1. Mathematikschulaufgabe - Grundkurs

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1 . Mathematikschulaugabe - Grundkurs Klasse Gegeben ist die Funktion k : k () = + k k mit k >.. a) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von k mit der -Achse sowie die Lage des Etremums. b) Berechne den Parameter k so, daß das von der -Achse und dem Graphen G k eingeschlossene Flächenstück 5 FE hat.. nun sei k =. a) Zeichne den Graphen G im Bereich - 5 mit Maßstab LE cm. b) Eine Gerade durch den Ursprung geht durch den Scheitel der Parabel ( G ). Diese Gerade zerlegt die Fläche A, die der Graph von mit der -Achse einschließt in zwei Teillächen. Berechne das Verhältnis der beiden Teillächen. Das Ergebnis von b) kann verwendet werden.. a) Gib die Gleichung der Tangente an den Graphen von, die die Steigung m = hat, an. b) Bestimme die Stammunktion zu h: y = +, die durch den Punkt P(5/) verläut. c) Lässt sich die geundene Stammunktion als Integralunktion schreiben? Bestimme die untere Grenze a dieses Integrals. 4. a) Zeige nun, dass die Funktion im Deinitionsbereich D = [-; 5] nicht umkehrbar ist. b) Bestimme die maimalen Teilbereiche von D, in denen Einschränkungen von umkehrbar sind. Ermittle zu jedem der Teilbereiche die Gleichung der entsprechenden Umkehrunktion. Gib zu den Funktionsgleichungen jeweils Deinitionsmenge und Wertemenge an. c) Trage in die Zeichnung von a) die Graphen der Umkehrunktionen so ein, dass die Zuordnung zwischen und - erkennbar ist. GM_A4 **** Lösungen 6 Seiten ()

2 . Mathematikschulaugabe - Leistungskurs Klasse Analysis. Es ist die Funktion : y= in ID = [-; ] zu betrachten. a) Bilde die Integralunktion F - () und berechne ihre integralreie Darstellung! b) Berechne den Funktionsterm H() der Stammunktion von, deren Graph durch den Punkt P ( / 5 ) geht (ür den gegebenen Deinitionsbereich)!. Gegeben sind die Funktionen : y= a und + = mit a R. g: y a Die Graphen von und g schließen im 4. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechne dessen Inhalt! (Fertige eine Skizze ür a = an) Stochastik. Computersimulation mit Buchstaben Es werden (mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit) nur die Buchstaben a, b, c, d ausgewählt. Dann werden Worte mit drei Buchstaben gebildet, z.b. aba, baa, cad... Ein Wort wird zuällig ausgewählt. Es werden olgende Ereignisse betrachtet: A:= Das Wort enthält nicht den Buchstaben a. B:= Das Wort enthält nicht den Buchstaben b. a) Berechne die Mächtigkeit des Ergebnisraums Ω (mit gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen), sowie die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) und P( A B )! Nun werden weitere Ereignisse untersucht: E := das Wort hat ein oder mehrere a E := das Wort hat mindestens ein a und mindestens ein b E := das Wort hat mindestens ein a, aber kein b b) Drücke die Ereignisse E i ( i =,, ) durch die Ereignisse A, B aus und berechne ihre Wahrscheinlichkeiten! (Die Mengendarstellungen und die Rechenregeln ür die Wahrscheinlichkeiten müssen ersichtlich sein.) c) Es sei C:= Das Wort besteht aus drei verschiedenen Buchstaben. Berechne P(C)!. Bei einer Leistungskurswahl (in der. Jahrgangsstue) ergab sich unter anderem: 5% der Schüler wählten Leistungskurs Englisch (LK E). 5% der Schüler wählten Leistungskurs Mathematik (LK M) und 5% der Schüler wählten Leistungskurs Deutsch (LK D). % der Schüler wählten LK M, aber nicht LK E. 8% der Schüler wählten LK E und LK D. Kein Schüler wählte die Kombination LK M und LK D. Blatt beachten! GM_A4 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L4) ()

3 . Mathematikschulaugabe - Leistungskurs Klasse Ein Schüler wird zuällig herausgegrien. Betrachte olgende Ereignisse: A := Er hat LK E und LK M. A := Er hat LK E, aber nicht LK M und auch nicht LK D. A := Er hat mindestens einen der drei genannten LKs. A 4 : = Er hat höchstens einen der drei genannten LKs. a) Stelle die gegebene Situation unter Verwendung der Ereignisse E, M, D in einem Venn-Diagramm dar! Dabei ist E: = Schüler hat LK E, M:= Schüler hat LK M, D:= Schüler hat LK D. b) Berechne P (A ) bis P(A 4 )! Gib jeweils ormale Ansätze ür die Ereignisse und die Wahrscheinlichkeiten an! ZwErg.: P(A ) =, GM_A4 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L4) ()

4 . Mathematikschulaugabe Leistungskurs Klasse Augabe : a) Berechne das bestimmte Integral d. b) Bestimme alle Lösungen ür a (mit der Genauigkeit zweier Nachkommastellen), welche die Integralgleichung a a ( + 4) = d lösen. Augabe : Gegeben ist die Funktion () = ( + )( - ). Berechne das bestimme Integral ( ) d. Augabe : Ein Lehrer prüt nacheinander verschiedene Teilnehmer seines Leistungskurses. Seine Auswahl erolgt zuällig. Von den Kollegiaten sind nicht gut vorbereitet. Ermittle anhand eines vollständigen Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Schüler drankommen. Augabe 4: Andreas wirt mit einem Baseball au drei von Laura s Blumentöpen. A i = Andreas trit beim i-ten Wur (i =,, ) Stelle die olgenden Ereignisse möglichst knapp als Verknüpungen der A i dar: a) A = Andreas trit höchstens einen Top b) B = Andreas verehlt mindestens einen Top c) C = Andreas trit höchstens beim ersten oder dritten Wur Formuliere die olgenden Ereignisse möglichst kurz: d) D = A A e) E = A ( A A ) ) F = ( A A) ( A A) ( A A ) Fortsetzung Blatt GM_A5 *** Lösungen Seiten (GM_L5) ()

5 . Mathematikschulaugabe Leistungskurs Klasse Augabe 5: Beim Fernsehsender TOP wird jeden Tag eine Folge von Little Sister ausgestrahlt. Der Sender besitzt 6 Folgen, aus denen jeden Tag zuällig eine herausgegrien wird (mit Zurücklegen). a) Berechne die Wahrscheinlichkeit daür, dass in einer Woche mindestens eine Folge doppelt gezeigt wird. Um die Beliebtheit der Serie zu beurteilen werden Leute beragt. 45% mögen die Serie, davon sind 75% Jugendliche. 5% mögen die Serie nicht, davon sind 5% Jugendliche. Alle anderen Leute kennen Little Sister nicht, davon sind 5% Jugendliche. b) Stelle das Ergebnis der Umrage in einer 6-Feldertael dar und ermittle damit, wie viele Jugendliche beragt wurden. c) Wie viele der Beragten sind Jugendliche, die die Serie nicht kennen? d) Wie viel Prozent der beragten Jugendlichen kennen Little Sister nicht? GM_A5 *** Lösungen Seiten (GM_L5) ()

6 . Mathematikschulaugabe - Leistungskurs Klasse Analysis:. Gegeben ist die in lr deinierte Funktionenschar a : a a() = + mit a lr +. e Der Graph von a heißt G. a a) Bestimme in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen G mit den Koordinatenachsen! a b) Untersuche das Verhalten von a ür + und! c) Bestimme die Lage und Art des Etrempunktes und berechne die Koordinaten des Wendepunktes! '' (Zwischenergebnis: a a () = + ) e d) Zeichne den zu a = gehörenden Graphen im Intervall 4! (Für die Zeichnung: Hochormat, Ursprung in der Blattmitte, LE = cm) e) Stelle die Gleichung der Wendetangente w a au, die zum Graphen der Funktion a gehört! (Zwischenergebnis: w a :y = + 4 a ) a a e e Zeichne die Wendetangente w in die Skizze von Augabe d) ein! ) Die Wendetangente w a und die positiven Koordinatenachsen bestimmen ein Dreieck. Berechne die Dreiecksläche in Abhängigkeit von a! g) F() a = + a+ sei eine Stammunktion von a (). e Untersuche, ob k lim a() d eistiert! k + - Blatt - GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()

7 . Mathematikschulaugabe - Leistungskurs Klasse Stochastik:. In einer Urne liegen je eine rote, grüne, blaue und schwarze Kugel. Man zieht eine Kugel und betrachtet die Ereignisse A: Die gezogene Kugel ist rot oder grün B: Die gezogene Kugel ist rot oder blau C: Die gezogene Kugel ist rot oder schwarz Zeige, dass diese drei Ereignisse paarweise unabhängig sind, insgesamt aber abhängig!. Vier Sonntagsjäger schießen einmal gleichzeitig au einen Hasen. Ihre Treerwahrscheinlichkeit beträgt jeweils,,,,,4 und,5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Hase () überhaupt getroen? () genau einmal getroen? Analytische Geometrie: 4. Sei (G,*) eine Gruppe, a ein beliebiges Element aus G, a das inverse Element von a und e das neutrale Element von G. Zeige mit Hile der Gruppenaiome: a = a! 5. Spiegelt man den Punkt P am Zentrum Z nach P (siehe Skizze), so gilt: p' = z p Leite diese Beziehung mit Hile der Eigenschaten der Punktspiegelung und der Vektorrechnung her! Skizze: Hilsmittel: Formelsammlung, Taschenrechner Arbeitszeit: 9Minuten GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()

8 . Mathematikschulaugabe Grundkurs Klasse Augabe + Gegeben ist die Funktionenschar a : ( a) mit a R. Berechne a so, dass das vom Graphen G und der - Achse eingeschlossene Flächenstück den Wert 8 FE hat. a Augabe Gegeben ist die Funktion : + 4; D = R. a) Für welches a > gilt: 4a a ( ) d= b) Gib eine Stammunktion F zu an, welche bei + eine Nullstelle besitzt. [Ergebnis: C = 4] c) Welchen Flächeninhalt besitzt das Flächenstück, das die Graphen von und F einschließen? d) Für welche C R ist eine Stammunktion auch Integralunktion zu? Augabe Gegeben ist die Funktion : + (ln ) mit der Deinitionsmenge + D =. Ihr Graph wird mit G bezeichnet. n Hinweis: Im Folgenden dar der Grenzwert lim (ln ) = + ür n ohne Beweis verwendet werden. a) Zeige, dass '( ) = ( + ln ) ist und olgere daraus ohne Verwendung der zweiten Ableitung, dass G keinen Etrempunkt besitzt. b) Ermittle das Krümmungsverhalten von G und weise nach, dass G genau einen Terrassenpunkt besitzt. Berechne dessen Koordinaten. c) Untersuche das Verhalten von () an den Grenzen des Deinitionsbereichs. Gib die Wertemenge W der Funktion an. d) Weise nach, dass von ist. : (ln ) ln F + 8 mit + R eine Stammunktion GM_A **** Lösungen Seiten (GM_L)

9 . Mathematikschulaugabe Klasse Augabe : a ür Gegeben sei die Funktion durch die Gleichung ( ) = ; a + ür > a) Bestimme a so, dass an der Stelle = stetig ist und zeige, dass in diesem Fall auch dierenzierbar ist. b) Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der - Achse über dem Intervall [ - ; ] ür a =. Augabe : Gegeben ist eine Funktion durch die Gleichung () = 9 im Intervall I = [ ; b ] mit b. a) Zerlege das Intervall I in n äquidistante Teilintervalle und berechne die zugehörige Untersumme U n ür allgemeines b. Fertige hierzu eine Zeichnung mit 4 - acher Intervallunterteilung ür b = an. Hilsormel: n = n( n+ )(n+ ) 6 b) Berechne ür b = und n = den Wert der Untersumme U aus a) bis au 5 Dezimalstellen genau. c) Berechne den eakten Wert des Flächeninhalts im Intervall [; ] mit Hile eines entsprechenden Integrals. Um wie viel Prozent weicht der Wert der Untersumme U aus b) vom eakten Wert ab? d) Beweise mit dem Verahren der vollständigen Induktion die Hilsormel aus a). Augabe : Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist zum Punkt O ( / ) punktsymmetrisch, schneidet die -Achse in P ( 4 ; ) und schließt im. Feld mit der - Achse eine Fläche von 64 Flächeneinheiten ein. a) Bestimme die Gleichung der Funktion. [ Zwischenergebnis: ( ) = + 6) ] b) Untersuche au Nullstellen, Etremstellen und Wendestellen und skizziere den Graphen von. c) Bestimme einen Punkt Q des Graphen von, dessen Verbindungsstrecke mit O( / ) die oben angegebene Fläche halbiert. GM_A4 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L4)

10 . Mathematikschulaugabe - Leistungskurs Klasse. Gegeben ist die Funktion mit () 6 6 = mit \{ } a) Untersuchen Sie das Schaubild K der Funktion au Symmetrie, Asymptoten und Schnittpunkte mit der - Achse. b) Zeichnen Sie K und seine Asymptoten in ein Koordinatensystem ür 6 6; LE cm c) Für welche Werte von ist der Abstand eines Punktes au dem Graphen von der waagerechten Asymptote kleiner als,5?) d) Die Geraden = und = a mit a >, die - Achse und die waagerechte Asymptote bilden ein Rechteck. Das Rechteck wird durch den Graph K in zwei Teile mit den Flächen A und A geteilt. Ermittle den Wert ür a so, dass gilt: A = A.. Bestimmen Sie, ür welchen Wert des Parameters k > die von den Graphen der Funktionen () = ² + und g() = k + eingeschlossene Fläche den Inhalt A = 6 hat! +. Gegeben ist eine Funktionenschar ƒ p : p p; D = ; p. Welche Stammunktionen aus der Schar aller Stammunktionen F p,c von ƒ p sind keine Integralunktionen I p,a von ƒ p? 4. Otto und Susi tragen einen Tischtenniswettkamp aus. Wer zwei Spiele hintereinander oder insgesamt drei Spiele gewinnt, ist Sieger des Wettkampes. a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und geben Sie den Ergebnisraum an! b) Wie viele Möglichkeiten gibt es ür einen Spieler, den Wettkamp zu gewinnen? c) Susi hat schon 9 von solcher Wettkämpe gewonnen. Mit welcher relativen Häuigkeit gewann sie ein Spiel, wenn jeder Wettkamp die maimale Spielanzahl dauerte? 5. A, B und C seien Ereignisse des Ergebnisraums Ω. a) Schreiben Sie die olgenden Ereignisse ormal mit den Zeichen,, : Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein. Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein. b) Formulieren Sie möglichst prägnant in Worten: A B C (A B C) (A B C) (A B C) c) Vereinachen Sie soweit wie möglich: [(A A) (A B)] [(B C) (A A)] GM_A47 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L47)

11 . Mathematikschulaugabe - Leistungskurs Klasse. Gegeben ist die Funktion ƒ: ln ; a) Bestimmen Sie D ma und lim ƒ(). b) ƒ hat genau ein lokales Maimum. Wo liegt es? c) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph der Funktion mit der -Achse zwischen den Ordinaten = e und = e² einschließt. b +. Zur Berechnung von Potenzen a (wobei a R,b R) stehen in der Computersprache PASCAL nur die Funktionen EXP(X) und LN(X) zur Verügung. Welchen Ausdruck b muss man ür a in ein PASCAL-Programm eingeben?. In einem Land sind 5% aller Einwohner Millionäre. Wie viele Einwohner muss man mindestens (zuällig) auswählen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 9% mindestens ein Millionär dabei ist? 4. Um die Güte eines Tests zur Untersuchung von Boviner Spongiormer Enzephalopathie (BSE) zu prüen, werden Rinder, von denen BSE haben, getestet. Von den gesunden Rindern erbrachte der Test bei % den Hinweis au BSE, von den inizierten bei 9%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rind tatsächlich BSE-iniziert ist, wenn der Test au die Krankheit hingewiesen hat? 5. a) Zeichnen Sie (beschritete) Repräsentanten von a, b (s. Abb.) a+ b und a b mit gemeinsamem Fußpunkt au Ihr Blatt. b) Welche Bedingungen müssen ür zwei Peilvektoren, y (, y ) erüllt sein, damit ( + y) ( y) gilt?,5 b =,5 5,5 a = 6. Es sei M = ] ; ]. Für a,b M deinieren wir die innere, assoziative (braucht nicht bewiesen werden!) Verknüpung: a b = a) Zeigen Sie: ist neutrales Element in (M, ). + a b b) Ist (M, ) eine Gruppe? Begründung! Anmerkung: ( b) geht über den normalen Sto des Gymnasiums hinaus) GM_A49 **** Lösungen Seiten (GM_L49)

12 . Mathematikschulaugabe Klasse. Gegeben sind die Funktionen: g ( ) ( ) + 4a + + 6a a = a) Gib die Deinitionsmenge der Funktion g ( ) und () = + 5 a an und bestimme den reellen Parameter so, dass die kleinste Deinitionslücke stetig behebbar ist. b) Gib die Deinitionsmenge, die Nullstellen und die Gleichungen der Asymptoten g? von () an. Welche Beziehung besteht zwischen () und ( ) a c) Fertige eine Skizze des Graphen von () an. d) Gib die Etrempunkte und das Monotonieverhalten von () an.. Berechne die erste Ableitung von h( ) cos( 4 ) = +.. Untersuche die Stetigkeit von k( ) = + ( ). Gib die Art der Unstetigkeitsstellen an. 4. a) Ist {,, } eine Standardbasis ür Polynome höchstens. Grades? { } Ist ; ( ) ; ( ) b) Stelle das Polynom + auch eine Basis? { } + bezüglich der Basis ; ( + ); ( + ) dar. 5. Gegeben sind die Ebenen E und F mit 6 a 4 E:= +λ +µ b und F:= +α 5 +β. 4 7 Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen parallel sind. Sind die Ebenen echt parallel? GM_A5 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L5)

13 . Mathematikschulaugabe Klasse. Gegeben ist () = a mit a >. a) Bestimmen Sie die Nullstellen, die Koordinaten der Etrema und des Wende-punktes in Abhängigkeit von a. b) Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion ür a =,5 in ein Koordinatensystem. c) Berechnen Sie nun wieder in Abhängigkeit von a den Flächeninhalt A(a) der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der - Achse. d) Bestimmen Sie a so, dass dieser Flächeninhalt den Wert 54 hat. e) Jetzt sei wieder a =,5. Zeichnen Sie in das obige Koordinatensystem die Gerade y = ein. Gehen Sie ohne weitere Rechnung davon aus, dass diese Gerade den Graphen von () an den Stellen = -, = und = 6 schneidet. Die Gerade begrenzt mit dem Graphen von () zwei Flächenstücke. Berechnen Sie die Summe dieser beiden Flächeninhalte.. Jetzt betrachten wir die Funktion g() = + a) Bestimmen Sie diejenige Stammunktion G() zu g(), die durch den Punkt P/ 4 verläut. ( ) b) Skizzieren Sie die beiden Graphen von g() und G() in ein neues Koordinatensystem. Sie sollten sich unter anderem im Punkt S/ ( ) schneiden. Welcher Zusammenhang besteht darüber hinaus in diesem Punkt zwischen g() und G()?. Zu guter Letzt widmen wir uns noch der Funktion h() = cos a) Beweisen Sie: ( ) cos() d = cos() + sin() + C b) Berechnen Sie mit dieser Formel ( ) π cos() d = GM_A6 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L6)

14 . Klausur im Ausbildungsabschnitt / (/) Klasse (). In einem kartesischen Koordinatensystem sind die drei Punkte A ( / / 4), B( //4) und C( / /) sowie die Gerade,5 g: = +λ gegeben. 4 5 a) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig mit Basis [AB] ist! b) Bestimme den Mittelpunkt M der Basis! (Zur Kontrolle: M//) ( ) c) Bestimme den Punkt D so, dass das Viereck ADBC ein Quadrat ist! d) Gib eine Gleichung der Ebene E an, die das Quadrat enthält.,5 (Ersatzergebnis: E:=,5 +σ +τ ) 4 e) Gib eine Gleichung der Spurgeraden s an, die sich ergibt, wenn man E mit der - Koordinatenebene schneidet! ) Begründe, dass s die Verlängerung einer der Diagonalen des Quadrats ADBC ist! (Rechnung möglich, aber nicht nötig!) g) g enthält den Punkt A und schneidet die Strecke [BC] im Punkt P. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks APC. P // ) (Falsches Ersatzergebnis ür P: ( ). Gegeben sind die beiden Ebenen E:= 4 +λ +µ sowie die von den 8 b c Parametern a, b und c abhängige Ebene F:= 4 +σ b +τ. a c a) Für welche a, b, c sind E und F echt parallel? b) Gib eine Gleichung einer Geraden h an, die senkrecht au E steht und durch den Q/ / geht! Punkt ( ) c) Wie lässt sich mit Hile einer Determinante zeigen, dass diese Gerade h und die Gerade g aus Augabe windschie zueinander sind? Die Rechnung muss nicht durchgeührt werden! GM_A7 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L7)

15 . Klausur im Ausbildungsabschnitt / (/) Klasse (). Gegeben sind die Punkte P( /5/8 ) und Q//, ( ) die Gerade g: = OP+λ 6 sowie die Ebene E : + =. a) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Ebene E. S // (Zur Kontrolle: ( ) b) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene E? c) Berechne die Koordinaten des Punktes P, der sich ergibt, wenn man P an E spiegelt. d) Stelle die Gleichung einer Ebene F in Koordinatenorm au, die die Punkte S und Q enthält und senkrecht au E steht. (Mögliches Ergebnis: F : = ) e) Gib jeweils die Koordinaten eines Punktes A E und eines Punktes A F an, so dass das Viereck SAPA ein Rechteck ist. ) Gib die Koordinaten eines Punktes B au der - Achse an, der von F den Abstand 4 LE besitzt. ( ). Gegeben ist die Funktion : mit maimaler Deinitionsmenge D. + 8 Der Graph wird mit G bezeichnet. a) Bestimme D. b) Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. c) Untersuche das Verhalten von in der Umgebung der Deinitionslücken. d) Untersuche das Verhalten von ür ± e) Zeige, dass gilt: '() = ( + 8) ) Die Funktion besitzt lokale Etrema in den Punkten ( ). E / und 5 ( ) E,5/ 9. (Kein Nachweis erorderlich) Einer der beiden Punkte ist ein lokales Minimum, der andere ein lokales Maimum. Nimm einen der beiden Punkte und bestimme die Art des Etremums, ohne "() zu berechnen. g) Zeichne alle Asymptoten sowie die bisher bestimmten Punkte in ein KOS. Platzbedar: 7 7, 5 y 6 Fertige eine Skizze des Graphen G an. h) Begründe ohne "() zu berechnen, dass G ür >,5einen Wendepunkt besitzen muss. GM_A8 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L8)

16 . Berechne a) Gymnasium. Mathematikschulaugabe - Grundkurs 5 π d b) π t Klasse dt c) cos( ) d. a) Zeige die Richtigkeit von ( ) cos d = + sin cos + C b) Nehmen Sie Stellung zum Wahrheitsgehalt der olgenden Gleichung ohne die Maßzahlen zu berechnen: a a a wo [ ] ()d= ()d mit a ; () =. Gegeben: () = ;D = 4 Verdeutliche die in den Teilaugaben vorkommenden Punkte, Geraden und Flächenstücke in der Zeichnung von Teilaugabe a). G im Bereich [ ] a) Zeichne ; 5. LE cm; Platzbedar 5; 5 7 b) P sei derjenige Punkt von G im. Quadranten, der von den Koordinatenachsen denselben Abstand hat. Berechne seine Koordinaten. c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks A zwischen G, der y - Achse und dem Lot von P au die y - Achse. d) Berechne den Inhalt des Flächenstücks A, das begrenzt ist von G, der - Achse und der Tangente in P! π 4. Die inneren Konturen eines alten Maßkrugs (Humpen) werden von der Funktion + () = 6,5 ; D = ( in cm) beschrieben. Weise durch eine Rechnung nach, dass ein 5 cm hoher Humpen mindestens ein Fassungsvermögen von einer Maß (V = cm ) hat. GM_A6 **** Lösungen Seiten (GM_L6)

17 . Mathematikschulaugabe - Grundkurs Klasse. Gegeben ist die Funktion : a) Bestimme zur Funktion diejenige Stammunktion, deren Graph durch den Punkt P ( - / - 5 ) geht. b) Bestimme zur Funktion diejenige Stammunktion, deren Graph den Tiepunkt au der - Achse hat.. Gegeben ist der Graph =,5 und der Graph G mit g ( ) =,5. g G mit ( ) 4 a) Berechne die Flächenmaßzahl des Flächenstücks A zwischen G und G g im. Quadranten. b) Berechne die Flächenmaßzahl des Flächenstücks A zwischen G und G g und der - Achse im. Quadranten.. Gegeben ist die Funktionenschar k mit dem reellen Scharparameter k: + k : k() =,5 k+ 6; Bestimme k so, dass die zugehörige Integralunktion + k k = k() F: F() tdt bei = 6 eine Nullstelle hat. 4. Gegeben ist die in deinierte Funktion : () = ( + ) e a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. b) Untersuche das Verhalten von ür + und. c) Berechne die Koordinaten des Etrempunktes und des Wendepunktes. [Zwischenergebnis: '' ( ) = e ] d) Skizziere den Graphen im Intervall [-; 4], LE = cm e) Stelle die Gleichung der Wendetangente au. ) Zeige, dass F( ) e e () d. = eine Stammunktion von () ist und berechne GM_A7 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L7)

18 . Mathematikschulaugabe - Grundkurs Klasse. Gegeben sind die Funktionen Die Graphen heißen G und () =,5 und g() =,5 +. G g. a) Zeichnen Sie ein Koordinatensystem (Einheit cm) und tragen Sie G und b) Bestimmen Sie die Flächenmaßzahl A des von G und G g eingeschlossenen Flächenstücks. G g ein.. Gegeben ist die Funktion () = ( ) mit D = [ ; [ a) Zeigen Sie, dass () eine Umkehrunktion Funktionsgleichung von (). () besitzt und berechnen Sie die b) Erstellen Sie ein Koordinatensystem (Einheit cm) und tragen Sie die G und G sowie die Winkelhalbierende des. Quadranten ein. c) Berechnen Sie den Schnittpunkt S( /y ) von G und G. d) Unter welchem Winkel α schneiden sich G und G im Punkt S? e) Die beiden Koordinatenachsen sowie G und G schließen ein Flächenstück ein. Ermitteln Sie nachvollziehbar den Inhalt A dieser Fläche.. In einer Formelsammlung indet man olgende Gleichung: t dt = 7 t + C 7 t a) Bestätigen Sie die Richtigkeit dieser Gleichung. b) Geben Sie die maimale Deinitionsmenge ür die Variable t an. c) Bestimmen Sie a > so, dass ür die Integralunktion F() gilt: F( t ) = dt = 7 + a 7 t 4. Gegeben ist die Funktion () = + tan mit D = ; π a) Weisen Sie nach, dass die Funktion () umkehrbar ist. Der Funktionsterm dieser Umkehrunktion ist nicht zu bestimmen. b) Der Punkt P π ( /k) ist Punkt des Graphen den Wert der Ableitung der Umkehrunktion an der Stelle k. G. Bestimmen Sie k und berechnen Sie GM_A8 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L8)

19 . Mathematikschulaugabe - Grundkurs Klasse. Berechne: ( ) a) ( ) cos d 4 b) d Berechne die ersten beiden Ableitungen von c) ( ) ( ) = sin t dt; D = und bestimme welche Besonderheit bei = vorliegt!. a) Bestimme die maimale Deinitionsmenge ma = 9 b) Zeige die Richtigkeit von: d = 9 + C. 9 c) Bestimme a Dma so, dass die olgende Gleichung erüllt ist! a 9 d = D von ( ).. Gegeben ist die Funktion ( ) =,5; D = a) Bestimme die Gleichung der Normalen w() au G im Wendepunkt von [Zwischenergebnis: w() = ]. b) Berechne die von G und G w eingeschlossene Fläche im I. und IV. Quadranten. G 4. Durch die Funktion ( ) = + ; D = [ ; ] ( incm ) wird der Rand eines glockenörmigen Rotationskörpers beschrieben (Rotationsachse: -Achse). G siehe rechts! Berechne das Volumen des Körpers! 4 Die einzige Nullstelle von ist bei N ( / ). 5. Gegeben ist die Funktion ( ) = ; D = \{ 4} Bestimme die Ableitung der Umkehrunktion an der Stelle = ohne die Umkehrunktion abzuleiten!. GM_A9 **** Lösungen Seiten (GM_L9)

20 . Mathematikschulaugabe - Grundkurs Klasse. a) Durch die Punkte A ( 6 5 8), B( 5 4) und C( 6 6 ) ist eine Ebene E estgelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Normalenorm! (Mögliches Ergebnis: = ) b) Ermitteln Sie ür die Schnittgerade der Ebene E mit der Ebene eine Parametergleichung! 5 c) Die Gerade g ist gegeben durch = +λ. 4 Berechnen Sie den Schnittwinkel von g und E! d) Bestimmen Sie die beiden Punkte au g, die von der Ebene E 5 Längeneinheiten entlang von g enternt sind! e) Bestimmen Sie die Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M ( ), welche die Ebene E berührt, und ermitteln Sie den Berührpunkt!. a) Warum ist = keine Kugelgleichung? b) Welche Gleichung (Normalenorm) haben die beiden winkelhalbierenden Ebenen der Ebene und der Ebene? c) Geben Sie ein Beispiel an (Normalenorm) ür eine Ebene im Raum, die parallel zur Achse ist, aber diese nicht enthält! GM_A54 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L54)