2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen. Allgemein: Punktschätzung eines Parameters:

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1 . Schätzverfahre. Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Allgemei: Puktschätzug eies Parameters: Ermittlug eies Schätzwertes für eie ubekate Parameter eier Zufallsvariable i der Grudgesamtheit mit Hilfe vo Ergebisse aus eier Zufallsstichprobe, d.h. als Stichprobefuktio. Alterative? II.

2 . Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Beispiel: Relative Häufigkeit ist: Schätzug der Wahrscheilichkeit P(A) eies zufällige Ereigisses A ud damit Puktschätzug für Parameter p P(A) eier Zweipukt- oder Biomialverteilug II.

3 . Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle (II) Formal: X Variable (Statistisches Merkmal) i eier Grudgesamtheit G mit bestimmter Häufigkeitsverteilug sowie bekate ud ubekate Kegröße (Parameter). Gesucht: Ubekater kokreter Parameter π vo X i G. II. 3

4 . Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Beispiele für Parameter π: - Arithmetisches Mittel des Merkmals X, Erwartugswert der Zufallsvariable µ X: E( X ), - Var( X ) σ - Relative Häufigkeit der Ausprägug x i, Wahrscheilichkeit p i des Ereigisses E i - Weitere? II. 4

5 . Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle (III) Hilfsmittel: Zufallsstichprobe S aus G: Stichprobevariable X, X,..., X Nach der Erhebug: Realisatioe (vo X): x, x,..., x Schätzfuktio, Schätzer Πˆ : Vorschrift (Formel, Regel) zur Bestimmug eies Näherugswertes für π aus X,...X (eie Stichprobefuktio ) II. 5

6 . Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle (IV) Πˆ ist Zufallsvariable mit Realisatio πˆ. Warum?? Beispiel: Schätzfuktioe für de Erwartugswert E(X) µ: Vorschläge?? Schätzfehler: π Πˆ ( Zufallsvariable??) II. 6

7 .. Agestrebte Eigeschafte vo Schätzer Erwüscht, (icht ubedigt gegebe!!): E( Π) ˆ π a) We, da heißt erwartugstreu. Πˆ Bedeutug? B E( Πˆ ) π Gegeteil: Verzerrug (Bias): Schätzfehler Zufallsfehler + Bias II. 7

8 .. Agestrebte Eigeschafte vo Schätzer (II) Beispiel: Stichprobemedia ist i. d. R. verzerrter Schätzer für µ. (We icht erwartugstreu, da vielleicht weigstes) Asymptotisch erwartugstreu: d.h. lim B lim{e( Πˆ ) π} 0 II. 8

9 .. Agestrebte Eigeschafte vo Schätzer (III) Πˆ b) We midestes asymptotisch erwartugstreu ud lim Var( Πˆ ) lim [E( π Πˆ ) ] 0, da heißt Πˆ kosistet Bedeutug? II. 9

10 .. Agestrebte Eigeschafte vo Schätzer (IV) c) We Var( Πˆ da heißt Πˆ j j ) Var( Πˆ ) effiziet i für i,...,k ud alleπ, uter de Πˆ, Πˆ,... Πˆ k (Güte eies Schätzers uter verschiedee erwartugstreue Puktschätzer für eie Parameter B auf Grud des Variazvergleichs) II. 0

11 .. Agestrebte Eigeschafte vo Schätzer (V) Awedbarkeit vieler Schätzer oft durch strege Voraussetzuge begrezt. Deshalb wichtig: d) We ei Schätzer gegeüber der Nicht-Erfüllug eigetlich otwediger Voraussetzuge, etwa hisichtlich der Verteilug des utersuchte Merkmals (z. B. Ausreißer!), uempfidlich ist, da heißt er robust. II.

12 .. Beispiele Erwartugswert ud Variaz a) Gesucht: Durchschitt vo X i der Grudgesamtheit: µ E(X) Ei möglicher Schätzer ist der Stichprobedurchschitt: Erwartugstreu? Prüfe: E X i i E( X i ) E( X ) µ µ d.h.?? II.

13 .. Beispiele Erwartugswert ud Variaz (II) Kosistet? Prüfe: Var( X X i ) Var( ) ( X uabhägig) i Var( ) Var( ) X i X Var( X) Var( X )?? Voraussetzug: uedliche Wiederholbarkeit Sost?? II. 3

14 .. Beispiele Erwartugswert ud Variaz (III) Nebeergebis: Var( X ) σ Bedeutug? Für kleie edliche Grudgesamtheit (N) ud Stichprobe ohe Zurücklege Korrektur Var( N... σ N X ) Warum? II. 4

15 .. Beispiele Erwartugswert ud Variaz (IV) b) Gesucht: Variaz vo X i der Grudgesamtheit: Var(X)σ² Eie Schätzfuktio σ ˆ (X i X )² Erwartugstreu? σ ² E ( ˆ σ ²) ( ) <... d.h.? aber asymptotisch erwartugstreu (warum?) ud kosistet. II. 5

16 .. Beispiele Erwartugswert ud Variaz (V) Aderer Schätzer: Stichprobevariaz S ( X i X )... bzw. S ( N ) N X i X ) ( ) Wa, wie? Erwartugstreu? Bitte zeige! S² ist kosistet (ohe Beweis) II. 6

17 .. Beispiele Erwartugswert ud Variaz (VI) Wichtige Frage: Wie fidet ma geeigete Schätzer? Es gibt viele Methode, um zu eier Schätzfuktio zu komme, z.b. II. 7

18 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS a) Maximum-Likelihood-Methode Wahl des Parameterwerts so, dass für ih - we er als wahrer Parameter geomme würde das gefudee Zufallsstichprobeergebis die höchste Wahrscheilichkeit (-sdichte) hätte II. 8

19 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (II) Beispiel: X zweipuktverteilt (0; ) mit Parameter p (ubekat) Versuche: X, X,..., X Realisatioe: x, x,..., x z.b Zufallsvariable H Azahl des Auftretes der bei Versuche (Verteilug??) II. 9

20 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (III) och Beispiel: Realisierug vo H: kokrete atürliche Zahl h also: h-mal, (-h)-mal 0 h Σ x i Wahrscheilichkeitstabelle für X (d.h. für alle X i!) x j p j 0 -p p II. 0

21 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (IV) och Beispiel: Wahrscheilichkeit für Stichprobeergebis x, x,..., x ist ach Multiplikatiossatz für uabhägige Ereigisse P[( X P( X p x ) ( X h ( p) L( x,..., x ) P( X h x x )... ( X x )... P( X ; p) Likelihood fuktio x )] x ) II.

22 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (V) Für p Schätzer eisetze. Fuktio durch Logarithmiere liearisiere: p ˆl L h l pˆ + ( - h) l (- pˆ ) Loglikelihoodfuktio Maximiere, d.h. Differeziere ach ud Nullsetze: pˆ h pˆ h ( pˆ) 0; h pˆ h ( pˆ) II.

23 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (VI) pˆ( h) p ˆ h; ( pˆ) h; p ˆ ph ˆ pˆ h ph ˆ Als was bekat?? ML-Schätzer pˆ H X i für Parameter p der Zweipukt- ud Biomialverteilug sowie für Wahrscheilichkeite ud Ateile allgemei. II. 3

24 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (VII) E( pˆ)... p( p) Var( pˆ)... Beweis: Zu : E(H) p ( s. Biomialverteilug) H p E( p ˆ) E( ) p II. 4

25 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (VIII) Zu : Var( H ) p(- p) H Var( pˆ) Var( ) Var( H ) ² p( p) p( p) ² Eigeschafte dieses Schätzers?? (Übug!!) II. 5

26 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (IX) b) Methode der kleiste Quadrate (LS) Schätzer so wähle, dass eie spezielle Fehlerquadratsumme miimal wird. Beispiel : Merkmal (Zufallsvariable) Gesucht: Erwartugswert E(X) µ (Durchschitt) Stichprobevariable Realisatioe X X,..., X x,..., x ubekater Schätzer µˆ II. 6

27 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (X) och Beispiel : Forderug : ( X i µ ˆ) mi daraus folgt : µ ˆ X X i d. h. der Stichprobedurchschitt Warum? II. 7

28 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (XI) Beispiel : Zwei Merkmale X ud Y, wobei die Zufallsvariable Y vo X abhägt. Modell: Erwartugswert vo Y ist eie (lieare) Fuktio der gegebee Realisatio x vo X: y(x) E(Y X x) α + β x, α ud β sid zu schätzede Parameter II. 8

29 ..3. Schätzprizipie: ML ud LS (XII) och Beispiel : Stichprobe ergibt Paare (x, Y ),..., (x, Y ) Schätzer a ud b für α ud β so bestimme, dass Fehlerquadratsumme Σ(Y i - (a + b x i ))² mi Bekat: Differeziere ud Nullsetze ergibt Normalgleichuge: a + b Σ x i Σ... a Σ x i + b Σ x i ² Σ x i y i II. 9