Mathematik für Informatiker 1 Tutorium

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1 Mathematik für Informatiker 1 Tutorium Malte Isberner M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

2 Themen heute Zur Auswahl... Besprechung der Probeklausur Verbände Gruppen und Ringe M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

3 Probeklausur Probeklausur 6 Aufgaben, insg. 60 Punkte ( echte Klausur: insg. 100 Punkte) Besprechung heißt: Kein Lösen/Vorrechnen der Aufgaben! Diskussion der Aufgabenstellung: Was ist gefragt? Auf welche Weise kann/muss die Aufgabe gelöst werden? Welche Lösungsansätze gibt es? M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

4 Probeklausur Aufgabe 1 Aufgabe Seien A, B, C Aussagen. Zeigen Sie die semantische Äquivalenz ( A ( B (C A) )) A ( B C) unter Verwendung der in der Vorlesung eingeführten Gesetze der Aussagenlogik (Kommutativität, Assoziativität, Absorption, Distributivität, Negation, Idempotenz, Doppelnegation, De Morgan, Neutralität). Formen Sie den linksseitigen Ausdruck unter Verwendung der De Morganschen Gesetze und dem Gesetz der Doppelnegation zunächst soweit um, dass Negationen höchstens noch vor den elementaren Aussagen stehen. Formen Sie dann unter Verwendung anderer Gesetze weiter um. Machen Sie bei jeder Umformung die verwendeten Regeln kenntlich. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

5 Probeklausur Aufgabe 1 Aufgabe Seien A, B, C Aussagen. Zeigen Sie die semantische Äquivalenz ( A ( B (C A) )) A ( B C) unter Verwendung der in der Vorlesung eingeführten Gesetze der Aussagenlogik (Kommutativität, Assoziativität, Absorption, Distributivität, Negation, Idempotenz, Doppelnegation, De Morgan, Neutralität). Formen Sie den linksseitigen Ausdruck unter Verwendung der De Morganschen Gesetze und dem Gesetz der Doppelnegation zunächst soweit um, dass Negationen höchstens noch vor den elementaren Aussagen stehen. Formen Sie dann unter Verwendung anderer Gesetze weiter um. Machen Sie bei jeder Umformung die verwendeten Regeln kenntlich. (A ( B (C A) )) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

6 Probeklausur Aufgabe 1 Aufgabe Seien A, B, C Aussagen. Zeigen Sie die semantische Äquivalenz ( A ( B (C A) )) A ( B C) unter Verwendung der in der Vorlesung eingeführten Gesetze der Aussagenlogik (Kommutativität, Assoziativität, Absorption, Distributivität, Negation, Idempotenz, Doppelnegation, De Morgan, Neutralität). Formen Sie den linksseitigen Ausdruck unter Verwendung der De Morganschen Gesetze und dem Gesetz der Doppelnegation zunächst soweit um, dass Negationen höchstens noch vor den elementaren Aussagen stehen. Formen Sie dann unter Verwendung anderer Gesetze weiter um. Machen Sie bei jeder Umformung die verwendeten Regeln kenntlich. ( A ( B (C A) )) A ( B (C A) ) (De Morgan) A ( B (C A) ) (De Morgan). M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

7 Probeklausur Aufgabe 1 Aufgabe Seien A, B, C Aussagen. Zeigen Sie die semantische Äquivalenz ( A ( B (C A) )) A ( B C) unter Verwendung der in der Vorlesung eingeführten Gesetze der Aussagenlogik (Kommutativität, Assoziativität, Absorption, Distributivität, Negation, Idempotenz, Doppelnegation, De Morgan, Neutralität). Formen Sie den linksseitigen Ausdruck unter Verwendung der De Morganschen Gesetze und dem Gesetz der Doppelnegation zunächst soweit um, dass Negationen höchstens noch vor den elementaren Aussagen stehen. Formen Sie dann unter Verwendung anderer Gesetze weiter um. Machen Sie bei jeder Umformung die verwendeten Regeln kenntlich. ( A ( B (C A) )) A ( B (C A) ) (De Morgan) A ( B (C A) ) (De Morgan). ( A ( B C) ) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

8 Probeklausur Aufgabe 1 (Forts.) Aufgabe ( A ( B (C A) )) A ( B C) Zeigen Sie die semantische Äquivalenz aus Teil 1) mit Hilfe einer Wahrheitstafel. Wie sieht Wahrheitstafel optimalerweise aus? M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

9 Probeklausur Aufgabe 1 (Forts.) Aufgabe ( A ( B (C A) )) A ( B C) Zeigen Sie die semantische Äquivalenz aus Teil 1) mit Hilfe einer Wahrheitstafel. Wie sieht Wahrheitstafel optimalerweise aus? Eine Spalte je Elementaraussage A, B, C Eine Spalte je Teilausdruck ( A, C A, etc.). Tipp: Eigene Bezeichner (z.b. X df...) für mehrfach vorkommende Teilausdrücke einführen ( Zu Gesamtausdrücken A ( B (C A) )) bzw. A ( B C) korrespondierende Spalten hervorheben (diese Spalten müssen zeilenweise gleich sein) 3 Elementaraussagen 2 3 = 8 Zeilen. Tipp: Nach Wahrheitswert für A, B, C systematisch aufzählen (fff, ffw, fwf, fww,...) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

10 Probeklausur Aufgabe 2 Aufgabe Es sei die Menge M = df {a, e, k, y} gegeben. Wir definieren die Relation R = df {(a, a), (a, y), (e, e), (k, a), (k, k), (k, y), (y, a), (y, y)}. 1 Ist R eine Quasiordnung? Ist R eine partielle Ordnung? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 2 Geben Sie R 1 und R R 1 an. 3 Ist R R 1 eine partielle Ordnung? Ist R R 1 eine Äquivalenzrelation? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

11 Probeklausur Aufgabe 2 Aufgabe Es sei die Menge M = df {a, e, k, y} gegeben. Wir definieren die Relation R = df {(a, a), (a, y), (e, e), (k, a), (k, k), (k, y), (y, a), (y, y)}. 1 Ist R eine Quasiordnung? Ist R eine partielle Ordnung? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 2 Geben Sie R 1 und R R 1 an. 3 Ist R R 1 eine partielle Ordnung? Ist R R 1 eine Äquivalenzrelation? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 1 Quasiordnung: Reflexivität, Transitivität; part. Ordnung: zusätzlich Antisymmetrie (d.h.: keine Quasiordnung keine part. Ordnung) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

12 Probeklausur Aufgabe 2 Aufgabe Es sei die Menge M = df {a, e, k, y} gegeben. Wir definieren die Relation R = df {(a, a), (a, y), (e, e), (k, a), (k, k), (k, y), (y, a), (y, y)}. 1 Ist R eine Quasiordnung? Ist R eine partielle Ordnung? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 2 Geben Sie R 1 und R R 1 an. 3 Ist R R 1 eine partielle Ordnung? Ist R R 1 eine Äquivalenzrelation? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 1 Quasiordnung: Reflexivität, Transitivität; part. Ordnung: zusätzlich Antisymmetrie (d.h.: keine Quasiordnung keine part. Ordnung) 2 R 1 : alle Paare umdrehen, also R 1 = {(a, a), (y, a),...} M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

13 Probeklausur Aufgabe 2 Aufgabe Es sei die Menge M = df {a, e, k, y} gegeben. Wir definieren die Relation R = df {(a, a), (a, y), (e, e), (k, a), (k, k), (k, y), (y, a), (y, y)}. 1 Ist R eine Quasiordnung? Ist R eine partielle Ordnung? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 2 Geben Sie R 1 und R R 1 an. 3 Ist R R 1 eine partielle Ordnung? Ist R R 1 eine Äquivalenzrelation? Beweisen bzw. widerlegen Sie jeweils. 1 Quasiordnung: Reflexivität, Transitivität; part. Ordnung: zusätzlich Antisymmetrie (d.h.: keine Quasiordnung keine part. Ordnung) 2 R 1 : alle Paare umdrehen, also R 1 = {(a, a), (y, a),...} 3 R R 1 : überlegen, unter welchem Namen R R 1 auch eingeführt wurde, ansonsten Vorgehen wie bei 1. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

14 Probeklausur Aufgabe 2 (Forts.) Aufgabe Wir definieren die Relation S Z Z durch a S b df a b ist durch 7 teilbar. Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. Erinnerung: Eine Zahl x Z ist durch eine Zahl y Z \ {0} teilbar, wenn es eine Zahl k Z gibt, so dass x = k y gilt. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

15 Probeklausur Aufgabe 2 (Forts.) Aufgabe Wir definieren die Relation S Z Z durch a S b df a b ist durch 7 teilbar. Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. Erinnerung: Eine Zahl x Z ist durch eine Zahl y Z \ {0} teilbar, wenn es eine Zahl k Z gibt, so dass x = k y gilt. Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

16 Probeklausur Aufgabe 2 (Forts.) Aufgabe Wir definieren die Relation S Z Z durch a S b df a b ist durch 7 teilbar. Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. Erinnerung: Eine Zahl x Z ist durch eine Zahl y Z \ {0} teilbar, wenn es eine Zahl k Z gibt, so dass x = k y gilt. Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität Beweisschema: Reflexivität: Sei a Z beliebig. Zu zeigen ist nun, dass asa gilt.... Symmetrie: Seien a, b Z und gelte asb. Zu zeigen ist nun, dass dann auch bsa gilt.... Transitivität: Seien a, b, c Z und gelte asb sowie bsc. Zu zeigen ist nun, dass dann auch asc gilt.... M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

17 Probeklausur Aufgabe 3 Aufgabe Zeigen Sie die folgende Aussage mit verallgemeinerter Induktion. Für jede Zahl n N gilt: n ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Erinnerung: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. So hat bspw. die Zahl 108 die Quersumme = 9, und in der Tat sind sowohl 9 als auch 108 durch 3 teilbar. Erinnerung 2: Eine Zahl n N ist durch eine Zahl t N teilbar, wenn es eine Zahl k N gibt, so dass n = t k gilt. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

18 Probeklausur Aufgabe 3 Aufgabe Zeigen Sie die folgende Aussage mit verallgemeinerter Induktion. Für jede Zahl n N gilt: n ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Erinnerung: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. So hat bspw. die Zahl 108 die Quersumme = 9, und in der Tat sind sowohl 9 als auch 108 durch 3 teilbar. Erinnerung 2: Eine Zahl n N ist durch eine Zahl t N teilbar, wenn es eine Zahl k N gibt, so dass n = t k gilt. Verallgemeinerte Induktion: Im Induktionsschritt (Beweis der Aussage für ein n N) annehmen, dass m < n. m 3 qs(m) 3 gilt. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

19 Probeklausur Aufgabe 3 Aufgabe Zeigen Sie die folgende Aussage mit verallgemeinerter Induktion. Für jede Zahl n N gilt: n ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Erinnerung: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. So hat bspw. die Zahl 108 die Quersumme = 9, und in der Tat sind sowohl 9 als auch 108 durch 3 teilbar. Erinnerung 2: Eine Zahl n N ist durch eine Zahl t N teilbar, wenn es eine Zahl k N gibt, so dass n = t k gilt. Verallgemeinerte Induktion: Im Induktionsschritt (Beweis der Aussage für ein n N) annehmen, dass m < n. m 3 qs(m) 3 gilt. Was könnten Basisfälle sein? Tipp: Für welche n N ist die Aussage trivial (z.b. weil n = qs(n) gilt... )? M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

20 Probeklausur Aufgabe 3 (Forts.) Aufgabe Betrachten Sie die folgende BNF mit den Terminalsymbolen {0, 1} und Nichtterminalsymbolen { A, E, H, M, T }, deren Startsymbol T ist: A ::= 11, E ::= 101, H ::= 010, M ::= 00 T ::= M A T H E Beweisen Sie mit struktureller Induktion: In jedem Bitstring, der von T abgeleitet werden kann, ist die Anzahl der enthaltenen 0en und 1en gleich. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

21 Probeklausur Aufgabe 3 (Forts.) Aufgabe Betrachten Sie die folgende BNF mit den Terminalsymbolen {0, 1} und Nichtterminalsymbolen { A, E, H, M, T }, deren Startsymbol T ist: A ::= 11, E ::= 101, H ::= 010, M ::= 00 T ::= M A T H E Beweisen Sie mit struktureller Induktion: In jedem Bitstring, der von T abgeleitet werden kann, ist die Anzahl der enthaltenen 0en und 1en gleich. Mag kompliziert aussehen: verallg. BNF-Induktion, d.h. eine Induktionsbehauptung pro Nichtterminalsymbol? (Buch, Abschnitt 5.4.7) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

22 Probeklausur Aufgabe 3 (Forts.) Aufgabe Betrachten Sie die folgende BNF mit den Terminalsymbolen {0, 1} und Nichtterminalsymbolen { A, E, H, M, T }, deren Startsymbol T ist: A ::= 11, E ::= 101, H ::= 010, M ::= 00 T ::= M A T H E Beweisen Sie mit struktureller Induktion: In jedem Bitstring, der von T abgeleitet werden kann, ist die Anzahl der enthaltenen 0en und 1en gleich. Mag kompliziert aussehen: verallg. BNF-Induktion, d.h. eine Induktionsbehauptung pro Nichtterminalsymbol? (Buch, Abschnitt 5.4.7) Viel einfacher: Betrachte Nichtterminalsymbole A, E, H, M genauer. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

23 Probeklausur Aufgabe 3 (Forts.) Aufgabe Betrachten Sie die folgende BNF mit den Terminalsymbolen {0, 1} und Nichtterminalsymbolen { A, E, H, M, T }, deren Startsymbol T ist: A ::= 11, E ::= 101, H ::= 010, M ::= 00 T ::= M A T H E Beweisen Sie mit struktureller Induktion: In jedem Bitstring, der von T abgeleitet werden kann, ist die Anzahl der enthaltenen 0en und 1en gleich. Mag kompliziert aussehen: verallg. BNF-Induktion, d.h. eine Induktionsbehauptung pro Nichtterminalsymbol? (Buch, Abschnitt 5.4.7) Viel einfacher: Betrachte Nichtterminalsymbole A, E, H, M genauer. Vereinfachte BNF: T ::= 0011 T M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

24 Probeklausur Aufgabe 3 (Forts.) Aufgabe Betrachten Sie die folgende BNF mit den Terminalsymbolen {0, 1} und Nichtterminalsymbolen { A, E, H, M, T }, deren Startsymbol T ist: A ::= 11, E ::= 101, H ::= 010, M ::= 00 T ::= M A T H E Beweisen Sie mit struktureller Induktion: In jedem Bitstring, der von T abgeleitet werden kann, ist die Anzahl der enthaltenen 0en und 1en gleich. Mag kompliziert aussehen: verallg. BNF-Induktion, d.h. eine Induktionsbehauptung pro Nichtterminalsymbol? (Buch, Abschnitt 5.4.7) Viel einfacher: Betrachte Nichtterminalsymbole A, E, H, M genauer. Vereinfachte BNF: T ::= 0011 T Beweisschema: Ein Fall pro (effektiver) Produktionsregel Fall 1: Sei w = Fall 2: Sei w ein aus der Regel T ::= 0011 T erzeugter Bitstring (also w = 0011w, wobei w aus T erzeugt wurde).... M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

25 Probeklausur Aufgabe 4 Aufgabe Sei M eine beliebige Menge und T (M) die Menge aller transitiven Relationen auf M. In T (M) sind also alle Relationen R M M enthalten, die erfüllen, dass für alle a, b, c M gilt: Wenn (a, b) R und (b, c) R, dann ist auch (a, c) R. Ist (T (M), ) ein Verband? Beweisen oder widerlegen Sie. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

26 Probeklausur Aufgabe 4 Aufgabe Sei M eine beliebige Menge und T (M) die Menge aller transitiven Relationen auf M. In T (M) sind also alle Relationen R M M enthalten, die erfüllen, dass für alle a, b, c M gilt: Wenn (a, b) R und (b, c) R, dann ist auch (a, c) R. Ist (T (M), ) ein Verband? Beweisen oder widerlegen Sie. Was ist hier zu prüfen? -Ordnung ist bekannt (und ist part. Ordnung) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

27 Probeklausur Aufgabe 4 Aufgabe Sei M eine beliebige Menge und T (M) die Menge aller transitiven Relationen auf M. In T (M) sind also alle Relationen R M M enthalten, die erfüllen, dass für alle a, b, c M gilt: Wenn (a, b) R und (b, c) R, dann ist auch (a, c) R. Ist (T (M), ) ein Verband? Beweisen oder widerlegen Sie. Was ist hier zu prüfen? -Ordnung ist bekannt (und ist part. Ordnung) Klar: Supremum in (T (M), ) ist mindestens so groß wie im Potenzmengenverband (P(M M), ) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

28 Probeklausur Aufgabe 4 Aufgabe Sei M eine beliebige Menge und T (M) die Menge aller transitiven Relationen auf M. In T (M) sind also alle Relationen R M M enthalten, die erfüllen, dass für alle a, b, c M gilt: Wenn (a, b) R und (b, c) R, dann ist auch (a, c) R. Ist (T (M), ) ein Verband? Beweisen oder widerlegen Sie. Was ist hier zu prüfen? -Ordnung ist bekannt (und ist part. Ordnung) Klar: Supremum in (T (M), ) ist mindestens so groß wie im Potenzmengenverband (P(M M), ) Mindestens: T (M) enthält weniger Elemente als Potenzmenge. Für R 1, R 2 T (M) muss nicht unbedingt R 1 R 2 T (M) gelten (aber es kann bzgl. keine obere Schranke geben, die kleiner als R 1 R 2 ist) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

29 Probeklausur Aufgabe 4 Aufgabe Sei M eine beliebige Menge und T (M) die Menge aller transitiven Relationen auf M. In T (M) sind also alle Relationen R M M enthalten, die erfüllen, dass für alle a, b, c M gilt: Wenn (a, b) R und (b, c) R, dann ist auch (a, c) R. Ist (T (M), ) ein Verband? Beweisen oder widerlegen Sie. Was ist hier zu prüfen? -Ordnung ist bekannt (und ist part. Ordnung) Klar: Supremum in (T (M), ) ist mindestens so groß wie im Potenzmengenverband (P(M M), ) Mindestens: T (M) enthält weniger Elemente als Potenzmenge. Für R 1, R 2 T (M) muss nicht unbedingt R 1 R 2 T (M) gelten (aber es kann bzgl. keine obere Schranke geben, die kleiner als R 1 R 2 ist) Fragestellung: Wenn R 1 R 2 / T (M), lässt es sich eindeutig zu einer kleinsten oberen Schranke in T (M) ergänzen? M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

30 Probeklausur Aufgabe 4 Aufgabe Sei M eine beliebige Menge und T (M) die Menge aller transitiven Relationen auf M. In T (M) sind also alle Relationen R M M enthalten, die erfüllen, dass für alle a, b, c M gilt: Wenn (a, b) R und (b, c) R, dann ist auch (a, c) R. Ist (T (M), ) ein Verband? Beweisen oder widerlegen Sie. Was ist hier zu prüfen? -Ordnung ist bekannt (und ist part. Ordnung) Klar: Supremum in (T (M), ) ist mindestens so groß wie im Potenzmengenverband (P(M M), ) Mindestens: T (M) enthält weniger Elemente als Potenzmenge. Für R 1, R 2 T (M) muss nicht unbedingt R 1 R 2 T (M) gelten (aber es kann bzgl. keine obere Schranke geben, die kleiner als R 1 R 2 ist) Fragestellung: Wenn R 1 R 2 / T (M), lässt es sich eindeutig zu einer kleinsten oberen Schranke in T (M) ergänzen? Analog für Infimum. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

31 Probeklausur Aufgabe 4 (Forts.) Aufgabe Wir definieren die Menge V = df {0, chr, ist, ma, me, rry, s, 1}, die acht verschiedene Symbole enthält. Auf dieser Menge V legen wir durch folgendes Hasse-Diagramm eine Ordnung so fest, dass V mit dieser Ordnung einen Verband bildet: 1 chr me ma rry s ist 0 Ist dieser Verband distributiv? M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

32 Probeklausur Aufgabe 4 (Forts.) Aufgabe Wir definieren die Menge V = df {0, chr, ist, ma, me, rry, s, 1}, die acht verschiedene Symbole enthält. Auf dieser Menge V legen wir durch folgendes Hasse-Diagramm eine Ordnung so fest, dass V mit dieser Ordnung einen Verband bildet: 1 chr me ma rry s ist 0 Ist dieser Verband distributiv? In distributivem Verband gelten Distributivgesetze x, y, z V. x (y z) = (x y) (x z) x, y, z V. x (y z) = (x y) (x z) M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

33 Probeklausur Aufgabe 5 Aufgabe Sei M 1, 1 Monoid mit neutralem Element e 1, M 2, 2 Monoid mit neutralem Element e 2 und h : M 1, 1 M 2, 2 ein Monoidhomomorphismus. Beweisen Sie: a h ist injektiv Kern(h) = {e 1}. a Wie üblich gilt Kern(h) = df {m M 1 h(m) = e 2}. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

34 Probeklausur Aufgabe 5 Aufgabe Sei M 1, 1 Monoid mit neutralem Element e 1, M 2, 2 Monoid mit neutralem Element e 2 und h : M 1, 1 M 2, 2 ein Monoidhomomorphismus. Beweisen Sie: a h ist injektiv Kern(h) = {e 1}. a Wie üblich gilt Kern(h) = df {m M 1 h(m) = e 2}. Implikation: Beweis z.b. per Kontraposition Kern(h) {e 1 } h ist nicht injektiv M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

35 Probeklausur Aufgabe 5 Aufgabe Sei M 1, 1 Monoid mit neutralem Element e 1, M 2, 2 Monoid mit neutralem Element e 2 und h : M 1, 1 M 2, 2 ein Monoidhomomorphismus. Beweisen Sie: a h ist injektiv Kern(h) = {e 1}. a Wie üblich gilt Kern(h) = df {m M 1 h(m) = e 2}. Implikation: Beweis z.b. per Kontraposition Kern(h) {e 1 } h ist nicht injektiv Sei Kern(h) {e 1 }, also Kern(h) = oder es gibt a Kern(h) mit a e 1. Zu zeigen ist nun, dass daraus folgt: es existieren x, y M 1 mit h(x) = h(y). M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

36 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Im Gegensatz zu Gruppenhomomorphismen gilt die Umkehrung der Implikation in Teil 1) für Monoidhomomorphismen im allgemeinen nicht. Geben Sie zwei Monoide und einen nicht injektiven Monoidhomomorphismus zwischen diesen an, so dass dessen Kern dennoch trivial ist. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

37 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Im Gegensatz zu Gruppenhomomorphismen gilt die Umkehrung der Implikation in Teil 1) für Monoidhomomorphismen im allgemeinen nicht. Geben Sie zwei Monoide und einen nicht injektiven Monoidhomomorphismus zwischen diesen an, so dass dessen Kern dennoch trivial ist. Aufgabenstellung sorgfältig lesen! Was ist gesucht? M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

38 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Im Gegensatz zu Gruppenhomomorphismen gilt die Umkehrung der Implikation in Teil 1) für Monoidhomomorphismen im allgemeinen nicht. Geben Sie zwei Monoide und einen nicht injektiven Monoidhomomorphismus zwischen diesen an, so dass dessen Kern dennoch trivial ist. Aufgabenstellung sorgfältig lesen! Was ist gesucht? Monoide M1, 1, M 2, 2 M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

39 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Im Gegensatz zu Gruppenhomomorphismen gilt die Umkehrung der Implikation in Teil 1) für Monoidhomomorphismen im allgemeinen nicht. Geben Sie zwei Monoide und einen nicht injektiven Monoidhomomorphismus zwischen diesen an, so dass dessen Kern dennoch trivial ist. Aufgabenstellung sorgfältig lesen! Was ist gesucht? Monoide M1, 1, M 2, 2 Monoidhomomorphismus h : M 1 M 2, so dass M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

40 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Im Gegensatz zu Gruppenhomomorphismen gilt die Umkehrung der Implikation in Teil 1) für Monoidhomomorphismen im allgemeinen nicht. Geben Sie zwei Monoide und einen nicht injektiven Monoidhomomorphismus zwischen diesen an, so dass dessen Kern dennoch trivial ist. Aufgabenstellung sorgfältig lesen! Was ist gesucht? Monoide M1, 1, M 2, 2 Monoidhomomorphismus h : M 1 M 2, so dass h nicht injektiv ist M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

41 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Im Gegensatz zu Gruppenhomomorphismen gilt die Umkehrung der Implikation in Teil 1) für Monoidhomomorphismen im allgemeinen nicht. Geben Sie zwei Monoide und einen nicht injektiven Monoidhomomorphismus zwischen diesen an, so dass dessen Kern dennoch trivial ist. Aufgabenstellung sorgfältig lesen! Was ist gesucht? Monoide M1, 1, M 2, 2 Monoidhomomorphismus h : M 1 M 2, so dass h nicht injektiv ist aber Kern(h) = {e 1} M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

42 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Es sei G, eine Gruppe. Zu festem x G sei auf G eine weitere Verknüpfung : G G G durch a b = df a x b definiert. 1 Zeigen Sie, dass G, eine Gruppe ist. 2 Erstellen Sie die Verknüpfungstabelle für konkret für das Beispiel G, = Z 3, + 3 und x = 2. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

43 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Es sei G, eine Gruppe. Zu festem x G sei auf G eine weitere Verknüpfung : G G G durch a b = df a x b definiert. 1 Zeigen Sie, dass G, eine Gruppe ist. 2 Erstellen Sie die Verknüpfungstabelle für konkret für das Beispiel G, = Z 3, + 3 und x = 2. 1 Nachweisen, dass G, eine Gruppe ist: Assoziativität, neutrales Element, inverses Element Schema: Assoziativität: Seien a, b, c G beliebig. Zu zeigen ist nun, dass a (b c) = (a b) c gilt.... Neutrales Element: Es ist ein Element e G gesucht, so dass für jedes a G a e = a gilt (a e = a x e).... Inverse Elemente: Zu einem beliebigen Element a G ist ein Element ā gesucht, so dass a ā = e gilt.... M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

44 Probeklausur Aufgabe 5 (Forts.) Aufgabe Es sei G, eine Gruppe. Zu festem x G sei auf G eine weitere Verknüpfung : G G G durch a b = df a x b definiert. 1 Zeigen Sie, dass G, eine Gruppe ist. 2 Erstellen Sie die Verknüpfungstabelle für konkret für das Beispiel G, = Z 3, + 3 und x = 2. 1 Nachweisen, dass G, eine Gruppe ist: Assoziativität, neutrales Element, inverses Element Schema: Assoziativität: Seien a, b, c G beliebig. Zu zeigen ist nun, dass a (b c) = (a b) c gilt.... Neutrales Element: Es ist ein Element e G gesucht, so dass für jedes a G a e = a gilt (a e = a x e).... Inverse Elemente: Zu einem beliebigen Element a G ist ein Element ā gesucht, so dass a ā = e gilt Einfach ausrechnen: 1 2 = = 2 etc.... M. Isberner MafI1-Tutorium / 15

45 Probeklausur Aufgabe 6 Aufgabe 9.6 Wissensfragen 1 Die Menge der durch 2 teilbaren natürlichen Zahlen ist echt mächtiger als die Menge der durch 7 teilbaren natürlichen Zahlen. 2 Die Funktion qs : N N, die jeder natürlichen Zahl ihre Quersumme zuordnet, ist ein Ordnungshomomorphismus bzgl. der -Ordnung auf den natürlichen Zahlen. 3 Wenn die Relationen R A A und S A A transitiv sind, dann ist auch die Relation R S transitiv. 4 Die Menge der positiven natürlichen Zahlen N\{0} mit der Teilbarkeitsrelation bildet einen vollständigen Verband. 5 Es gibt keinen Körperhomomorhismus von R nach Q. 6 Z 12, + 12 hat keine Untergruppe mit 5 Elementen. M. Isberner MafI1-Tutorium / 15