B =(b1,1. + b 1,2. + b 1,3 1,3. + b 2,4 + b 3,1. + b 2,2. + b 2,3. + b 3,2. + b 3,3

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1 Matrizen Matrizen sind zunächst einmal einfach eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Elementen oder mathematischen Operationen, die lineare Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen übersichtlich darstellen. Insbesondere zur Darstellung und Lösung von linearen Gleichungssystemen werden Matrizen häufig genutzt. Wenn man mit Matrizen rechnen möchte (oder muss), muss man ein paar Rechenregeln beachten: Addition zweier Matrizen: Zwei Matrizen werden addiert, indem die einzelnen Elemente der Matrizen addiert werden. Daraus folgt, dass nur dann zwei Matrizen addiert werden können, wenn ihre Zeilen- und Spaltenanzahl gleich ist: Multiplikation mit einem Faktor k: 1,1 a 1,2 a 1,3 a b1,2 b1,3 b1,4 1,4 A =(a a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,2 a 3,3 a 3,4) B =(b1,1 b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4) A + B =(a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 1,3 + b 1,3 a 1,4 + b 1,4 a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 a 2,3 + b 2,3 a 2,4 + b 2,4 + b 3,1 a 3,2 + b 3,2 a 3,3 + b 3,3 a 3,4 + b 3,4) Eine Matrix wird mit einem Faktor k multipliziert, indem alle Elemente der Matrix mit diesem Faktor multipliziert werden. 1,1 k a 1,2 k a 1,3 k a 1,4 k A =(k a k a 2,1 k a 2,2 k a 2,3 k a 2,4 k k a 3,2 k a 3,3 k a 3,4) Matrizenmultiplikation: Bei der Multiplikation zweier Matrizen ist es wichtig, dass die Spaltenanzahl der ersten Matrix der Zeilenanzahl der zweiten Matrix entspricht. Wenn das nicht der Fall ist, kann die Matrizenmultiplikation nicht durchgeführt werden. 1,1 a 1,2 a b1,2 1,3 A =(a a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3) B =(b1,1 b 2,1 b 2,2 b 3,1 b 3,2) A B =(a 1,1 + a 1,2 + a 1,3 a 1,1 + a 1,2 + a 1,3 b 3,2 a 2,1 + a 2,2 + a 2,3 a 2,1 + a 2,2 + a 2,3 b 3,2 + a 3,2 + a 3,3 + a 3,2 + a 3,3 b 3,2) Die Zeilenanzahl der Matrix A gibt dann die Zeilenanzahl der Ergebnismatrix an, die Spaltenanzahl der Matrix B die Spaltenanzahl der Ergebnismatrix.

2 Die Schreibweise nach dem Falk'schen Schema macht die Matrizenmultiplikation übersichtlicher: (b1,1 b1,2 b 2,1 b 2,2 b 3,1 b 3,2) (a1,1 a1,2 a1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3) c (c1,1 1,2 c 2,1 c 2,2 c 3,1 c 3,2) c 1,1 = a 1,1 + a 1,2 + a 1,3 c 1,2 = a 1,1 + a 1,2 + a 1,3 b 3,2 c 2,1 = a 2,1 + a 2,2 + a 2,3 c 2,2 = a 2,1 + a 2,2 + a 2,3 b 3,2 c 3,1 = + a 3,2 + a 3,3 c 3,2 = + a 3,2 + a 3,3 b 3,2 Wichtig: Die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ, d.h. auch wenn die Zeilenund Spaltenanzahlen gleich sind (quadratische Matrix) ist die Reihenfolge der Multiplikation nicht beliebig. Im Allgemeinen gilt: A B B A Inverse Matrix: Für quadratische Matrizen ist es möglich, dass eine inverse Matrix existiert. Für diese gilt: wobei E die Einheitsmatrix ist. A A 1 = E Einheitsmatrix: Die Einheitsmatrix E ist eine spezielle Matrix: E =(1 1) In ihr kommen nur auf der Diagonalen die Werte Eins vor, ansonsten Null. Neben der Lösung von linearen Gleichungssystemen werden Matrizen genutzt, um Prozesse, z.b. Produktionsprozesse, oder Populationsentwicklungen darzustellen. Dazu einige Beispiele. Produktionsprozesse Wenn man die Endprodukte E1, E2 und E3 herstellen möchte, benötigt man die Ausgangsprodukte A1, A2, A3 und A4. Die End- und die Ausgangsprodukte lassen sich als Vektoren darstellen: E =(E1 E2 und A =(A1 A2 A3 E3) A4) Diese Vektoren werden mit der sogenannten Prozess- oder Bedarfsmatrix P verknüpft. Die Matrix

3 P kann man auf folgende Weise ermitteln: Ausgangsprodukte Endprodukte E1 E2 E3 A1 P 1,1 P 1,2 P 1,3 A2 P 2,1 P 2,2 P 2,3 A3 P 3,1 P 3,2 P 3,3 A4 P 4,1 P 4,2 P 4,3 Lesebeispiel: Für das Endprodukt E2 benötigt man P 1,2 Teile von A1, P 2,2 Teile von A2, P 3,2 Teile von A3 und P 4,2 Teile von A4. Die einzelnen Endprodukte werden in der Tabelle nebeneinander geschrieben. Als Vektor werden die Endprodukte dann als Spaltenvektor geschrieben. Die Verknüpfung der Ausgangs- und Endprodukte sieht folgendermaßen aus: A = P E In einer vollständigen Vektorschreibweise: (A1 A2 A3 E2 P 4,1 P 4,2 P 4,3) (E1 E3) P1,2 P1,3 P 2,1 P 2,2 P 2,3 P 3,1 P 3,2 P 3,3 A4)=(P1,1 Wie man sieht, kann man die Vektoren als einspaltige oder einzeilige Matrizen auffassen. Dementsprechend werden auch die Prozessmatrix und der Endproduktevektor miteinander multipliziert. Außerdem kann man erkennen, dass mit der Prozessmatrix immer aus vorhandenen Zahlen für Endprodukte die Zahlen für die Ausgangsprodukte ermittelt werden. Beispiel I: Ein Händler bietet drei verschiedene Computermodelle C1, C2 und C3 zum Verkauf an. Der Preis richtet sich nach den Preisen für die im Modell verwendeten Gehäuse G, Komponenten K und Montagearbeiten M. In der Tabelle sind die Kosten für jedes Computermodell aufgelistet: Teile Computermodell C1 C2 C3 G K M Die Kostenmatrix sieht damit folgendermaßen aus: =( ) K Wenn jetzt bei dem Händler 100 Modelle C1, 150 Modelle C2 und 80 Modelle C3 bestellt werden, wie hoch sind die Kosten für Gehäuse, Komponenten und Montage?

4 Zu lösen ist die Gleichung T = K C. In der ausführlichen Schreibweise: (G M) =( ) (100 ) K G = K = M = Damit belaufen sich die Kosten für die Gehäuse auf 30920, für die Komponenten auf und für die Montage auf Zweistufige Prozesse Viele Produktionsprozesse laufen ab, indem zunächst aus den Ausgangsprodukten Zwischenprodukte hergestellt werden, die anschließend zu den Endprodukten verarbeitet werden. Das sind dann zweistufige Prozesse. Die Berechnung mit Matrizen funktioniert ähnlich wie bei den einstufigen Prozessen. Der Unterschied ist, dass es zwei Produktionsmatrizen gibt. Eine Matrix verknüpft die Ausgangsprodukte mit den Zwischenprodukten (wieviel von den Ausgangsprodukten werden für jedes Zwischenprodukt benötigt?), die andere Matrix die Zwischenprodukte mit den Endprodukten (wieviel von den Zwischenprodukten werden für jedes Endprodukt benötigt?). Die zweistufigen Prozesse können auch zweistufig berechnet werden. Bei bekanntem Endproduktevektor berechnet man zuerst die benötigten Zwischenprodukte und damit anschließend die benötigten Ausgangsprodukte. Oder man fasst beide Matrizen durch Multiplikation zusammen und berechnet aus den Endprodukten die benötigten Ausgangsprodukte. A = P 1 Z Z = P 2 E oder A = P 1 P 2 E A = P E Man muss je nach Aufgabenstellung entscheiden, welche Vorgehensweise die beste ist. Inverse Prozesse Wenn nun aber für einen Produktionsprozess die Prozessmatrix P bekannt ist, und man kennt die Anzahl der Ausgangsprodukte und fragt, wie viele Endprodukte damit hergestellt werden können, benötigt man die zu der Matrix P inverse Matrix P -1, die den umgekehrten Prozess beschreibt. A = P E E = P 1 A Wichtig für den GTR: Die inverse Matrix bekommt man mit der Taste [x -1 ]. Die Matrix wird nicht mit P^ -1 berechnet. Stochastische Prozesse Diese Prozesse werden auch Austauschprozesse genannt. In diesen Austauschprozessen werden die Übergänge von Zuständen beschrieben. In den bisherigen Produktionsprozessen wurde aus einer Menge an Ausgangsprodukten eine andere Menge an Endprodukten gefertigt. Hier wird der Übergang von einem Zustand in den nächsten Zustand durch Matrizen beschrieben. Die Matrizen sind demnach mit sogenannten Übergangswahrscheinlichkeiten gefüllt. Wahrscheinlichkeiten werden durch Zahlen zwischen Null und Eins angegeben.

5 Zu einem Austauschprozess gehört die stochastische Matrix, für die gilt: sie ist quadratisch für jedes Element der Matrix gilt: 0 a 1 die Summe aller Elemente einer Spalte ist Eins Desweiteren gehört zu einem Austauschprozess eine sogenannte Grenzmatrix G und eine Grenzverteilung g. Diese stabile Grenzverteilung existiert, wenn es unter den stochastischen Matrizen P, P 2,P 3,... eine Matrix gibt, in der eine Zeile aus ausschließlich positiven Elementen besteht. Die Grenzverteilung g besagt, dass die Verteilung der Teilnehmer des Austauschprozesses sich nicht mehr verändert stabile Verteilung oder Fixvektor. Zu der stabilen Verteilung gehört die Grenzmatrix G, die aus lauter gleichen Spalten besteht. Angewendet auf die Ausgangsverteilung liefert die Grenzmatrix die Grenzverteilung: Weiterhin gilt die folgende Gleichung: g = G A g = P g Das bedeutet: Wird die Austauschmatrix auf die Grenzverteilung angewendet, erhält man wieder die Grenzverteilung. Die Grenzverteilung ist stabil und verändert sich nicht mehr (stabile Verteilung). Ein Austauschprozess wird häufig durch Zustandsdiagramme angegeben: Dabei ist zu beachten: Alle Zahlen an den Pfeilen entsprechen einer Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem Zustand in einen anderen. Die Summe aller von einem Zustand ausgehenden Pfeile ist Eins. Nicht alle Pfeile müssen existieren.

6 Beispiel eines Austauschprozesses: Von einem Prozess kennt man das unvollständige Zustandsdiagramm und den Fixvektor. Das Diagramm ist zu vervollständigen und die Übergangs- oder Austauschmatrix ist anzugeben. g =(0,625 0,25 0,125) Die Größen AA und CA können aus dem Diagramm abgelesen werden. Weiterhin folgt aus dem Diagramm, dass der Eintrag CC ist. Es gibt keinen Übergang von C nach C. Ebenso ist BB. Da der Pfeil CB der noch verbleibende abgehende Pfeil von C ist, folgt für ihn: CB,5. Die Summe der abgehenden Pfeile ist immer Eins. Zur Vervollständigung des Diagramms legen wir eine Tabelle an. Austauschtabellen sehen immer etwa so aus, insbesondere mit der Einteilung Start- und Endzustand: Der Übergang von B nach C findet nicht statt. Es ist kein Pfeil eingezeichnet. Also ist BC. Damit ist der Übergang BA = 1. Die einzig noch fehlenden Einträge sind AB und AC. Dafür schreiben wir die Übergangsmatrix, soweit wir sie kennen, auf: 1 0,5 P =(0,5 ) AB 0 0,5 AC 0 0 Wir kennen die Grenzverteilung, für die gilt: g = P g Eingesetzt erhalten wir das folgende Gleichungssystem: Endzustand (0,5 1 0,5) (0,625 AB 0 0,5 0,25 0,25 AC,125)=(0,625 0,125) 0,5 0, ,25 + 0,5 0,125,625 AB 0, ,25 + 0,5 0,125,25 AC 0, , ,125,125 Startzustand A B C A 0,5 BA 0,5 B AB BB CB C AC BC CC

7 Die erste Gleichung ist wahr. In der zweiten Gleichung taucht nur die unbekannte Größe AB auf. Wenn wir entsprechend umstellen, folgt: AB,3. Die dritte Gleichung ergibt die Größe AC: AC,2. So ergibt sich die Übergangsmatri 1 0,5 P =(0,5 ) 0,3 0 0,5 0,2 0 0 Das Diagramm sieht dann so aus: Finden einer Grenzverteilung: Gegeben ist die Übergangsmatrix P: =( 0,5 P Wie lautet ein langfristiger Verteilungsvektor? Wir schreiben auf: Daraus folgt das Gleichungssystem: 0,5 1 0) 0, ,25 0,5 P g = g ( 0,5 0,5 1 0, g 2 0,25 0,5 0) (g1 g 2 g 3)=(g1 3) g 0,5 g g 3 = g g g 3 = g g 3 = g 3 Jetzt müssen die Einträge auf der rechten Seite nach links gebracht werden (alles Unbekannte nach links, alles Bekannte nach rechts): Nach Zusammenfassung ergibt sich: 0,5 g 1 g g g 2 g g g 3 g 3 0,5 g g 3 1 g g 3 1 g 3

8 So erhalten wir ein Gleichungssystem, das wir als Matrix aufschreiben können: 0,5 1 0 A =( 0,5 0) 0, ,25 0,5 1 GTR: 8 0) ( g 1 = 8 rref A g g 2 = 2 3 g 3 Aus der letzten Zeile können wir ablesen, dass es eine Lösung gibt (sogar unendlich viele). Die beiden Größen g 1 und g 2 hängen noch von g 3 ab. Da bei den Austauschprozessen die Verteilung als Wahrscheinlichkeiten gelesen werden können, muss die Summe der Einträge der Verteilung gleich Eins sein. Daraus folg eine weitere Bedingung: g 1 + g 2 + g 3 = 1 Die Lösung des Gleichungssystems in die neue Bedingung eingesetzt, ergibt: 8 3 g g 3 + g 3 = 1 g 3 = 3 g 13 1 = 8 13 ; g = 2 =( g )

9 Zyklische Prozesse Als letzte Prozessform gibt es die zyklischen Prozesse. Viele Populationsentwicklungen lassen sich mit diesen Prozessen beschreiben. Die zyklischen Prozesse zeichnen sich dadurch aus, dass sich bestimmte Verhaltensweisen nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten wiederholen (Zykluszeit). Populationsentwicklungen haben Übergangsmatrizen der folgenden Art: 0 v U =(0 0) a b Dabei beschreibt v eine Vermehrungsrate (v > 0), die Werte a und b sind Überlebensraten (0 < a,b 1). Für die Populationsentwicklung gilt: Wenn a b v < 1, so stirbt die Population aus. a b v = 1, so entwickelt sich die Population zyklisch. a b v < 1, so nimmt die Population zu. Für die Matrizen gilt: Eine quadratische Matrix A heißt zyklische Matrix, wenn es ein n n N gibt, so dass A = E. Wie ist die Matrix aufgebaut? Wir schauen uns die zugrundliegende Tabelle an: Zu lesen: Von den kleinen (Jungtiere, Eier,, bei jedem Beispiel der jüngste Entwicklungsstand) überleben a Tiere den ersten Zeitschritt. Von den mittleren überleben b Tiere den ersten Zeitschritt, und von den großen (Alttiere, fortpflanzungsfähiger Entwicklungsstand) pflanzen sich v Tiere fort. Startzustand klein mittel groß Bei anderen Populationen kann es natürlich sein, dass schon aus dem mittleren Entwicklungsstand Nachkommen entstehen. Die Matrix sähe dann so aus: U =(0 u v a b 0), mit denvermehrungsraten u und v. Endzustand klein 0 0 v mittel a 0 0 groß 0 b 0

10 Beispiel für Populationsentwicklung: Ein Maikäferweibchen legt 60 Eier und stirbt. Aus den Eiern entwickeln sich im ersten Jahr die Larven (L1), von denen allerdings nur etwa ein Drittel überleben. Im nächsten Jahr überleben nur ein Viertel der Larven (L2). Im dritten Jahr verpuppen sich die Larven und aus einem fünftel entwickeln sich wieder Maikäferweibchen, die wieder 60 Eier legen. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix. Zunächst die tabellarische Form: Endzustand Startzustand L1 L2 P M L1 60 L2 1/3 P 0 1/4 0 0 M 0 0 1/5 0 Daraus die Matrix: U =(0 ) Zeigen Sie, dass sich die Population zyklisch entwickelt und geben Sie die Dauer eines Zyklus an. Aus dem Produkt der Vermehrungs- und Überlebensraten folgt: Damit ist die Entwicklung zyklisch. a b c v = 1/3 1/4 1/5 60 = 1 Für die Dauer des Zyklus legen wir eine Tabelle an, in der wir über mehrere Zeitschritte (hier: Jahre) die Matrix U n berechnen. n=1 =( n=2 n=3 60 ) =( ) =( ) 0,33 U U 2 20 U , ,0833 5,2,05, n=4 U 4 =( ) Wir haben eine Zykluslänge oder Zykluszeit von 4 Jahren. Anmerkung: Wenn man U 0 berechnet, bekommt man die Einheitsmatrix, also U 4, die Matrix U -1 ist gleich U 3.