MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...

Transkript

1 MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt m n Elemente a ij A kann auch als A = a ij ) m n geschrieben werden Eine Matrix mit nur 1 Zeile wird auch Zeilenvektor, eine Matrix mit nur 1 Spalte auch Spaltenvektor genannt Typeset by FoilTEX 41

2 A = Beispiele ), B = 2, C = , D = Lineares Gleichungsystem: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m hat Koeffizientenmatrix A = a ij ) m n So hat zb das folgende Gleichungssystem die Koeffizientenmatrix Typeset by FoilTEX 42

3 Matrizenoperationen 1 Seien A und B zwei m n Matrizen mit A = a ij ) m n und B = b ij ) m n Gleichheit: Es gilt A = B wenn a ij = b ij für alle i = 1,, m, j = 1,, n ist zb: Wann ist 3 t 1 2t u ) = t 2v u + 1 t + w ) Addition: A + B = a ij ) m n + b ij ) m n = a ij + b ij ) m n zb: ) ) = Skalarmultiplikation: Für eine reelle Zahl α ist αa = αa ij ) m n = αa ij ) m n zb: ) = Typeset by FoilTEX 43

4 Bemerkungen zu Gleichheit, Addition und Skalarmultiplikation: Gleichheit, Addition und Skalarmultiplikation sind elementweise definiert Es gelten die folgenden Rechenregeln: Typeset by FoilTEX 44

5 Matrizenoperationen 2 Transponieren einer Matrix: Sei A eine m n Matrix A = a ij ) m n Die transponierte A von A, ist die n m Matrix, die man durch Vertauschen der Zeilen von A mit den jeweiligen Spalten von A erhält Also A = a ji ) n m mit a ji = a ij Typeset by FoilTEX 45

6 Symmetrische Matrizen Quadratische Matrizen A, für die gilt, dass A = A ist, werden symmetrisch genannt A = a ij ) n n ist genau dann symmetrisch, wenn a ij = a ji für i, j = 1,, n ist Symmetrische Matrizen sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen Typeset by FoilTEX 46

7 Matrizenoperationen 3 Multiplizieren von 2 Matrizen: Sei A eine m n)-matrix und B eine n p)-matrix Das Ergebnis des Produkts A B ist die m p)-matrix C, mit den Elementen c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj k=1 Das Element c ij der Ergebnismatrix C ist das innere Produkt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B Typeset by FoilTEX 47

8 Beispiel und Bemerkungen zur Matrizenmultiplikation A = , B = A B = Zu beachten!! Die Matrizenmultiplikation wird nicht elementweise durchgeführt Für zwei Matrizen A und B ist das Produkt AB nur dann definiert, wenn die inneren Dimensionen übereinstimmen, dh wenn A genauso viele Spalten wie B Zeilen hat Wenn AB definiert ist, muss nicht notwendigerweise BA definiert sein Selbst wenn sowohl AB als auch BA definiert sind, gilt im allgemeinen AB BA Typeset by FoilTEX 48

9 Rechenregeln für das Transponieren und Multiplizieren von Matrizen: Typeset by FoilTEX 49

10 Neutrale Elemente in der Matrizenrechnung 0 = Nullmatrix: a ij = 0 i, j I n = n n)-einheitsmatrix : a ij = { 1 für i = j 0 für i j Es gilt, wenn die entsprechenden Operationen definiert sind: A + 0 = 0 + A = A A I n = A, I n B = B Typeset by FoilTEX 50

11 Ein Beispiel zu Matrizenmultiplikation: Ein Pizzabote hat Preise, welche sich in Produktpreis und Auslieferungszuschlag gliedern Die Belegschaften von drei Firmen A, B und C geben Bestellungen auf Die konkreten Preise in Euro und die Stückzahlen der Bestellungen sind in der folgenden Tabelle angegeben Preis Lieferzuschlag A B C Cardinale 7 0, Salami 6,5 0, Quattro 8 0, Marinara 5,5 0, a) Gib eine Tabelle an, welche für jede Firma die zu bezahlenden Beträge enthält, wobei die Beträge für die Pizze und die Lieferungszuschläge gesondert angeführt werden sollen Ermittle diese Tabelle durch Matrizenmultiplikation b) Ermittle eine Tabelle, die für jede Firma den gesamten zu zahlenden Betrag enthält Durch Matrizenmultiplikation!) c) Der Pizzabote hat seine Lieferungen beendet Ermittle eine Tabelle, welche den gesamten eingenommenen Betrag für die Pizze und den gesamten eingenommenen Betrag für die Lieferungen enthält Durch Matrizenmultiplikation!) d) Ermittle die gesamten Einnahmen des Pizzaboten Durch Matrizenmultiplikation!) Typeset by FoilTEX 51

12 Potenzen von Matrizen A n = AA A Bsp: Sei A = ) A 2 = A 3 = A 4 = Typeset by FoilTEX 52

13 Matrix-Vektor Multiplikation: LINEARE ABBILDUNGEN Sei A = a ij ) m n eine m n) Matrix und x = x 1,, x n ) ein n 1 Vektor Dann ist a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n Ax = a 21 a 22 a 2n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 a m2 a mn x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n oder a 1 a m x = a 1 x a m x R m Das heißt also, dass der n-vektor x Spalte) durch die m n)-matrix A auf den m-vektor Ax Spalte) abgebildet wird Die m n)-matrix A definiert also eine Abbildung von der Menge aller n-vektoren R n in die Menge aller m-vektoren R m Typeset by FoilTEX 53

14 Die m n)-matrizen A definieren genau die linearen Abbildungen Funktionen) von R n nach R m, also die Funktionen mit: * fx + y) = fx) + fy) * fλx) = λfx) Die n n) Einheitsmatrix I n = auf sich selbst ab I n x = x 1 x 2 x n = bildet jeden n-vektor x Typeset by FoilTEX 54

15 Ein Beispiel: Drehung im R 2 Die Drehung eines Vektors a um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn wird von der folgenden Matrix bewirkt: ) 1 cos α sin α zb: Drehung um 60 ) : A = sin α cos α x = 3 4), y = 1, x = A x = 3) 113 ) x + y) = A x + y) = ) 310 ), y = A y =, Typeset by FoilTEX 55