Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

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1 Heute Die Binomialverteilung Poissonverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen

2 Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei Kopf oben liegt. n = 4 n = 8 n = 32 p p p k k k Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird

3 Die Binomialverteilung Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt. Es sei: ( ) P E = p ( ) 1 P E = p = q Bei n Wiederholungen kann das Ereignis k-mal E auf genau n Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen k gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz: n P k n p q k k n k ( ) = [Tafel-Entwicklung] Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden!

4 Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist: k n P( j k n) = p q j j= 0 j n j Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist: n n j n j P( j k+ 1 n) = p q j j= k+ 1 ( k n) = 1 P j Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

5 Wahrscheinlichkeitsfunktion Definition: n fn ( x) = p q x x n x definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion, oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung. Sie tritt auf bei der Betrachtung der Anzahl der Erfolge einer Folge von unabhängigen Versuchen (Bernoulli-Folge), wobei p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch ist und q = 1- p gilt. n ist die Anzahl der Wiederholungen des Versuchs. p und n sind die beiden Parameter der Binomialverteilung Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern p und n.

6 Verteilungsfunktion Definition: x n Fn ( x) = p q k k= 0 k n k definiert die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Allgemein: ( ) ( ) ( ) Fn x = P k x n = fn k Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolge bis zu einer oberen Schranke x an. k= 0 Verteilungsfunktion: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bis zu einer Grenze x. x

7 Verteilungsfunktion für diskrete Variable Es gilt für diskrete Zufallsvariablen: ( ) = ( ) ( 1) f x F x F x n n n Allgemeine Eigenschaften sind: ( ) = < { } 1. F x 0, für x min x 0 0 ( ) = = { } 2. F x 1, für x max x 3. n n 0 0 ( < ) = ( ) ( ) P x x x F x F x u o n o n u Mit der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit für beliebige Intervalle der Zufallsvariable bestimmen.

8 Die Poissonverteilung Sind einzelne Ereignisse selten, so kann die Wahrscheinlichkeit statt mit der Binomialverteilung über die Poissonverteilung ausgedrückt werden. Gilt: λ = n p< 5 So approximiert die Possonverteilung die Binomialverteilung gut. Die poissonverteilung hat nur den Parameter λ, der sowohl Mittelwert wie Varianz beschreibt. Wahrscheinlichkeitsfunktion: f ( x) = λ x e λ x! Die Poissonverteilung ist eine einfache Alternative zur Binomialverteilung für Seltene Ereignisse.

9 Vergleich: Binomial - Poisson Binomialverteilung Poissonverteilung WK WK Erfolge Erfolge Für n= 100 p = λ = n p = 1.2 Fast exakte Übereinstimmung beider Verteilungen.

10 Die Normalverteilung f (x) f ( x) = e s 2π 1 2 x x s x Die Normalverteilung (Gauss sche Glockenkurve) ist eine symmetrische Verteilung. Ihre Form ist durch die Standardabweichung und den Mittelwert eindeutig festgelegt. Sie resultiert aus dem Modell unabhängiger sich überlagernder Zufallsfehler ( Galton-Brett ) [Tafelbeispiel Galton, Binomial]

11 Die Normalverteilung F(x) x 1 u x 2 s 1 F ( x) = e du s 2π x Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (Fläche unter der Normalkurve) kann man nicht auf eine geschlossene Form bringen. Sie ist aber für standardisierte Variablen (z-standardisierung) austabelliert und elektronisch implementiert (z.b. in Excel).

12 Die Normalverteilung f(z) % f(z) % x x 1 z = f ( z) = e s 2π 1 z 2 Die Fläche unter der Kurve ist bei der Normalverteilung eine Funktion der Standardabweichung (in Einheiten von s angebbar) [Tabellenbenutzung, Excel, Aufgabenbeispiel zu IQ s] z z

13 z - Standardisierung Wahrscheinlichkeitsdichte f ( x) σ x z = x s x Wahrscheinlichkeitsdichte f (z) σ = 1 z x x z -2z -1z 0 1z 2z 3z z x z z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung

14 Wahrscheinlichkeitsbestimmung Verteilungsfunktion (Fläche der Dichtefunktion) ( ) = ( ) F z P z z 0 0 Eigenschaften F ( ) = 0 F ( ) = 1 ( < ) = ( ) ( ) P z z z F z F z a b b a z a z b Benutze austabellierte Standardnormalverteilung

15 Approximation der Binomialverteilung Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz: μ = n p 2 σ = n p q Gilt n p q 9 so kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Dann gilt Bnp [ ; ] Nμ [ ; σ ] [Beispiele]

16 Fehler 1. und 2. Art In der Population gilt Entscheidung für H 0 H 1 H 0 H 1 Correct Miss Rejection P H H ( 0 0) (Fehler 2. Art) P H H False Alarm Hit (Fehler 1. Art) H ( 0 1) P( H 1 0) P( H1 H1) Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn

17 Mittelwerteabstand aus WK Man klassifiziere man nach Distraktor (H0) und Target (H1) Tatsächlich gilt Entscheidung für H 0 H 1 H 0 H 1 ( 0 H0) P H ( 0 H1) P H H P H H P( H 1 0) ( 1 1) Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen?

18 Mittelwerteabstand H0 Verteilung: H1 Verteilung: p = p = z 0 = F -1 {0.59} = 0.23 Correct Rejection z 1 = F -1 {0.077} = Miss z - Berechnung für jede einzelne Verteilung

19 Abstand in z- Standardisierung z Es gilt: 0 = Ferner: 1 0 k μ σ Nun betrachte im z 1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf μ 0 : z 1 = k μ σ z 1 ( ( )) k μ0 + μ1 μ0 k μ0 μ1 μ0 = = σ σ σ z1 = z0 d' d' z z = 0 1 (standardisierter Abstand) Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz

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