MATRIZEN. und Determinanten. und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie. von Dr. rer. nat. Günter Dietrich und Prof. Dr.-Ing.

Transkript

1 MATRIZEN und Determinanten und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie von Dr. rer. nat. Günter Dietrich und Prof. Dr.-Ing. Henry Stahl 5., neubearbeitete Auflage Mit 63 Bildern und 133 Beispielen und Lösungen a VEB FACHBUCHVERLAG LEIPZIG

2 Inhaltsverzeichnis Der Matrixbegriff 11 Einleitung 11 Einführung des Matrixbegriffes 12 Beispiele für das Auftreten von Matrizen 12 Bedeutung der Matrizen für technisch-wissenschaftliche und ökonomische Probleme.. 15 Anwendungsbereich der Matrizen 10 Zusammenfassung 17 Grundlagen der Determinantenrechnung und der Lösung linearer Gleichungssysteme Entwicklung der Determinante dritter Ordnung nach den Elementen einer Reihe Der LAPLACESche Entwicklungssatz Eigenschaften der Determinanten Sätze über Determinanten Praktische Berechnung von Determinanten Beispiele für die Anwendung der Determinanten Anwendungsbeispiel aus der Vektoralgebra Anwendungsbeispiel aus der analytischen Geometrie Anwendungsbeispiel aus der Theorie der Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen Anwendungsbeispiel aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen Zusammenfassung Grundlagen der Determinantenrechnung 18 Das Koeffizientenschema eines linearen Gleichungssystems..' zweiter Ordnung 19 dritter Ordnung 21 w-ter Ordnung 24 Entwicklung von Determinanten 24 Unterdeterminanten und Adjunkten Grundlagen der Lösung linearer Gleichungssysteme Die CRAMKRSche Regel Vektoren im и-dimensionalen Raum Definition des ra-dimensionalen Vektors Rechenregeln für и-dimensionale Vektoren Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektorsystemen Einführung Definition der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit 47

3 Inhaltsverzeichnis Sätze zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektorsystemen 48 Lineare Abhängigkeit und Rang 50 Bang eines Vektorsystems Eang einer Matrix 51 Praktische Bestimmung des Ranges einer Matrix 53 Allgemeine lineare Gleichungssysteme 56 Allgemeine homogene lineare Gleichungssysteme 56 Allgemeine inhomogene lineare Gleichungssysteme Zusammenfassung 66 Grundlagen der Matrizenrechnung 68 Grundbegriffe und Ilechenregeln 68 Definition der Matrix 68 Typ der Matrix 69 Zusammenfassimg 71 Rechenregeln für Matrizen Der Matrizenkalkül 71 Gleichheit zweier Matrizen Nullmatrix 73 Addition und Subtraktion von Matrizen 74 Multiplikation einer Matrix mit einem Faktor 76 Zusammenfassung 78 Multiplikation zweier Matrizen 79 Einführung des Matrizenproduktes 79 Definition des Matrizenproduktes 85 Anwendungsbeispiel zur Matrizenmultiplikation 87 Vertauschbarkeit der Faktoren im Matrizenprodukt 89 Zusammenfassung 91 Matrizen und lineare Transformation 91 Lineare Transformation im dreidimensionalen Raum Lineare Transformation des w-dimensionalen Raumes Hintereinanderschalten 1 inearer Transformationen Spezielle lineare Transformationen und Koordinatentransformationen 99 Zusammenfassung 103 Weiterführung der Matrizenrechnung 104 Sondermatrizen 104 Transponierte Matrix Die zu einer Matrix entgegengesetzte Matrix 106 Spezielle quadratische Matrizen 106 Symmetrische Matrix 106 Antisymmetrische Matrix Zerlegung einer quadratischen Matrix in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil 108 Diagonalmatrix, Skalarmatrix, Einheitsmatrix 109 Determinante einer quadratischen Matrix 111 Dreiecksmatrix 113 Komplexe Matrizen 114 Komplexe Vektoren 114 Komplexe und konjugiert komplexe Matrix 115 Spezielle komplexe Matrizen Übermatrix und Untermatrix 120 Zusammenfassung 125 Multiplikation von mehr als zwei Matrizen und Matrizenmultiplihation nach FALK 126 Multiplikation von mehr als zwei Matrizen 126 Das Produkt von drei und mehr Matrizen 126 Das distributive und assoziative Gesetz der Matrizenmultiplikation 128 Weitere Sätze zur Matrizenmultiplikation 129 Zusammenfassung 133 Matrizenmultiplikation nach FALK 133

4 Inhaltsverzeichnis FALKSche Anordnung für zwei Matrizen Summenproben FALKSche Anordnung für mehrere Matrizen Zusammenfassung Praktische Verfahren zur Behandlung linearer Gleichungssysteme Direkte Verfahren Das Austauschverfahren Der GAUsssche Algorithmus Der verkettete Algorithmus Prinzip und Rechenschema des verketteten Algorithmus Die Durchführung des verketteten Algorithmus für b«= Die praktische Bestimmung des Ranges einer Matrix Die Lösung homogener Gleichungssysteme Ill-conditioned lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit komplexen Koeffizienten Iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Vorbemerkungen Allgemeine Grundlagen der Iterationsverfahren und Normen Das jacobische Iterationsverfahren Das GAUss-SEiDEL-Verfahren Zusammenfassung Die Kehrmatrix Einführung und Definition der Kehrmatrix Eigenschaften der Kehrmatrix Die Elemente der Kehrmatrix Die Kehrmatrix einer Transponierten, einer symmetrischen Matrix und eines Matrizenproduktes Die Kehrmatrix einer Dreiecksmatrix Orthogonale Matrizen Praktische Bestimmung der Kehrmatrix mit Hilfe des verketteten Algorithmus Umkehrung eines Gleichungssystems Matrizendivision Zusammenfassung 203 Eigenwerte und Matrizengleichungen Das Eigenwertproblem Einführung des Eigenwertproblems Eigenwerte und Eigenvektoren Das System der Eigenvektoren Modalmatrix und Spektralmatrix Iterierte Vektoren Charakteristische Gleichung und Cayley-Hamilton- Gleichung Das Eigenwertproblem für symmetrische und hermitische Matrizen Die allgemeine Eigenwertaufgabe Eigenwertabschätzungen Das Prinzip der Eigenwertabschätzungen Spezielle Eigenwertabschätzungen Zusammenfassung Numerische Verfahren zur Eigenwertbestimmung Allgemeine Bemerkungen zur numerischen Eigenwertbestimmung Direkte Verfahren Das Restgrößen verfahren Indirekte Verfahren Die MiSES-Iteration Die gebrochene Iteration RAYLEIGH- Quotient Das JACOBI-Verfahren Das RITZ-Verfahren Zusammenfassung 249

5 10 Inhaltsverzeichnis 12. Matrizengleichungen Lineare Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix Allgemeine Bemerkungen Die Auflösung linearer Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix Matrizenfunktionen Matrizenpolynome Die Eigenwerte eines Matrizenpolynoms Die Matrizenfunktionen e A, sin A und cos A Matrizen und gewöhnliche Differentialgleichungen Die Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Hilfe von Matrizen Übertragungsmatrizen Zusammenfassung Anwendung der Matrizen auf Probleme der Technischen Mechanik Aufgabenstellung Biegung des beliebig gestützten Balkens Erläuterung des Grundgedankens für die Behandlung der Balkenbiegung mit Übertragungsmatrizen Feldmatrix für die Balkenbiegung Einführung von Bezugsgrößen zur Bildung der dimensionslosen Feldmatrix Belastungsgrößen für die wichtigsten Belastungsfälle bei feldweise konstanter Biegesteifigkeit Punktmatrix Äußere Randbedingungen Innere Randbedingungen Erläuterung des Matrizenschemas Beispiele aus der Statik Die Behandlung von Schwingungsaufgaben Biegeschwingungen Die Übertragungsmatrizen des masselosen elastischen Stabes und einer Punktmasse Die praktische Behandlung von Schwingungsaufgaben Die dimensionslose Übertragungsmatrix U t 307 Das Restgrößenverfahren Zwangsschwingungen des beliebig gestützten Balkens Methode der finiten Elemente. 316 Einleitung 316 Deformationsmethode und Steifigkeitsmatrix 317 Algorithmus und Beispiel Anwendung der Matrizen auf Probleme der Elektrotechnik Einleitung Berechnung von Gleiehstromund Wechselstromnetzen Anwendung von Matrizen in der Vierpoltheorie Anwendung der Matrizen auf Probleme der Ökonomie Einleitung Problemstellung der linearen Optimierung Formulierung des allgemeinen linearen Optimierungsproblems Geometrische Deutung des Problems Begriff der Erfüllungsmenge Lineare Ungleichungssysteme in zwei und mehreren Variablen Grafisches Lösungsverfahren Die Simplexmethode Normalform des linearen Optimierungsproblems Lösung des Beispiels ohne Verwendung der Simplexmethode Lösung des Beispiels unter Verwendung der Simplexmethode Aufgaben und Lösungen 362 Literatur- und Quellenverzeichnis 383 Sachwortverzeichnis 386