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1 . Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str Franfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 2008/09

2 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 2008/09 Aufgabe 1: Zinsurven, Swaps und Terminzinssätze Betrachten Sie die folgende Zeitstrutur: ( s, s ; ) = 0 ( s, s ; ) = 0 ( s, s ; ) = 0 0 1, 1 2, 2 3, s 0 s 1 s 2 s 3 t 0 b t 1 b+0, b+1 t 2 b+2 ( t,t ; ) 1 ( t, t ; ) = 1 2 = Dabei sind die Zeitpunte s 1 bis s 3 die noch in der Zuunft liegenden Zahlungstermine der variabel verzinslichen Seite eines in Ihrem Portflio befindlichen Swaps und t 1 und t 2 die noch in der Zuunft liegenden Zahlungstermine der festverzinslichen Seite dieses Swaps. Die Länge der jeweiligen Zeitintervalle ist jeweils mit bezeichnet (Wir haben hier auf die Berücsichtigung besonderer Tageszählonventionen verzichtet). Der bei Abschluss des Swaps in der Vergangenheit festgelegte Swapsatz sw beträgt 4% p.a.. Zum Zeitpunt s 0 wurde der für die Periode von s 0 bis s 1 gültige variable Zinssatz z(s 0,s 1 ) mit 2,% p.a. fixiert. Wir befinden uns zum Zeitpunt b, der genau mitten zwischen s 0 und s 1 also bei s 0 +0,2 liegt. Zu diesem Zeitpunt sind am Mart folgende Zinssätze zu beobachten: der Euribor-Satz für 6 Monate, d.h. für die Zeit von b bis b+0, mit 2,7% p.a., der Euribor-Satz für 1 Jahr, d.h. für die Zeit von b bis b+1 mit 3% p.a. und der 2-Jahres-Swapsatz für einen Swap mit Startdatum b und Fälligeit b+2 mit 3,% p.a. fix gegen 6-Monats-Euribor. Der dem Swap zugrunde liegende Nominalbetrag sei 100 EUR. a) Ermitteln Sie zunächst aus den beobachtbaren Zinssätzen die Preise der Nulluponanleihen mit den Fälligeiten b+0,; b+1 und b+2. Geben Sie diese bitte bis auf 8 Stellen nach dem Komma orret an. b) Ermitteln Sie sodann für diese Nulluponanleihen die zugehörigen Nulluponrenditen bezogen auf eine Laufzeit von einem Jahr. Unterstellen Sie dabei stetige Verzinsung, d.h. gehen Sie von der Beziehung B=exp(-y*t) aus, wobei t in Jahren ausgedrüct ist. c) Bestimmen Sie sodann durch lineare Interpolation der unter b) ermittelten Renditen die Renditen der Nulluponanleihen mit Fälligeiten zu den Zeitpunten s 1, s 2 und s 3. Gehen Sie dabei davon aus, dass die Nulluponrendite für die zum Zeitpunt s 1 fällige Nulluponanleihe gleich der Rendite der zum Zeitpunt b+0, fälligen Nulluponanleihe ist. Transformieren Sie die so gewonnenen interpolierten Renditen wiederum in Preise von Nulluponanleihen mit den Fälligeiten s 1, s 2 und s 3. Geben Sie diese wiederum bis auf 8 Stellen nach dem Komma exat an. 2

3 d) Betrachten Sie nun den in Ihrem Portfolio liegenden in der Vergangenheit abgeschlossenen Swap. Bestimmen Sie die Höhe der aus Sicht des Zeitpuntes b in der Zuunft liegenden Zahlungsströme für die festverzinsliche und die variabel verzinsliche Seite. Ersetzen Sie dabei auf der variabel verzinslichen Seite die noch nicht fixierten Zinssätze durch die in Zeitpunt b gültigen Terminzinssätze für die jeweiligen Perioden. Gehen Sie dabei von einem Nominalvolumen des Swaps von 100 aus. e) Nehmen Sie an, der Swap wäre für Sie ein Receiver-Swap. Bestimmen Sie auf Basis der unter d) ermittelten zuünftigen Zahlungsströme den Wert des Swaps aus Ihrer Sicht. Welchen Wert hätte der Swap für Sie, wenn er aus Ihrer Sicht ein Payer Swap wäre. 3

4 Aufgabe 2: Exotische Optionen und dynamische Modelle Betrachten Sie eine dividendenlose Atie S. Der atuelle Kurs beträgt 0 EUR. Eine Ban emittiert eine Zertifiat auf diesen Index mit folgenden Eigenschaften: Laufzeit: 2 Jahre Auszahlung am Ende der Laufzeit: der atuellen Kurs der Atie am Laufzeitende, falls die Atie während der Laufzeit mindestens einmal unter 30 EUR gefallen ist, 7 EUR, falls die Atie am Ende der Laufzeit nicht über 7 EUR notiert und während der Laufzeit nicht unter 30 EUR gefallen ist, der atuelle Kurs der Atie am Laufzeitende, falls die Atie dann über 7 EUR notiert. a) Zeichnen Sie den Graphen der Auszahlung des Zertifiates am Laufzeitende für den Fall, dass der Kurs der Atie vor dem Laufzeit nicht unter 30 EUR gefallen ist. Zeichnen Sie ebenso den Graphen der Auszahlung für den Fall, dass der Kurs der Atie vor Ende der Laufzeit mindestens einmal unter 30 EUR gefallen ist. b) Durch welches Portfolio bestehend aus der Atie und einer exotischen Option lässt sich das oben beschriebene Auszahlungsprofil darstellen. Bitte geben Sie exat den Namen der exotischen Option an und quantifizieren Sie alle wesentlichen Parameter zur vollständigen Beschreibung dieser exotischen Option. Geben Sie auch an, ob der Käufer des Zertifiates die Atie und/oder die Option long oder short ist. c) Nach Ihren Ergebnissen zu a) und b), muss der Preis des Zertifiates höher oder niedriger als der der Atie sein, wenn es eine Arbitragemöglicheiten geben soll Begründen Sie Ihre Antwort, da es sonst eine Punte gibt. d) Betrachten Sie das unten angegebene Gerüst für ein Cox-Ross-Rubinsetin Modell. Es teilt die Laufzeit von 2 Jahren in gleiche Abschnitte von je 4 Monaten auf. Der Ausgangsurs der Atie beträgt 0 EUR. Unterstellen Sie ein jährliche Volatilität der Atie von 40% und einen Zinssatz von 0%. Ermitteln Sie unter diesen Annahmen die Parameter u und d im Cox-Ross- Rubinstein Modell und füllen Sie das vorgegebene Gerüst mit den sich daraus ergebenden Kursen für die Atie. Unterstellen Sie dabei, dass 4 Monate exat 1/3 Jahr sind. 0 t0 t1=t0+4 M t2=t0+8m t3=t0+12m t4=t0+16m t=t0+20m t6=t0+24m 4

5 e) Bestimmen Sie in diesem Modell das sich aus den Arrow-Debreu-Preisen ergebende risiioneutrale Wahrscheinlicheitsmaß. f) Bewerten Sie durch Rücwärtsindution in diesem Baum einen Down-and-out-Call mit einem Strie von 0 EUR und einer Barriere von 26 EUR. g) Würde sich der Wert der Option in diesem Modell ändern, wenn die Barriere statt bei 26 EUR bei 29 EUR läge Wenn ja, wie Wäre dieses Ergebnis öonomisch plausibel Warum, warum nicht

6 Aufgabe 3: Statische Strategien und Arbitragemöglicheiten a) Erläutern Sie, was ein Butterfly-Spread ist und zeichnen Sie den Graphen der Auszahlung bei Fälligeit. b) Erlären Sie warum, der Preis eines Butterfly-Spread vor Fälligeit immer strit positiv sein muss. c) Betrachten Sie die folgenden drei Preise von Call-Optionen mit gleicher Laufzeit: Strie 40 EUR: Preis 2 EUR; Strie 0 EUR Preis 1, EUR, Strie 60 EUR Strie 0,7 EUR. Zeigen Sie, dass unter der Annahme, dass Sie diese Optionen ohne Transationsosten in beliebiger Anzahl long und short gehen önnen in diesem Mart eine Arbitragemöglicheit besteht. Erlären Sie, wie Sie diese Arbitragemöglicheit ausnutzen önnen. d) Erlären Sie, was ein Box-Trade ist, indem Sie die Kombination (long/short; Put/Call; Stries) von Optionen angeben, die einen Box-Trade ausmachen. Zeichnen Sie das Auszahlungsprofil. e) Betrachten Sie die folgenden vier Preise von Optionen mit gleicher Laufzeit: Wie hoch muss der Preis der Nulluponanleihe mit gleicher Laufzeit wie die Laufzeit der Optionen sein, damit in diesem Mart eine Arbitragemöglicheit besteht 6

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