Logik für Informatiker

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Edith Küchler
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1 Vorlesung Logik für Informatiker 9. Prädikatenlogik Syntax und Semantik der Prädikatenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1

2 Syntax der Prädikatenlogik: Logische Zeichen Wie in der Aussagenlogik 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern Logik für Informatiker, SS 06 p.2

3 Syntax der Prädikatenlogik: Logische Zeichen Wie in der Aussagenlogik 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern Quantoren Allquantor ( für alle ) Existenzquantor ( es gibt ) Logik für Informatiker, SS 06 p.2

4 Syntax der Prädikatenlogik: Vokabular Definition: Variablenmenge Var Abzählbare Menge von Variablensymbolen z.b.: x, y, a, b,... Logik für Informatiker, SS 06 p.3

5 Syntax der Prädikatenlogik: Vokabular Definition: Variablenmenge Var Abzählbare Menge von Variablensymbolen z.b.: x, y, a, b,... Definition: Prädikatenlogische Signatur Σ Paar Σ = P, F mit Logik für Informatiker, SS 06 p.3

6 Syntax der Prädikatenlogik: Vokabular Definition: Variablenmenge Var Abzählbare Menge von Variablensymbolen z.b.: x, y, a, b,... Definition: Prädikatenlogische Signatur Σ Paar Σ = P, F mit P: Prädikatensymbole z.b. brudervon, >, =,... F: Funktionssymbole z.b. 2, koblenz, c, sqrt, leftlegof,... Logik für Informatiker, SS 06 p.3

7 Syntax der Prädikatenlogik: Vokabular Definition: Variablenmenge Var Abzählbare Menge von Variablensymbolen z.b.: x, y, a, b,... Definition: Prädikatenlogische Signatur Σ Paar Σ = P, F mit P: Prädikatensymbole z.b. brudervon, >, =,... F: Funktionssymbole z.b. 2, koblenz, c, sqrt, leftlegof,... Bemerkung Das Gleichheitsprädikat kann enthalten sein Es wird infix notiert Logik für Informatiker, SS 06 p.3

8 Syntax der Prädikatenlogik: Vokabular Bemerkung Funktions- und Prädikatensymbole haben ein Stelligkeit n 0 Logik für Informatiker, SS 06 p.4

9 Syntax der Prädikatenlogik: Vokabular Bemerkung Funktions- und Prädikatensymbole haben ein Stelligkeit n 0 Definition: Konstante Funktionsssymbole mit Stelligkeit n = 0 heißen Konstante z.b. 2, koblenz, c Logik für Informatiker, SS 06 p.4

10 Syntax der Prädikatenlogik: Terme Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge Term Σ der Terme über Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.5

11 Syntax der Prädikatenlogik: Terme Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge Term Σ der Terme über Σ Die kleinste Menge mit: Var Term Σ Wenn f F n die Stelligkeit von f t 1,..., t n Term Σ dann f (t 1,..., t n ) Term Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.5

12 Syntax der Prädikatenlogik: Terme Bemerkungen (Insbesondere) alle Konstanten in Term Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.6

13 Syntax der Prädikatenlogik: Terme Bemerkungen (Insbesondere) alle Konstanten in Term Σ Terme bezeichnen Elemente Logik für Informatiker, SS 06 p.6

14 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge Atom Σ der Atome über Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.7

15 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge Atom Σ der Atome über Σ Wenn p P n die Stelligkeit von p t 1,..., t n Term Σ dann p(t 1,..., t n ) Atom Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.7

16 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge Atom Σ der Atome über Σ Wenn p P n die Stelligkeit von p t 1,..., t n Term Σ dann p(t 1,..., t n ) Atom Σ Bemerkung Atome haben Wahrheitswerte (im Unterschied zu Termen) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

17 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiele bruder ( kingjohn, richardthelionheart ) Logik für Informatiker, SS 06 p.8

18 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiele bruder }{{} Prädikat ( kingjohn, richardthelionheart }{{}}{{} Konstante Konstante ) Logik für Informatiker, SS 06 p.8

19 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiele bruder }{{} Prädikat ( kingjohn, richardthelionheart ) }{{}}{{} Konstante }{{} } Konstante {{ } Term Term Logik für Informatiker, SS 06 p.8

20 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiele bruder }{{} Prädikat ( kingjohn, richardthelionheart ) }{{}}{{} Konstante Konstante }{{}}{{} Term Term } {{ } Atom Logik für Informatiker, SS 06 p.8

21 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiel > ( laenge(linkesbein(richard)), laenge(linkesbein(kingjohn)) Logik für Informatiker, SS 06 p.9

22 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiel > }{{} Prädikat ( laenge(linkesbein(richard )), laenge(linkesbein(kingjohn) }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} Funktion Funktion Konstante Funktion Funktion Konstante Logik für Informatiker, SS 06 p.9

23 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiel > }{{} Prädikat ( laenge(linkesbein(richard )), laenge(linkesbein(kingjohn) }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} Konstante Konstante Funktion Funktion } {{ } Term Funktion } Funktion {{ Term Logik für Informatiker, SS 06 p.9

24 Syntax der Prädikatenlogik: Atomare Formeln Beispiel > }{{} Prädikat } ( laenge(linkesbein(richard )), laenge(linkesbein(kingjohn) }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} Konstante Konstante Funktion Funktion }{{} Term {{ Atom Funktion } Funktion {{ Term Logik für Informatiker, SS 06 p.9

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