Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen

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1 Kompaktkurs Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen M. Bebendorf, O. Steinbach O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

2 Numerische Simulation stationäre und instationäre partielle Differentialgleichungen Potentialgleichung (Temperatur, elektromagnetische Felder,... ) Festkörpermechanik (lineare Elastostatik, Elastoplastizität,... ) Strömungsmechanik (Stokes, Navier Stokes) Kopplung verschiedener physikalischer Felder Fluid Struktur Akustik elektromechanische Felder Mehrkörpersysteme Diskretisierung Finite Element Methoden Finite Differenzen Methoden Randelementmethoden Zeitdiskretisierung Familie von linearen (nichtlinearen) Gleichungssystemen Ax = f, A R n n, n O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

3 Lineares Gleichungssystem Ax = f, A R n n, n Beschreibung und Anwendung der Systemmatrix A A heißt vollbesetzt, falls Anzahl der Nichtnullelemente von A von der Größenordnung O(n 2 ) ist. A heißt schwachbesetzt, falls Anzahl der Nichtnullelemente von A von der Größenordnung O(n log α n) ist. A heißt data sparse, falls A n 2 Nichtnullelemente besitzt, diese aber durch O(n log α n) Einträge beschrieben werden kann. A = B a a 2 a n a n a a 2... a 2 a n a A, A = B. n A (... n) = B... n.. n... n 2 A zirkulante Matrix (n Einträge) Struktur der Matrix A Rang Matrix (2n Einträge) O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

4 Lineares Gleichungssystem Ax = f, A R n n, n Lösungsverfahren direkte Verfahren Gauß Elimination mit O(n 3 ) Multiplikationen LU Zerlegung (holesky) mit O(n 3 ) Multiplikationen schnelle direkte Methoden für schwachbesetzte Matrizen strukurierte Matrizen (zirkulante Matrizen, FFT) Frage: Wird tatsächlich die exakte Lösung x = A f benötigt? Modellierungsfehler Diskretisierungsfehler Verfahrensfehler (numerische Integration, Rundungsfehler) Hinreichend genaue Lösung ist ausreichend! Iterationsverfahren klassische Iterationsverfahren (Jacobi, Gauß Seidel, SOR) Gradientenverfahren (steilster Abstieg, minimaler Defekt) Verfahren orthogonaler Richtungen (G, GMRES, BiGStab) Ziel: Effiziente Lösung von Au = f für n. O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

5 Beispiel: Bestimmung einer stückweise linearen Approximation u h (x) = u k ϕ k (x) k= ϕ k (x) Minimierungsproblem x k [ 2 n F (u) = u(x) u k ϕ k (x)] dx min, F (u) = u,...,u n u l Variationsproblem n k= u k Lineares Gleichungssystem k= ϕ k (x)ϕ l (x)dx = M h u = f, M h [l, k] = u(x)ϕ l (x)dx n ϕ k (x)ϕ l (x)dx für l =,..., n O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

6 Systemmatrix M h = h R (n+) (n+) 4 2 M h ist symmetrisch M h ist streng diagonal dominant (nur in einer Raumdimension) M h ist tridiagonal (nur in einer Raumdimension) M h ist positiv definit (gilt für beliebige Ansatzfunktionen) M h ist schwach besetzt (3n + Nichtnulleinträge) O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

7 Beispiel für n = 7 M h = 4 29 B M h = 42 B Matrix M h schwach besetzt, aber inverse Matrix M h vollbesetzt Frage: Gibt es eine Struktur in der Darstellung von M A h? A O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

8 M h = 42 B A M h M h 362 = B B «` «` ` A ist exakt als Hierarchische Matrix darstellbar! B 2 ` 7 A « ` «` A O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

9 Beispiel: Finite Element Methoden Dirichlet Randwertproblem für Poisson Gleichung u(x) = d 2 x 2 i= i u(x) = f (x) für x R d, u(x) = für x Variationsproblem u(x) v(x)dx = f (x)v(x)dx, u(x), v(x) = für x Diskretisierung mit stückweise linearen finiten Elementen K h u = f, K h [l, k] = ϕ k (x) ϕ l (x)dx mit FEM Steifigkeitsmatrix K h K h ist symmetrisch und positiv definit K h ist schwach besetzt O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

10 Beispiel: d = n = 9 K h = 9 B K h = h B R (n ) (n ) A 2 ««8 7 ` «4 2 «6 ` B 3 2 A ` B A ` ««2 5 5 ` 2 5 «8 6 «2 ` A K h ist exakt als Hierarchische Matrix darstellbar! O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

11 Neumann Randwertproblem für Laplace Gleichung u(x) = für x, u(x) = g(x) n für x u = ist Lösung des homogenen Neumann Randwertproblems u(x) = für x, n u(x) = Randwertproblem ist nicht eindeutig lösbar! Variationsproblem u(x) v(x)dx = g(x)v(x)ds x für x Lösbarkeitsbedingung v = : g(x)ds x = O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

12 FEM Diskretisierung (d = ) K h u = f, K h [l, k] = ϕ k (x) ϕ l (x)dx mit FEM Steifgkeitsmatrix 2 2 K h = R (n+) (n+) h B 2 A 2 K h ist symmetrisch K h ist schwachbesetzt K h ist singulär (Eigenvektor u = ) O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

13 Erweitertes Variationsproblem u(x) v(x)dx + u(x)dx v(x)dx = g(x)v(x)ds x v = liefert Skalierungsbedingung u(x)dx = modifzierte Steifigkeitsmatrix K h = K h + a a, a k = ϕ k (x)dx Kh ist symmetrisch und positiv definit Kh ist data sparse O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

14 Beispiel: Stokes System u(x)+ p(x) = f (x), div u(x) = für x, u(x) = für x mit Geschwindigkeitsfeld u und Druck p. Bemerkung: Druck ist nur eindeutig bis auf additive Konstante! Erweitertes Variationsproblem u(x) v(x)dx + p(x)v(x)dx = div u(x)q(x)dx + p(x)dx q(x)dx = f (x)v(x)dx O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

15 Erweitertes Variationsproblem u(x) v(x)dx + p(x)v(x)dx = div u(x)q(x)dx + p(x)dx q(x)dx = f (x)v(x)dx FEM Diskretisierung ( Ah B h ) ( u ) ( f ) B h a a p = Voraussetzung: diskrete Stabilitätsbedingung Systemmatrix positiv definit, aber Block schief symmetrisch Erweiterung auf nichtlineares Navier Stokes System O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6

16 Literatur. R. Barrett et. al.: Templates for the Solution of Linear Systems. Building Blocks for Iterative Methods. SIAM, Philadelphia, A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. Vieweg, Braunschweig, Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing, O. Steinbach: Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Algorithmen und Anwendungen. B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 25. O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs / 6