Einführung in die Programmierung (MA8003)
|
|
- Kirsten Brodbeck
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Theorie 1.2: Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M
2 Theorie 1.2: Inhalt 1 Vektoren und Matrizen Backslash und Slash 2 Funktionen 3 Indizierung 4 Matrizen manipulieren
3 \ und / Operator I \ (mldivide) und / (mrdivide) sind im gewissen Sinn das Gegenstück zum Matrizenprodukt *: Mit Ihnen kann man lineare Gleichungssysteme lösen bzw. eine Lösung approximieren. Fragestellung: Gesucht ist ein Vektor x mit A b. Wenn kein solches x existiert, dann suche x mit Ax b 2 minimal. Dieser Vektor wird mit A \ b bestimmt. Dazu wird intern je nach Struktur von A ein geeigneter Algorithmus verwendet. b kann auch eine Matrix sein (z.b. mehrere rechte Seiten). Anzahl Zeilen von A muss gleich Anzahl Zeilen von b sein. Bei Verwendung von Zeilenvektoren, also (x 1, x 2,..., x n ), verwendet man /. Merkregel A \ b = A 1 b, wenn b Spaltenvektor b / A = ba 1, wenn b Zeilenvektor
4 \ und / Operator II >> hilb(3) >> b = (1:3) ; >> A\b >> A*x >> b /A >> x*a >> B = [(1:3), ones(3,1)] B = >> A\B
5 \ und / Operator III Achtung: Aufpassen, wenn Matrix nicht quadratisch oder singulär! >> [hilb(3); ones(1,3)] >> b = (1:4) b = >> A\b >> A*x
6 Funktionen Viele Matlab Funktionen lassen sich in eine von drei Klassen einteilen: Skalarwertig Skalar als Eingabeargument. Wirken bei Feldern komponentenweise. Vektorwertig Vektor als Argument. Werden bei Matrizen auf jede Spalte einzeln angewendet. Rückgabewert ist Skalar oder Vektor. Matrixwertig Matrix als Argument, z.b. det Viele Funktionen in Matlab verhalten sich unterschiedlich je nach Anzahl und Art der Eingabe- bzw. Ausgabeparameter. QR Orthogonal-triangular decomposition. [Q,R] = QR(A), where A is m-by-n, produces an m-by-n... [Q,R] = QR(A,0) produces the "economy size" decomposition... [Q,R,E] = QR(A) produces unitary Q, upper triangular R... [Q,R,E] = QR(A,0) produces an "economy size" decomposition... X = QR(A) and X = QR(A,0) return the output of LAPACK s......
7 Skalare Funktionen Beispiele: >> magic(2) >> cos(a*pi/2) sin cos tan asin acos atan exp log (ln) round sqrt factorial (Fakultät) abs (Betrag)
8 Vektor Funktionen I Wenn das Argument der Funktion eine Matrix ist, wird die Funktion einzeln auf jede Spalte der Matrix angewendet. Um eine Vektorfunktion auf eine gesamte Matrix A anzuwenden und nicht auf die einzelnen Spalten, A(:) als Argument verwenden. Meist zweites optionales Argument welches angibt, ob Funktion auf Spalten (1) oder Zeilen (2) einer Matrix angewendet werden soll. Beispiele: min max mean sum prod (Produkt) diff cumsum sort
9 Vektor Funktionen II >> 4:-1:1; >> prod(x) 24 >> max(x) 4 >> [m, i] = max(x) >> magic(3); >> sum(a) >> sum(a,2) m = i = 4 1 >> sum(a(:)) 45 >> sort(a) >> diff(x)
10 Hilfreiche Funktionen length: Die Länge eines Vektors oder die größere Dimension einer Matrix size: Vektor mit den Dimensionen des Feldes numel: Anzahl der Elemente des Feldes Hinweis: prod(size(a)) == numel(a) == length(a(:)) >> A=ones(3,2); >> length(a) 3 >> length(a ) 3 >> size(a) 3 2 >> numel(a) 6
11 Indizierung I Mit Matlab kann gezielt auf Teile eines Vektors oder einer Matrix zugegriffen werden. Zum Indizieren verwendet man runde Klammern (...). x(i): Das i-te Element des Vektors x A(i,j): Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte end: Bezeichnet den letzten Index der Dimension Achtung: Indizes fangen in Matlab bei 1 an! >> A(1,2) = -2 >> 2:-1:0; >> x(2) 1 >> [1,2; 3,4] >> A(1,end) -2 >> A(end,end) 4
12 Lineares Indizieren Auf die Elemente einer Matrix kann auch mit nur einem Index zugegriffen werden. Syntax A(i) gibt den i-ten Eintrag der Matrix A zurück. Die Einträge werden hierbei spaltenweise durchnummeriert >> A=magic(3) >> A(2) 3 >> A(end) 2
13 Indizierung II Auch Felder können zum Indizieren verwendet werden, sei v ein Vektor bzw. M eine Matrix mit Indizes x(v): Vektor mit i-tem Element gleich x(v(i)) x(m): Matrix mit (i,j)-ten Element gleich x(m(i,j)) A(v,w): Matrix mit (i,j)-ten Element gleich A(v(i), w(j)) A(v): Vektor mit i-tem Element gleich A(v(i)) Hinweis: Kurschreibweise: : == 1:end. Hinweis: v(:) bzw. A(:) ist immer ein Spaltenvektor. Achtung: Die Einträge in den Vektoren, bzw. Matrizen, die zum Indizieren verwendet werden, müssen ganzzahlig und größer als 0 sein. Achtung: Matlab unterstützt keine doppelte Indizierung, z.b. x(v)(1) funktioniert nicht!
14 Indizierung III >> x(2:4) >> x([2 3 end end 1]) >> M = [1 2; 2 1] M = >> x(m) >> magic(3) >> A(1,:) >> A([1,2],[2,3]) >> A(2:end,:)
15 Lineares Indizieren II >> 1:3 >> zeros(3) >> A(2:2:end) = >> x(:) >> A*x error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 3x3, op2 is 1x3) >> A*x(:) 2 4 2
16 Einträge löschen Es ist möglich, Einträge aus Vektoren zu löschen. x(i) = [] löscht den i-ten Eintrag des Vektors x x(v) = [] löscht alle Einträge von x mit Indizes in v A(i,:) = [], A(:,i) = [] löscht i-te Zeile bzw. Spalte der Matrix A >> x=1:5; >> x([2 3]) = [] >> A=magic(3) >> A(:,2) = [] >> A([2,1],:) = [] 4 2 >> magic(3); >> A(1:end, 2) = []??? Subscripted assignment dimension mismatch.
17 Einträge hinzufügen Matlab verlängert Felder bei Element-Zuweisung automatisch. >> x=1 x(i) = k setzt das i-te Element auf den Wert k und verlängert den Vektor wenn i > length(x). A(i,j) = k setzt das (i,j)-te Element auf den Wert k, hängt ggf. Zeilen und Spalten an. 1 >> x(4) = >> x(3,3) =
18 Fragen? Ende Theorie 1.2 Fragen?
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II Matrixzugriff Wir wollen nun unsere Einführung in die Arbeit mit Vektoren und Matrizen in MATLAB
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
MehrMatlab - eine kurze Einführung
Matlab - eine kurze Einführung Helke Karen Hesse, Thomas Dunne helke.hesse@iwr.uni-heidelberg.de, thomas.dunne@iwr.uni-heidelberg.de 13.11.2006 1 / Gliederung Überblick Grundlegende Syntax Variablen Vektoren
Mehr1 Konsole öffnen. 2 matlab & und return eingeben. 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen. 1 Menüpunkt File - Exit MATLAB oder. 2 quit (und return) oder
Grundleges Einführung in Matlab Christof Eck, Monika Schulz und Jan Mayer Matlab starten: 1 Konsole öffnen 2 matlab & und return eingeben 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen Matlab been: 1 Menüpunkt File
MehrEinführung in Matlab Was ist MATLAB? Hilfe Variablen
Einführung in Matlab Was ist MATLAB? MATLAB (Matrix Laboratory) ist eine interaktive Interpreter-Sprache, die einen einfachen Zugang zu grundlegenden numerischen Verfahren - wie beispielsweise der Lösung
MehrEine kurze Einführung in MATLAB
Eine kurze Einführung in MATLAB 1 Grundleges Im Folgen wollen wir annehmen, dass wir bereits wissen wie wir MATLAB starten, d.h., unter LINUX eine Shell-Konsole öffnen ( > System > Konsole oder über Icon)
MehrMatlab: eine kurze Einführung
Matlab: eine kurze Einführung Marcus J. Grote Christoph Kirsch Mathematisches Institut Universität Basel 4. April 2 In dieser Einführung zu Matlab sind die im Praktikum I erworbenen Kenntnisse zusammengefasst.
Mehr2 Matrizen und Vektoren
1 Hilfe in Matlab 1 Hilfe in Matlab 2 help Befehl Textorientierte Hilfe, die im Kommando-Fenster erscheint. doc Befehl Html-orienterte Hilfe, die in einem Web-Browser erscheint. Beispiel: help plot und
MehrAnwendungssoftware III (MATLAB)
Anwendungssoftware III (MATLAB) III und Michael Liedlgruber Fachbereich Computerwissenschaften Universität Salzburg Sommersemester 2014 M. Liedlgruber Anwendungssoftware III (MATLAB) SS 2014 1 / 64 in
MehrErwin Grüner 10.11.2005
FB Psychologie Uni Marburg 10.11.2005 Themenübersicht in R Arithmetische Operator Wirkung + Addition - Subtraktion * Multiplikation / Division ˆ Exponentiation %/% Integerdivision %% Modulo Vergleichsoperatoren
MehrEinführung in MATLAB
Kapitel 4 Einführung in MATLAB 41 Allgemeines MATLAB ist eine kommerzielle mathematische Software zur Lösung mathematischer Probleme und zur graphischen Darstellung der Ergebnisse Die Verfahren in MATLAB
Mehr1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrEinführung in MATLAB Blockkurs DLR:
Einführung in MATLAB Blockkurs DLR: 19.4-22.4.24 Tag 1, 2.Teil Vektoren und Matrizen 19.4.24 Dr. Gerd Rapin grapin@math.uni-goettingen.de Gerd Rapin Einführung in MATLAB p.1/2 Matrizen und Vektoren Erzeugen
MehrInformationsverarbeitung im Bauwesen
V14 1 / 30 Informationsverarbeitung im Bauwesen Markus Uhlmann Institut für Hydromechanik WS 2009/2010 Bemerkung: Verweise auf zusätzliche Information zum Download erscheinen in dieser Farbe V14 2 / 30
MehrBesteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
MehrMATLAB Einführung. Numerische Methoden für ITET und MATL Dr. S. May, D. Devaud. ETH Zürich, Seminar for Applied Mathematics
Numerische Methoden für ITET und MATL 2016 ETH Zürich, Seminar for Applied Mathematics Dr. S. May, D. Devaud Frame 2 MATLAB Auf ETH Computer vorinstalliert Auf Heim PC: von www.ides.ethz.ch herunterladen
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
MehrMatrizen. Jörn Loviscach. Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung.
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. 1 Matrix Ein rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten
MehrVektorräume und Rang einer Matrix
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung
MehrEinstieg in die Informatik mit Java
1 / 26 Einstieg in die Informatik mit Java Felder Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 26 1 Was sind Felder? 2 Vereinbarung von Feldern 3 Erzeugen von Feldern
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrRang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
Mehrtäglich einmal Scilab!
Mathematik 1 - Übungsblatt 7 täglich einmal Scilab! Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind skalare Größen (=einfache Zahlen im Gegensatz zu vektoriellen
MehrEinführung in. Pierre Bayerl
Einführung in Pierre Bayerl 19. November 21 Matlab Numerische Manipulation von Matrizen und Vektoren und deren Visualisierung. Verwendung: Interaktive Eingabe von Befehlen Skriptprogramme ( Batch-Dateien
MehrGrundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten
Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A
MehrOrthonormalbasis. Orthogonalentwicklung
Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht
MehrMatlab Übersicht. Matlab steht für MATrix LABoratory, die Fa. The Mathworks wurde 1984 gegründet
Matlab Übersicht Ziel: einfacher Zugang zu numerischen (FORTRAN)Bibliotheken [Freeware] Linpack (LINear Algebra Solution PACKage) und Eispack (EIgenvalue Solution PACKage) => aktuelle Version: Lapack (Linear
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrOrganisatorisches. Grundsätzliches. Computermathematik. Organisatorisches. Einführung in MATLAB. Winfried Auzinger.
Computermathematik Einführung in MATLAB Winfried Auzinger Dirk Praetorius Organisatorisches http:/www.asc.tuwien.ac.at/compmath/ Di. 13:15-14:45, FH HS 8 (Nöbauer Hörsaal) Institut für Analysis und Scientific
MehrInverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.
MehrÜberbestimmte Gleichungssysteme
Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare
MehrGruppe I (SS 2010) VU Einführung ins Programmieren für TM. 23. März 2010
Gruppe I (SS 2010) 23. März 2010 Funktion minabs, die für einen Vektor x R n den den minimalen Absolutbetrag min k=1,...,n x k zurückgibt, aufrufendes Hauptprogramm, das beide Funktionen aufruft und das
Mehra 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α
Mathematik 1 - Übungsblatt 7 Lösungshinweise Tipp: Verwenden Sie zur Kontrolle Scilab, wo immer es möglich ist. Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind
Mehrmit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"
Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante"
MehrSerie 8: Fakultativer Online-Test
Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung
Mehr10:Exkurs MATLAB / Octave
10:Exkurs MATLAB / Octave MATLAB (bzw. Octave als freie Version) ist eine numerische Berechnungsumgebung wurde vorrangig zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen entworfen ist interaktiv benutzbar, vergleichbar
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
Mehr3 Schnellkurs in MATLAB
3 Schnellkurs in MATLAB 3.1 Einführung MATLAB (= Matrix laboratory) Softwarepaket für numerische Berechnungen und Visualisierungen 1980 ( Cleve Moler; www.mathworks.com ) Ursprung in LINPACK und EISPACK
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrStatistisches Programmieren
Statistisches Programmieren Session 1 1 Was ist R R ist eine interaktive, flexible Software-Umgebung in der statistische Analysen durchgeführt werden können. Zahlreiche statistische Funktionen und Prozeduren
MehrAlgorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck
Lemma 15 KLP 1 ist genau dann lösbar, wenn das dazugehörige LP KLP 2 eine Lösung mit dem Wert Z = 0 besitzt. Ist Z = 0 für x 0, x 0, dann ist x eine zulässige Lösung von KLP 1. Beweis von Lemma 15: Nach
Mehr36 2 Lineare Algebra
6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so
Mehr1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse
Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese
MehrWirtschaftsmathematik Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2015 (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) =a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! =1 2 3 4 (n 1) n Intervalle Notation
MehrMatrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) =
Matrizen Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten der Form a 11 a 12 a 1n A = a ij = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dabei sind m und n natürliche und die Koezienten a
MehrMatlab Praktikum - Tag 1
Wima Praktikum I Matlab Praktikum - Tag 1 Prof. Dr. Stefan Funken, Andreas Rupp Institut für Numerische Mathematik Sommersemester 2012 Page 2 Matlab Praktikum - Tag 1 Sommersemester 2012 Prof. Dr. Stefan
MehrInstallation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung.
Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Die heutige Sitzung dient dem ersten Kennenlernen von MATLAB. Wir wollen MATLAB zuerst
MehrZyklen: break und continue
Zyklen: break und continue Innerhalb eines Zyklus: break beendet vorzeitig die zyklische Verarbeitung Beispiel: a = [1 2 3 4 5 6 0 1 2]; n = length(a); s=0; nn=0; for i=1:1:n if a(i)==0 break; end s= s
MehrLineare Algebra mit dem Statistikprogramm R
SEITE 1 Lineare Algebra mit dem Statistikprogramm R 1. Verwendung von Variablen Variablen werden in R definiert, indem man einem Variablennamen einen Wert zuweist. Bei Variablennamen wird zwischen Groß
MehrAnalytische Geometrie mit dem Voyage 1
Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor
MehrKlausur Grundlagen Informatik Musterklausur & Lösungen
Klausur Grundlagen Informatik Musterklausur & Lösungen (Die Lösungen sind der Klausur angefügt.) 1 Name: Matrikelnummer: A1 A2 A3 A4 Σ Aufgabe 1 (10 Punkte, 2 pro Teilaufgabe) a) Worin unterscheiden sich
MehrMatrix-Algorithmen Matrixmultiplikation Allgemeiner Matrizen
Matrix-Algorithmen Matrixmultiplikation Allgemeiner Matrizen 15.04.2011 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Grundlagen Matrizen Vektoren 2 Skalarprodukt und Saxpy Matrix-Vektor-Multiplikation Gaxpy Matrix-Matrix-Multiplikation
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
MehrR-Tutorial. R bietet zahlreiche Hilfe-Funktionen an. Informiere Dich über die Funktion log():
Statistik für Bioinformatiker SoSe 2005 R-Tutorial Aufgabe 1: Hilfe. Logge Dich ein. Username und Passwort stehen auf dem Aufkleber am jeweiligen Bildschirm. Öffne eine Shell und starte R mit dem Befehl
Mehr4.2 Selbstdefinierte Matlab-Funktionen 1. Teil
4.2 Selbstdefinierte Matlab-Funktionen 1. Teil 37 Ein m-file mit Namen Funktionsname.m und einer ersten Zeile der folgen Form: function Funktionsname(input1,input2,...,inputn) oder function output1=funktionsname(input1,input2,...,inputn)
MehrVektoren. 2.1 Darstellung. Kapitel Subtraktion und Addition
Kapitel 2 Vektoren In diesem Kapitel werden wir im wesentlichen die verschiedenen Formen der Darstellung von Vektoren in MatLab sowie Verknüpfungen zwischen Vektoren betrachten. In letzterem Punkt ist
MehrZweiter Teil des Tutorials. Workspace M-files Matrizen Flow Control Weitere Datenstrukturen Gemeinsames Beispiel erarbeiten
Zweiter Teil des Tutorials Workspace M-files Matrizen Flow Control Weitere Datenstrukturen Gemeinsames Beispiel erarbeiten Workspace Im Workspace sind die Variablen mit ihrem jeweiligen Wert gespeichert.
MehrSpezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:
Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es
MehrAufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrQR-Zerlegung Allgemeines. Householder-Spiegelung. Givens-Rotation. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Fazit. QR-Zerlegung.
20.0.2011 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 1 2 3 4 der Matrix A R mxn, m n A = Q R Matrix Q: Q R nxn orthogonale Matrix (Spalten paarweise orthogonal) Q Q T = E Matrix R: R R mxn obere Dreiecksmatrix r 11 r
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Vektoranalysis Funktionen mehrerer Variabler Wir untersuchen allgemein vektorwertige Funktionen von vektoriellen Argumenten, wobei zunächst nur reelle Vektoren zugelassen seien. Speziell betrachten wir:
MehrStrukturen & Math. Strukturen und Vektoren. Allokieren eines Vektors. Zugriff auf Strukturen. Freigeben eines Vektors
Strukturen & Math Strukturen für mathematische Objekte: allgemeine Vektoren Matrizen Strukturen und Vektoren 1 #ifndef _STRUCT_VECTOR_ 2 #define _STRUCT_VECTOR_ 3 4 #include 5 #include
Mehr( ) Lineare Gleichungssysteme
102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv
MehrLineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri
Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 1.1 Einleitung............................. 1 1.2 Der Begriff Matrix........................ 1 1.2.1
MehrKapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben
Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen
MehrINTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB
INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB Einführung in MATLAB Überblick Was ist MATLAB? Abkürzung für matrix laboratory. Reines Numerikprogramm für das Rechnen mit großen Zahlenfeldern (arrays) bzw. Matrizen.
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS / Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 76: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme Ax b: a)
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrNumerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 5 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 21 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)
MehrMatlab Einführung. Tobias Wunner
Matlab Einführung Tobias Wunner 16. Oktober 2006 Vorteile Interpreter und interaktive Befehlseingabe Schnelles Implementieren von wissenschaftlichen Methoden Gutes Hilfesystem >> lookfor 'sum' TRACE Sum
MehrLineare Algebra 1. . a n1 a n2 a n3 a nm
Lineare Algebra 1 Lineare Algebra Hilfreiche Konzepte zur Vereinfachung der Darstellung und Berechnung stellt die lineare Algebra bereit. Auch wenn sie nur an wenigen Stellen des Buches verwendet wurden,
MehrTermin 7: DATENSTRUKTUREN UND ALGORITHMEN
Termin 7: DATENSTRUKTUREN UND ALGORITHMEN 133 Modell-Annahmen Annahme: Für eine dünn besetzte Matrix der Dimensionen M x N gilt nnz = Ω(N, M). Annahme: Der schnelle Speicher ist nicht groß genug, um eine
Mehr1.Übung Mathematik I
1Übung Mathematik I 1) Ist folgende Aussage eine Implikation? ( Begründung!) (( A B) -> ( A C) ) = > (C A) 2 Onkel Dagobert wurde Geld aus seinem Geldspeicher gestohlen Er hat drei Tatverdächtige: Die
MehrAnalytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?
MehrDatenverarbeitung und Tabellenkalkulation. Braunschweig, den Dipl.- Ing. Katrin Leicht
Datenverarbeitung und Tabellenkalkulation Braunschweig, den 20.11.2014 Dipl.- Ing. Katrin Leicht Gliederung Was ist Matlab? Messignal Filtern Kurze Einführung in Excel Schnittstelle Excel-Matlab Beispiele
MehrMatrizenoperationen mit FORTRAN
Kapitel 2 Matrizenoperationen mit FORTRAN 21 Grundlagen Bei vielen Anwendungen müssen große zusammenhängende Datenmengen gespeichert und verarbeitet werden Deshalb ist es sinnvoll, diese Daten nicht als
MehrTag 9: Datenstrukturen
Tag 9: Datenstrukturen A) Datenstrukturen B) Cell Arrays C) Anwendungsbeispiel: Stimulation in einem psychophysikalischen Experiment A) Datenstrukturen Wenn man komplizierte Datenmengen verwalten möchte,
MehrEinführung in MATLAB zur Veranstaltung Einführung in die Numerik
Einführung in MATLAB zur Veranstaltung Einführung in die Numerik Christian Stohrer Mathematisches Institut der Universität Basel FS 2011 MATLAB Einführung zur Veranstaltung Einführung in die Numerik Bitte
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie 6
R. Hiptmair S. Pintarelli E. Spindler Herbstsemester 2014 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG Serie 6 ETH Zürich D-MATH Einleitung. Diese Serie behandelt nochmals das Rechnen mit Vektoren
MehrÜberbestimmte Gleichungssysteme, Regression
Überbestimmte Gleichungssysteme, Regression 8. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas MUL 16. Mai 2013 C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 1 / 19 Gliederung 1 Überbestimmte
Mehr[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
MehrMatrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix
Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das
MehrTag 1: Einführung in Programmierung und Benutzung von Matlab
Tag 1: Einführung in Programmierung und Benutzung von Matlab A) Die Matlab-Oberfläche und Matlab als Taschenrechner B) Vektoren und Matrizen C) Grafische Darstellung von Vektoren D) Hausaufgabe A) Die
MehrNormalengleichungen. Für eine beliebige m n Matrix A erfüllt jede Lösung x des Ausgleichsproblems Ax b min die Normalengleichungen A t Ax = A t b,
Normalengleichungen Für eine beliebige m n Matrix A erfüllt jede Lösung x des Ausgleichsproblems Ax b min die Normalengleichungen A t Ax = A t b, Normalengleichungen 1-1 Normalengleichungen Für eine beliebige
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
MehrSkalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)
Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +
MehrVorlesung 5: DATENSTRUKTUREN UND ALGORITHMEN
Vorlesung 5: DATENSTRUKTUREN UND ALGORITHMEN 125 Motivation! Wahl der Datenstruktur wichtiger Schritt beim Entwurf und der Implementierung von Algorithmen! Dünn besetzte Graphen und Matrizen bilden keine
Mehr3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
MehrMathematik für Informatiker II Übungsblatt 7
Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Vincent Blaskowitz Übungsblatt 7 vom 03.06.20 Aufgabe Aufgabenstellung Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner: i log 0,008 ii log 2 Lösung
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
Mehr