Lineare Algebra II. Prof. Christian Okonek FS Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger. Aufbau:

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1 Lineare Algebra II Prof. Christian Okonek FS 2012 Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger Aufbau: 1. Matrizen und Gleichungssysteme 2. Determinanten und charakteristische Polynome 3. Normalformenprobleme 4. Euklidische und unitäre Strukturen

2 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 1 1. Matrizen und Gleichungssysteme Sei R ein (komm.) Ring (mit Eins). Bem.: Seien M, N endlich erzeugbare, freie R-Moduln,, und Basen für M bzw. N Jedes lässt sich eindeutig schreiben als wobei, und wegen R-Linearität ist ( ) ( ) Nun gilt:, d.h. lässt sich schreiben als wobei, und dies ist eindeutig (Y Basis). Also: ( ) Def.: Eine -Matrix über R ist eine Abbildung { } { } Not.: als Element von A in der j-ten Zeile und i-ten Spalte. () Bem.: graphische Darstellung: Merkregel: steht immer rechts oben. Def.: Die Menge der -Matrizen ist ( { } { } ) Bem.: für () heisst j-te Zeile und i-te Spalte. Bem.: Kronecker-Symbol { } Def.: Die Matrix heisst -te Elementarmatrix und wird definiert als - -

3 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 2 Bem.: für n = m heisst Einheitsmatrix Prop.: mit Addition definiert durch und Multiplikation mit Skalar definiert durch ( ) ist ein freier, endlich erzeugbarer R-Modul mit Basis { } { } ist R-Modul : vgl. Übungen LinAlg1, Blatt 10, Aufg. 2 - ist Basis: Sei beliebig: ein Erzeugendensystem ( - linear unabhängig: Sei für gewisse gerade beliebig: ( ) ( ( ) ), also ist, da A beliebig war, insgesamt sind alle da { } { } endlich: linear unabhängig Bem.: Die Addition und Multiplikation mit Skalar erfolgt komponentenweise., so gilt für Def.: Die -Matrizen heissen Zeilenvektoren, -Matrizen Spaltenvektoren und man schreibt Bem.: identifiziert man mit. ist isomorph als R-Modul zu via Def.: Für ist die Transponierte definiert durch für. Bsp.: Lem.: Die Abb ist ein R-Modul-Isomorphismus. Lem.: für gilt:, sowie ( involutiv ) Prop.: Darstellungsmatrix Seien M, N endlich erzeugbare, freie R-Moduln, Basis zu M bzw. N, so gibt es genau eine Abbildung definiert durch ( ) { } Es gilt: ist ein R-Modul-Isomorphismus.

4 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 3 Spezialfall davon war LinAlg1 Blatt11, Aufg ist wohldefiniert : folgt daraus, dass Y Basis ist (vgl. Motivation Anfang der Stunde); damit ist insb. eindeutig. - R-linear : Seien beliebig. Dann gilt: ( ) - ( ) ( ) ( ), also: ( ) ( ) wegen Y Basis, also: Verträglichkeit mit Multiplikation mit Skalaren analog. - injektiv : Sei ( ) für alle für alle i für bel. - surjektiv : Ein Morphismus ist genau dann surjektiv, wenn ein Erzeugendensystem (vom Bildmodul) in seinem Bild liegt. ( ) ( ) Es reicht zu zeigen, dass im Bild liegt. Nehme bel. Elementarmatrix. Setze: wie folgt: und setze linear fort rechnen surjektiv Bem.: hängt von Wahl der Basis Y, X ab! R komm. Ring mit 1, M, N endlich erzeugbare, freie R-Moduln Bem.:. Wähle Basen für M, für N. Diese Basis-Wahl definiert einen Isomorphismus definiert durch Bsp.: (lineare Abb.!) Wähle Basen: für für Bsp2.: Beh.: ist -Basis für. i) linear unabhängig:

5 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 4 ii) erzeugend: sind erzeugend, Erinnerung: M endlich erzeugbarer freier R-Modul, eine Basis. dualer Modul: zu existiert natürlich zugeordnet die duale Basis wobei definiert ist durch ist Basis für. Ist, so wird definiert durch konkret: ( ) Prop.: Seien M, N endlich erzeugbare freie R-Moduln,, X, Y Basen für M, bzw. N, x M R λ(φ(x i )) λ φ φ v (λ) φ N φ(x i ) die Darstellungsmatrix von bezgl. Y, X. Dann ist die Darstellungsmatrix gegeben durch: λ ist definiert durch ist definiert durch ( ) ( ) ( ) Also: Beh.

6 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 5 Matrix-Multiplikation: M, N, P endl. erzeugbare freie R-Moduln, Morphismen. Wähle Basen für. Dann haben wir Darstellungsmatrizen Frage: Kann man berechnen aus? ( ) ( ) ( ) Def.: [ ( ) ] Matrixmultiplikation ( Seien ) Matrizen. Das Matrizenprodukt ist die Matrix in mit den Einträgen: Bsp.: Prop.: Seien M, N, P endlich erzeugbare freie R-Moduln,. Wähle Basen X, Y, Z für M, N, P. Dann: siehe oben Lem.: Rechenregeln für Matrizenmultiplikation Seien. Dann gilt: i) ii) iii) iv) v) Def.: heisst kanonisches Skalarprodukt. Bem.: es gilt:

7 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 6 in diesem Fall kann man auch bilden. Prop.: ( ) ist ein Ring mit Eins (nicht kommutativ, wenn ). Rechenregeln ii)-iv). Einselement: Bsp.: Def.: nicht kommutativ, kein Integritätsring allgemeine lineare Gruppe vom Rang m über R ( general linear group, rank m over R ) ( ) { } Aufg3: ist Ringisomorphismus ( ) ist Iso. von Gruppen Erinnerung: Standardskalarprodukt auf : Lem.: Die vom Standardskalarpodukt induzierte Abbildung ( ( )) ist ein R-Modul-Isomorphismus. - R-linear: Seien und beliebig. z.z.: und sei bel.: ( ) ( ); ( ) (( )) ( ) - injektiv: Sei, so dass { } ( ) ( ) - surjektiv: Sei bel.: Setze für { } und Zeige: :

8 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 7 um zu zeigen, dass zwei Homomorphismen gleich sind, reicht es zu zeigen, dass sie gleiches Abbildungsverhalten auf einer Basis haben, d.h.: und haben gleiches Abbildungsverhalten auf einer Basis des Urbildbereichs, z.b. ( ) Def.: heisst invertierbar A ist eine Einheit im Ring ( ) Bem.: Einheiten von Ringen bilden Gruppen deshalb: ein invertierbares A hat ein eindeutiges Inverses bezgl. dieser Gruppenstruktur, und wird mit als das Inverse zu A notiert. Lem.: Ist das Inverse zu A, so gilt:, insbesondere gilt: mit ist auch invertierbar A ist invertierbar: d.h.:. analog:, also ist invertierbar mit Inversen. Basiswechsel: Bem.: Sei M endl. erzeugbarer freier R-Modul. Dann gilt: je zwei Basen haben -viele Elemente; insbesondere ist, für R komm. mit Eins (letztes Semester gezeigt für Integritätsringe). Lem.: Sei R komm. Ring mit 1, M endl. erzeugbarer freier R-Modul mit Basis. Sei. Setze Dann gilt: : Sei eine Basis. ( ) (( ( ) )) () weil X Basis ist, ist die Darstellung eindeutig, und wir haben Darstellung gilt: vertausche Rollen von bzw. : Sei, so gibt es mit. Also: X erzeugt alle Elemente der Basis X X ist Erzeugendensystem. X ist linear unabhängig: Seien so, dass ( ) ( ) bzw. mit Wegen gilt:

9 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 8 Lem.: Sei R ein (Integritäts-)Ring, M, N endl. erzeugbare, freie R-Moduln vom Rang m bzw. n,. Seien Basen von M, und Basen von N. Dann. (Man kann nehmen; dies wird als Basiswechsel der Darstellungsmatrix von von den Basen zu den Basen bezeichnet.) ist gleichbedeutend mit { }, wobei (), analog für S:. Nach Lemma gilt: S, T sind invertierbar. (( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Wegen Y ist Basis, gilt: Bem.: S, T sind im Allgemeinen nicht eindeutig! z.b. für und, aber oft Def.: Lem.: eindeutig. Für : Diese Relation heisst Äquivalenz von Matrizen. Äquivalenzen von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation. i) reflexiv: ii) symmetrisch: wenn gilt, so: iii) transitiv: Sei Bem.: Vorheriges Lemma besagt: Je zwei Darstellungsmatrizen bezüglich (verschiedener) Basenpaaren sind äquivalent. Umkehrung gilt in gewissem Sinne auch: Blatt 2 Aufg.1. Sei R ein (Integritäts-)Ring,. Man will Basen X, Y so finden, dass möglichst einfach ist. Dazu wähle zunächst einfache Basen X, Y (z.b. Standardbasis); bestimme und untersuche anschliessend die Äquivalenzklasse von, ob es darin nicht einfache Matrizen hat; finde eine solche und Matrizen S, T (invertierbar) mit, und berechne aus und die Basen, so dass gilt:.

10 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 9 Lineare Gleichungssysteme: Def.: R (komm.) Ring (mit 1), konkrete lineare Gleichungssystem ist. Das zu assoziierte mit den Unbestimmten (über R) heissen Koeffizienten von. heisst Lösung von Bem.: Zusammenhang zwischen abstraktem lin. GL-syst.: ( ). Darstellungsisomorphismus hat eine Umkehrabbildung: (Blatt2, Aufg4) zu assoziiere ( ) abstr. lin. GL-syst. Bem.: Es gilt: ist Lösung von ( ) ( ) x ist Lösung von. Genauer: Die Zuordnung ( ) definiert Bijektion zwischen konkreten linearen Gleichungssystemen und abstrakten linearen Gleichungssystemen (von obigem Typ über R). Umkehrung ist gegeben durch ( ). Def.: durch gegeben, hat ein zugehöriges homogenes konkretes lineares Gleichungssystem: Lem.: Lösungsmenge von ist R-Untermodul von. Lösungsmenge: { } ( ); Kerne sind Untermoduln. ( Def.: ) sagt man: A definiert ein universell lösbares lineares Gleichungssystem für alle eine Lösung besitzt Wiederholung: konkrete lineare Gleichungssysteme: ist Lösung das zugehörige homogene Gleichungssystem: Bem.: i) Lösungsmenge des homogenen Systems ist ein R-Modul. ii) Hat man eine Lösung des linearen Gleichungssystems, so erhält man jede Lösung in der Form mit Lösung des zugehörigen homogenen Systems. D.h. Lösungen des inhomogenen Systems bilden einen affinen Raum.

11 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 10 Konsequenz: Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist es genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung hat. Lösungskriterien: i-te Spalte von A: Damit gilt für die durch A definierte lineare Abbildung: Bem.: Die Darstellungsmatrix von bezgl. der Standard-Basen ist : ( ), weil ( ( )) entsteht durch lineare Fortsetzung der Zuordnung. Lem.: ( ) Bew: Sei. Dann gilt: ( ) Prop.: Lösungskriterien Sei das zugehörige konkrete lineare Gleichungssystem. Dann gilt: i) ist lösbar ii) ist universell lösbar iii) ist eindeutig lösbar ist linear unabhängig (frei) iv) ist eindeutig lösbar und ist frei i) ist lösbar ( ) ii) ist universell lösbar ist lösbar ) iii) ist eindeutig lösbar ist die einzige Lösung von ( iv) wegen i) und iii) ) linear unabhängig

12 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 11 Bem.: Zusammenhang mit (abstrakten) linearen Gleichungssystemen: abstraktes lineares Gleichungssystem:. Lösungsmenge: Falls M und N endlich erzeugbar und frei sind, wähle Basen für M bzw. N. Kooridnatensystem zu X, Koordinatensystem zu Y, Beh.: Für die Lösungsmenge gilt: ( ( )) 2. Determinanten und charakteristische Polynome: Permutationsgruppen, Signum: Def.: ( ({ }) ) heisst n-te symmetrische Gruppe Bem.: { } { } Bijektion [ ] Multiplikation: [ ] [ ] [ ] Bsp.: analog: ist nicht kommutative Gruppe, wenn. Lem.: Def.: heisst Transposition { } mit und Bem.: { } für Transpositionen Lem.: wird für von Transpositionen erzeugt. Sei. i) ii) { } mit, aber.. Sei Transposition mit ( ). betrachte ( ) ; für gilt: ( ), oder

13 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 12 Iteration Transpositionen mit Verfahren ist effektiv. Bsp.: Lem.: Sei, Transpositionen. Dann Jede Transposition ist konjugiert zu Genügt zu zeigen: mit gelte und. Betrachte mit. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ist Transposition, die i mit j vertauscht Def.: { } { } heisst Fehlstand für, aber Bsp.: Fehlstände: Def.: Sei die Anzahl der Fehlstände von. Dann heisst Signum von. heisst gerade (ungerade). Bsp.: Ist eine Transposition, so gilt: UE Lem.: Sei. Dann gilt: Sei s = Anzahl der Fehlstände von. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

14 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 13 Bsp.: Prop.:. Dann gilt: Kor.: ist Gruppenmorphismus Bem.: ist der einzige nicht-triviale Gruppenmorphismus (Ue) Def.: heisst alternierende Gruppe Lem.: Ist eine (beliebige) Transposition, so gilt: { } Sei : i) ii) Sei, Kor.:

15 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 14 Bsp.: Multilineare Abbildungen: ist bijektiv Def.: Sei R kommutativer Ring mit 1, R-Moduln Bsp.: heisst multilinear { } ist die Abbildung R-linear (M, N R-Moduln) i) ist linear, aber nicht multilinear z.b.: ii) ist nicht linear, aber multilinear - fest: R-linear ( - fest: iii) Auswertungsabbildung Beh.: ist multilinear (Ue) iv) Standardskalarprodukt: ( ) ist multilinear (Ue) v) Kreuzprodukt: ( ) ist multilinear ( ) Def.: p-lineare Abbildungen { } { Bsp.: Kreuzprodukt: Skalarprodukt: Def.: heisst alternierend - - } Bsp.: ist alternierend ( gilt: )

16 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 15 Def.: { } heisst R-Modul der alternierenden p-formen. Lem.: sei alternierend. Dann gilt ( ) Sei beliebig. Dann gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sei die Transposition, die i mit j vertauscht ( ) ( ) ( ) Sei beliebig Transpositionen mit. Induktion / s. : gerade gesehen Sei Transposition, mit ( ) ( ) ( ) Def.: heisst symmetrisch ( ) Bem.: symmetrische p-linearformen { } Bsp.: ist symmetrisch ( ) Lem.: Sei M R-Modul, fest. Seien Linearkombination der, Sei alternierende p-form. Dann gilt: ) ) ( )

17 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 16 Vorüberlegung: ( ) ( ) i) mit ii), ausser mit ( ) ( ) ( ) Kor.: Sei M endlich erzeugbarer R-Modul,. Dann gilt: { } Sei ein Erzeugendensystem mit minimaler Anzahl. Sind, so mit ) (Nullabbildung) Wiederholung: Multilineare Abbildungen: R komm. Ring mit heisst p-lineare Abb. (wenn linear in jeder Komposition) alternierend schiefsymmetrisch ( ) symmetrisch ( ) alternierende p-linearformen: { - } symmetrische p-linearformen: { - } Kor.: Sei M erzeugt von. Dann ist die Auswertungsabbildung ein Monomorphismus

18 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 17 ist R-linear. Es gilt:. ( ) Bsp.: Sei M zyklisch mit { } { } wenn injektiv, da Bem.: i.a. ist nicht surjektiv. ist isomorph mit x ist Basis für M (erzeugend und frei). ( ) Prop.: Sei M endlich erzeugbar und frei, eine Basis. Dann Wir definieren: mit. Für jedes Definiere: ist wohldef. Abb. z.z.: Sei ist multilinear und alternierend. Betrachte Hilfsabbildungen Beh.: ist multilinear Sei { } beliebig, aber fest; wähle ( ) ist R-linear im j-ten Argument. ist also multilinear.

19 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 18 Beh.: ist alternierend Sei. Möchte zeigen: Sei die Transposition mit Es gilt: (disjunkte Vereinigung) i) ii) ( ) ( ) ( ) ( ) Kor.: Sei M endlich erzeugbar, frei, eine Basis. Die Auswertungsabbildung ist isomorph. ist injektiv, da M erzeugt. ist surjektiv, da mit. Kor.: Invarianz der Basislänge Sei M endlich erzeugbar, frei, eine Basis. Dann gilt:. Prop. { }. nach Def. von : Not.: M endlich erzeugbar, frei: Bem.: { { } } Not.: Sei M R-Modul, ( ) ( ) ( ) Beh.: i) ii) Ue

20 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 19 Bem.: Daher definiert für jedes eine R-lineare Abbildung Lem.: Sei M frei vom Rang Kor. Isomorphismus (z.b.: Basis für M) induziert einen Isomorphismus es gilt: zu jedem Endomorphismus mit Def.: Sei M frei / R vom Rang. Dann heisst der eindeutig bestimmte Skalar Determinante von. Lem.: Sei M frei / R vom Rang m,. Wähle Basis und betrachte die zugehörige alternierende m-form mit. Dann gilt: ( ). Not.: ( ) ( ) Kor.: ( ) Prop.: Sei M frei / R vom Rang. Wähle Basis mit zugehörigem, d.h.:. Sei. Dann gilt: ( ) ( ) ( ) Wiederholung: R komm. Ring mit 1, M endlich erzeugbarer, freier R-Modul, R-multilinear, alternierend alternierende p-formen,

21 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 20 1) { } 2) Ist eine R-Basis mit heisst normierte Volumenform zur Basis X. 3) Jede Wahl einer Basis definiert einen Isomorphismus Insbesondere ist frei vom Rang 1. Bem.: Man kann zeigen: Ist M frei / R vom Rang m, so ist frei / R vom Rang { }. Wir haben diese Aussage in 2 speziellen Fällen bewiesen: i) Ist eine R-Basis für M, so ist (duale Basis) eine R-Basis für ii) Ist eine R-Basis für M, so ist (zugehörige normierte Volumenform) eine R-Basis für. Sei Endomorphismus, M frei vom Rang m. induziert R-lineare Abbildung 4) M frei vom Rang m. Dann gilt: Anwendung: induziert ( ) mit ( ) Def.: heisst Determinante von, 5) Ist R-Basis für M, zugehörige normierte Volumenform, so gilt: Prop.: Produktregel ( ) M frei / R vom Rang m,. Dann gilt: Sei X R-Basis für M, zugehörige Volumenform. Dann gilt wegen 5): ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Kor.: Lem.: Sei eine Basis für M,. i) ii) i) mit ( ).

22 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 21 ii) Sei ( ) ( ) ( ) ( ) Also: Falls, so gilt: { } ( ) Wenn kein Nullteiler ist, folgt:, d.h.: { }. Kor.: M sei frei / R vom Rang m. i) surjektiv ii) Ist eine erzeugende Familie mit, dann ist eine R- Basis. i) surjektiv. { } kein Nullteiler injektiv ii) Wähle R-Basis für M. Definiere R-lineare Abbildung durch lineare Fortsetzung von. ist surjektiv, da ) ist bijektiv frei / R. Determinanten von Matrizen: Def.: Sei quadratische Matrix / R. Dann heisst Bsp.: Determinante von A. Regel von Sarrus:

23 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 22 Prop.: Rechenregeln Seien. Dann gilt: i) ii) iii) iv) i) ii) Definiere mit A, B Endomorphismen. Sei Standard-Basis. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iii) iv) ) )

24 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 23 Kor.: Sei M frei / R vom Rang m, eine Basis. Ist, so gilt: ( ) ist definiert durch Bem.: ) ( ) ) ( ) Kor.: Sei M frei / R vom Rang m,. Dann gilt: Wissen: Ist Basis von M, so ist eine (duale) Basis von und es gilt: ) ( ) Determinantenkalkül: ( ) Lem.: (B und C quadratisch) Sei ausser wenn { } { } und { } { }, wobei { } Kor.: quadratische Matrizen auf der Diagonalen:

25 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 24 Induktion über k Induktionsschritt: [ Spezialfall: ] Bem.: Analoge Formeln für Prop.: ist alternierende m-linearform in den Spalten. frühere Prop normierte Volumenform ( ) mit ( Standard-Basis für ). ( ) Bem.: ist nicht additiv! i-te Spalte der Matrix A. Dies ist ein R-Modul-Isomorphismus. Benutze ab jetzt diesen als Identifizierung. Prop.: Rechenregeln für elementare Spaltenumformungen Sei. Dann gilt: i) ii) iii) iv) [ ] (für eine beliebige Linearkombination der übrigen Spalten)

26 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 25 ist eine alternierende m-linearform i) Definition von alternierend ii) det alternierend det antisymmetrisch iii) det ist R-linear in jedem Argument iv) [ ] Prop.: ist alternierende m-linearform in den Zeilen Prop.: Rechenregeln für elementare Zeilenumformungen UE Bsp.: ) ) Def.: Sei { } Durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte definieren wir eine -Matrix : - } - Ersetzen von durch 1, alle übrigen Elemente der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A durch 0, definiert eine -Matrix : } Lem.:

27 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 26 Nach Spaltenvertauschungen und Zeilenvertauschungen erhalten wir: Def.: heisst Cofaktor von A zur Stelle. Def.: Sei. Ersetze durch. Lem.:. Spaltenumformungen vom Typ iv) überführen in die Matrix ( ). Lem.: Sei. Dann gilt: ( ) ( ) [ ] ( ) Def.: Sei. Die zu A adjungierte Matrix (Komplementär-Matrix) ist die Matrix mit [ ], wobei. ( Prop.: Für jedes ) gilt: [ i) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ii) Wende i) an auf

28 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 27 Beh.: ( ) Damit: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wiederholung: Adjungierte Matrix: ( ) Prop.: Prop.: Laplace Entwicklung ( Sei ). Dann gilt: i) Entwicklung nach der i-ten Zeile: ii) Entwicklung nach der j-ten Spalte: i) ( ) ii) ( ) Bem.: Vorzeichenverteilung (Schachbrettmuster): Bsp.: Entwicklung nach der ersten Zeile Prop.: Sei. Es gilt: ( : ) mit

29 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 28 : invers zu Kor.: Sei M freier R-Modul vom Rang r,. Es gilt: Sei eine R-Basis von M. Darstellungsmatrix von bezgl. ist definiert durch. Wissen: ( ). Also: Kor.: Basiskriterium Sei Definiere R-lineare Abb. durch lineare Fortsetzung der Zuordnung Standard-Basis Darstellungsmatrix von bezgl. der Basen ist Also: Basis. Prop.: Cramersche Regel Sei mit : Die durch A definierten linearen Gleichungssysteme sind universell und eindeutig lösbar. konkret: Diese Lösung x ist explizit gegeben durch x ist Lösung von ( ) ( ) Beh.: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )

30 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 29 Bem.: Bsp.: ( ) Polynome: R komm. Ring mit 1 { } Folgen in R mit endlichem Träger ist R-Modul, isomorph zu speziell.: P ist abelsche Gruppe: Not.: ( ) ist Gruppenmorphismus Prop.: Multiplikation, die zu einem komm. Ring mit 1 macht, so dass gilt: i) j ist Ringmorphismus ii) ( ) iii) 1) Eindeutigkeit: Seien ) [ ] ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

31 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 30 2) Existenz: Definiere für Cauchy-Produkt: ( ) Bem.: Man zeigt (Übung): ist komm. Ring mit 1, der i)-iii) erfüllt. Einselement ist: Not.: Bsp.: Def.: Der Ring heisst Polynomring mit einer Unbestimmten über Not.: Bem.: Sei Benutzen (Ringmonomorphismus), um R als Unterring in P aufzufassen identifiziert mit, d.h.: Jedes lässt sich darstellen in der Form: Bem.: zu jedem mit mit konkret: Dieses heisst der Grad von p. In einer Darstellung sind alle Koeffizienten eindeutig bestimmt durch p, wenn der Grad ist. Not.: Bsp.: { Bsp.: ( ) konkret:, Wiederholung: Polynomring in einer Unbestimmten X / R Bem.: Kann induktiv definieren: ( )

32 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 31 { Lem.: Sind, so gilt: i) oder ii) Ist R nullteilerfrei, { }, so: i) ( ) ( ) ( ) Bsp.: Wenn ii) Ist R nullteilerfrei, so } Kor.: Ist R Integritätsring, so auch Bsp.: Primzahl ist Integritätsring Kor.: R nullteilerfrei nullteilerfrei Bsp.: ist Integritätsring (Beweis durch Induktion). Bem.: Sei. Betrachte Auswertungsabbildung zu M: Bsp.: { } { } ({ } ) Lem.: ist Ringmorphismus Bem.: Bsp.: Ue ist i.a. weder injektiv noch surjektiv i) Intervall ( ) jede unstetige Abb. liegt nicht im Bild von Die Abbildungen im Bild von heissen polynomiale Abbildungen.

33 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 32 ii) { } ( ) Beh.: ist Nullabbildung Def.: Sei. heisst Nullstelle (Wurzel) von p { } konkret: { } Not.: { } Not.: Lem.: Sei r Nullstelle von. Dann vom Grad ( ) mit gilt ( Ue): ( ) r Wurzel von p ( ) ( ) wenn. Def.: Sei R Integritätsring. Sei, eine Wurzel. Ist, wobei mit so heisst Multiplizität (Vielfachheit) der Nullstelle. Not.: Bem.: Wenn Multiplizität: R Integritätsring { } Wurzel Bem.: ist wohldefiniert (R ist Integritätsring)

34 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 33 z.z.: OE: ( ) [ ] ( ) ( ) Lem.: R sei Integritätsring, paarweise verschiedene Wurzeln von p. Dann Induktion /s mit - Induktionsanfang: p habe paarweise verschiedene Nullstellen - Induktionsschluss: : Prop.: Sei R Integritätsring, { } paarweise verschiedene Nullstellen von p. Dann gilt: Beh.: mit, wobei Induktion / s (nach Def. von ) Beh.: Ue Induktionsschluss: Induktionsvoraussetzung Kor.: Ist R Integritätsring, { } vom Grad n, so hat p mit Multiplizitäten gezählt höchstens n Nullstellen. Kor.: Ist R Integritätsring, mit unendlich vielen Nullstellen, so ist. Kor.: Ist R Integritätsring, unendlich, so ist Ringmonomorphismus. p hat unendlich viele Nullstellen Bem.: Ist R unendlicher Integritätsring, so ist Ringmonomorphismus Dann kann man (sollte aber nicht) Polynome mit polynomialen Funktionen identifizieren.

35 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 34 Einschub Direkte Summenzerlegung: Def.: M sei R-Modul, Familie von Untermoduln. heisst der Summenmodul der Familie von Untermoduln. Bem.: ist der kleinste (bezgl. ) Untermodul von M, der alle enthält. Bsp.: Untermodul - Untermodul - { } - Falls eine Gerade, die die -Ebene nur in einem Punkt schneidet Summenmodul = - Falls { } eine Gerade in der -Ebene Summenmodul = -Ebene Lem.: { }, also. Setze: { } i) : mit Wähle mit. { } mit ii) : endl Wiederholung: R komm. Ring mit 1, M R-Modul, Untermoduln kleinster R-Untermodul, der alle enthält. gezeigt: { } Def.: Die Summe ist direkt jedes hat eindeutige Darstellung endlich, { } konkret: { } Bsp.: ist direkt, { } Sei beliebig wenn { { } } { }

36 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 35 Sei { } { } mit. Setze für { } ( { } ) Bem: Ist eine beliebige Familie von R-Moduln, so haben wir konstruiert direktes Produkt: (externe) direkte Summe: { } Falls mit, so hat man einen kanonischen Morphismus Bem.: i) ist nicht auf definiert, nur auf ii) iii) i.a. ist nicht injektiv! Prop.: Sei eine Familie von R-Untermoduln von M. Äquivalent sind: i) ist direkt ii) Ist endlich,, so gilt: iii) gilt: ( { } ) { } iv) ist Isomorphismus - ) ) Sei endlich, wegen Eindeutigkeit der Darstellung mit { } - ) Sei ( ) { } ) { } endlich, { { }

37 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 36 - ) ) ist immer surjektiv. Sei mit ( ) mit { } und es gilt: ( ) Wäre mit { } ( ) ) { } { } { } - ) ) Sei endlich Definiere: durch ( ) () () und Bem.: Wenn direkt ist und gilt:, so ist ein natürlicher Isomorphismus. Man sagt dann: M ist die (interne) direkte Summe der. Dann identifiziert man M (via ) mit und schreibt. Prop.: Seien Untermoduln von mit. Dann Isomorphismus ( ) (könnte Prüfungsaufgabe sein) Betrachte Morphismus: ( ) Beh.: ist surjektiv: Sei ( ) beliebig, Wegen gibt es Darstellungen mit mit Setze. Dann gilt:, da ( ) ( ) surjektiv surjektiv - induziert Isomorphismus: reicht zu zeigen: Beh.: ( )

38 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 37 Prop.: Seien { }. Wenn und teilerfremd sind, so Isomorphismus teilerfremd mit Bem.: Beh.: Sei beliebig Beh.: : Sei mit : Sei mit müssen teilerfremd sein: Bsp.: aber: Def.: Sei M R-Modul, Untermodul. N heisst direkter Summand Untermodul mit: i) ii) ist direkt Not.: heisst ein Komplement von. Bem.: ist direkter Summand mit { }, so dass jedes Darstellung hat mit Bsp.: { } Jede von verschiedene Gerade ist ein Komplement v N v v N v Prop.: Sei ein direkter Summand, R-Modul,. Dann gibt es eine Fortsetzung. Wähle ein Komplement zu mit. Definiere Projektion: ist surjektiv mit und ist Setze:

39 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 38 Wiederholung: ist direkter Summand mit { } Fortsetzung von direkten Summanden. Lem.: Ist direkter Summand, so gilt: Wähle Komplement und betrachte Projektion: Prop.: Sei M R-Modul, Untermodul. N ist direkter Summand. Für solche ist ein Komplement. Ue Prop.: Sei Epimorphismus. Falls P frei ist, ist ein direkter Summand. Sei Basis für. Wähle mit Setze: (der von allen s erzeugte Untermodul) Beh.: ist ein Komplement von. i) { } : Sei endlich, ( ii) : Sei beliebig ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

40 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 39 Bem.: Kerne von Epimorphismen mit freiem Bild sind i.a. keine direkten Summanden. Eigenwerte: { } Beh.: ist kein direkter Summand falls { } Ue ( Untermodul ) R komm. Ring mit 1, M endlich erzeugbarer, freier R-Module, Def.: Sei. i) { } heisst Eigenraum von zu r. ii) heisst Eigenwert von { }. Jedes Element { } heisst Eigenvektor zum Eigenwert r. Bsp.: Drehung um 90 Also: und beliebig. {} hat keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren. Bem.: Sei Endomorphismus. Dann gilt ( ) Denn:, so gilt: ( ). Prop.: Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbar, frei / R, : Sind paarweise verschieden, so gilt: i) Induktion über s : Induktionsschritt: Seien mit (z.z.: ) ( ) ( )

41 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 40 ( ) ( ) ii) Sind ist direkt ( ) ( ) Kor.: Sei R Integritätsring, M endl. erz. frei / R,. hat höchstens paarweise verschiedene Eigenwerte. Eigenwert { }. Hat s paarweise verschiedene Eigenwerte, so gilt: ( ). Charakteristische Polynome R komm. Ring mit 1, Def.: Die charakteristische Matrix von A ist Bsp.: Def.: Sei zugehörige charakteristische Matrix. Dann heisst: charakteristisches Polynom von A. Bsp.: Lem.: i) Sei. Dann gilt: (normiert; Leitkoeffizient ist = 1) ii) iii) i) ( ) ( )

42 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 41 ii) iii) Bem.:. Dann gilt: [ ] speziell: Def.: heisst Spur von A. Lem.: Sei. Dann gilt: ( ) Bem.: Bem.: Sei M endl. erz. freier R-Modul,. Sei R-Basen (Invarianz der Basislänge). Darstellungsmatrix von bezgl. hat die Form: definiert durch: S heisst Basiswechsel-Matrix. Sei Endomorphismus. definiert Darstellungsmatrizen, definiert durch: Zusammenhang zwischen A und B? Es gilt: ( ) ( )

43 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 42 ( ) Def.: heissen ähnlich mit Bem.: Ähnlichkeit von quadratischen Matrizen ist eine Äquivalenzrelation. reflexiv : symmetrisch : transitiv : Wiederholung Def.:. A ähnlich zu mit Bem.: und ähnlich und äquivalent Bem.: Ähnlichkeit ist feinere Äquivalenz-Relation als Äquivalenz Bsp.: sind ähnlich mit sind äquivalent mit Bem.: M, N endlich. erz. frei / R -. Wählen Basen X für M, Y für N Darstellungsmatrix von bezgl. X, Y: -. Wähle Basis X für M Darstellungsmatrix von bezgl. X und X: - Basiswechsel: Wählt man eine andere Basis, sodass: für M, so erhält man eine Basiswechsel-Matrix Bsp.: ist ähnlich zu Def.: heissen ähnlich mit Idee: ähnlich nicht wesentlich verschieden Prop.: sind ähnlich und Basen für mit:

44 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 43 : Sei mit. Definiere: durch Matrix-Multiplikation mit A. Sei die Standard-Basis für. Dann gilt: : [ kann definieren [ ist Basis für (Basiskriterium). Darstellungsmatrix von bezgl. ist: ] ] [ ] : seien Basen, mit Lem.:. Schreibe ist invertierbar. Es gilt: Sind ähnlich, so gilt:. mit. ( ) ( ) (da kommutativ) ( Kor.: Sind ) mit, so gilt: A nicht ähnlich zu B. Bem.: Man sagt: das charakteristische Polynom ist eine Invariante der Ähnlichkeitsklasse, d.h.: je zwei Elementen in derselben Ähnlichkeitsklasse wird dasselbe Element in zugeordnet. Bsp.: Sei R Integritätsring, mit. Für welche ist A ähnlich zu B? [ ] [ ] notwendig für A ähnlich zu B ist: einzige Möglichkeiten:, oder Def.: M frei vom Rang m,, Y Basis für M. Dann heisst ( ) charakteristisches Polynom von. Bem.: ist wohldefiniert (unabhängig von Basiswahl), da für eine andere Basis gilt: und sind ähnlich

45 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 44 Def.: Sei, Y Basis. Dann heisst ( ) Spur von. ist wohldefiniert, da alle Koeffizienten in ( ) nur von, nicht von Y abhängen. [ ( )] Bem.: aber: Prop.: Sei ein Körper, endlich-dimensionaler K-Vektorraum,. ist Eigenwert von ist Eigenwert von { } nicht injektiv nicht bijektiv Bem.: Allgemeiner gilt (ohne Beweis): Sei M endlich erzeugbar, frei / R,. ist Eigenwert Nullteiler. Bem.: ist einfach II. Vektorräume, Matrizenkalkül, Gleichungssysteme über Körper K sei Körper, U, V, W K-Vektorräume (= K-Modul) Lem.: Sei V K-Vektorraum, { } Erzeugendensystem. Ist A minimal bezgl., so ist eine Basis Wäre keine Basis, so gäbe es eine nicht-triviale Relation mit, nicht alle ( linear abhängig). Sei { } erzeugt V immer noch ist frei Basis Bsp.: gilt nur über Körper: { } ist bezgl. minimales Erzeugendensystem, aber keine Basis (Basis von besteht aus einem Element Invarianz der Basislänge ) Kor.: Ist V endlich erzeugbarer K-Vektorraum, so ist V frei / K und jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis. (2. Aussage) Sei ein beliebiges Erzeugendensystem. Weil V endlich erzeugbar ist, enthält A ein endliches Erzeugendensystem { }. Jetzt lässt man aus { } solange Vektoren weg, solange die dann entstehende Teilmenge V noch erzeugt die V erzeugen, so dass { } { } minimal ist bezgl. ist Basis. Prop.: Sei V endlich erzeugbarer K-Vektorraum. Dann gilt: i) ii) V ist frei / K und jede Basis hat Elemente K Integritätsring. i) Sei { } ein Erzeugendensystem mit. Dann ist { } insbesondere minimal bezgl. ist Basis

46 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 45 ii) V endl. erz. K-VR der Basislänge). V frei / K. Je eine Basis hat die gleiche Anzahl von Elementen (Invarianz Not.: Wähle { } erzeugend mit ) ist Basis jede Basis für V hat Elemente. Bei endlich erzeugbaren (also freien) K-Vektorräumen sagt man Dimension statt Rang: Wiederholung: K Körper, ( Prop.: Sei V endl. erz. K-VR. Dann: Elemente. Not.: Prop.: Sei V K-VR, V endlich-dimensional: i) ist Basis für V / K ii) { ), U, V, W K-Vektorräume } ist Erzeugendensystem mit iii) { } ist bezgl. minimales Erz.-System iv) ist frei / K mit. V besitzt Basen und jede Basis hat statt V endl. erz. / K. Äquivalent sind: v) ist bezgl. Erweiterung max. freie Familie - ) ) Basis { } Erzeugendensystem mit m Elementen mit - ) (Prop.) { } sei Erzeugendensystem mit Elementen; wegen { } minimal bezgl. - ) ) Lemma 1 - ) ) Sei frei / K mit. Ist freie Familie mit maximal. - ) ) Sei ist bezgl. Hinzunahme weiterer Vektoren bezgl. Hinzunahme weiterer Vektoren maximale freie Familie Beh.: { } Wenn nicht, so dass v nicht Linearkombination der ist. Dann ist frei / K. Wäre nicht frei, so gäbe es eine Relation, wobei nicht In dieser Relation ist ( )

47 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 46, wobei nicht alle sind (da frei / K) Prop.: Sei V endlich dimensionaler K-VR, K-Untervektorraum, Erzeugendensystem: ( ) [formal: { } ( ) ] Betrachte Restklassenabbildung ist surjektiv mit.. Wissen: enthält eine K-Basis für, so dass eine Basis ist. [formal: nummeriere durch, so dass die Familie eine Basis ist.] Beh.: ( ) und ist direkt i) " ": Sei ( ) ii) " ( ) ": Sei ( ) und ( ) iii) "direkt": Sei Kor.: Ist V K-VR, K-Unter-VR, so ist U direkter Summand. Theorem: Basisergänzungssatz / Austauschsatz von Steinitz Sei V K-VR, endliche (Index-)Familien mit Sei erzeugend für V, freie Familie in V. Es gibt eine Teilmenge, so dass eine Basis von V über K ist. { } letzte Prop. { }, so dass: ( ) Die Summe ist direkt, weil frei ist

48 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 47 [ endlich: frei ] Bem.: Basis i) Basisergänzungssatz : Man kann freie Familie ( ) durch Hinzunahme gewisser Vektoren ( ) aus einem vorgegeben Erzeugendensystem ( { }) zu einer Basis ( )ergänzen. ist Basis von ( ist erlaubt) ii) Austauschsatz : Man kann eine Teilfamilie ( ) einer erzeugenden Familie ( ) austauschen gegen eine vorgegebene freie Familie ( ), und so eine Basis ( ) von V zu erhalten. ( ist erlaubt) Prop.: Seien V, W K-Vektorräume endlicher Dimension, K-VR-Morphismus. Sei K- Untervektorraum. Dann gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kor.: Dimensionsformel : Lineare Abbildungen sind dimensionserniedrigend. Kor.: Seien K-Untervektorräume,. Dann gilt: Sei die Summationsabbildung. Dann gilt: Dimensionsformel Beh.: Ist Basis für U, Basis für so ist Basis für Bem.: nur bei interner direkter Summe! im Kor: wenn Summe nicht direkt (Durchschnitt von nicht Bsp.: Ebene, Gerade { Kor.: Sei V endlich dim. K-VR, Untervektorraum. Dann gilt: ( ) besteht nicht nur aus 0) gilt Gleichheit { }

49 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 48 Betrachte - ( ) Bem.: Ist V K-Vektorraum, so gilt: { } Wenn nicht, wähle { } ist frei (wäre mit, so ) Wiederholung: Dimensionsformel: Kor.: Sei V endlich-dim. K-VR, K-Untervektorraum. Dann gilt: Betrachte kanonischen Restklassenmorphismus Bem.: Ist V K-VR, so gilt: { } Kor.: Ist Untervektorraum, so gilt: Prop.: Sei K-Untervektorräume. Es gilt: ( ) Also: ( ) { } Def.: Sei. Dann heisst: i) Rang von ii) Defekt von Bem.: Dimensionsformel Falls, so gilt: Prop.: Seien V, W endlich-dim. K-VR,. Dann gilt: i) ist injektiv ii) ist surjektiv iii) ist bijektiv ii) ist Unter-VR, also Kor.: Seien V, W K-VR mit. Sei. Folgende Aussagen sind äquivalent: i) injektiv ii) sujektiv iii) bijektiv

50 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 49 - ) ) : injektiv surjektiv - ) ) : surjektiv - ) ) : Bem.: gilt nur, wenn K Körper: Sei R Integritätsring, { } Homothetie zu a ist injektiv (da R Integritätsring, ), also: ist bijektiv Def.: Sei K-Untervektorraum. Dann heisst { } Verschwindungsraum von U [ ] Prop.: Es gibt einen natürlichen Isomorphismus ( ) ( ) { } { } faktorisiert über, d.h.: : V λ K u V λ U explizit: ( ) ist K-linear ( ) Abbildung Man zeigt (Übung): Beh.: q ist isomorph ( ) ( ) ( ) ist K-linear i) { } : Sei ist K-linear, und ist Nullabbildung ist Nullabbildung ii) ( ) : Sei ( ) ( ). Betrachte : und Lem.: Sei K-Untervektorraum. Dann gilt: [Beschreibung von U durch Gleichungen] i) : Seien beliebig. Dann gilt: Beh. ii) : Sei (konstruiere mit ). ist direkt. Wähle Komplement zu, d.h.: (interne direkte Summe) Betrachte Projektion

51 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 50 Definiere durch (speziell: ) Damit definiere: mit: i) ii), mit Prop.: Seien V, W K-VR,. Dann gilt: i) ( ) ii) ( ) V φ W λ φ λ K i) ( ) ii) " ( ) :" s.d.: mit V φ W λ λ K (Diagramm kommutiert) ( ) "( ) :" Sei ( ) ist K-linear mit faktorisiert über, d.h.: induziert, sodass V (φ) V λ (φ) λ K Andererseits: induziert Isomorphismus K-linear Wähle Komplement zu und betrachte Projektion auf mit Kern.

52 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 51 Sei Beh.: ( ) Sei beliebig. Dann gilt: ( ) ( ) ( ) Prop.: Sei V K-VR mit. Dann ist endlich-dimensional mit. Wähle Basis für (also ) Definiere duale Basis durch (lineare Fortsetzung) K-Basis für. zu zeigen: i) ii) frei in iii) { } erzeugt Sei Basis für i) Definiere durch ( ) (lineare Fortsetzung der Zuordnung ) ii) ist frei : Sei ( ) iii) { } erzeugt : Sei beliebig. Setze. Betrachte. Beh.: ( ) Lem.: Sei K-Untervektorraum. Dann gilt: Wissen: ( ) (weil ( ) isomorph) Prop.: Ranggleichung Seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume,. Dann gilt:

53 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 52 Bem.: K Körper, Def.: Der Zeilenrang von A ist Der Spaltenrang von A ist Bem.: sei durch A definierte Abbildung (Matrixmultiplikation). Dann gilt: (Spalten sind die Bilder unter der Basisvektoren ) Spaltenrang von ( ) Zeilen von A sind die Transponierten der Spalten von Prop.: ist Darstellungsmatrix für Zeilenrang von Spaltenrang von ( ) bezgl. der dualen Basen der Standard-Basen. Zeilenrang von A ( ) ( ) ( ) ( ) Spaltenrang von A Bsp.: Def.: Kor.: Ist Ist, so heisst der Zeilenrang von A Rang von A ( )., so gilt: { } Bem.: ( ) Bsp.: Wissen: Beh.:

54 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 53 = Spaltenrang von A Beh.: sind linear unabhängig über K, falls heisst: der linearen Unabhängigkeit: Sei mit Also:, falls { } Frage:, falls? Bem.: Sei Def.:. Man kann berechnen mit Hilfe von Determinanten. i) Sei. Eine Matrix heisst Teilmatrix von A entsteht durch Streichen von Zeilen und Spalten von A. ii) Ist eine Teilmatrix von A, so heisst ein p-minor von A. Def.: { - } heisst Determinantenrang von A. Bem.: Ist, so ist { }. Prop.: i) Sei Teilmatrix von A mit die p Spaltenvektoren von sind linear unabhängig die Spalten von A sind linear unabhängig ii) Sei r linear unabhängig Spalten hat Rang r { }, so dass Def.: Sei das zugehörige konkrete lineare Gleichungssystem: heisst die um b erweiterte Matrix

55 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 54 Prop.: Rangkriterien Sei gegeben, das zugehörige Gleichungssystem. i) ist lösbar ii) ist universell lösbar (höchstens dann, wenn ) iii) ist eindeutig lösbar (höchstens dann, wenn ) iv) ist eindeutig lösbar i) ist lösbar endlich dim.: ii) ist universell lösbar lösbar iii) ist eindeutig lösbar ( ) { } ( ) ( ) iv) ist eindeutig lösbar lösbar und das zugehörige homogene System ist eindeutig lösbar Gauss Elimination(sverfahren), Zeilen von A:. Erkläre 4 Typen von elementare Zeilenumformungen, mit deren Hilfe man A in eine Matrix i) ii) lässt sich einfach ablesen Elementare Zeilenumformungen überführen kann, so dass: I) { } (Multiplikation der i-ten Zeile mit ) II) (Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile) III) (Addition von zu ) IV) (Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile) Bem.: ) und ) erhält man durch wiederholte Anwendung von ) und ) ) ) ) )

56 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 55 ) ) ) ) ) Lem.: Elementare Zeilenumformungen ändern den Rang einer Matrix nicht Es genügt, die Umformungen vom Typ ) und ) zu betrachten: i) Typ ) : ii) Typ ) : Wiederholung: Gauss-Eliminationsverfahren: 4 Typen elementarer Zeilenumformungen: I) Multiplikation der i-ten Zeile mit { } II) Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile III) Addition von zu IV) Vertauschen der i-ten mit der j-ten Zeile Elementare Zeilenumformungen ändern den Rang nicht. Elementarmatrizen: 2 Typen: I) { } II) ( Lem.: Sei ). Linksmultiplikation mit I) bewirkt Multiplikation von mit (Typ ) II) bewirkt Addition von zu (Typ (für )) Bem.: Elementare Zeilenumformungen (jeden Typs) werden bewirkt durch wiederholte Linksmultiplikation mit geeigneten Elementarmatrizen. Bem.: Elementarmatrizen sind invertierbar neuer Beweis, dass elementare Zeilenumformungen den Rang nicht ändern.

57 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 56 Def.: ist Zeilenstufenform hat die Form: Bsp.: ( Lem.: Ist ) in Zeilenstufenform mit ersten r Zeilen, wobei und, so gilt: i) ist frei: ii) erzeugen (weil ) Also: Zeilenrang von B Bem.: sind Basis für Lem.: Jede Matrix kann durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht werden. Schritt 1: Sei die erste Spalte von A, die nicht ist. Schritt 2: Bringe ein Element aus in die erste Zeile Matrix der Form [ ] mit Schritt 3: Bringe die Elemente unterhalb von auf 0 Matrix der Form Schritt 4: Wende Schritte 1-3 auf die kleinere Matrix an. (In den Zeilen oberhalb von wird dadurch nichts verändert)

58 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 57 Bsp.: ) ) ) ) ) aus A entsteht durch elementare Zeilenumformungen die Matrix B in Zeilenstufenform: Bem.: Def.: Eine Matrix in Zeilenstufenform ist in reduzierter Zeilenstufenform i) der erste Eintrag in jeder Zeile ist 1 (führende Eins). ii) alle anderen Einträge in einer Spalte, die eine führende Eins enthält, sind 0. Bsp.: Lem.: Jede Matrix kann durch elementare Zeilenumformungen in reduzierte Zeilenstufenform gebracht werden. Diese ist eindeutig. i) Bringe A in Zeilenstufenform, reduziere diese dann mit ) und ). ii) Eindeutigkeit: Seien reduzierte Zeilenstufenformen für A Idee: Produkte von Elementarmatrizen mit z.z.: (Induktion über r) Damit:

59 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 58 Bem.: Man kann mittels reduzierter Zeilenstufenform für A eine Basis für ( ) bestimmen. Bsp.: sind freie Variablen; die Variablen, die zu Spalten mit führender Eins gehören sind durch die freien Variablen festgelegt. konkret: Basis: Bem.: Multiplikation der Matrix mit :, da invertierbar. Bem.: Gegeben seien. Frage: Wie bestimmt man eine Basis des VR? Antwort: Bilde. Bringe A in Zeilenstufenform. Bem.: Gegeben Dann ist Basis für.. Frage: Wie bestimmt man eine Basis für ( )? Antwort:. Dann gilt: ( ) Brauche Basis von :. Bestimme (vorherige Bemerkung) Basis für Bem.: Gegeben: ist Basis für ( ). Frage: Wie stellt man fest, ob A invertierbar ist, und wie berechnet man explizit ein Inverses? Lem.: Die Inversen der Elementarmatrizen sind Produkte von Elementarmatrizen. { }

60 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 59 Prop.: ist erzeugt durch Elementarmatrizen. Sei. Bringe durch Linksmultiplikation mit Elementarmatrizen Bsp.: in reduzierte Zeilenstufenform:. Schreibe jedes als Produkt von Elementarmatrizen. Invertieren von Matrizen: Explizites Lösen linearer Gleichungssysteme Bem.: Sei. Möchte lösen: Seien. Dann gilt: Lösung von ist Lösung von ( ) mit Ziel: Finde geeignet (für A), so dass möglichst einfach wird. Elementare Spaltenumformungen Lem.: Lem.: 4 Typen: I) Multiplikation von mit { } II) Addition von zu III) Addition von zu IV) Vertauschen von mit Elementare Spaltenumformungen ändern den Rang nicht. Ue Rechtsmultiplikation mit Elementarmatrizen bewirkt elementare Spaltenumformungen. Ue Def.: Sei. heisst Standard-Matrix vom Rang r Prop.: Sei. mit i) Elementarmatrizen, sodass in reduzierter Zeilenstufenform ist: ii) Durch offensichtliches Spaltenvertauschen erhält man daraus. Elementarmatrizen, so dass

61 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 60 Bem.: Gegeben:. Frage: Wie findet man invertierbare Matrizen mit? Antwort: 1) Bringe A durch elementare Zeilenumformungen in reduzierte Zeilenstufenform, und führe die gleichen Zeilenumformungen auf der links stehenden -Matrix aus, d.h.: Multipliziere von links mit geeignetem Produkt von Elementarmatrizen. schematisch: mit B in reduzierter Zeilenstufenform 2) Bringe B durch elementare Spaltenumformungen in Standardform dieser Spaltenumformungen gleichzeitig auf der unteren Matrix aus:, und führe jede Bsp.: Schritt 1: [ Schritt 2: - ] [ ] Prop.: Explizites Lösen von linearen Gleichungssystemen Seien. Bestimme mit. i) ist lösbar ii) ist Lösung von beliebig i)

62 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 61 Wenn, so gilt: also: lösbar ii) Sei ist eine (Partikular-)Lösung von allgemeine Lösung ist mit also: allgemeine Lösung von ( mit ) ist dann ( ) mit bel. Bem.: Spezialfall: } i) (homogenes System) lösbar ii) ist Lösung des homogenen Systems bel. vollständige Parametrisierung von ( ) Bsp.: ist universell lösbar (Rangkriterien) i) ii) allgemeine Lösung von ist bel. Def.: sind äquivalent mit. ist Äquivalenzrelation Prop.: " " invertierbar mit ( ) ( ) " ": Sei. Es gilt:

63 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 62 } (weil Äquivalenzrelation ist) Bem.: Wie viele Äquivalenzklassen (bezgl. ) gibt es im? Äquivalenzklassen sind 3. Normalformenprobleme Bem.: K Körper, V K-Vektorraum,. Suchen Basis so, dass möglichst einfach wird definiert durch: (Summation über den ersten Index) äquivalent: suchen Normalformen für -Matrizen bezgl. Ähnlichkeit ( ) Def.: Sei. heisst: i) diagonalisierbar / K Basis für V mit (Diagonalmatrix) ii) trigonalisierbar / K Basis für V mit (obere Dreiecksmatrix) Bem.: Diagonalisierbarkeit / Trigonalisierbarkeit kann man charakterisieren mit Hilfe des charakteristischen Polynoms. Lem.: ist diagonalisierbar / K Basis aus Eigenvektoren von " ": Sei Basis aus Eigenvektoren von mit diagonalisierbar / K " ": Sei diagonalisierbar / K Basis mit Def.: Ein Polynom zerfällt über K (in Linearfaktoren) Bsp.:. p zerfällt nicht /, aber über :

64 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 63 Bem.: Fundamentalsatz der Algebra Jedes Polynom zerfällt / in Linearfaktoren. Lem.: Sei { }. Dann gilt: und es gilt Gleichheit genau dann, wenn p über K in Linearfaktoren zerfällt. Seien die paarweise verschiedenen Nullstellen von in K,. Beh.: { } { } mit, so dass: Damit: Induktion / s Bem.: p zerfällt / K Bsp.: Kor.: Ist trigonalisierbar / K zerfällt / K. ( ) Prop.: Sei [ mit ] Dann ist diagonalisierbar / K Sei Eigenraum zum Eigenwert von. Dann (Summe direkt) mit ist Basis aus Eigenvektoren diagonalisierbar / K. Not.: = algebraische Vielfachheit (des Eigenwertes r) = geometrische Vielfachheit (des Eigenwertes r) Lem.: Sei. Dann gilt: Wähle Basis von { }.

65 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 64 Ergänze zu Basis von V [ ] ( ) Sei mit Prop.: Sei. ist diagonalisierbar / K i) zerfällt / K in Linearfaktoren ii) Eigenwerte von. Seien die (paarweise) verschiedenen Eigenwerte von. Sei. Dann gilt: diagonalisierbar / K Basis aus Eigenvektoren also: diagonalisierbar / K - " ": Sei diagonalisierbar zerfällt und - " ": Sei und diagonalisierbar / K Kor.: Eine Matrix ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix i) zerfällt / K ii) für alle Eigenwerte r Def.: Sei. Eine Fahne in V ist eine Familie von Unterräumen mit: i) ii) Prop.: Fahnensatz Sei. Äquivalent sind: i) Fahne in V mit ( -stabile Fahne) ii) trigonalisierbar / K iii) zerfällt / K in Linearfaktoren - ) ) Wähle Basis für V, so dass eine Basis für ist (Basisergänzungssatz)

66 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 65 wegen trigonalisierbar / K - ) ) Sei trigonalisierbar, Basis mit zerfällt / K - ) ) Induktion / : Induktionsschritt:. Wähle Eigenvektor zu Eigenwert von. Ergänze zu Basis von V. Dann gilt:. Problem: (i.a.) aber: ( ) Voraussetzung: zerfällt B definiert Endomorphismus durch Es gilt: (nach Konstruktion):. Induktionsannahme -stabile Fahne in W. Setze ( { }) ist Fahne in V: Beh.: (Fahne ist -stabil) mit (richtig für, also für alle ) -stabile Fahne. Kor.: ist trigonalisierbar / K zerfällt / K. Kor.: ist ähnlich zu oberer Dreiecksmatrix zerfällt / K. Bsp.: ist diagonalisierbar

67 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e Diagonalisierung, Trigonalisierung, und der Satz von Cayley Hamilton Satz: 1) diagonalisierbar (d.h.: das char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren) 2) paarweise verschieden diagonalisierbar Bem.: Es bleibt zu klären, wann diagonalisierbar ist, falls die Eigenwerte nicht paarweise verschieden sind, d.h.:, wobei paarweise verschieden, heisst Vielfachheit von und wird bezeichnet mit Theorem. Dann gilt: diag a) zerfällt in Linearfaktoren b) für alle Eigenwerte von. Bem.: Praktische Diagonalisierung Sei. 1) Berechne, suche Linearfaktorzerlegung über K 2) Bestimme zu jedem Eigenwert den Eigenraum 3) Finde Basis zu, mit Hilfe derer wir dann die Diagonaldarstellung von finden. Bsp.: Sei die Standardbasis 1) zwei Eigenwerte: mit Vielfachheit: 2) Eigenräume: - { } { } - { } { } 3) Basen für Eigenräume: (# Vektoren ) - { } für - {} für ist Basis für (aus den Eigenvektoren von ) Suchen Diagonaldarstellung D von A, d.h.: gesucht ist, so dass wissen: Spalten von Eigenvektoren

68 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 67 Bem.: Praktische Trigonalisierung Sei, der zwar a) aus Theorem erfüllt, aber nicht b), d.h.: nicht diagonalisierbar, aber kann als obere Dreiecksmatrix dargestellt werden. 1) Sei. Wähle Basis. Bestimme, berechne, suche Linearfaktorzerlegung. 2) Wähle { }; nach dem Austauschsatz können wir Basis finden: { } Basis für V Ermittle Definiere. Dann definiert B einen Endomorphismus 3) Bestimme Eigenvektor zu Eigenwert Wiederum: { } Basis für. Iterationen Basis { } und obere Dreiecks-Matrix. Bsp.: 1) 2) Bestimme Eigenraum: { } nicht diag. { } Basis von V Finde : { } { } { } { } { } { } 3) { } Sei { } Basis von V Berechne Die Dreiecks-Matrix ist nicht eindeutig. Cayley Hamilton ( Thm.: ), so annuliert, d.h.: Bem.: Falscher Beweis:

69 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 68. Definiere adjungierte Matrix ( ) - ( ) - Polynom, sodass - linke Seite aufsummiert Euklidische und unitäre Strukturen Konvention: Sei { } ein Körper, komplexe Konjugation (falls für Vektoren, dann komponentenweise, also ; falls, dann einfach ignorieren). In Definitionen können endlich dim. K-VR sein; für Sätze und Lemmata nehme stets an:. Ziel: Einführung von Längen-, Abstands- und Winkelbegriffen. Def.: 1) Sei eine Bilinearform. Dann heisst s symmetrisch 2) Eine Abbildung heisst semilinear 3) Eine semilineare Abbildung heisst Semiisomorphismus ist bijektiv 4) Eine Abbildung heisst Sesquilinearform ist semilinear ist linear. 5) Eine Sesquilinearform heisst hermitesch Def.: Sei ein -VR. Dann heisst ( ) der assoziiert konjugiert komplexe Vektorraum. (das ist wohldef. ohne Beweis; es gilt: ) Lem.: ist semilinear linear ( )

70 L i n e a r e A l g e b r a 2 S e i t e 69 linear ist semilinear. Lem.: semilinear, injektiv und Wähle Basis von ; nach Lemma vorher gilt: linear. Wissen: injektive, lineare Abbildungen bilden freie Systeme auf freie Systeme ab, d.h.: ( ) ist frei. Basis ergänzen zeigt: W hat eine Basis von höchstens grösserer Kardinalität als die Kardinalität der Basis. Wegen Basislänge = Dimension folgt Beh. Lem.: Sei eine hermitesche Form, so gilt:. Sei bel., so gilt:. Also: mit, so dass gilt:. Also:. Teile durch, also Beh. Def.: Sei eine symmetrische -Bilinearform / herm. Form, so heisst die zugehörige quadratische Form. (wohldef. wegen Lemma) Prop.: Polarisationsformel (s sym. -Bilinearform / herm. Form) i) ( ) ii) ( Ue Def.: Sei sym. -Bilinearform / herm. Form, so heisst s 1) positiv definit { } 2) positiv semidefinit 3) negativ definit { } 4) negativ semidefinit 5) indefinit Def.: heisst Skalarprodukt 1) ist positiv definite symmetrische -Bilinearform 2) ist positiv definite hermitesche Form Bem.: Ein Skalarprodukt auf zu sein ist äquivalent zu: 1) i) ii) iii) iv) { } 2) i) ii) iii) iv) { }

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