Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

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1 Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3,..., a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m. A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n a m1 a m2 a m3... a mn, b = b 1 b 2 b 3... b m, 1

2 x = x 1 x 2 x 3... x n und dem Matrixprodukt ( Zeile mal Spalte ) kurz: A x = b. A heißt die Koeffizientenmatrix des lgs Bemerkungen zu Matrizen Einige einfache Bezeichnungen R m n... Menge aller (m, n)-matrizen (mit m Zeilen und n Spalten) mit Elementen R A = (a ik ) Gleichartige Matrizen haben gleiche Zeilenanzahl und gleiche Spaltenanzahl. Eine Nullmatrix O enthält als Elemente nur Nullen. Die zu A transponierte Matrix A T entsteht aus A durch Transponieren, durch Spiegeln an der Hauptdiagonale Beispiel: ( a b c d e f ) T = 2 a d b e c f.

3 A R n n heißt n-reihige quadratische Matrix. A quadratisch und A T = A : A symmetrisch Die Spalten von A R m n sind Spaltenvektoren R m. Die Zeilen von A R m n sind Zeilenvektoren R n Einfache Operationen mit Matrizen Matrixmultiplikation bekannt: AB R m k, wenn A R m n und B R n k Gleichartige Matrizen addiert man elementweise: ( ) ( ) ( a b c g h i a + g b + h c + i + = d e f l m n d + l e + m f + n Mitteilung: Falls alle auftretenden Summen und Produkte von Matrizen definiert sind, gilt für alle Matrizen A, B, C: (A + B) + C = A + (B + C), (AB)C = A(BC) (Assoziativgesetze), (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC (Distributivgesetze), A + B = B + A (Kommutativgesetz der Addition). Kein Kommutativgesetz der Multiplikation! Für A, O R m n gilt: A + O = O + A = A. ). 3

4 Für die Einheitsmatrix E R n n E = und A R n k und B R p n gilt: EA = A, BE = B Cramersche Regel Geg.: ein lgs der Gestalt a) b) Lösung: falls! a 11 x 1 = b 1 x 1 = b 1 a 11 a 11 0 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 (1) a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 (2) Lösung: (1) a 22 (2) a 12 (a 11 a 22 a 21 a 12 ) x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12 (1 ) 4

5 (2) a 11 (1) a 21 (a 11 a 22 a 21 a 12 ) x 2 = b 2 a 11 b 1 a 21 (2 ) Damit gilt: falls! Wir kürzen ab: mit x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 x 2 = b 2 a 11 b 1 a 21 a 11 a 22 a 21 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 0 a 11 a 22 a 21 a 12 =: det A A := ( a11 a 12 a 21 a 22 ). Wir nennen det A die Determinante von A. Dann ist ( b1 a det 12 b 2 a 22 und ( a11 b det 1 a 21 b 2 ) ) = b 1 a 22 b 2 a 12 = b 2 a 11 b 1 a 21 5

6 Wir kürzen weiter allgemein ab: Ist ein lgs A x = b mit quadratischer Matrix A gegeben, so ist Ai diejenige Matrix, die aus A entsteht, wenn man die i-te Spalte von A durch die rechte Seite b des lgs ersetzt. Dann kann man allgemein schreiben: Ist det A 0, so gilt: c) x i = det A i det A (i = 1, 2) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (1) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (2) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 (3) Lösung: (1) a 33 (3) a 13 (a 11 a 33 a 31 a 13 ) x 1 +(a 12 a 33 a 32 a 13 ) x 2 = (2) a 33 (3) a 23 b 1 a 33 b 3 a 13 (1 ) (a 21 a 33 a 31 a 23 ) x 1 +(a 22 a 33 a 32 a 23 ) x 2 = b 2 a 33 b 3 a 23 (2 ) In x 1, x 2 hat man nun ein lgs (1 ), (2 ) mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, das man 6

7 d) wie in b) ausrechnen kann. Dann kann man das so berechnete x 1 und x 2 in (3) einsetzen. Längere Rechnung ergibt: Falls det A 0 ist, gilt: x i = det A i (i = 1, 2, 3) det A Dabei ist A i definiert wie oben, und die Determinante einer quadratischen Matrix A mit drei Zeilen und drei Spalten berechnet sich wie folgt: det A = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = (nach SARRUS) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) A x = b mit einer quadratischen Matrix A mit n Zeilen und n Spalten. Lösung: Mitteilung: 7

8 Auch hier gilt allgemein, wie für n = 0, 1, 2 die Cramersche Regel: falls det A 0. x i = det A i det A Die A i sind dabei vereinbart wie in b). Für die Berechnung der Determinante det A einer quadratischen Matrix A gibt es verschiedene Wege. Wenn in A Zahlen stehen, verwenden wir zur Berechnung die folgenden Determinanteneigenschaften: (i) Der Wert von det A ändert sich nicht bei Addition eines Vielfachen einer Zeile oder einer Spalte zu einer anderen. (ii) Der Wert von det A multipliziert sich mit -1 bei Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten. (iii) Multipliziert man eine Zeile oder eine Spalte von A mit einer Zahl z, so multipliziert sich der Wert von det A mit z. (iv) Die Determinante einer Dreiecksmatrix, also einer Matrix A mit der Eigenschaft a ij = 0 i > j 8

9 oder a ij = 0 j > i ist das Produkt der Diagonalelemente von A. Beispiel: det A = det = (2. Zeile - zweimal 1. Zeile; 3. Zeile - dreimal 1. Zeile = det = = Die Berechnung größerer Determinanten erweist sich als numerisch instabil. Zur numerischen Lösung von lgs verwendet man lieber den Gauß-Algorithmus Das Gauß-Verfahren Gegeben ein lgs A x = b Zulässige Schritte Die Lösungsmenge änder sich nicht bei 9

10 (1) Vertauschen zweier Gleichungen (2) Multiplikation einer Gleichung mit c R \ {0} (3) Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Bemerkung zu Schritt (2): Die Lösungsmenge wird dadurch nicht kleiner, und weil Schritt (2) rückgängig gemacht werden kann, auch nicht größer Lösungsverfahren Teil 1: Zeilenstufenform Durch Vertauschen von Gln erreicht man: a (Andernfalls tritt die erste Unbekannte nicht auf.) Division der ersten Gleichung durch a 11. Subtraktion des a k1 -fachen der ersten Gleichung von der k-ten. Die Gln ohne die erste bilden ein lgs mit einer Unbekannten weniger. Dieses behandelt man genau so. usw. Schreibweise: Man schreibt nur hin die erweiterte Matrix des lgs A b, und macht die Umformungen mit den Zeilen von A b. 10

11 Man erhält schließlich eine Matrix A b in Zeilenstufenform, z.b. 1 b c d e f g h r j k l m n o r q r s t r r r Die Anzahl der nichtverschwindenden Zeilen von A b heißt der Rang Rg(A b) von A b, die Anzahl der nichtverschwindenden Zeilen von A heißt der Rang Rg(A) von A Lösungsverfahren Teil 2: Rückwärtssubstitution Ist im Beispiel r 5 0, ist das lgs nicht lösbar. Lösbarkeitskriterium: Das lgs A x = b ist lösbar Rg(A) = Rg(A b). Dann rechnet man aus der letzten Gleichung die Unbekannte mit dem Koeffizienten 1 aus den anderen Unbekannten aus und setzt sie in alle anderen Gleichungen ein. mit den verbliebenen Gleichungen verfährt man genauso. 11

12 Die Unbekannten auf der rechten Seite sind jetzt frei wählbare Parameter. Jede Wahl der Parameter liefert eine Lösung. Satz: Ist A x = b ein lösbares lgs mit A R m n, und ist Rg(A) = r, so ist die Lösung n r-parametrig. Sprechweise: Das lgs hat n r Lösungen Bemerkungen zu Gleichungssystemen Für lgs gibt es einen einfachen Lösungsalgorithmus, der - bei beliebig vielen Gleichungen und - bei beliebig vielen Unbekannten immer funktioniert und genau die vollständige Lösung liefert oder zeigt, dass es keine Lösung gibt. Schon für quadratische Gleichungssysteme mit wenigen Gleichungen (z.b. ungefähr 20) gibt es einen solchen einfachen Lösungsalgorithmus nicht! Da verwendet man numerische Verfahren. 12

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