Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie"

Transkript

1 Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf "folgt notwendigerweise" Wenn es regnet, dann wird die Strasse nass. Es regnet Die Strasse wird nass. Vögel können fliegen. Tweetie ist ein Vogel Tweetie kann fliegen. Was ist Logik? Sprache zur Darstellung von Wissen, Problemen, Lösungen Ableitung von Aussagen aus anderen Logik als Grundlage für andere Gebiete: Mathematik, Informatik, künstliche Intelligenz Logik zur Darstellung der Semantik natürlicher und künstlicher Sprachen Logik als Modell für menschliches Denken verallgemeinert zur universellen Schlussregel (modus ponens): Wenn A, dann B. A B andere Logiken 1 2 Aussagenlogik atomare Sätze (Aussagen) "Die Sonne scheint." "Es regnet." atomare Sätze können wahr (W) oder falsch (F) sein Wahrheitstabellen Negation P P W F F W durch logische Operatoren zusammengesetzte Sätze "Die Sonne scheint." "Es regnet." Wahrheitwert zusammengesetzter Sätze wird eindeutig aus den Wahrheitwerten der Komponenten bestimmt Aussagen werden durch Grossbuchstaben bezeichnet Konjunktion P Q P Q W F F F W F F F F Disjunktion P Q P Q W F W F W W F F F 3 4

2 Wahrheitstabellen Implikation P Q P Q W F F F W W F F W Vorrangsregeln zusammengesetzte Ausdrücke mit mehreren Operatoren brauchen Vorrangsregeln Reihenfolge: Negation vor Konjunktion vor Disjunktion vor Implikation/Äquivalenz F Q "ex falso quodlibet" im Zweifelsfall Klammern setzen Äquivalenz P Q P Q W F F F W F F F W Beispiel A B C D (((A ( B)) C) D) 5 6 Wahrheit Tautologien sind Aussagen, die immer wahr sind P P Kontradiktionen sind Aussagen, die immer falsch sind P P Tautologie und Kontradiktion Eine Aussage ist genau dann eine Kontradiktion, wenn ihre Negation eine Tautologie ist. Aussagen sind erfüllbar, wenn sie durch eine Belegung mit Wahrheitwerten wahr gemacht werden können P Q Aussagen sind widerlegbar, wenn sie durch eine Belegung mit Wahrheitwerten falsch gemacht werden können P Q Umformungen de Morgan Regeln (P Q) P Q (P Q) P Q Implikation kann durch Negation und Disjunktion ausgedrückt werden (P Q) P Q ähnlich können Implikation durch Negation und Konjunktion Äquivalenz durch Negation, Konjunktion und Disjunktion Äquivalenz durch Implikation und Konjunktion logische Operatoren sind nicht unabhängig; was braucht man mindestens? adäquate Mengen von Operatoren: {, } {, } {nand} P nand Q (P Q) {nor} P nor Q (P Q) 7 8

3 Implikation und Äquivalenz P Q sei wahr Wenn P wahr ist, dann muss auch Q wahr sein. Wenn P falsch ist, dann kann Q wahr oder falsch sein. P wird als stärker, Q als schwächer bezeichnet. W ist die schwächste Aussage, F die stärkste. F W In P Q wird P hinreichende Voraussetzung für Q genannt, Q notwendige Bedingung für P. In P Q wird P hinreichende und notwendige Bedingung für Q genannt. Syntax der Aussagenlogik Sprache LA der Aussagenlogik rekursive Definition der wohlgeformten Aussagen (Formeln) der Aussagenlogik 1. Die Buchstaben A,, Z (möglicherweise mit Indizes) sind wohlgeformte atomare Aussagen; ebenso die logischen Konstanten t und f. 2. Wenn P und Q wohlgeformt sind, dann auch ( P ) (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) P und Q sind Variablen, die für Aussagen stehen Deduktion in der Aussagenlogik Deduktion in der Aussagenlogik mechanische Herleitung von Zeichenketten aus anderen Zeichenketten Axiome (Tautologien) t (( f) t) ( t ( f)) Axiomenschemata zur Gewinnung neuer Axiome (P (Q P)) (((P Q) P) P) (P Q) ( Q P) (P ( ( P))) (( ( P)) P) ((P Q) P) ((P Q) Q) (P (P Q)) (Q (P Q)) (t (P ( P))) ((P ( P)) t) (f (P ( P))) ((P ( P)) f) ((P Q) (P Q)) ((P Q) (Q P)) Schlussregeln (Inferenzregeln) Modus Ponens: Aus P und (P Q) schliesse Q. Andere Herleitungssysteme nichtlogische Axiome, die einen Anwendungsbereich beschreiben und keine Tautologien sind natürliche Deduktion 11 12

4 Deduktion in der Aussagenlogik Deduktionstheorem W LA sei eine Menge wohlgeformter Formeln MW LA die Menge aller unter der Voraussetzung von W herleitbaren Formeln besteht aus W allen Axiomen allen aus den Axiomenschemata gewonnenen Formeln allen durch die Schlussregel abgeleiteten Formeln, d.h. sind P und (P Q ) unter der Voraussetzung W ableitbar, dann ist auch Q unter der Voraussetzung ableitbar keinen weiteren Formeln Deduktionsrelation P(LA) x LA wird definiert durch M W, genau dann, wenn W unter der Voraussetzung M herleitbar ist P(LA) x P(LA) wird definiert durch M N, genau dann, wenn jede Formel in N unter der Voraussetzung M herleitbar ist reflexiv: M M monoton: R S und Q R, dann Q S Deduktionstheorem W LA sei eine Menge wohlgeformter Formeln P, Q wohlgeformte Formeln dann gilt: W {P} Q genau dann, wenn W (P Q) Spezialfall W { P} f genau dann, wenn W ( P f) d.h. W P Konsistenz Aussagenlogik ist konsistent nicht jede wohlgeformte Formel ist herleitbar, d.h. speziell nicht f und (P ( P)) keine Formel kann zusammen mit ihrer Negation abgeleitet werden Inkonsistenz wird bei der Herleitung vererbt Menge M wohlgeformter Formeln heisst inkonsistent, wenn f unter der Voraussetzung M ableitbar ist (P ( P)) unter der Voraussetzung M ableitbar ist P und ( P) unter der Voraussetzung M ableitbar sind jede beliebige Formel unter der Voraussetzung M ableitbar ist, d.h. alles herleitbar ist Semantik der Aussagenlogik atomare Aussagen erhalten ihren Wahrheitswert durch eine Interpretation in einem Wertebereich, z.b. der externen Welt Belegungen V sei die Menge aller Variablen, die für atomare Aussagen stehen Funktion IV: V --> {W, F} heisst Variablenbelegung Funktion I: LA --> {W, F} heisst Belegung, wenn folgende Gleichungen gelten I((P Q)) = I(P) I(Q) I((P Q)) = I(P) I(Q) I((P Q)) = I(P) I(Q) I(( P)) = I(P) I(t) = W I(f) = F Theorem Jede Variablenbelegung kann genau auf eine Art zu einer Belegung fortgesetzt werden und jede Belegung kann auf eine Variablenbelegung eingeschränkt werden

5 Modelle Formeln und Modelle Modelle I: LA --> {W, F} sei eine Interpretation und Q eine Formel. Q ist wahr in der Interpretation I, wenn I(Q) = W I wird ein Modell von Q genannt es kann mehr als ein Modell geben Menge aller Modelle M Modellrelation = M x LA wird definiert durch I = Q, genau dann, wenn I ein Modell von Q ist = M x P(LA). Ist W eine Menge von Formeln und I ein Modell, dann gilt I = W, d.h. I = Q für jede Formel aus W. Eine Formel heisst erfüllbar, wenn es eine Interpretation gibt, die ein Modell dieser Formel ist widerlegbar, wenn es eine Interpretation gibt, die kein Modell dieser Formel ist tautologisch, wenn jede Interpretation ein Modell dieser Formel ist kontradiktorisch, wenn es keine Interpretation gibt, die Modell dieser Formel ist Möglichkeiten tautologisch und erfüllbar erfüllbar und widerlegbar kontradiktorisch und widerlegbar Eine Menge von Formeln heisst erfüllbar, wenn es ein Interpretation gibt, die ein Modell für jede Formel der Menge ist. Eine endliche Menge von Formeln ist genau dann erfüllbar, wenn sie widerspruchsfrei ist Folgerungsrelation Folgerungsrelation P(LA) x P(LA) M und N sind Mengen aussagenlogischer Formeln M N genau dann, wenn jedes Modell der Menge M auch ein Modell der Menge N ist, d.h. I (Menge der Modelle): (I = M) (I = N) Korrektheit und Vollständigkeit der Aussagenlogik Aussagenlogik ist korrekt (1) Eine unter bestimmten Voraussetzungen ableitbare Formel ist unter diesen Voraussetzungen auch wahr und gültig. (2) M und N sind Mengen aussagenlogischer Formeln. Wenn M N gilt, dann auch M N. Aussagenlogik ist vollständig (1) Eine unter bestimmten Voraussetzungen gültige Formel ist unter diesen Voraussetzungen auch ableitbar. (2) M und N sind Mengen aussagenlogischer Formeln. Wenn M N gilt, dann auch M N. Aussagenlogik ist vollständig und korrekt, d.h. wir können semantische Folgerung mit Deduktion gleichsetzen. Logische Programmierung 19 20

6 Beweise in der Aussagenlogik Unvollständigkeit der Aussagenlogik Ist P unter der Voraussetzung M herleitbar, bzw. gültig? Syntaktische Methode: man leitet P mit Hilfe der Axiome und Schlussregeln aus M ab. Problem: kombinatorische Explosion der Beweisschritte Semantische Methode: man zeigt, dass P in jedem Modell von M gültig ist (-> Wahrheitstafeln). Problem: für n atomare Aussagen gibt es maximal 2n Möglichkeiten für die Wahrheitswerte Eine Menge von Formeln heisst syntaktisch unvollständig, wenn es eine Formel derart gibt, dass weder die Formel noch ihre Negation aus der Menge abgeleitet werden kann. Eine Menge von Formeln heisst semantisch unvollständig, wenn es eine Formel derart gibt, dass weder die Formel noch ihre Negation aus der Menge folgt Normalformen unterschiedliche Darstellungen der gleichen Formel, z.b. P = ( ( P)) ((P Q)) = ( P ) ( Q) konjunktive Normalform: Konjunktion von Disjunktionen von Atomen oder negierten Atomen D 1 D 2 D n D i = L i1 L i2 L im L ij (negiertes) Atom disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen von Atomen oder negierten Atomen K 1 K 2 K n K i = L i1 L i2 L im L ij (negiertes) Atom konjunktive (disjunktive) Hauptnormalform: Reihenfolge der Atome wird festgelegt Zu jeder wohlgeformten aussagenlogischen Formel gibt es genau eine konjunktive Hauptnormalform und eine disjunktive Hauptnormalform, die zueinander äquivalent sind. Zwei aussagenlogische Formeln sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche konjunktive (disjunktive) Hauptnormalform besitzen. Normalformen Beispiel Ausgangsformel t (B C) 1. Schritt: und durch, und ersetzen t (B C) f (B C) 2. Schritt: t durch (P P) und f durch (P P) ersetzen (P P) (B C) disjunktive Normalform 3. Schritt: Distribution von und (P P) (B C) (P (B C)) ( P (B C)) (P B) (P C) ( P B) ( P C) konjunktive Normalform 23 24

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung

Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik 3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,

Mehr

Kapitel 1. Aussagenlogik

Kapitel 1. Aussagenlogik Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax

Mehr

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

1 Aussagenlogischer Kalkül

1 Aussagenlogischer Kalkül 1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Teil 7. Grundlagen Logik

Teil 7. Grundlagen Logik Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also

Mehr

Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen

Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER

SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER FORMALE SPRACHEN Wie jede natürliche Sprache, hat auch auch jede formale Sprache Syntax/Grammatik Semantik GRAMMATIK / SYNTAX Die Grammatik / Syntax einer formalen

Mehr

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit

Mehr

Eine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus:

Eine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus: Karlhorst Meyer Formallogik Die Umgangssprache ist für mathematische Bedürfnisse nicht exakt genug. Zwei Beispiele: In Folge können u. U. Beweise, die in Umgangssprache geschrieben werden, nicht vollständig,

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

2.2.4 Logische Äquivalenz

2.2.4 Logische Äquivalenz 2.2.4 Logische Äquivalenz (I) Penélope raucht nicht und sie trinkt nicht. (II) Es ist nicht der Fall, dass Penélope raucht oder trinkt. Offenbar behaupten beide Aussagen denselben Sachverhalt, sie unterscheiden

Mehr

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

Schlussregeln aus anderen Kalkülen

Schlussregeln aus anderen Kalkülen Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,

Mehr

3. Logik 3.1 Aussagenlogik

3. Logik 3.1 Aussagenlogik 3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

Prädikatenlogik. Quantoren. Quantoren. Quantoren. Quantoren erlauben Aussagen über Mengen von Objekten des Diskursbereichs, für die ein Prädikat gilt

Prädikatenlogik. Quantoren. Quantoren. Quantoren. Quantoren erlauben Aussagen über Mengen von Objekten des Diskursbereichs, für die ein Prädikat gilt Prädikatenlogik Aussagen wie Die Sonne scheint. die in der Aussagenlogik atomar sind, werden in der Prädikatenlogik in Terme (sonne) und Prädikate (scheint) aufgelöst und dann dargestellt als z.b. scheint(sonne)

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.16 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/vorlesungen.html

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 1. Einführung Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen

Mehr

Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen

Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.

Mehr

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen

Mehr

Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft

Mehr

Übung 4: Aussagenlogik II

Übung 4: Aussagenlogik II Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Algorithmen & Programmierung. Logik

Algorithmen & Programmierung. Logik Algorithmen & Programmierung Logik Aussagenlogik Gegenstand der Untersuchung Es werden Verknüpfungen zwischen Aussagen untersucht. Aussagen Was eine Aussage ist, wird nicht betrachtet, aber jede Aussage

Mehr

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche

Mehr

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Logik: aussagenlogische Formeln und Wahrheitstafeln

Logik: aussagenlogische Formeln und Wahrheitstafeln FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Lösungen zu Übungsblatt 1 Diskrete Mathematik (Informatik) 7./9. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Logik: aussagenlogische Formeln und Wahrheitstafeln Aufgabe

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Einführung in die mathematische Logik Arbeitsblatt 3 Übungsaufgaben Aufgabe 3.1. Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.

Mehr

Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)

Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50) Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,

Mehr

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht Thema: Logik: 2. Teil Übersicht logische Operationen Name in der Logik Symbol Umgangssprachlicher Name Negation (Verneinung) Nicht Konjunktion ^ Und Disjunktion v Oder Subjunktion (Implikation) Bijunktion

Mehr

TU5 Aussagenlogik II

TU5 Aussagenlogik II TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)

Mehr

6. AUSSAGENLOGIK: TABLEAUS

6. AUSSAGENLOGIK: TABLEAUS 6. AUSSAGENLOGIK: TABLEAUS 6.1 Motivation 6.2 Wahrheitstafeln, Wahrheitsbedingungen und Tableauregeln 6.3 Tableaus und wahrheitsfunktionale Konsistenz 6.4 Das Tableauverfahren 6.5 Terminologie und Definitionen

Mehr

1 Einführung Aussagenlogik

1 Einführung Aussagenlogik 1 Einführung Aussagenlogik Denition 1. Eine Aussage ist ein Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch ist. Welche der folgenden Sätze ist eine Aussage? 3+4=7 2*3=9 Angela Merkel ist Kanzlerin Stillgestanden!

Mehr

Grundlagen der Kognitiven Informatik

Grundlagen der Kognitiven Informatik Grundlagen der Kognitiven Informatik Wissensrepräsentation und Logik Ute Schmid Kognitive Systeme, Angewandte Informatik, Universität Bamberg letzte Änderung: 14. Dezember 2010 U. Schmid (CogSys) KogInf-Logik

Mehr

Informationsverarbeitung auf Bitebene

Informationsverarbeitung auf Bitebene Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung

Mehr

Tableaukalkül für Aussagenlogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Grundlagen der Programmierung

Grundlagen der Programmierung GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else

Mehr

Logische und funktionale Programmierung

Logische und funktionale Programmierung Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION

Mehr

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte

Mehr

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung

Mehr

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche

Mehr

Aussagenlogische Kalküle

Aussagenlogische Kalküle Aussagenlogische Kalküle Ziel: mit Hilfe von schematischen Regeln sollen alle aus einer Formel logisch folgerbaren Formeln durch (prinzipiell syntaktische) Umformungen abgeleitet werden können. Derartige

Mehr

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz 5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz Durch Einsetzung von PL1-Formeln für die Metavariablen in AL-Gesetzen erhält man PL1-Instanzen von AL-Gesetzen. Beispiele: φ φ AL PL1-Instanzen: Pa () Pa

Mehr

wenn es regnet ist die Straße nass.

wenn es regnet ist die Straße nass. Aussagenlogik 2 In der Aussagenlogik werden, wie der Name schon sagt, Aussagen über logische Operatoren verknüpft. Der Satz diestraßeistnass ist eine Aussage, genauso wie es regnet. Diese beiden Aussagen

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Deduktion in der Aussagenlogik

Deduktion in der Aussagenlogik Deduktion in der Aussagenlogik (Erläuterungen zu Kapitel 6, Teil 2 des FGI-1 Skriptes) Frank Heitmann 1 Motivation Wenn man sich erstmal darauf eingelassen hat, dass man mit Formeln etwas sinnvolles machen

Mehr

Grundlagen der Logik Datenbanken I (Systemorientierte Informatik IV) Sommersemester 2007

Grundlagen der Logik Datenbanken I (Systemorientierte Informatik IV) Sommersemester 2007 Concept Content.. Information Topic Grundlagen der Logik Datenbanken I (Systemorientierte Informatik IV) Sommersemester 2007 Gunar Fiedler (fiedler@is.informatik.uni-kiel.de) Institut für Informatik Arbeitsgruppe

Mehr

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.

Mehr

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der

Mehr

3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik

3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Deduktionssysteme der Aussagenlogik, Kap. 3: Tableaukalküle 38 3 Tableaukalküle 3.1 Klassische Aussagenlogik 3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Ein zweites Entscheidungsverfahren

Mehr

Beweisen mit Semantischen Tableaux

Beweisen mit Semantischen Tableaux Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet

Mehr

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable

Mehr

Klassische Aussagenlogik

Klassische Aussagenlogik Eine Einführung in die Logik Schon seit Jahrhunderten beschäftigen sich Menschen mit Logik. Die alten Griechen und nach ihnen mittelalterliche Gelehrte versuchten, Listen mit Regeln zu entwickeln, welche

Mehr

Semantic Web Technologies I!

Semantic Web Technologies I! www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I! Lehrveranstaltung im WS11/12! Dr. Elena Simperl! DP Dr. Sebastian Rudolph! M.Sc. Anees ul Mehdi! www.semantic-web-grundlagen.de Logik Grundlagen!

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung

Mehr

7 Logische Agenten. Die Wumpus-Welt. Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench)

7 Logische Agenten. Die Wumpus-Welt. Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench) 7 Logische Agenten 12.01.2007 Logische Agenten Logische Agenten / 1 Die Wumpus-Welt Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench) In Quadraten um eine Falltür (Pit) herum ist ein Luftzug

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Grundlagen der diskreten Mathematik

Grundlagen der diskreten Mathematik Grundlagen der diskreten Mathematik Prof. Dr. Romana Piat WS 25/6 Allgemeine Informationen Vorlesungen:./C Zug D (Mi., 3. Block + Do., 4. Block, y-raster) Zug E (Di., 5. Block + Do.,. Block, y-raster)

Mehr

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 2. Übungsstunde Aussagenlogische Modellierung Die Mensa versucht ständig, ihr Angebot an die Wünsche

Mehr

Paradoxien der Replikation

Paradoxien der Replikation Joachim Stiller Paradoxien der Replikation Alle Rechte vorbehalten Paradoxien Die Paradoxien (Wiki) Hier einmal Auszüge aus dem Wiki-Artikel zum Begriff Paradoxon Ein Paradox(on) (auch Paradoxie, Plural

Mehr

Collegium Logicum - Logische Grundlagen der Philosophie und der Wissenschaften Link

Collegium Logicum - Logische Grundlagen der Philosophie und der Wissenschaften Link Collegium Logicum - Logische Grundlagen der Philosophie und der Wissenschaften Band 1 von Godehard Link 1. Auflage Collegium Logicum - Logische Grundlagen der Philosophie und der Wissenschaften Link schnell

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4. R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010

SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4. R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010 SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4 R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010 Inhaltsverzeichnis 4 Aufgabe 4 3 4.1 Sich mit dem Programmpaket vertraut machen.................... 3 4.1.1 Aufgabenstellung.................................

Mehr

Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge

Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,

Mehr

Wissensbasierte Systeme/ Expertensysteme. Teil 2

Wissensbasierte Systeme/ Expertensysteme. Teil 2 Wissensbasierte Systeme/ Expertensysteme Teil 2 BiTS, Sommersemester 2004 Dr. Stefan Kooths KOOTHS BiTS: Wissensbasierte Systeme/Expertensysteme Teil 2 1 Gliederung 1. Einführung und Einordnung 2. Entscheidungsunterstützung(ssysteme)

Mehr

Grundkurs Mathematik I

Grundkurs Mathematik I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 3 Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr Volksmund Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr hat heute keine

Mehr

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 4 Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 Prof. Dr. Peter Koepke, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 2 Aufgabe 6 (4 Punkte). Bestimmen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, welche der folgenden aussagenlogischen

Mehr

Vorlesung Logiksysteme

Vorlesung Logiksysteme Vorlesung Logiksysteme Teil 1 - Aussagenlogik Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 15. Mai 2014 Formalien zur Vorlesung/Übung Termine: dienstags 16:15 17:45 Uhr freitags 10:15 11:45 Uhr

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische

Mehr