstes analog zu Fall der Gruppen das Konzept des Homomorphismus (strukturerhaltende Abbildung) sowie der Isomorphie von Ringen zu behandeln. Soweit gegenüber Gruppen etwas Neues passiert, verzichten wir in dieser kurzen Einführung darauf und verweisen auf den Beginn des (Haupt-)Kapitels über Ringe. Ringe unterscheiden sich von den aus der linearen Algebra besser bekannten Körpern dadurch, dass man nicht uneingeschränkt dividieren kann, d.h. nicht jedes von Null verschiedene Element hat ein Inverses bezüglich der Multplikation. Aber es macht Sinn, die Teilmenge derjenigen Elemente, die ein solches Inverses besitzen, gesondert zu betrachten: Definition Ein Element a eines Ringes R mit Eins heißt Einheit oder invertierbar, falls ein b R existiert mit Bezeichnung: R := {a R a Einheit} a b = 1 = b a. Wie im Fall von Gruppen zeigt man: Das Element b ist bei gegebenem a eindeutig bestimmt. (Erinnerung: hierzu nimmt man sich ein weiteres Element b, das die gleichen Eigenschaften wie b hat, und zeigt b = b.) Das Element b heißt das Inverse von a; Bezeichnung: b =: a 1. Beispiele (Einheiten in Ringen) (1) Die Einheiten des Ringes Z sind lediglich 1 und 1. (2) In dem obigen Beispiel (3) eines Ringes ist 2 keine Einheit, aber ist eine, denn (1 + 2)( 1 + 2) = 1, und der zweite Faktor liegt wieder im betrachteten Ring.

4 Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, (3) Für alle Elemente z Z[i] des Ringes der ganzen Gauß schen Zahlen gilt z 1 (Betrag der komplexen Zahl z), sobald z 0 ist. Mit Hilfe dieser Tatsache bestimmt man leicht die Einheiten dieses Rings (Übung). (4) Die Einheiten des Polynomrings K[X] über einem Körper sind die konstanten Polynome ausser der Null. Das zeigt man unter Benutzung des Grades von Polynomen. Wasserdicht können wir dieses Argument erst machen, wenn wir Polynome exakt definiert haben und die Gradformel b) zur Verfügung haben. Beim Restklassenring Z/mZ müssen wir etwas Neues lernen: es ist nicht offensichtlich, welche Elemente Einheiten sind. Deshalb gibt es dafür einen eigenen Satz. Satz Für m N und a Z ist [a] m Einheit im Restklassenring Z/mZ genau dann, wenn a und m teilerfremd sind: (Z/mZ) = {[a] m Z/mZ a Z so, dass ggt(a, m) = 1}. Notation: wir werden im Folgenden für eine Restklasse [a] m gelegentlich auch a schreiben, wenn m sich eindeutig aus dem Kontext ergibt. Beweis von 1.5.8: Wenn a und b teilerfremd sind, so gibt es nach dem Satz ganze Zahlen x, y Z mit 1 = ggt(a, m) = xa + ym. Für die entsprechenden Restklassen modulo m bedeutet das 1 = x a y m. Wegen m = 0 ist x a = 1, also a invertierbar mit Inversem x. Wenn umgekehrt letzteres gilt, ist die Kongruenz xa m 1 lösbar, d.h. es gibt ein Vielfaches ym von m mit xa + ym = 1. Dann muss aber offensichtlich der ggt von a und m gleich 1 sein. Beispiel Die Einheiten in Z/6Z sind 1, 5; die Einheiten in Z/10Z sind 1, 3, 7, 9. Der folgende Satz kann keine Überraschung sein. Satz Wenn R ein Ring ist und a, b R Einheiten, so ist auch a b R. Mit der Ringmultiplikation als Verknüpfung ist R eine Gruppe. Die erste Behauptung besagt, dass die Multiplikation eine Verknüpfung auf R liefert. Zum Beweis hiervon rechnet man nach, dass b 1 a 1 invers zu a b ist. Nachdem die erste Behauptung bewiesen ist, ist auch die zweite klar: alle drei Gruppenaxiome gelten nach Definition. Eine Vorbemerkung zu den folgenden Beispielen: Aus den Übungsaufgaben wissen wir, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 4 gibt, nämlich Z 4 und Z 2 Z 2. Jede weitere Gruppe mit 4 Elementen ist zu einer dieser beiden isomorph.

5 Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, Beispiele (Einheitengruppen) (1) Die Einheitengruppen (Z/5Z) = {1, 2, 3, 4}, (Z/8Z) = {1, 3, 5, 7} und (Z/10Z) = {1, 3, 7, 9} habe alle jeweils 4 Elemente. In den Übungen klären wir, zu welchen der beiden Standardgruppen Z 4 bzw. Z 2 Z 2 sie isomorph sind. (2) Die Einheitengruppe des Endomorphismenrings End(V ) eines Vektorraumes V ist die Gruppe der Automorphismen von V, die wir schon aus der linearen Algebra kennen und dort als allgemeine lineare Gruppe von V bezeichnet haben: End(V ) = GL(V ). Entsprechend besteht die Einheitengruppe des Ringes der n n-matrizen aus den invertierbaren Matrizen; sie heißt allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über K: M n (K) = GL n (K). Die Einheiten eines Ringes sind diejenigen Elemente, die sich bezüglich der Multiplikation so verhalten, wie man es in einem Körper erwartet. Nun betrachten wir gewisse Elemente, die eine Abweichung vom Körper-Sein beinhalten, nämlich die sogenannten Nullteiler. In einem Körper gilt folgende, aus der Schule bekannte Regel: Wenn ein Produkt Null ist, so ist schon einer der Faktoren Null. Nullteiler sind diejenigen Elemente, die in Abweichungen von dieser Regel auftauchen. Der Einfachheit definieren wir sie nur in kommutativen Ringen. Definition Es sei R ein kommutativer Ring. a) Ein Element x R heißt Nullteiler, falls x 0 ist und ein y R, y 0 existiert mit x y = 0. b) R heißt nullteilerfrei oder ein Integritätsbereich, falls R keine Nullteiler enthält. Beispiele (Nullteiler) (1) Z ist nullteilerfrei. (2) Jeder Körper K ist nullteilerfrei. (Das beweist man aus der Linearen Algebra.) (3) Der Polynomring K[X] ist nullteilerfrei. (4) Z/6Z = Z 6 besitzt Nullteiler: 2 3 = 6 = 0, Ähnlich wie in Beispiel (4) kann man für jede Nicht-Primzahl statt 6 verfahren. Das Beispiel (2) wird in folgender Bemerkung verallgemeinert.

6 Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, Bemerkung Eine Einheit in einem Ring mit Eins ist nie Nullteiler. Beweis: Sei a R, a b = 1. Sei angenommen, dass a auch Nullteiler ist: d.h. (a 0 und) es existiert ein x R, x 0 mit x a = 0. Es folgt: einerseits x (a b) = x 1 = x andererseits x (a b) = (x a) b = 0 b = 0 also x = 0, Widerspruch. Der folgende Satz ist eine leichte Folgerung aus Satz 1.5.8; man beachte auch Beispiel (4). Satz Sei m N, m 2, Z/mZ der Restklassenring modulo m. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) m ist Primzahl. (ii) Z/mZ ist nullteilerfrei. (iii) Z/mZ ist ein Körper. Beweis: Vorweg bemerken wir, dass wir in diesem Satz die übliche Definition einer Primzahl zugrundelegen: Eine natürliche Zahl p 1 heißt Primzahl, wenn aus p = ab, a, b N folgt a = 1 oder b = 1. (Kompliziertere Aussagen über Teilbarkeit wie die eindeutige Primfaktorzerlegung werden nicht benötigt.) Nun zum Beweis des Satzes. Die Implikation (iii) = (ii) ist trivial. Der Beweis von (ii) = (i) folgt (mittels Kontraposition) unmittelbar aus der Definition einer Primzahl: wenn m keine Primzahl ist, so schreibe m = ab mit a > 1, b > 1. Dann ist a b = 0 in Z/mZ, aber beide Faktoren ungleich 0. Der Beweis von (i) = (iii) ist eigentlich der schwierigste Teil, ergibt sich aber für uns leicht aus dem obigen Satz Sei nämlich m Primzahl und a Z beliebig. Dann gibt es für g = ggt(a, m) als Teiler von m nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist g = 1 und damit a nach invertierbar. Oder es ist g = m und somit a = 0. Also ist jedes von Null verschiedene Element in Z/mZ invertierbar, wie gewünscht. Alternativ ergibt sich die zunächst überraschende Implikation (ii) = (iii) auch unabhängig von aus folgendem Satz. Satz Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins, R enthalte keine Nullteiler und sei endlich. Dann ist R ein Körper. Den Begriff eines Primelementes und die Äquivalenz zwischen (i) und (ii) im Satz werden wir im folgenden weiter untersuchen und auf eine größere Klasse von Ringen verallgemeinern.

1.4 Homomorphismen und Isomorphismen

1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 28 1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Definition 1.4.1 Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

5. Gruppen, Ringe, Körper

5. Gruppen, Ringe, Körper 5. Gruppen, Ringe, Körper 5.1. Gruppen Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte)

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte) Aufgabe 1 (6 Punkte) Einführung in Algebra und Zahlentheorie svorschläge zur Klausur vom 23.09.2016 a) Bestimmen Sie das multiplikativ inverse Element zu 22 in Z/61Z. b) Finden Sie ein x Z mit folgenden

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

2 Restklassenringe und Polynomringe

2 Restklassenringe und Polynomringe 2 Restklassenringe und Polynomringe Sei m > 1 ganz und mz := {mx x Z}. Nach I. 5.3 gilt: Die verschiedenen Restklassen von Z modulo m sind mz, 1 + mz,..., (m 1) + mz. Für die Gesamtheit aller Restklassen

Mehr

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel

Mehr

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe 2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:

Mehr

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 39 1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie In diesem Abschnitt wird zunächst der mathematische Begriff einer Relation kurz und informell eingeführt.

Mehr

01. Gruppen, Ringe, Körper

01. Gruppen, Ringe, Körper 01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert

Mehr

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge 3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei

Mehr

a i x i, (1) Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt.

a i x i, (1) Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt. Polynome Definition 1. Ein Polynom f über einem Körper K mit der Unbestimmten x ist eine formale Summe f(x) = i 0 a i x i, (1) wobei nur endlich viele der Koeffizienten a i K von Null verschieden sind.

Mehr

Ringe und Körper. Das Homomorphieprinzip für Ringe

Ringe und Körper. Das Homomorphieprinzip für Ringe Ringe und Körper Das Homomorphieprinzip für Ringe Wir beginnen mit einem Beispiel. R = Z/m Z sei die Faktorgruppe von Z nach der Untergruppe m Z, m IN. Für m = 0 ist der kanonische Homomorphismus Z Z/m

Mehr

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

4. Übung zur Linearen Algebra I -

4. Übung zur Linearen Algebra I - 4. Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. WS 2009-10. Aufgabe 13 Auf dem Cartesischen Produkt Z Z werden 2 Verknüpfungen, definiert durch: Man zeige: (a

Mehr

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18. 18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen

Mehr

$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $

$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $ $Id: korper.tex,v 1.17 2012/05/10 12:25:27 hk Exp $ 4 Körper In der letzten Sitzung hatten wir den Körperbegriff eingeführt und einige seiner elementaren Eigenschaften vorgeführt. Insbesondere hatten wir

Mehr

Mathematische Strukturen

Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b

Mehr

Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe

Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe 1 Ringe und Körper Für das Rechnen in Z haben wir in Kap. I, 1 Regeln aufgestellt, welche auch in Q und R gelten. Damit werden Z, Q und R zu Ringen im folgenden Sinn:

Mehr

Kongruenz modulo g definiert auf K[x] eine Äquivalenzrelation g : h g f h f ist durch g teilbar, und [f] g ist die Äquivalenzklasse von f.

Kongruenz modulo g definiert auf K[x] eine Äquivalenzrelation g : h g f h f ist durch g teilbar, und [f] g ist die Äquivalenzklasse von f. 3 Kongruenz modulo g definiert auf K[x] eine Äquivalenzrelation g : h g f h f ist durch g teilbar, und [f] g ist die Äquivalenzklasse von f 4 Auf der Menge aller Restklassen [f] g kann man Addition und

Mehr

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch

Mehr

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6

Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6 1 Blatt 6 Aufgabe 19 Es sei M := {n N : n 2} und R := {(n, m) M M : n teilt m}. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist. b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist. c) Zeigen Sie,

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 1 Der Gruppenbegriff Definition 1.1. Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M, (x,y) (x,y) = x y. Statt (x,y)

Mehr

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen

Mehr

Neben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft

Neben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft Kapitel 3 Rationale Zahlen 31 Die rationalen Zahlen (Körper, Abzählbarkeit) Was ist mit der Gleichung z q = w in Z? Für gegebene z, w Z ist diese Gleichung in der Menge der ganzen Zahlen im Allgemeinen

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern

3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 145 3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern In diesem Abschnitt werden Erweiterungen von Ringen (etwas vereinfacht gesagt: Oberringe), insbesondere Erweiterungen

Mehr

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

Mehr

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch. Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):

Mehr

3-1 Elementare Zahlentheorie

3-1 Elementare Zahlentheorie 3-1 Elementare Zahlentheorie 3. Der Restklassenring Z/n und seine Einheitengruppe 3.0. Erinnerung: Teilen mit Rest, euklidscher Algorithmus, Bézoutsche Gleichung. Sei n eine feste natürliche Zahl. Sei

Mehr

1 Modulare Arithmetik

1 Modulare Arithmetik $Id: modul.tex,v 1.11 2012/04/16 19:15:39 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.11 2012/04/17 10:30:56 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.3 Restklassen Wir waren gerade damit beschäftigt eine Beispiele zum Rechnen

Mehr

$Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $

$Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.12 2012/04/19 12:20:27 hk Exp $ 2 Gruppen 2.1 Isomorphe Gruppen In der letzten Sitzung hatten unter anderen den Begriff einer Gruppe eingeführt und auch schon einige Beispiele von

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner

Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner Klausur vom 31.03.2010 Algebra I Rolf Farnsteiner Lösungen Daiva Pučinskaitė Aufgabe 1. Sei p R ein Primideal eines Integritätsbereichs R. Beweisen Sie folgende Aussagen: (1 S := R \ p ist eine multiplikativ

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER

KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

Algebraische Zahlentheorie. Teil II. Die Diskriminante.

Algebraische Zahlentheorie. Teil II. Die Diskriminante. II-1 Algebraische Zahlentheorie Teil II Die Diskriminante Sei K ein Zahlkörper vom Grad n (also [K : Q] = n) Es gibt genau n Körper- Homomorphismen σ i : K C (siehe Merkzettel Separabilität) Stellen wir

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Kanonische Primfaktorzerlegung

Kanonische Primfaktorzerlegung Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n kann auf eindeutige Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k geschrieben werden, wobei k N 0, α i N

Mehr

Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Vortrag 1: Ideale kommutativer Ringe

Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Vortrag 1: Ideale kommutativer Ringe Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Vortrag 1: Ideale kommutativer Ringe Sebastian Dobrzynski 17042014 1 Grundsätzliches zu Idealen Vorab legen wir fest: Alle im Vortrag betrachteten Ringe sind

Mehr

2.9 Die komplexen Zahlen

2.9 Die komplexen Zahlen LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in

Mehr

Kongruenz ist Äquivalenzrelation

Kongruenz ist Äquivalenzrelation Kongruenz ist Äquivalenzrelation Lemma Kongruenz ist Äquivalenzrelation Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. D.h. für alle a, b, c Z gilt 1 Reflexivität: a a mod n 2 Symmetrie: a b

Mehr

4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper

4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper 4 Einige Grundstrukturen Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element

Mehr

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen technische universität dortmund Dortmund, im November 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung von Kapitel 3 3. Zahlbereiche

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 3 Gruppen In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper K zugrunde gelegt, über den sich

Mehr

Ganzzahlige Division mit Rest

Ganzzahlige Division mit Rest Modulare Arithmetik Slide 1 Ganzzahlige Division mit Rest Für a,b Æ mit a b gibt es stets eine Zerlegung von a der Form a = q b+r mit 0 r b 1. Hierbei gilt q = a b (salopp formuliert: b passt q-mal in

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4)

Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) auch Galois-Felder (englisch Galois elds), benannt nach Evariste Galois (18111832). Körper (in der Mathematik) allgemein: Zahlenbereich, in dem die vier Grundrechenarten

Mehr

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 2 Beispiele für Gruppen Aus der Vorlesung Mathematik I sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven

Mehr

1.5 Duales Gitter und Diskriminantengruppe

1.5 Duales Gitter und Diskriminantengruppe Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 24. April 2009 27 1.5 Duales Gitter und Diskriminantengruppe Dieser Abschnitt ist im wesentlichen algebraischer Natur: Es spielt keine Rolle, dass unsere Gitter in einem

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

31 Polynomringe Motivation Definition: Polynomringe

31 Polynomringe Motivation Definition: Polynomringe 31 Polynomringe 31.1 Motivation Polynome spielen eine wichtige Rolle in vielen Berechnungen, einerseits weil oftmals funktionale Zusammenhänge durch Polynome beschrieben werden, andererseits weil Polynome

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

Aufgabe aus der linearen Algebra I

Aufgabe aus der linearen Algebra I Aufgabe aus der linearen Algebra I ÜBUNG [01]: Es sei ein beliebiger Körper Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen "Ja" nur an, wenn die Aussage für jeden Körper gilt Wenn es auch nur einen Körper gibt,

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 1 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. April.

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 1 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. April. Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 1 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. April http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Symmetrische

Mehr

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend

Mehr

Lineare Algebra II 6. Übungsblatt

Lineare Algebra II 6. Übungsblatt Lineare Algebra II 6 Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 2011 Prof Dr Kollross 18/19 Mai 2011 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minimalpolynom) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra 1

Übungen zur Linearen Algebra 1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 014/015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 7 Abgabetermin: Freitag, 05.1.014, 11 Uhr Aufgabe 7.1 (Vektorräume

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit

Mehr

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016 Name: Vorname: Studiengang: Legi-Nr.: Algebra I D-MATH, HS 2015 Prof. Richard Pink Algebra I Zwischenprüfung Wichtig: 19. Februar 2016 Die Prüfung dauert 120 Minuten. Bitte legen Sie Ihre Legi (Studierendenausweis)

Mehr

Definition 4.2. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist definiert durch. Wir führen jetzt auf Z eine Addition und eine Multiplikation ein durch

Definition 4.2. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist definiert durch. Wir führen jetzt auf Z eine Addition und eine Multiplikation ein durch Kapitel 4 Die rationalen Zahlen Wir haben gesehen, dass eine Gleichung a x = b mit a, b Z genau dann eine Lösung x Z besitzt, wenn a b. Zum Beispiel hat 2 x = 1 keine Lösung x Z. Wir wollen nun den Zahlbereich

Mehr

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit. Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 19 Algebraisch abgeschlossene Körper Wir haben zuletzt erwähnt, dass ein lineares Polynom X a über einem Körper stets irreduzibel

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden

Mehr

10. Teilbarkeit in Ringen

10. Teilbarkeit in Ringen 10. Teilbarkeit in Ringen 67 10. Teilbarkeit in Ringen Ein wichtiges Konzept in Ringen, das ihr für den Fall des Ringes Z bereits aus der Schule kennt, ist das von Teilern also der Frage, wann und wie

Mehr

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen

Mehr

7 Vektorräume und Körperweiterungen

7 Vektorräume und Körperweiterungen $Id: vektor.tex,v 1.3 2009/05/25 15:03:47 hk Exp $ 7 Vektorräume und Körperweiterungen Wir sind gerade bei der Besprechung derjenigen Grundeigenschaften des Tensorprodukts, die mit vergleichsweise wenig

Mehr

Universität Zürich HS , Vorlesung #3

Universität Zürich HS , Vorlesung #3 Algebraic Number Theory P. Habegger Universität Zürich HS 2010 6.10.2010, Vorlesung #3 1.4 Diskriminante Die primitivste Invariante eines Zahlkörpers ist sein Grad. Die Diskriminante eines Zahlkörpers

Mehr

Nicht-archimedische Zahlen

Nicht-archimedische Zahlen Skript zur Vorlesung Nicht-archimedische Zahlen Wintersemester 2012/13 Frankfurt am Main Prof. Dr. Annette Werner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Nicht-archimedische Absolutbeträge 2 1 Einleitung In

Mehr

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1 Die Modulo-n-Relation Definition

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit

Mehr

Themen und Übungen zum Lehrerweiterbildungskurs Wiederholung und Vertiefung Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2013/2014

Themen und Übungen zum Lehrerweiterbildungskurs Wiederholung und Vertiefung Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2013/2014 Themen und Übungen zum Lehrerweiterbildungskurs Wiederholung und Vertiefung Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2013/2014 [Sch]: R.-H.Schulz:Repetitorium Bachelor Mathematik [Sch-LAI] R.-H.Schulz:

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 10 1 Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen. 1 Der Körper der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen. 1 Der Körper der reellen Zahlen Vortrag zum Proseminar zur Analysis, 24.10.2012 Adrian Hauffe-Waschbüsch In diesem Vortrag werden die reellen Zahlen aus rationalen Cauchy-Folgen konstruiert. Dies dient zur Vorbereitung der späteren Vorträge,

Mehr

2.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.3 Lineare Abbildungen und Matrizen 2.3. LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 89 Bemerkung Wir sehen, dass die Matrix à eindeutig ist, wenn x 1,...,x r eine Basis ist. Allgemeiner kann man zeigen, dass sich jede Matrix mittels elementarer Zeilenumformungen

Mehr

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum, 2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.

Mehr

Vektorräume und Lineare Abbildungen

Vektorräume und Lineare Abbildungen Lineare Algebra Kapitel 9. Vektorräume Der Körper der reellen Zahlen Der Vektorraumbegriff, Beispiele Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

Lineare Algebra I Klausur. Klausur - Musterlösung

Lineare Algebra I Klausur. Klausur - Musterlösung Prof. Dr. B. Hanke Dr. J. Bowden Lineare Algebra I Klausur Klausur - Musterlösung 20. Februar 203 Aufgabe - Lösung Aussage wahr falsch (Z, +, 0) ist eine abelsche Gruppe. Der Ring Z/24Z ist nullteilerfrei.

Mehr

Ganze algebraische Zahlen

Ganze algebraische Zahlen Seminarvortrag Ganze algebraische Zahlen gehalten von Johannes Hölken an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemester 2012 im Rahmen des Seminars über Elementrare Zahlentheorie. Kontakt: johannes.hoelken@stud.uni-due.de

Mehr

2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen... 25

2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen... 25 2 Gruppen Übersicht 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen............................. 17 2.2 Untergruppen...................................................... 21 2.3 Homomorphismen..................................................

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung in

Mehr