3.1 Zusammenhang zwischen einem qualitativen und einem quantitativen Merkmal

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1 Kapitel 3 Bivariate Analyse In Kapitel 2 haben wir gesehen, wie man ein Merkmal auswertet. Mit Hilfe statistischer Verfahren kann man aber auch untersuchen, ob zwischen mehreren Merkmalen Abhängigkeiten bestehen. Wir wollen hier nur zwei Merkmale betrachten. Ist eines mindestens eines der beiden Merkmale qualitativ, so kann auf Basis dieses oder eines dieser qualitativen Merkmale Gruppen bilden, wobei alle Merkmalsträger einer Gruppe die gleiche Merkmalsausprägung aufweisen. Ist zum Beispiel das qualitative Merkmal das Geschlecht, so enthält die eine Gruppe die Frauen und die andere die Männer. Man vergleicht die Verteilung des anderen Merkmals in den Gruppe. Beide Merkmale können aber auch quantitativ sein sein. In diesem Fall will man die Abhängigkeitsstruktur zwischen den beiden Merkmalen durch eine geeignete Maßzahl beschreiben. 3.1 Zusammenhang zwischen einem qualitativen und einem quantitativen Merkmal Wir wollen untersuchen, ob sich die Verteilung eines quantitativen Merkmals in zwei Gruppen unterscheidet. In der ersten Gruppe liegt die Urliste x 1,...,x m und in der zweiten Gruppe die Urliste y 1,...,y n vor. Die Anzahl der Beobachtungen in den beiden Gruppen muss nicht identisch sein. Insgesamt werden die Werte von N = m + n Merkmalsträgern erhoben. Wir können die Verteilung des Merkmals in beiden Gruppen mit Maßzahlen oder grafischen Darstellungen vergleichen. Wollen wir die Lage überprüfen, so vergleichen wir den Mittelwert x oder Median x 0.5 der ersten Gruppe mit dem Mittelwert ȳ oder Median y 0.5 der zweiten Gruppe, während die Stichprobenvarianzen s 2 X und s2 Y zeigen, ob sich die Verteilungen hinsichtlich 65

2 66 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE der Streuung unterscheiden. Beispiel 15 Wir schauen uns noch einmal das Beispiel 1 auf Seite 1 an und betrachten das nominalskalierte Merkmal Geschlecht und das quantitative Merkmal Alter. Wir vergleichen das Alter der weiblichen Teilnehmer mit dem Alter der männlichen Teilnehmer. Das Alter der weiblichen Teilnehmer beträgt: und das der Männer Wir bezeichnen das Alter der i-ten Frau mit x i und das Alter des j-ten Mannes mit y j. Es gilt also speziell x 3 = 31 und y 1 = 30. Es gilt x =27.8und y =30.5. Die Frauen sind also im Mittel 2.7 Jahre jünger als die Männer. Die Mediane sind x 0.5 = 28 und y 0.5 =29.5. Die Differenz der Mediane ist nicht so groß wie die Differenz der Mittelwerte. Wir betrachten nun auch noch die Varianzen der beiden Gruppen. Es gilt s 2 x =16.5und s 2 y =24.3. Wir sehen, dass die Werte der Männer stärker streuen als die der Frauen. Den besten Überblick über die Unterscheide zwischen den beiden Verteilungen liefert ein vergleichender Boxplot. Bei diesem werden die Boxplots der beiden Gruppen nebeneinander gezeichnet. Beispiel 15 (fortgesetzt von Seite 66) Tabelle 3.1 zeigt x (1), x 0.25, x 0.5, x 0.75 und x (n) bei den Frauen und den Männern. Tabelle 3.1: Charakteristika der verteilung des Alters bei Männern und Frauen x (1) x 0.25 x 0.5 x 0.75 x (n) Frauen Männer Abbildung 3.1 zeigt die Boxplots des Merkmals Alter bei den Frauen und den Männern. An dieser Graphik kann man nun sehr viel erkennen. Die

3 3.1. QUANTITATIV UND QUALITATIV 67 beiden Verteilungen unterscheiden sich bezüglich der Lage. Die Streuung des Alters der Männer ist viel größer als die Streuung des Alters der Frauen. Die Verteilung des Alters der Männer ist symmetrisch, die des Alters der Frauen schief. Außerdem tritt bei den Frauen ein Ausreißer auf. Abbildung 3.1: Boxplots des Merkmals Alter bei den Frauen und den Männern Maenner Frauen Eine andere graphische Darstellung erhält man dadurch, dass man die beiden Histogramme gegenüberstellt. Man erhält ein sogenanntes vergleichendes Histogramm. Schraffiert man noch die Bereiche, in denen das jeweilige Geschlecht häufiger auftritt, so ist der Vergleich perfekt. Beispiel 15 (fortgesetzt) Abbildung 3.2 zeigt das vergleichende Histogramm des Alters der Frauen und der Männer mit Schraffur. Abbildung 3.2: Vergleichendes Histogramm des Alters der Frauen und der Männer Frauen Maenner

4 68 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Wir sehen, dass in den unteren Altersklassen ein Frauenüberschuss herrscht, während in den oberen Altersklassen die Männer häufiger auftreten. In der Bevölkerungsstatistik heißt diese Darstellung eine Bevölkerungspyramide. Hier wird für jedes Alter die Anzahl der Frauen und Männer durch Säulen visualisiert. 3.2 Zusammenhang zwischen zwei qualitativen Merkmalen Wir wollen nun zwei qualitative Merkmale A und B betrachten. Dabei bezeichnen wir die Merkmalsausprägungen von A mit A 1,A 2,...,A I und die Merkmalsausprägungen von B mit B 1,B 2,...,B J. Bei der i-ten Person erhalten wir einen Wert x i für das Merkmal A und einen Wert y i für das Merkmal B. Diese können zusammenfassen zu (x i,y i ). Beispiel 16 Wir schauen uns noch einmal das Beispiel 1 auf Seite 1 an und betrachten die nominalskalierten Merkmale Geschlecht und Titanic. Die Ausprägungsmöglichkeiten des Geschlechts sind w und m und die des Merkmals Titanic j und n. Dabei nimmt das Merkmals Titanic die Merkmalsausprägung j an, wenn die Person den Film Titanic gesehen hat. Es gibt insgesamt vier mögliche Ausprägungen (A i,b j ), i =1, 2, j =1, 2, wenn wir beide Merkmale gemeinsam betrachten: Die Person ist weiblich und hat den Film gesehen: Die Person ist weiblich und hat den Film nicht gesehen: Die Person ist männlich und hat den Film gesehen: Die Person ist männlich und hat den Film nicht gesehen: (w,j). (w,n). (m,j). (m,n). Die Daten stehen in Tabelle 1.2 auf Seite 9 in der zweiten und vierten Spalte. Wie im univariaten Fall bestimmen wir absolute Häufigkeiten, wobei wir aber die beiden Merkmale gemeinsam betrachten. Sei n ij die Anzahl der Objekte, die beim Merkmal A die Ausprägung A i und beim Merkmal B die Ausprägung B j aufweisen. Wir stellen die absoluten Häufigkeiten in einer sogenannten Kontingenztabelle zusammen. Eine Kontingenztabelle ist nichts anderes als eine Häufigkeitstabelle mehrerer qualitativer Merkmale. Tabelle 3.2 zeigt den allgemeinen Aufbau einer zweidimensionalen Kontingenztabelle. Die Tabelle besteht aus einem Zentrum und einem Rand.

5 3.2. ZWEI QUALITATIVE MERKMALE 69 Im Zentrum der Tabelle stehen die absoluten Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen (A i,b j ). Am Rand der i-ten Zeile steht die Summe n i. der absoluten Häufigkeiten der i-ten Zeile: n i. = J j=1 n ij Am Rand der j-ten Spalte steht die Summe n.j der absoluten Häufigkeiten der j-ten Spalte: I n.j = n ij Tabelle 3.2: Allgemeiner Aufbau einer zweidimensionalen Kontingenztabelle A B B 1 B 2... B J A 1 n 11 n 12 n 1J n 1. A 2 n 21 n 22 n 2J n A I n I1 n I2 n IJ n I. n.1 n.2 n.j n Beispiel 16 (fortgesetzt von Seite 68) Es gilt Geschlecht Titanic j n w m Durch die Ausprägungsmöglichkeiten des Merkmals Geschlecht werden zwei Gruppen gebildet. Wir wollen untersuchen, ob sich die Verteilung des Merkmals Titanic in den beiden Gruppen unterscheidet. Hierzu schauen wir

6 70 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE uns die bedingten relativen Häufigkeiten an. Dies bedeutet, dass man unter der Bedingung, dass die einzelnen Kategorien des Merkmals A gegeben sind, die Verteilung des Merkmals B bestimmt. Für die bedingte relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung B j unter der Bedingung, dass die Merkmalsausprägung A i gegeben ist, schreiben wir h j i. Es gilt h j i = n ij. n i. Den allgemeinen Aufbau einer Tabelle mit bedingten relativen Häufigkeiten zeigt Tabelle 3.3. Tabelle 3.3: Allgemeiner Aufbau einer Kontingenztabelle mit bedingten relativen Häufigkeiten A B B 1 B 2... B J A 1 h 1 1 h 2 1 h J 1 A 2 h 1 2 h 2 2 h J A I h 1 I h 2 I h J I Die Zeilen dieser Tabelle bezeichnet man auch als Profile. Beispiel 16 (fortgesetzt von Seite 69) Wir betrachten zunächst nur die Frauen. Von den 13 Frauen haben 12 den Film Titanic gesehen, also 92.3 Prozent. Von den 12 Männern haben 5 den Film Titanic gesehen, also 41.7 Prozent. Unter den Frauen ist der Anteil derjenigen, die den Film gesehen haben, viel größer als unter den Männern. Wir erhalten die bedingten relativen Häufigkeiten in Tabelle 3.4. Tabelle 3.4: Kontingenztabelle der Merkmale Geschlecht und MatheLK mit bedingten relativen Häufigkeiten Geschlecht Titanic j n w m

7 3.2. ZWEI QUALITATIVE MERKMALE 71 Wir können die Verteilungen der beiden Gruppen auch grafisch mit einem vergleichenden Paretodiagramm vergleichen. Dabei zeichnen wir zwei Diagramme nebeneinander, wobei das erste das Paretodiagramm der Verteilung des Merkmals B ist, wenn das Merkmal A die Merkmalsausprägung A 1 annimmt. Das zweite ist nun ein Stabdiagramm der Häufigkeitsverteilung des Merkmals B, wenn das Merkmal A die Merkmalsausprägung A 2 annimmt. Bei diesem Stabdiagramm werden die Merkmalsausprägungen von B in der gleichen Reihenfolge abgetragen wie beim ersten Paretodiagramm. Hierdurch ist ein direkter Vergleich möglich. Beispiel 16 (fortgesetzt von Seite 70) Abbildung 3.3 zeigt das vergleichende Paretodiagramm. Abbildung 3.3: Vergleichendes Paretodiagramm j n Frauen Maenner Wir können sehr schön erkennen, dass fast alle Frauen, aber nur die Hälfte der Männer den Film gesehen hat. Bei zwei Merkmalsausprägungen ist ein vergleichendes Paretodiagramm nicht unbedingt notwendig. Das folgende Beispiel mit sechs Merkmalsausprägungen zeigt, dass der Vergleich durch ein vergleichendes Paretodiagramm bedeutend erleichtert wird.

8 72 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Beispiel 17 Die Anfangssemester des Wintersemesters 1996/1997 wurden befragt, welche Partei sie wählen würden. Die Werte sind in Tabelle 3.5 zu finden. Tabelle 3.5: Geschlecht und Wahlverhalten von Studienanfängern CDU SPD FDP GRUENE keine weiß nicht weiblich männlich Die bedingten relativen Häufigkeiten bei den Frauen und Männern sind in der Tabelle 3.6 zu finden. Tabelle 3.6: Verteilung des Wahlverhalten weiblicher und männlicher Studienanfänger CDU SPD FDP GRUENE keine weiß nicht weiblich 0,20 0,15 0,05 0,17 0,08 0,35 männlich 0,29 0,16 0,11 0,13 0,13 0,19 Abbildung 3.4 zeigt das vergleichende Paretodiagramm. Abbildung 3.4: Vergleichendes Paretodiagramm weiss nicht CDU GRUENE SPD keine FDP w m

9 3.2. ZWEI QUALITATIVE MERKMALE 73 Wir sehen nun auf einen Blick, dass das Wahlverhalten der Studentinnen sich beträchtlich von dem der Studenten unterscheidet. Die häufigste Kategorie bei den Frauen ist weiß nicht,während bei den Männern die CDU präferiert wird. Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten, die bedingten Verteilungen zu vergleichen. Man kann die bedingten relativen Häufigkeiten der einzelnen Merkmalsausprägungen nebeneinander zeichnen. Beispiel 17 (fortgesetzt von Seite 71) Abbildung 3.5 zeigt den direkten Vergleich der bedingten relativen Häufigkeiten. Abbildung 3.5: Grafischer Vergleich bedingter Verteilungen 0.35 w m weiss nicht CDU GRUENE SPD keine FDP Bei den bisher betrachteten Grafiken kann man nicht feststellen, wie sich die Besetzungszahlen der Gruppen unterscheiden. Diese Möglichkeit bietet der Mosaikplot. Bei diesem wird für jede Zelle der Kontingenztabelle ein Rechteck gezeichnet, dessen Fläche proportional zur absoluten Häufigkeit der Zelle ist. Die Zellen der Zeilen bilden dabei die Spalten des Mosaikplots. Die Summen der vertikalen Seiten der Rechtecke ist in jeder Spalte der Kontingenztabelle konstant. Die Breiten der Rechtecke sind proportional zu den jeweiligen Spaltensummen. An einem Mosaikplot kann man die absoluten Häufigkeiten der Zeilen erkennen. Diese zeigen sich in den Breiten der Rechtecke. Außerdem kann man die bedingten relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägung einer Zeile an den Längen der vertikalen Seiten der Rechtecke erkennen.

10 j n m w 74 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Beispiel 16 (fortgesetzt von Seite 71) Abbildung 3.6 zeigt den Mosaikplot. Abbildung 3.6: Mosaikplot h Titanic Geschlecht Wir sehen, dass die Anzahl von Männern und Frauen ungefähr gleichgroß ist. Außerdem sieht man auf einen Blick, dass sich die bedingten Verteilungen stark unterscheiden. Beispiel 16 (fortgesetzt von Seite 73) Abbildung 3.7 zeigt den Mosaikplot. Wir sehen, dass die Anzahl von Männern und Frauen sich stark unterscheidet. Außerdem sieht man auf einen Blick, dass sich die bedingten Verteilungen stark unterscheiden. Abbildung 3.7: Mosaikplot w m CDU SPD FDP Wahl GRUENE keine weiss nicht Geschlecht

11 weiss nicht CDU GRUENE SPD keine FDP w m 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 75 Ordnen wir die Spalten entsprechend der Häufigkeit der Ausprägungen des Merkmals Wahlverhalten bei den Frauen, so erkennen wir die Unterschiede zwischen den bedingten Verteilungen noch besser. Dies zeigt Abbildung 3.8. Abbildung 3.8: Mosaikplot Wahl Geschlecht 3.3 Zusammenhang zwischen zwei quantitativen Merkmalen Wir wollen nun zwei quantitative Merkmale betrachten. Hierbei werden wir uns mit Maßzahlen beschäftigen, die die Stärke des Zusammenhangs zwischen den beiden Merkmalen beschreiben Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson Ausgangspunkt sind die quantitativen Merkmale X und Y, die an jedem von n Merkmalsträgern erhoben wurden. Beim i-ten Merkmalsträger beobachten wir einen Wert x i des Merkmals X und einen Wert y i des Merkmals Y. Wir fassen diese zu einem Vektor (x i,y i )zusammen. Um uns ein Bild vom Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen zu machen, stellen wir die Punktepaare in einem Streudiagramm dar. Die beiden Merkmale bilden die Achsen in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Werte jedes Objekts werden als Punkt in dieses Koordinatensystem eingetragen. Beispiel 17 Hierzu betrachten wir die Daten in Tabelle 1.1 auf Seite 4. Es gilt z.b. (x 2,y 2 )=(40, 520). Abbildung 3.9 zeigt das Streudiagramm der Kaltmiete und der Fläche der Wohnungen.

12 76 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Abbildung 3.9: Streudiagramm der Kaltmiete und der Fläche der Wohnungen Miete Flaeche Wir sehen, dass zwischen der Miete und der Fläche ein positiver Zusammenhang besteht. Mit wachsender Fläche der Wohnung nimmt die Miete zu. Wir wollen nun eine Maßzahl für den Zusammenhang zwischen zwei quantitativen Merkmalen bestimmen. Schauen wir uns unter diesem Aspekt noch einmal das Streudiagramm der Merkmale Flaeche und Miete in Abbildung 3.9 auf Seite 76 an. Wir sehen, dass bei Wohnungen mit großer Fläche auch die Miete hoch ist. Wohnungen mit kleiner Fläche haben in der Regel auch eine niedrige Miete. Ist eine Wohnung also über dem Durchschnitt bei einem Merkmal, so ist sie in der Regel auch über dem Durchschnitt bei dem anderen Merkmal. Dies wird auch am Streudiagramm deutlich, wenn wir die Mittelwerte der beiden Merkmale in diesem berücksichtigen. Hierzu zeichnen wir eine Gerade parallel zur Ordinate in Höhe des Mittelwerts der Fläche und eine Gerade parallel zur Abszisse in Höhe des Mittelwerts der Miete. Abbildung 3.10 veranschaulicht dies. Abbildung 3.10: Streudiagramm der Merkmale Fläche und Miete, aufgeteilt in 4 Quadranten II I Miete III IV Flaeche

13 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 77 Hierdurch erhalten wir 4 Quadranten, die in der Graphik durchnummeriert sind. Im ersten Quadranten sind die Wohnungen, deren Fläche und Miete über dem Durchschnitt liegen, während sich im dritten Quadranten die Wohnungen befinden, deren Fläche und Miete unter dem Durchschnitt liegen. Im zweiten Quadranten sind die Wohnungen, deren Miete über dem Durchschnitt und deren Fläche unter dem Durchschnitt liegt, während sich im vierten Quadranten die Wohnungen befinden, deren Miete unter dem Durchschnitt und deren Fläche über dem Durchschnitt liegt. Besteht ein positiver Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen, so werden wir die meisten Beobachtungen in den Quadranten I und III erwarten, während wir bei einem negativen Zusammenhang die meisten in den Quadranten II und IV erwarten. Verteilen sich die Punkte gleichmäßig über die Quadranten, so liegt kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen vor. Um den soeben veranschaulichten Sachverhalt in eine geeignete Maßzahl für den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen umzusetzen, gehen wir davon aus, dass das Merkmal X auf der Abszisse und das Merkmal Y auf der Ordinate stehe. Sei x i die Ausprägung des Merkmals X beim i-ten Objekt und y i die Ausprägung des Merkmals Y beim i-ten Objekt. Dann gilt in den einzelnen Quadranten: Quadrant I: x i > x, y i > y, Quadrant II: x i < x, y i > y, Quadrant III: x i < x, y i < y, Quadrant IV: x i > x, y i < y. Eine einfache Maßzahl für den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen erhalten witr, indem wir zählen. Sei n i die Anzahl der Punkte im i-ten Quadranten. Wir bilden n 1 + n 3 n 2 n 4 n 1 + n 2 + n 3 + n 4 (3.1) Beispiel 17 (fortgesetzt) Es gilt n 1 =3 n 2 =0 n 3 =3 n 4 =0 Also folgt n 1 + n 3 n 2 n 4 = n 1 + n 2 + n 3 + n =1 Der Koeffizient in Gleichung (3.1) ist positiv, wenn die Mehrzahl der Punkte im ersten und dritten Quadranten liegt, er ist negativ, wenn die Mehrzahl

14 78 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE der Punkte im zweiten und vierten Quadranten liegt, und er liegt in der Nähe von 0,wenn sich die Punkte gleichmäßig auf die vier Quadranten verteilen. Er nimmt genau dann den Wert 1 an, wenn alle Punkte im ersten und dritten Quadranten liegen, und er nimmt genau dann den Wert 1 an, wenn alle Punkte im zweiten und vierten Quadranten liegen. Somit bildet er ein sinnvolles Maß für den Zusammenhang zwischen den Merkmalen, das zudem noch normiert ist. Er hat aber den Nachteil, dass er nicht angibt, wie gut der Zusammenhang durch eine Funktion beschrieben werden kann. So nimmt er beim Streudiagramm in Abbildung 3.10 auf Seite 76 und dem Streudiagramm in Abbildung 3.11 den gleichen Wert an. Der positive Zusammenhang ist in Abbildung 3.11 aber viel stärker. Abbildung 3.11: Streudiagramm der Merkmale Fläche und Miete, aufgeteilt in 4 Quadranten II I Miete III IV Flaeche Wir sollten also nicht nur zählen, sondern auch die Werte selber in Betracht ziehen. Wir schauen uns die Abweichungen der Beobachtungen vom Mittelwert an. Wir bilden also x i x und y i y für i =1,...,n. In den 4 Quadranten gilt: Quadrant I: Quadrant II: Quadrant III: Quadrant IV: x i x>0,y i y>0, x i x<0,y i y>0, x i x<0,y i y<0, x i x>0,y i y<0.

15 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 79 Betrachten wir das Produkt (x i x)(y i y), so ist dieses im ersten und dritten Quadranten positiv, während es im zweiten und vierten Quadranten negativ ist. Addieren wir die Produkte, so werden wir einen positiven Wert erhalten, wenn die meisten Punkte im ersten und dritten Quadranten liegen, einen negativen Wert, wenn die meisten Punkte im zweiten und vierten Quadranten liegen, und ungefähr 0 als Summe, wenn die Punkte sich gleichmäßig auf die vier Quadranten verteilen. Es liegt also nahe, als Maßzahl für den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen folgende Größe zu betrachten: d x,y = 1 n (x i x) (y i y) (3.2) Man nennt diese Zahl auch die Kovarianz. Beispiel 17 (fortgesetzt) Wir wollen nun die Kovarianz berechnen. Tabelle 3.7 enthält die relevanten Hilfsgrößen zur Berechnung. Tabelle 3.7: Hilfstabelle zur Bestimmung der Kovarianz und des Korrelationskoeffizienten i x i y i x i x y i y (x i x) (y i y) (x i x) 2 (y i y) Aus der sechsten Spalte erhält man die wichtige Größe durch Addition. (x i x) (y i y) = 3050 Also gilt d x,y = =

16 80 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Man kann die Kovarianz wie auch die Kovarianz einfacher berechnen. Es gilt d x,y = xy x y (3.3) mit xy = 1 n x i y i Dies sieht man folgendermaßen: d x,y = 1 n = 1 n (x i x) (y i y) = 1 n x i y i 1 n = xy y 1 n x i y 1 n x i x 1 n (x i y i x i y xy i + x y) xy i + 1 n y i + 1 n n x y = xy y x x y + x y = xy x y x y Beispiel 17 (fortgesetzt) Wir bestimmen die Kovarianz mit Formal (3.3) berechnen. Tabelle 3.8 enthält die relevanten Hilfsgrößen zur Berechnung. Tabelle 3.8: Hilfstabelle zur Bestimmung der Kovatrianz i x i y i x i y i

17 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 81 Wir erhalten xy = 1 n x i y i = 1 ( ) = Mit x =36.5 und y = 510 gilt somit d x,y = xy x y = = Die Kovarianz kann beliebig groß werden, so dass man mit Hilfe der Kovarianz nicht angeben kann, ob ein Zusammenhang stark oder schwach ist. Wenn wir die Kovarianz normieren, erhalten den Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson: r x,y = 1 n 1 n (x i x) (y i y) (x i x) 2 1 n (y i y) 2 = d x,y d 2 x d 2 y (3.4) Multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruches in Gleichung (3.4) mit n, so gilt: r x,y = n (x i x) (y i y) (x i x) 2 (y i y) 2 Beispiel 17 (fortgesetzt) Da im Zähler des Korrelationskoeffizienten die Kovarianz steht, müssen wir nur die beiden Größen im Nenner bestimmen. Dazu benutzen wir die siebte und achte Spalte der Tabelle 3.7. Es gilt (x i x) 2 = und (y i y) 2 =

18 82 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Also gilt r x,y = , 5 =0, 607 Die beiden Merkmale sind also stark positiv miteinander korreliert. Für den Korrelationskoeffizienten r x,y gilt: 1. 1 r x,y 1, 2. r x,y = 1 genau dann, wenn zwischen den beiden Merkmalen ein exakter linearer Zusammenhang mit positiver Steigung besteht, 3. r x,y = 1 genau dann, wenn zwischen den beiden Merkmalen ein exakter linearer Zusammenhang mit negativer Steigung besteht. Die erste Eigenschaft besagt, dass der empirische Korrelationskoeffizient Werte zwischen 1 und 1 annimmt, während die beiden anderen Eigenschaften erklären, wie wir die Werte des empirischen Korrelationskoeffizienten zu interpretieren haben. Liegt der Wert des empirischen Korrelationskoeffizienten in der Nähe von 1, so liegt ein positiver linearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen vor, während ein Wert in der Nähe von 1 auf einen negativen linearen Zusammenhang hindeutet. Ein Wert in der Nähe von 0 spricht dafür, dass kein linearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen vorliegt. Dies bedeutet aber nicht notwendigerweise, dass gar kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Beispiel 18 Tabelle 3.9 zeigt die Realisationen von zwei Merkmalen. Tabelle 3.9: Werte der Merkmale x und y i x i y i x i x y i y (x i x) (y i y) Es gilt d x,y = 1 ( )=0 5

19 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 83 Der Wert des Kovarianz ist also gleich 0. Somit ist auch der Wert des Korrelationskoeffizienten gleich 0. Schaut man sich die Werte in der Tabelle genauer an, so stellt man fest, dass y i = x 2 i gilt. Zwischen den beiden Merkmalen besteht also ein funktionaler Zusammenhang. Ist der Wert des Korrelationskoeffizienten gleich 0, so besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den Merkmalen. Es kann aber durchaus ein anderer funktionaler Zusammenhang bestehen. Beispiel 19 In der Süddeutschen Zeitung wurden Ende Juli 1999 im Anzeigenteil 33 VW- Golf 3 angeboten. Abbildung 3.12 zeigt das Streudiagramm zwischen dem Alter eines VW-Golf 3 und den zurückgelegten Kilometern. Abbildung 3.12: Streudiagramm zwischen dem Alter eines VW-Golf 3 und den zurückgelegten Kilometern Angebotspreis Kilometer (in 1000) Wie zu erwarten war, ist der Angebotspreis um so niedriger, je mehr Kilometer das Autos zurückgelegt hat. Zwischen den Merkmalen besteht also eine negative Korrelation.Der Wert des Korrelationskoeffizienten beträgt Beispiel 20 Abbildung 3.13 zeigt die Körpergröße von Studienanfängern in Abhängigkeit vom Alter. Das Bild deutet auf keinen Zusammenhang zwischen den Merkmalen hin. Der Wert des Korrelationskoeffizienten beträgt 0.16.

20 84 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Abbildung 3.13: Körpergröße von Studienanfängern in Abhängigkeit vom Alter Groesse Alter Der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen X und Y. Ein monotoner Zusammenhang zwischen X und Y liegt vor, wenn für zwei beliebige Punkte (x i,y i ) und (x j,y j )entweder x i <x j y i <y j oder x i <x j y i >y j gilt. Eine Maßzahl für einen monotonen Zusammenhang erhält man, indem man die Beobachtungen jedes Merkmals durch die Ränge ersetzt. Dabei gibt der Rang r i der Beobachtung x i an, an der wievielten Stelle x i in der geordneten Stichprobe steht. Wir können auch zählen, wie viele der Beobachtungen kleiner oder gleich x i sind. Beispiel 21 Wir betrachten die Daten in Tabelle 1.1 auf Seite 4. Schauen wir uns zunächst die Fläche der Wohnungen an. Es gilt x 1 =55 x 2 =40 x 3 =30 x 4 =23 x 5 =26 x 6 =45 Die kleinste Beobachtung ist x 4 = 23. Also gilt r 4 = 1. Die zweitkleinste Beobachtung ist x 5 = 26. Also gilt r 5 = 2. Entsprechend erhalten wir r 1 =6 r 2 =4 r 3 =3 r 6 =5.

21 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 85 Auch für die y i können wir die Ränge bestimmen. Wir bezeichnen sie mit s i und erhalten: s 1 =5 s 2 =4 s 3 =1 s 4 =3 s 5 =2 s 6 =6. Sind Beobachtungen identisch, so weisen wir diesen Durchschnittsränge zu. Beispiel 22 Die Daten seien x 1 =40 x 2 =40 x 3 =31 x 4 =23 x 5 =31 x 6 =40 Der kleinste Wert ist 23. Dieser tritt nur einmal auf. Also gilt r 4 =1.Der zweitkleinste Wert ist 31. Dieser tritt zweimal auf. Wir würden die Ränge 2 und 3 vergeben. Wir bilden den Durschnittsrang. Also gilt r 3 =2.5 und r 5 =2.5. Der Wert 40 tritt dreimal auf. Wir würden die Ränge 4, 5 und 6 vergeben. Wir bilden auch hier den Durschnittsrang. Also gilt r 1 =5,r 2 =5 und r 6 =5. Ersetzen wir in Gleichung 3.4 auf Seite 81 x i durch r i und y i durch s i,so erhalten wir den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman: r S = n (r i r) (s i s) (r i r) 2 (s i s) 2 (3.5) Liegen keine Bindungen vor, so können wir den Rangkorrelationskoeffizienten nach folgender Formel bestimmen: 6 d 2 i r S =1 n (n 2 1). Dabei gilt d i = r i s i. Beispiel 22 (fortgesetzt) Wir stellen die Ränge in einer Tabelle zusammen und bestimmen die Differenzen d i = r i s i.

22 86 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Tabelle 3.10: Hilstabelle zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten von Spearman Wohnung r i s i d i Es gilt r S = 1 6 ( ( 2) ( 1) 2 6 (6 2 1) =0.714 Besteht ein streng monoton wachsender Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen, so ist der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman gleich 1. In diesem Fall gilt für i =1,...,n r i = s i. Besteht ein streng monoton fallender Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen, so ist der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman gleich 1. In diesem Fall gilt für i =1,...,n nämlich r i = n +1 s i Sehr oft liegen die Werte von zwei Merkmalsträgern bereits als Ränge vor. In diesem Fall kann man mit dem Rangkorrelationskoeffizienten überprüfen, wie sehr die beiden Merkmalsträger in ihrer Bewertung übereinstimmen. Beispiel 23 Zwei Personen werden gebeten, sechs Paare von Politikern der Ähnlichkeit nach zu ordnen. Dem Paar, bei dem sich die beiden Politiker am ähnlichsten sind, sollten sie eine 1, dem zweitähnlichsten eine 2,... u.s.w. geben. Die Werte sind in Tabelle 3.11 zu finden.

23 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 87 Tabelle 3.11: Bewertung der Ähnlichkeit von Politikerpaaren durch zwei Personen Politikerpaar Person 1 Person 2 Schröder - Fischer 4 1 Schröder - Schäuble 1 3 Schröder - Westerwelle 2 5 Fischer - Schäuble 5 6 Fischer - Westerwelle 6 2 Schäuble - Westerwelle 3 4 Es gilt d 1 =3 d 3 = 3 d 5 =4 d 2 = 2 d 4 = 1 d 6 = 1 Also gilt d 2 i =40 und es folgt r S = (6 2 1) = Zur Interpretation von Korrelation Ist die Korrelation zwischen zwei Merkmalen groß, so wird oft unterstellt, dass die eine Größe die andere beeinflusst. Bei einer derartigen Interpretation muss man sehr vorsichtig sein. So hängt die Höhe der Geburtenrate sicherlich nicht von der Anzahl der Störche ab, die in einer Region leben. Beide Merkmale sind aber positiv miteinander korreliert. Diese Korrelation wird aber durch eine dritte Größe bewirkt. Diese ist der Grad der Industralisierung in einem Land. Je höher die Industrialisierung, um so niedriger die Geburtenrate und die Anzahl der Störche. Schauen wir uns noch ein Beispiel an.

24 88 KAPITEL 3. BIVARIATE ANALYSE Beispiel 24 Bei einer Befragung von Erstsemestern wurden unter anderem die Merkmale Körpergröße x, Körpergewicht y und Schuhgröße z erhoben. Die Werte von 20 Studenten sind in Tabelle 3.12 zu finden. Tabelle 3.12: Körpergröße, Körpergewicht und Schuhgröße von 20 Studenten Student i x i y i z i Student i x i y i z i Wir bestimmen die empirische Korrelationsmatrix R = (3.6) Zwischen allen Merkmalen in Beispiel 24 besteht eine hohe positive Korrelation. Bei der Korrelation zwischen den Merkmalen Körpergröße und Körpergewicht wundert uns das nicht. Je größer eine Person ist, umso mehr wird sie auch wiegen. Die starke positive Korrelation zwischen den Merkmalen Körpergröße und Schuhgröße haben wir auch erwartet. Dass aber die Merkmale Körpergewicht und Schuhgröße eine starke positive Korrelation aufweisen, ist verwunderlich. Warum sollten schwerere Personen größere Füße haben? Wir hätten hier eher einen Wert des empirischen Korrelationskoeffizienten in der Nähe von 0 erwartet. Woher kommt dieser hohe positive Wert? Der Zusammenhang zwischen den Merkmalen Körpergewicht und Schuhgröße kann am Merkmal Körpergröße liegen, denn das Merkmal Körpergröße bedingt im Regelfall sowohl das Merkmal Körpergewicht als auch das Merkmal Schuhgröße. Umzuüberprüfen, ob das Merkmal Körpergröße den Zusammenhang zwischen den Merkmalen Körpergewicht

25 3.3. ZWEI QUANTITATIVE MERKMALE 89 und Schuhgröße bedingt, müssen wir es kontrollieren. Hierzu haben wir zwei Möglichkeiten: Wir betrachten nur Personen, die die gleiche Ausprägung des Merkmals Körpergröße besitzen, und bestimmen bei diesen den Zusammenhang zwischen den Merkmalen Körpergewicht und Schuhgröße. Besteht bei Personen, die die gleiche Ausprägung des Merkmals Körpergröße besitzen, kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen Körpergewicht und Schuhgröße, so sollte der Wert des empirischen Korrelationskoeffizienten gleich 0 sein. Wir können den Effekt des Merkmals Körpergröße auf die Merkmale Körpergewicht und Schuhgröße statistisch bereinigen und den Zusammenhang zwischen den bereinigten Merkmalen bestimmen. Bereinigt man die die Korrelation zwischen den Merkmalen Y und Z um den Effekt des Merkmals X, so erhält man partiellen Korrelationskoeffizienten r YZ.X. Dieser ist folgendermaßen definiert: r YZ.X = r YZ r XY r XZ (1 r 2 XY ) (1 r 2 XZ ) (3.7) Dabei ist r YZ der Korrelationskoeffizient zwischen Y und Z, r XY der Korrelationskoeffizient zwischen X und Y und r XZ der Korrelationskoeffizient zwischen X und Z. IstderWertvonr YZ.X in der Nähe von 0, so deutet dies darauf hin, dass die Korrelation zwischen Y und Z gleich 0 ist, wenn man beide um den linearen Effekt von X bereinigt. Beispiel 24 (fortgesetzt von Seite) Mit r XY =0.882, r XZ =0.796 und r YZ =0.712 gilt r YZ.X = r YZ r XY r XZ (1 r 2 XY ) (1 rxz 2 ) = ( ) ( ) =0.035 Diie partielle Korrelation zwischen dem Körpergewicht und der Schuhgröße ist also ungefähr gleich 0. Zwischen dem Körpergewicht und der Schuhgröße besteht also keine Korrelation, wenn man beide um den linearen Effekt der Körpergrößbereinigt.