Perlen der Mathematik

Transkript

1 Claudi Alsina Roger B. Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk ~ Springer Spektrum

2 Inhaltsverzeichnis 1 Der Stuhl der Braut Der Satz des Pythagoras - Euklids und andere Beweise Die Vecten-Figur Der Kosinussatz Der Satz von Grebe und die Erweiterung von van Lamoen Pythagoras und Vecten in der Unterhaltungsmathematik Aufgaben Das Zhoubi suanjing Der Satz des Pythagoras - ein Beweis aus dem alten China Zwei klassische Ungleichungen Zwei trigonometrische Gleichungen Aufgaben Das Trapez von Garfield Der Satz des Pythagoras - der Präsidenten-Beweis Ungleichungen und das Trapez von Garfield Trigonometrische Beziehungen und Identitäten Aufgaben Der Halbkreis Der Satz des Thales Der Höhensatz von Euklid und der geometrische Mittelwert Der Halbkreis von Königin Dido Die Halbkreise des Archimedes Pappos und der harmonische Mittelwert Weitere Identitäten für Winkelfunktionen Flächen und Umfänge regulärer Vielecke Euklids Konstruktion der fünf platonischen Körper Aufgaben IX

3 X Inhaltsverzeichnis 5 Ähnliche Figuren Der Strahlensatz von Thales Der Satz des Menelaos Reptiles Homothetische Funktionen Aufgaben Transversale des Dreiecks Die Sätze von Ceva und Stewart Seitenhalbierende und der Schwerpunkt Höhen und der Höhenschnittpunkt Winkelhalbierende und der Inkreismittelpunkt Der Umkreis und sein Mittelpunkt Transversale ohne gemeinsamen Schnittpunkt Der Satz von Ceva für Kreise Aufgaben Das rechtwinklige Dreieck Rechtwinklige Dreiecke und Ungleichungen Inkreis, Umkreis und Ankreise Transversale in rechtwinkligen Dreiecken Eine Charakterisierung pythagoreischer Tripel Einige Identitäten und Ungleichungen für Winkelfunktionen Aufgaben Napoleonische Dreiecke Der Satz von Napoleon Das Dreiecksproblem von Fermat Flächenbeziehungen zwischen Napoleonischen Dreiecken Der Satz von Escher Aufgaben Bögen und Winkel Winkel und Winkelmessung Winkel in Kreisen Die Potenz eines Punktes Der Euler'sche Dreieckssatz Der Taylor-Kreis Die orthoptische Kurve einer Ellipse Aufgaben Vielecke mit Kreisen Sehnenvierecke Sangaku und der Satz von Carnot Tangenten- und Sehnen-Tangentenvierecke Der Satz von Fuß

4 Inhaltsverzeichnis XI 10.5 Der Schmetterlingssatz Aufgaben Zwei Kreise Der Augapfelsatz Aus Kreisen abgeleitete Kegelschnitte Gemeinsame Sehnen Vesica Piscis - die Fischblase Die Vesica Piscis und der Goldene Schnitt Sicheln Das Mondsichelrätsel Das Problem von Mrs. Miniver Konzentrische Kreise Aufgaben Venn-Diagramme Sätze zu drei Kreisen Dreiecke und sich schneidende Kreise Reuleaux-Vielecke Aufgaben Überlappende Figuren Der Teppich-Satz Die Irrationalität von./2 und.j Eine Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln Ungleichungen zwischen Mittelwerten Die Tschebyschow-Ungleichung Summen von dritten Potenzen Aufgaben Yin und Yang Die große Monade Kombinatorik mit Yin und Yang Integration mithilfe der Symmetrie des Yin und Yang Yin und Yang zur Unterhaltung Aufgaben Polygonzüge Geraden und Strecken Polygonalzahlen Polygonzüge in der Integralrechnung Konvexe Vielecke Polygonale Zykloiden Polygonale Kardioiden Aufgaben

5 XII Inhaltsverzeichnis 16 Sternpolygone Die Geometrie von Sternpolygonen Das Pentagramm Der Davidstern Der Lakshmi-Stern und das Oktagramm Sternpolygone in der Unterhaltungsmathematik Aufgaben Selbstähnliche Figuren Geometrische Reihen Iteratives Wachstum von Figuren Lässt sich Papier zwölf mal durch Falten halbieren? Die Spira Mirabilis Der Menger-Schwamm und der Sierpiriski-Teppich Aufgaben Tatami Der Satz des Pythagoras - Beweis von Bhäskara Tatamimatten und Fibonacci-Zahlen Tatarnimatten und Darstellungen von Quadratzahlen Tatami-Ungleichungen Verallgemeinerte Tatamimatten Aufgaben Rechtwinklige Hyperbeln Eine Kurve, viele Definitionen Die rechtwinklige Hyperbel und ihre Tangenten Ungleichungen für natürliche Logarithmen Der Sinus und Kosinus Hyperbolicus Die Reihe der Kehrwerte der Dreieckszahlen Aufgaben Parkettierung Gittermultiplikation Parkettierung als Beweisverfahren Parkettierung eines Rechtecks mit Rechtecken Der Satz des Pythagoras - unendlich viele Beweise Aufgaben Lösungen zu den Aufgaben l Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel

6 Inhaltsverzeichnis XIII 21.7 Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Literatur Sachverzeichnis