Simultane Optimierung von Managementregeln im Asset-Liability-Management deutscher Lebensversicherer

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1 Simulane Opimierung von Managemenregeln im Asse-Liabiliy-Managemen deuscher Lebensversicherer Oliver Horn und Hans-Joachim Zwiesler Preprin Series: Fakulä für Mahemaik und Wirschafswissenschafen UNIVERSITÄT ULM

2 Simulane Opimierung von Managemenregeln im Asse- Liabiliy-Managemen deuscher Lebensversicherer Horn, Oliver * Universiä Ulm Helmholzsraße 8, 8908 Ulm, Germany Phone: +49 (0) , Fax: +49 (0) Zwiesler, Hans-Joachim Universiä Ulm Helmholzsraße 8, 8908 Ulm, Germany April 2006 * conac auhor

3 Simulane Opimierung von Managemenregeln im Asse- Liabiliy-Managemen deuscher Lebensversicherer Oliver Horn und Hans-Joachim Zwiesler Kurzfassung: Der vorliegende Aufsaz unersuch die Effeke unerschiedlicher Managemenregeln auf das Asse-Liabiliy-Managemen (ALM) bei deuschen Lebensversicherungen uner besonderer Berücksichigung der Opimierung von Managemenregeln. Dabei wurde ein Simulaions- Modell aus dem Bereich des dynamischen simulanen ALM verwende. Dabei zeig sich, dass Managemenregeln die Ergebnisse im dynamischen ALM signifikan im Vergleich zu saischen (nich pfadabhängigen) ALM-Projekionen verändern. Neben der Seigerung der Realiäsnähe des ALM-Modells bieen Managemenregeln dabei vielseiige Analysemöglichkeien und zeigen dem Managemen Auswirkungen unerschiedlicher Handlungsalernaiven auf. Bei der Anwendung und Opimierung von Managemenregeln sind die Wechselwirkungen von Akiv- und Passivseie der Bilanz unbeding zu beachen, da bei dem Verzich auf eine simulane Berachung von Akiv- und Passivregeln im Allgemeinen lediglich subopimale Lösungen gefunden werden können. Schlagwörer: Asse-Liabiliy-Managemen, ALM-Modell, Managemenregel, Lebensversicherung Absrac: In his aricle, we discuss he effecs of differen managemen decision rules on asse liabiliy managemen of German Life Insurance companies and he opimizaion of hese rules. We use a simulaion based model according o dynamic simulaneous ALM. I urns ou ha managemen decision rules have a srong influence on he oucome of dynamic ALM in comparison o saic projecions. Choosing suiable managemen decision rules can make an asse liabiliy model significanly more realisic and adapable o he individual siuaions of differen insurers. Furhermore, i can dramaically reduce an insurance company s risk by deermining, which behavior makes sense from a risk managemen poin of view. Moreover, he simulaneous opimizaion of managemen decision rules wihin dynamic asse liabiliy managemen improves he achievemens even more, since i leads o advanced parameer values ha yield enhanced resuls. Keywords: asse liabiliy managemen, simulaion based model, managemen decision rule 2

4 . Einleiung Asse-Liabiliy-Managemen (ALM) bezeichne Verfahren zur Seuerung von Versicherungsunernehmen anhand der zukünfigen Enwicklung von Akiva und Passiva. Bei diesem Prozess is es von wesenlicher Bedeuung, die wechselseiige Absimmung des versicherungsechnischen Porfolios und des Kapialanlagen-Porfolios mi dem Ziel einer inegrieren Gesamseuerung zu berachen. Dabei unerscheide man zwischen Mikro- und Makro-ALM (Vgl. [Smink 95] oder [Albrech 0]). Während Mikro-ALM Teile eines Unernehmens oder sogar einzelne Produke unersuch, seuer Makro-ALM das gesame Unernehmen auf Basis seiner Akiva und Passiva und deren Inerakionen. Diese Veröffenlichung konzenrier sich auf Makro-ALM, allerdings können alle Ergebnisse auf Mikro-ALM überragen werden. Die Enwicklung des ALM in Deuschland begann mi dem so genannen implizien ALM, welches im Wesenlichen nur die Kapialanlage-Vorschrifen berücksichige (vgl. [Albrech 98]). Das implizie ALM wurde späer von dem explizien ALM (auch sequenielles ALM genann) abgelös, bei dem die Akiva den Passiva folgen, d.h. die Akivseie der Bilanz wird uner explizier Berücksichigung der versicherungsechnischen Verpflichungen geseuer (sraegische Asse Allocaion). Diese Enwicklung ensand aus der Deregulierung des europäischen Versicherungsmarkes 995 und führe schließlich zum simulanen ALM, bei dem insbesondere das Zusammenspiel von Akiva und Passiva in den Berachungsmielpunk gerück is. Typischerweise enhäl ein ALM-Modell viele Parameer und Annahmen. Während exerne Parameer (wie z.b. die Rendie bzw. die Volailiä der Akien oder die rechlichen Rahmenbedingungen) vom Managemen der Versicherung nich beeinfluss werden können, besimm die Unernehmensleiung sehr wohl die inernen Parameer wie die sraegische Asse Allocaion oder die Überschussbeeiligung der Versicherungsnehmer. Im simulanen ALM wird zwischen deerminisischen und sochasischen Modellen unerschieden. Bei deerminisischen Modellen werden einzelne Szenarien für die Enwicklung des Unernehmensumfeldes vorgegeben und die Auswirkungen dieser speziellen Szenarien auf das Unernehmen werden analysier. Im Gegensaz dazu werden bei sochasischen Modellen Annahmen über die Wahrscheinlichkeisvereilung einzelner Modellkomponenen geroffen, um der Zufälligkei dieser Komponenen ausreichend Rechnung zu ragen (z.b. wird die Enwicklung der Kapialmärke of sochasisch modellier). Die gängige Vorgehensweise bei sochasischen Modellen is die Simulaionsechnik, bei der eine große Anzahl an Szenarien (einzelne Realisierungen dieser Wahrscheinlichkeisvereilungen) dann gemeinsam unersuch werden. Nun häng die Besimmung der inernen Parameer (z.b. der Überschussbeeiligung) zu einem besimmen Zeipunk von der bis dahin eingereenen Enwicklung (z.b. auf dem Kapialmark) Vgl. [Zwiesler 04] 3

5 ab. Deshalb muss sie pfadabhängig, d.h. abhängig vom jeweiligen Szenario, fesgeleg werden, um realisische Modellrechnungen zu ermöglichen. Da die Szenarien in großer Zahl auomaisch erzeug werden, erforder dies die Feslegung der inernen Parameer mi Hilfe geeigneer Formeln, so genanner Managemenregeln. Uner einer Managemenregel verseh man deswegen eine Enscheidungsregel, welche die Veränderung inerner Parameer in Abhängigkei der gegebenen akuellen Informaionen zu einem besimmen Zeipunk beschreib. Ein Beispiel für eine Managemenregel is eine Enscheidungsregel, welche eine konservaivere Anlagesraegie umsez, je geringer die Reserven des Versicherungsunernehmens sind. Die Anwendung von Managemenregeln is unerlässlich, um die Realiäsnähe von sochasischen ALM-Modellen zu gewährleisen. ALM- Modelle, die derarige siuaionsabhängige Managemenregeln berücksichigen, erweiern das ALM zu dynamischem ALM. Bis heue wurden die Auswirkungen von Managemenregeln auf komplexe Simulaions- Modelle für deusche Lebensversicherer und die Möglichkei ihrer Opimierung nur ansazweise in der wissenschaflichen Lieraur analysier. Einen Überblick über die bisherigen Ansäze enhäl [Jaquemod 05]. 2 Die meisen wissenschaflichen Arbeien befassen sich in diesem Zusammenhang haupsächlich mi Modellen, welche mehrsufige sochasische Programmierung oder sochasische Konrollheorie verwenden, aber die Auswirkungen der dynamischen Managemenregeln werden dabei nich berache. Zum Beispiel verwenden [Schmidli 0] oder [Hipp 03] sochasische Konrollheorie, um opimale Kapialanlagesraegien für Versicherer zu finden uner der Voraussezung, dass alle Ziele und Parameer der Modelle vollsändig spezifizier sind. Sie versuchen, analyische Lösungen mi Hilfe der Hamilon-Jacobi-Bellman Gleichung zu finden, jedoch is die Anzahl analysierbarer Konroll-Variablen bei der Besimmung von analyische Lösungen sehr beschränk, da das Problem exponeniell mi der Anzahl der Konroll-Variablen wächs. 3 Weierhin is das berachee Modell ein sehr sark vereinfaches Abbild der Realiä, um analyisch lösbar zu bleiben. Deswegen is in der Realiä in vielen Fällen die Sraegie, welche von der sochasischen Konrollheorie vorgeschlagen wird, nur eine Näherung für eine asächlich opimale Sraegie, die der Anwender dann nuzen kann, um sie weier zu verbessern (vgl. [Hipp 04]). Eine Sudie von [Brennan e al. 97] berache das Problem der opimalen Kapialanlage für einen Invesor, der in Akien, Reneniel und Bargeld invesieren kann. Dieses Modell der sochasischen Konrollheorie läss nur drei Konroll-Variablen zu und berücksichig keine Verpflichungsseie is also für einen ypischen Lebensversicherer, der hier berache werden soll, nich ausreichend. 2 Vgl. [Jaquemod 05], Kapiel 8. 3 Vgl. [Rachev & Toka 00], S

6 Andererseis gib es eine Vielzahl an Lieraur, die sich mi dem Ansaz der (mehrsufigen) sochasischen Programmierung befass, um eine opimale Enscheidungsregel für das Managemen zu finden. [Der 98] ha ein dynamisches Modell für einen defined benefi pension funds (vergleichbar mi einer leisungsorienieren Zusage) ersell, das dem Anwender die Möglichkei gib, eine Poliik zu besimmen, welche die Kosen für die Finanzierung minimier und welche gleichzeiig garanier, dass alle zugesagen Leisungen frisgerech bezahl werden können ohne jemals unerkapialisier zu sein. Das Russel-Yasuda Kasai Modell 4 (für einen japanischen Schaden-/Unfallversicherer) ermiel Enscheidungsregeln, welche einen hohen Errag aus den Kapialanlagen liefern, um hohe Überschussbeeiligungen gewähren zu können, ohne gleichzeiig das Ziel eines langfrisig hohen Unernehmensweres zu gefährden. Dabei werden die Kapialanlagen in mehrere Klassen unereil und den jeweiligen Klassen werden Modelle der Verpflichungen zugeordne, welche die zukünfigen Cash Flows in und aus diesen Klassen projizieren. Das Ziel dieses Modells is es, den erwareen Unernehmenswer zu einem besimmen zukünfigen Zeipunk T zu maximieren, wobei Srafen für unerschiedliche Aren von ungewollen Unernehmensenwicklungen abgezogen werden. Dieses Modell basier auf mehreren Vorläufer-Modellen, wie z.b. den Modellen von [Kusy & Ziemba 86], von [Shapiro 88], von [Zenios 9] oder von [Hiller & Ecksein 93]. Bei der sochasischen Programmierung müssen Szenariobäume generier werden. Ein Szenariobaum weis jedem Zusand (z.b. dem Kapialmarkumfeld zum Zeipunk ) Übergangswahrscheinlichkeien für die möglichen Folgezusände (z.b. dem Kapialmarkumfeld zum Zeipunk +) zu. Dabei is die Feslegung dieser Übergangswahrscheinlichkeien problemaisch, da sich diese häufig nur schwer begründen lassen und dami unplausibel wirken. Weierhin lassen sich of nur unzureichend viele Szenario-Knoen unersuchen, da der Rechenaufwand des Opimierungsproblems exponeniell in der Anzahl der Szenario-Knoen wächs. Somi kann die vielschichige Realiä eines Versicherungsunernehmens mi der sochasischen Programmierung nur sark vereinfach abgebilde werden und derarige Modelle erzeugen Lösungen, die wegen ihrer mahemaischen Komplexiä den Enscheidungsrägern nur schwer zu vermieln sind. Aus diesen Gründen verwenden wir für die Analyse von Managemenregeln ein Simulaions-Modell, dessen Ergebnisse vom Anwender leicher nachvollziehbar sind. [Boender e al. 0] verwenden - ähnlich wie unser Ansaz - eine gemische Simulaions- und Opimierungsmehode, allerdings für niederländische Pensionspläne. Ihr Modell beseh aus drei Komponenen: Einem Simulaionsmodell für die zukünfigen ökonomischen Szenarien, einem Modell, das die ensprechende Verpflichungsseie liefer und einem Managemenmodell, welches die Enscheidungen des Managemens abbilde. Dann wird versuch Effizienzlinien für die Kapialanlage bei Projekionsbeginn zu finden, welche die Höhe der erwareen 4 Veröffenlich von [Cariño e al. 94] 5

7 Renenzahlungen gegen das Insolvenzrisiko im Sinne von Risiko-Rendie-Modellen opimieren. Der Schwerpunk dieses Aufsazes lieg darin, die Auswirkungen von Managemenregeln im Asse-Liabiliy-Managemen von Lebensversicherungsunernehmen (LVU) aufzuzeigen. Insbesondere unersuchen wir dabei die folgenden Fragen: Wie sark is der Einfluss von Managemenregeln auf die Ergebnisse des ALM-Modells? Können durch Managemenregeln die Ziele eines LVU besser verwirklich werden? Is die Ar bzw. der Typ von Managemenregeln bei der Anwendung im ALM wichig? Und wie ausschlaggebend is die Berücksichigung von Wechselwirkungen zwischen Akiva und Passiva beim Einsaz von Managemenregeln? Dazu werden wir ein Simulaions-Modell vorsellen, das es erlaub, verschiedene Managemenregeln einzubinden und deren Effeke auf die Ergebnisse der Projekion zu unersuchen. Um die Komplexiä des Modells in Grenzen zu halen, haben wir uns bewuss für eliche Vereinfachungen enschieden. Dies beeinrächig die Aussagefähigkei allerdings nich, da unser Ziel nich is, ein möglichs realisisches Modell zu präsenieren, sondern vielmehr darin beseh, in einem gu nachvollziehbaren Modell (das die wesenlichen Wirkungsmechanismen eines LVU beschreib) zu analysieren, wie sark die Ergebnisse von Managemenregeln beeinfluss werden. Obwohl sich das Modell auf ein deusches Lebensversicherungsunernehmen und dessen rechliche Rahmenbedingungen bezieh, können auch Besonderheien anderer Länder in das Modell inegrier werden. Die Grundsrukur des Aufsazes is wie folg: In Kapiel 2 werden wir das Modell vorsellen und insbesondere die Modellierung der Akivseie und der Verpflichungen sowie die Inerakion dazwischen erläuern. Anschließend werden wir in Kapiel 3 einige Managemenregeln einführen, deren Auswirkungen späer in Kapiel 4 unersuch werden sollen. Außerdem sellen wir in Kapiel 3 das Opimierungsproblem vor, mi dem wir die Managemenregeln in Kapiel 4 analysieren. In Kapiel 5 werden umfangreiche Sensiiviäsanalysen durchgeführ, um die geroffenen Aussagen weier zu unermauern. Kapiel 6 runde diese Arbei mi einer Zusammenfassung und einem weierführenden Ausblick ab. 6

8 2. Das ALM-Modell Dieses Kapiel erläuer das verwendee ALM-Modell. Um der Einfachhei Willen wird ein Überblick über die wichigsen Modell-Annahmen und Inerakionen zwischen Akiv- und Passivseie der Bilanz gegeben. Eine deailliere Modellbeschreibung kann in [Rechseiner 03], [Horn 04] und [Brand 05] nachgelesen werden. Die Projekion sez auf einem künslich generieren Ausgangsbesand auf. Im Wesenlichen werden dann für jede Periode neue Markwere für die Akiva ermiel und die Verräge um eine Periode forgeschrieben. Dabei werden Zahlungssröme aus Kapialanlagen (z.b. Zinszahlungen oder Tilgung fälliger Papiere) mi denen der Passivseie (z.b. Prämien und Leisungen) verrechne und wieder am Kapialmark angeleg (bzw. werden Tiel ensprechend der Anlagesrukur verkauf). Daraufhin werden die Erräge des LVU besimm und zwischen LVU, Eigenkapialgebern und Versicherungsnehmern aufgeeil. Dieser schemaische Ablauf wiederhol sich dann in jeder Periode. Diesen Prozess erklären wir in den folgenden Abschnien genauer. Im ersen Abschni geh es um die wesenlichen exernen Annahmen des Modells und den beracheen (Ausgangs-)Besand. Der zweie Abschni befass sich mi den verwendeen Akiv- und Passivmodellen und der drie Abschni erläuer die Inerakionen zwischen diesen beiden Modellen. Die Modellbildung beruh auf den Gegebenheien des deuschen Versicherungsmarkes. Alle Annahmen und Parameer wurden so fesgeleg, dass sie bei einem ypischen deuschen Lebensversicherungsunernehmen in dieser Form aufgefunden werden können (auf Ausnahmen wird gesonder hingewiesen). 2. Das berachee Versicherungsunernehmen Das verwendee ALM-Modell beschreib ein Lebensversicherungsunernehmen mi homogenem Albesand, um bei der Projekion Sondereffeke zu vermeiden, die z.b. durch besonders junge Unernehmen oder auslaufende Besände erzeug werden können. Für die verwendee Vorgehensweise zur Generierung des fikiven Ausgangsbesandes und der fikiven Ausgangsbilanz sei auf [Rechseiner 03] verwiesen. Das Modell erzeug folgende verdichee Bilanz und Gewinn- und Verlusrechnung (GuV) auf jährlicher Basis über einen Zeiraum von 5 Jahren (Vgl. Tabelle und Tabelle 2, wobei hier für das berachee Jahr seh). Um die späeren Analysen übersichlicher zu gesalen, wird auf Rückversicherungsschuz verziche: 7

9 Akiva Akien Renen Forderungen an Versicherungsnehmer Passiva Eigenkapial Bilanzgewinn Deckungsrücksellungen Rücksellung für Beiragsrückersaung (RfB ): gebundene RfB Schlussüberschussaneilfonds freie RfB Verbindlichkeien gegen Versicherungsnehmer Tabelle : Srukur der verdicheen Bilanz Dabei werden die Akien und Renen zur Vereinfachung alle nach dem srengen Niederswerprinzip bilanzier, wodurch die Bildung siller Lasen ausgeschlossen is (sille Reserven sind jedoch sehr wohl möglich). Die GuV enhäl die folgenden Posiionen: Soll Leisungen Veränderung der v. Rücksellungen Aufwendungen für RfB Abschlusskosen Verwalungskosen Abschreibungen auf Kapialanlagen Verluse aus dem Abgang von Kapialanlagen Sonsige v. Aufwendungen Haben Beiräge Beiräge aus RfB Erräge aus Kapialanlagen Erräge aus Zuschreibungen Erräge aus dem Abgang von Kapialanlagen Sonsige v. Erräge Tabelle 2: Srukur der vereinfachen GuV Bei dem beracheen Verragsyp handel es sich um eine ypische Kapiallebensversicherung mi dem Überschusssysem der verzinslichen Ansammlung. Die Prämie wird nach dem Äquivalenzprinzip berechne und basier auf einem Rechnungszins von 3,25% 5 und der Serbeafel DAV 994 TM. Es werden für ein deusches LVU ypische α-, β-, γ- und α γ -Kosen eingerechne. Die Berechnung der Deckungsrücksellungen erfolg prospekiv. Abbildung zeig beispielhaf den Verragsverlauf eines einzelnen Verrages. 5 Dieser Rechnungszins is angepass an die Siuaion Ende des Jahres

10 einzelverragliche Größen des Ausgangsbesandes Euro Forderungen an Versicherungsnehmer Deckungsrücksellung Verzinsliche Ansammlung SÜ Verragsjahr Abbildung : Verragsverlauf Wir gehen von einem Albesand 6 von derarigen Verrägen aus, der relaiv hohe Passivreserven beinhale, dami der Handlungsspielraum des beracheen Unernehmens nich von vorneherein zu sehr eingeschränk is. Bei einer anfänglichen Akienquoe von 0% 7 (bezogen auf Buchwere) ergib sich die folgende Ausgangsbilanz in Millionen Euro (vgl. Tabelle 3). Die sillen Reserven auf der Akivseie der Bilanz beragen 5% der Buchwere der Akien und 5,9% der Buchwere der Renen. Akiva Passiva Akien =0 949,6 Eigenkapial =0 4, Renen = ,0 Bilanzgewinn =0,4 Forderung an VN =0 24,0 Deckungsrücksellungen = ,6 gebundene RfB =0 50,8 Schlussüberschussaneilfonds =0 455,6 freie RfB =0 496,2 Verbindlichkeien gegen VN =0 2.93,9 Bilanzsumme =0 9.59,6 9.59,6 Tabelle 3: Ausgangsbilanz 6 Dabei berachen wir einen Besand aus Verrägen mi Reslaufzeien von bis 30 Jahren. 7 Die durchschniliche Akienquoe der deuschen Lebensversicherer lag im Jahr 2004 bezogen auf Buchwere bei 9,00% der Bilanzsumme (siehe [Zielke 04]). 9

11 2.2 Das Akiv- und Passivmodell und deren Inerakionen Die Projekion sez auf obigen Ausgangsdaen auf und schreib Akiva und Passiva gemäß den nachfolgenden Modellbeschreibungen über fünf Jahre for. Akivmodell Die Akivseie der Bilanz wird im Wesenlichen auf einen Akienfonds für die risikoreicheren Anlagen (ohne Ausschüung von Dividenden) und auf Renenpapiere mi zehnjähriger Laufzei verdiche. Da die Enwicklung der Kapialanlagen zufälligen Schwankungen unerlieg, werden für die Projekion dieser beiden Anlagearen einfache sochasische Modelle verwende, die im Folgenden näher beschrieben werden. Die Enwicklung des Akienkurses wird mi einer diskreisieren geomerischen Brownschen Bewegung simulier: 8 S = S + ΔS mi S = Akienkurs zum Zeipunk Δ S = Veränderung des Akienkurses {, 2, K, T} = Zeipunk mi S 0 = akueller Akienkurs zum Zeipunk 0 während des Zeiraumes Δ Dabei erhäl man ΔS durch ( μ Δ + σ Δ ) ΔS = S ε mi μ = Erwarungswer der Akienrendie pro Jahr Δ = Zeiraum zwischen - und (konsan) σ = Volailiä der Akienrendie (annualisier) ε = sandardnormalvereile Zufallsvariable Die Simulaion der Shor Rae (dem Zinssaz für einen infiniesimal kurzen Zeiraum zum Zeipunk ) is nach dem Modell von Cox, Ingersoll und Ross implemenier. 9 Dabei handel es sich um ein Mean-Reversion-Modell, bei dem die Shor Rae mi Inensiä κ auf das langfrisige Zinsniveau M zusreb. Dieses laue in diskreisierer Form: 8 Vgl. [Hull 93], S.96 ff. 9 Vgl. [Cox, Ingersoll & Ross 85] 0

12 ( M R ) Δ + σ R ε Δ R = R + κ mi R = Shor Rae zum Zeipunk κ = Drifrae M = langfrisiger Durchschniswer der Shor Rae Δ = Zeiraum zwischen - und (konsan) σ = Sandardabweichung der Veränderung der Shor Rae ε = sandardnormalvereile Zufallsvariable Die Zinssrukurkurve läss sich dann mi den üblichen Formeln 0 aus der Shor Rae jedes Jahr ermieln. R für Als Parameer für diese Modelle wurden die folgenden Kapialmarkparameer verwende (siehe Tabelle 4): Kapialmarkparameer Reurn μ bzw. M Volailiä σ Kappa Akien 7,5 % 20 % - Shor Rae 3 % % 20 % Tabelle 4: Kapialmarkparameer Um das Kapialmarkmodell einfach zu halen, wird auf Korrelaion zwischen Akien und Renenieln verziche. Für die Asse-Klasse der Akien wurde ein Fondsansaz gewähl, während die Renen in einem Einzelansaz mi Reslaufzeien von 0, 9, 8,, Jahren abgebilde werden. 2 Das Modell berechne in der Projekion sowohl Mark- als auch Buchwere 3. Somi sind auf der Akivseie sille Reserven möglich, die vom Unernehmen jederzei aufgelös werden können. Transakionskosen sollen dabei keine Rolle spielen. Forschreiben des Besandes Für Serblichkei und Sorno wird ein deerminisischer Ansaz gewähl, da diese im Vergleich zu den Akiva nur sehr geringen Schwankungen unerliegen. Die Grundlage der versicherungsechnischen Verpflichungen is der Besand an Vesicherungsverrägen. Im Folgenden sei besand m die Anzahl an Verrägen zu Beginn des m-en Verragsjahres. Uner der Annahme vorschüssiger Prämien ergib sich für das GuV-Kono Beiräge für das laufende Geschäfsjahr (VD sehe für die Versicherungsdauer jedes Verrages): 0 Vgl. [Hull 93], S. 397 Diese könne jedoch bei Bedarf problemlos inegrier werden. 2 Zu Projekionsbeginn wurde das Kapial gleichmäßig auf alle Reslaufzeien vereil. 3 Alle Kapialanlagen werden nach dem srengen Niederswerprinzip bilanzier.

13 Beiräge = VD m= besand m Prämie Die realisischen Abschluss- und Verwalungskosen (AKO bzw. VKO ) sind als Sückkosen pro Verrag modellier und werden auf den gleichnamigen GuV-Konen zu Jahresbeginn verbuch: AKO' VKO' = Abschlusskosen in Periode = besand = Verwalungskosen in Periode = VD m= AKO' besand m VKO', wobei AKO bzw. VKO jeweils die realisischen Gesamkosen des Besandes in Periode darsellen. Anschließend wird der Besand um Sorno und Tod bereinig jeweils mi realisischen Sorno- bzw. Todesfallwahrscheinlichkeien, d.h. der Besand zu Beginn des nächsen Verragsjahres ( besand + neu ) im folgenden Jahr der Projekion läss sich berechnen durch: m neu al besand + = besand m sorno und besand 0 = Neugeschäf od für 0 m m m m < wobei hier zu Beginn ein Neugeschäf von Verrägen angenommen wird, das sich in al jedem Jahr um 5% erhöh, und besand m der Besand an m-jährigen Verrägen vor dem Forschreiben in das nächse Projekionsjahr darsell. Die Überschussbeeiligung aller Versicherungsnehmer erfolg nach dem in Abbildung 2 gezeigen, vereinfachen Schema: VD 2

14 freie RfB Vorausdeklaraion Ansammlungsguhaben Schlussüberschussaneile gebundene RfB GZ = Gesamverzinsung i = Rechnungszins AG = Ansammlungsguhaben DR = Deckungsrücksellungen SÜA = Schlussüberschussaneile (GZ i) * DR Deckungsrücksellungen i * DR GZ * AG i * SÜA Rohüberschuss Kosen, freie RfB, EK-Geber, ec. Abbildung 2: Schema der Überschussbeeiligung Einzelverraglich ergeben sich verzinsliche Ansammlung (AG m ) und Schlussüberschüsse (SÜ m ) für jedes Verragsjahr m und jeden Versicherungsnehmer im Besand aus: mi AG SÜ m m = AG = SÜ m m ( + i) + ( aneil ( + i) + aneil SÜ SÜ ) gebrfb gebrfb m ( GZ i) + AG GZ, gebrfbm = DR m m-, m wobei aneil SÜ den vorgegebene Aneil (hier: 25%) der Schlussüberschüsse an der gebundenen RfB darsell (der über die Vorausdeklaraion in die Schlussüberschussaneile fließ) und i der Rechnungszins is (hier: 3,25% 4 ). Die Ermilung der gebundenen RfB für die Guschrif im folgenden Jahr (einzelverraglich) erfolg über den Zinsräger der Deckungsrücksellungen (DR m + Prämie Kosen), indem der Zinsräger (falls dieser posiiv is) mi der Differenz aus deklarierer Gesamverzinsung 5 und Rechnungszins muliplizier wird. Die fällig werdenden Leisungen besehen aus den Deckungsrücksellungen, dem Ansammlungsguhaben und den Schlussüberschüssen bei Tod oder Ablauf der Versicherung. Im Falle einer vorzeiigen Sornierung wird ein vorgegebener Sornoabschlag von der Leisung (Deckungsrücksellung + Ansammlungsguhaben + Schlussüberschüsse) abgezogen. 4 Es werden 3,25% Rechnungszins als Näherung an den derzeiigen, bei deuschen Lebensversicherungen durchschnilichen Rechnungszins von ca. 3,5% verwende. 5 Uner der Gesamverzinsung verseh man die für das kommende Jahr per Vorausdeklaraion in Aussich geselle Verzinsung der Lebensversicherungsverräge (Rechnungszins + Überschussbeeiligung). 3

15 Die Inerakion zwischen Akiv- und Passivseie der Bilanz Der Cashflow des Unernehmens zum Ende des Jahres beschreib den Zugang bzw. den Abgang liquider Miel: cashflow = Erräge aus Kapialanlagen AKO VKO Auszahlungen + Tilgung + Beiräge Dividendenausschüung Dabei beinhalen die Auszahlungen (Auszahlungen ) nich nur die Leisungen, wie sie in der GuV abgebilde werden, sondern zusäzlich noch die fälligen Überschüsse. Die Erräge aus Kapialanlagen ensehen bei dem Verkauf von Akiva, die Tilgung durch fällig werdende Renenpapiere (nach 0 Jahren Laufzei) und die Dividendenausschüung durch den im Vorjahr fesgelegen Jahresüberschuss. AKO bzw. VKO werden wie oben beschrieben besimm. Ein posiiver Cashflow wird ensprechend der akuellen Anlagesrukur (hier durch die Akienquoe besimm) invesier, bei einem negaiven Cashflow werden Kapialanlagen analog veräußer. Es wird nur in Reneniel mi 0jähriger Reslaufzei invesier. Zusäzlich wird in jedem Jahr überprüf, ob die Buchwere der Kapialanlagen ausreichen, die versicherungsechnischen Rücksellungen zu bedecken oder nich. Im Falle einer Unerdeckung werden so lange sille Reserven der Akiva aufgelös, bis eine vollsändige Deckung der versicherungsechnischen Rücksellungen durch die Kapialanlagen erreich wird. Sollen die Reserven nich ausreichen, so gil das Unernehmen als insolven. Am Ende jedes Jahres werden dann zunächs diejenigen Miel berechne, welche an die Versicherungsnehmer durch Überschussbeeiligung weiergegeben werden. Sollen diese Miel für die gewünsche Überschussbeeiligung nich ausreichen, so werden zunächs Akivreserven (wenn vorhanden) sowei aufgelös, dass die Miel ausreichen. Für den Fall, dass nich genügend Akivreserven vorhanden sind, werden die freie RfB und (falls nöig) die Schlussüberschussaneilfonds herangezogen. Als leze Quelle seh das Eigenkapial zur Verfügung. Solle nach Verwendung des Eigenkapials immer noch nich genügend Miel für die Überschussbeeiligung vorhanden sein, so gil das Unernehmen als insolven. Schon an dieser Selle wird deulich, dass eine sarre Projekion des Unernehmens in die Zukunf (mi z.b. konsaner Überschussbeeiligung für alle Perioden) zu unrealisischen Siuaionen führ. Jeder Versicherer würde z.b. seine Überschussbeeiligung reduzieren, bevor er Insolvenz anmelden muss. Wenn aber in dem verwendeen ALM-Modell keine pfadabhängigen Managemenregeln implemenier sein sollen, dann weis das Modell zwangsläufig eine Insolvenzwahrscheinlichkei aus, welche die realisische Insolvenzwahrscheinlichkei überschäz. 6 6 Eine Managemenregel, die das verbesser is beispielsweise die in Kapiel 3 beschriebene Reservenkorridor- Regel. 4

16 Analog wird bei der Besimmung der Dividenden für die Eigenkapialgeber verfahren: Wenn die zur Verfügung sehenden Miel ausreichen, so wird im Rahmen der ZR-Quoen- Verordnung versuch, eine Eigenkapialrendie von 5% zu erzielen. Sollen die Miel dafür zu klein sein, so werden Akivreserven aufgelös bis eine Eigenkapialrendie von wenigsens 0% erreich is. Sind dafür zu wenige Akivreserven vorhanden, so kann nur eine geringere Dividende (wenn überhaup) ausgeschüe werden. 7 Die Inerakionen zwischen Akiva und Passiva erfolgen aber nich nur über den Cashflow oder die Bedeckung der Rücksellungen, sondern werden auch wesenlich durch das Managemenmodell beeinfluss. 7 Für das Erlangen der Zieldividende dürfen im Gegensaz zu der Überschussbeeiligung keine Miel aus der RfB verwende werden. 5

17 3. Das Managemenmodell Ein großes Problem des klassischen simulanen ALM beseh in den saischen Annahmen dieses Modells, denn es berücksichig keine dynamische Forenwicklung des Unernehmens in jeder einzelnen Periode der Projekion. Um dieses Manko auszugleichen, empfiehl sich eine Erweierung des simulanen ALM zum dynamischen ALM durch die Einführung eines sog. Managemenmodells, welches mi Hilfe von Managemenregeln das Akiv- und das Passivmodell in jeder Periode inerakiv beeinfluss. Eine Managemenregel is eine Enscheidungsregel bzw. Handlungsregel, die beschreib, wie das Unernehmen die inernen Parameer je nach akueller Siuaion der exernen Parameer und der Unernehmensgrößen seuer. Managemenregeln konrollieren somi die zukünfige Enwicklung des Unernehmens dynamisch (pfadabhängig) über mehrere Perioden und sezen abhängig von der eingereenen Enwicklung Unernehmenssraegien um. Eine Managemenregel wird dabei durch zwei Aren von Parameern und deren funkionalen Zusammenhang eindeuig besimm, durch Konrollparameer und durch Seuerparameer. Konrollparameer sind Kennzahlen eines Unernehmens, wie z.b. Größen aus Bilanz und GuV, oder andere Größen aus der Projekion, welche feslegen, wann eine Managemenregel inerne Parameer veränder. Die wichigsen Beispiele für derarige Konrollparameer sind Größen, welche die Kapialmarkenwicklung beschreiben, sowie die Neoverzinsung, die Reserven auf der Akiv- oder der Passivseie der Bilanz oder auch die Srukur der RfB. Mi Hilfe der Seuerparameer wird die Reakion der Managemenregel auf eine besimme Konrollgrößenkombinaion beschrieben. Auch Seuerparameer können beliebige Kenngrößen des Unernehmens sein, sowei diese von dem Managemen asächlich geseuer bzw. beeinfluss werden können. Einige wichige Beispiele für Seuergrößen in Lebensversicherungsunernehmen sind die sraegische Asse Allocaion (d.h. hier die Aufeilung der Asses in Akien und Renen), die Überschussbeeiligung der Versicherungsnehmer, die Zuführung zu der RfB oder die Gewinnausschüung an die Eigenkapialgeber. Regeln, welche die gleiche Ar von Parameern besizen, bilden eine Klasse von Managemenregeln. Wir unerscheiden Regeln, deren Seuerparameer sich auf die Akivseie auswirken, und Regeln, deren Seuerparameer auf der Passivseie der Bilanz zu finden sind. Ersere werden Akivregeln genann und lezere Passivregeln. Naürlich gib es auch Managemenregeln, die keiner dieser beiden Gruppen eindeuig zugeordne werden können. Bei diesen Regeln handel es sich enweder um Mischformen aus Akiv- und Passivregeln oder um sonsigen Managemenregeln (die z.b. als Seuerparameer das Neugeschäf berachen). Um den nachhaligen Einfluss und die Wirkungsweise von Managemenregeln aufzeigen zu können, berachen wir bei unseren Analysen die nun folgenden Managemenregeln. Dabei 6

18 handel es sich um einfache Regeln (zwei Akivregeln und zwei Passivregeln), dami die Inerpreaion der Ergebnisse nich durch Komplexiä der Managemenregeln erschwer wird. Akivregeln Die wohl bekannese Akivregel im ALM deuscher Lebensversicherer is Fixed Mix Rebalancing. Diese simple Managemenregel schiche am Ende jeder Periode das Kapialanlagenporfolio auf eine fes vorgegebene Anlagesrukur um. Da unser Akivmodell nur Akien und Renen abbilde, läuf diese Regel darauf hinaus, am Ende jeder Periode Akien und Renen so umzuschichen, dass eine fes vorgegebene Akienquoe (gemessen in Buchweren) erreich wird. In der Lieraur wird auch häufig Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) 8 als Absicherungssraegie genann. Diese Regel ha auf Lebensversicherer angepass und leich modifizier als Konrollgröße die (sillen) Reserven der Akiv- und der Passivseie und als Seuergröße, wie Fixed Mix, die Akienquoe. In unserer vereinfachen Form wird die Akienquoe am Ende jeder Periode wie folg fesgeleg: Akienquoe { D Re serven MinRisk, MaxRisk} = min + Als Minimale Akienquoe (MinRisk) wird hierbei das Minimum-Varianz-Porfolio nach Markowiz 9 verwende. Die Reserven besehen aus der Summe der sillen Reserven auf der Akivseie der Bilanz und den freien Reserven 20 der Passivseie in Prozen des Guhabens der Versicherungsnehmer 2 am Ende jeder Periode und die maximale Akienquoe (MaxRisk) wird gemäß der Anlageverordnung mi 35% fesgesez. Der Parameer D beschreib die Risikoaversion des Managemens und soll bei den späeren Analysen genauer unersuch werden. Passivregeln Da die Überschussbeeiligung der Versicherungsnehmer eine der wichigsen Seuergrößen von Lebensversicherungsunernehmen is, sollen hier zwei Passivregeln unersuch werden, welche eben diese seuern. Die erse Passivregel bezeichnen wir als Reservenreppe-Regel. Diese Managemenregel ha als Konrollparameer die sillen Reserven der Akivseie und als Seuerparameer die Überschussbeeiligung: Wenn die Reserven uner 5% des Guhabens der Versicherungsnehmer fallen sollen, dann wird die Überschussbeeiligung für das kommende Jahr um einen besimmen Prozensaz k gesenk 22, wenn die Reserven zwischen 5% und 0% 8 Zu der unersuchen Version von CPPI siehe auch [Ziemba & Mulvey 0] oder [Seiner & Bruns 02] 9 Vgl. [Markowiz 993]. 20 Uner den freien Reserven der Passivseie versehen wir die Summe aus Eigenkapial, freier RfB und Schlussüberschussaneilfonds. 2 Das Guhaben der Versicherungsnehmer beseh aus Deckungsrücksellungen, Ansammlungsguhaben, gebundener RfB und Schlussüberschussaneilfonds. 22 Die Gesamverzinsung darf dabei allerdings nie uner den Garaniezins fallen. 7

19 liegen, dann wird die Überschussbeeiligung für das kommende Jahr konsan gelassen und sollen die Reserven sogar über 0% des Guhabens der Versicherungsnehmer beragen, so wird die Überschussbeeiligung für das kommende Jahr um k Prozen erhöh. Der Parameer k soll bei den folgenden Analysen variier werden, um die verschiedenen Auswirkungen zu unersuchen. Diese Regel sell eine einfache Möglichkei dar, die Akiv-Reserven des Versicherungsunernehmens zu seuern und die Überschussbeeiligung den asächlich vorhandenen Reserven anzupassen. Die zweie unersuche Passivregel bezeichnen wir als Reservenkorridor-Regel. Die Idee dieser Regel is es, einen Wohlfühlkorridor für die Reserven feszulegen. Solange sich die Reserven des LVU in diesem Korridor bewegen, is kein Handlungsbedarf vorhanden, aber wenn die Reserven den Korridor verlassen, wird die Überschussbeeiligung angepass, um dieser Tendenz engegenzuwirken und mi den Reserven wieder in den Korridor zu gelangen. Die Reservenkorridor-Regel häl die Überschussbeeiligung in unserem Beispiel konsan, wenn sich die sillen Reserven der Akiv- und die freien Reserven der Passivseie hier in einem 0%-Inervall um eine besimme Reservequoe m bewegen 23. Auch hier werden in den späeren Analysen verschiedene Were für m unersuch. Sollen die Reserven uner die Unergrenze des Reservekorridors fallen, so wird die Überschussbeeiligung auf den Garaniezins reduzier, sollen die Reserven über der Obergrenze des Reservekorridors liegen, dann wird die Überschussbeeiligung so fesgeleg, dass die Reserven genau auf die Obergrenze des Reservenkorridors fallen. Tabelle 5 gib noch einmal einen Überblick über alle beracheen Managemenregeln. Akivregeln Fixed Mix Rebalancing Consan Proporion Porfolio Insurance Passivregeln Konrollparameer Seuerparameer - Akienquoe Reserven Akienquoe Funkionsweise der Regel Am Ende jeder Periode wird die Anlagesrukur auf eine konsane Akienquoe umgeschiche Am Ende jeder Periode wird die Akienquoe (AQ) wie folg fesgeleg: AQ = min{ D Re serven MinRisk, MaxRisk} + Reserven 5% Überschussbe.- k% Reservenreppe- Akiv- Überschussbeeiligung 5% < Reserven 0% Überschussbe. ± 0% Regel Reserven 0% < Reserven Überschussbe. + k% Reserven m 5% Überschuss be. = Garaniezi ns Reservenkorridor- Überschussbeeiligung m + 5% < Reserven Überschussbe. = s%, m 5% < Reserven m + 5% Überschussbe. ± 0% Reserven Regel so dass Reserven = m+5% Tabelle 5: Die unersuchen Managemenregeln im Überblick 23 Wieder werden die Reserven in Prozen des Guhabens der Versicherungsnehmer gemessen. 8

20 Dami die Wirkungsweise der Managemenregeln sichbar wird, müssen Vergleichskrierien für die Regeln aufgesell werden. Dies kann mi Hilfe von Ziel- oder Nuzenfunkionen erfolgen. Of werden bei diesem Vergleich zusäzlich Nebenbedingungen aufgesell, um unerwünsche Effeke (z.b. das Überschreien einer besimmen Risikomarke, gemessen durch die Höhe der Insolvenzwahrscheinlichkei) zu vermeiden. Es handel sich dabei also um ein Opimierungsproblem (uner Nebenbedingungen), welches erlaub, die vergleichsweise bese Managemenregel (für das gegebene Modell mi seinen konkreen Parameern) aus den beracheen Regeln zu finden. Bei den vorgesellen vier Klassen von Managemenregeln soll jeweils der Seuerparameer opimier werden. Meis läss sich aber das Opimierungsproblem nich analyisch lösen, da der funkionale Zusammenhang zwischen der Zielfunkion und dem Seuerparameer im Allgemeinen sehr komplex is. 24 Um dennoch die unersuchen Klassen mieinander vergleichen zu können, muss die Menge 25 der zulässigen Were für die Seuerparameer einer Klasse diskreisier werden. Dadurch erhäl man in jeder Klasse eine endliche Menge von Managemenregeln, die sich nur in der Ausprägung des Seuerparameers unerscheiden und deren Auswirkungen dann mi Hilfe von Mone Carlo Simulaionsmehoden unersuch werden können. Um bei dieser Diskreisierung nich aus Versehen relevane Regeln auszuschließen, is allerdings ein hohes Maß an Erfahrung und Versändnis für das Modell nöig. Wenn wir in diesem Zusammenhang also von Opimierung sprechen, darf man nich vergessen, dass wir nur auf einer eingeschränken Menge von Regeln die besmögliche besimmen und nich alle heoreisch möglichen Managemenregeln einer Klasse berachen. Zudem gil die Opimierung nur für das gegebene Modell und dessen konkree Parameer und Annahmen. Im Folgenden sellen wir ein Opimierungsproblem vor, wie es sich bei einem deuschen LVU sellen könne. Das Opimierungsproblem Die wichigsen Ziele des beracheen Lebensversicherungsunernehmens seien jährlich ausreichend hohe und möglichs konsane Dividenden, um die Eigenkapialgeber zu befriedigen, eine (möglichs konsane) hohe Überschussbeeiligung, um die Ineressen der Versicherungsnehmer zu wahren und gesunde finanzielle Reserven am Ende der Projekion, um nachhalig zu wirschafen und den Erhal des Unernehmens über das Ende der Projekion hinaus zu sichern. Zusäzlich is es ein elemenares Ziel des Unernehmens, das Insolvenzrisiko klein zu halen. Das nun folgende Opimierungsproblem soll diese Ziele möglichs einfach abbilden. Das Ziel ausreichend hoher Dividenden wird gemessen, indem die durchschnilich aufgereenen Dividendenzahlungen jeder Periode in Prozen des Eigenkapials berache werden: 24 Dies lieg an der Vielschichigkei der Fragesellung und der Komplexiä des Modells. 25 Die Menge der zulässigen Seuerparameer is i. Allg. überabzählbar. 9

21 n D n = mi n = Anzahl der beracheen Perioden (hier n = 5 Jahre) D = Dividendenzahlungen in Periode in Prozen des Eigenkapials Da wir Prozenwere berachen, werden die jährlichen Dividendenzahlungen D mi Hilfe von einem Fakor δ D zusäzlich an die jährliche Veränderung des Eigenkapials angepass (die Verzinsung des Eigenkapials bei hohem Eigenkapial wird als wervoller angesehen, als bei niedrigem Eigenkapial). Des Weieren soll das Gewich der Dividenden in der Zielfunkion individuell fesgeleg werden können, sodass obiger Term überdies mi einem Präferenzgewich α muliplizier wird. Es ergib sich also für die Dividenden der folgende Term: n n = α δ D D Mi zusäzlich D δ = Eigenkapial zum Zeipunk Eigenkapial zum Zeipunk - Präferenzgewich α (hier wählen wir α = 0,8) 26 Nun sollen jährlich konsane Dividendenzahlungen besser bewere werden als Zahlungen, die in jedem Jahr (vor allem nach unen) schwanken. Deswegen sollen Dividendenzahlungen, die (nach unen) von einem vorgegebenen Zielwer D abweichen durch die einseiige quadraische Abweichung besraf werden. Somi wird der Zielerreichungsgrad der Dividendenzahlungen durch folgenden Gesamausdruck gemessen: n n D α δ D ~ α n = n = mi 2 ( D D ) { D D } D = Ziel - Dividende in Periode (hier D = 5% des Eigenkapials für =, K,n) Präferenzgewich ~ α (hier wählen wir ~ α = 0,2 α ) 26 Zur Wahl der Gewiche siehe Anmerkungen am Ende dieses Abschnis. 20

22 Vollsändig analog soll das Ziel einer möglichs konsanen, hohen Gesamverzinsung (in Prozen) gemessen werden, sodass sich für die Gesamverzinsung der folgende Term ergib: n n S β δ G β n = n = mi ~ 2 ( G G ) { G G } G G = Gesamverzinsung der Versicherungsnehmer in Periode in % = Ziel - Gesamverzinsung in Periode (hier G = 5% für =, K,n) S δ Guhaben der Versicherungsnehmer zum Zeipunk = Guhaben der Versicherungsnehmer zum Zeipunk - Präferenzgewichen β und β ~ (hier wählen wir β = 3,0 und ~ β = 0,75 β ) Außerdem fließen in die Zielfunkion die Reserven am Ende des Planungshorizones ein γ R n (mi R n = Reserven auf der Akiv- und der Passivseie der Bilanz in Periode n in Prozen des Guhabens der Versicherungsnehmer und Präferenzgewich γ = 0,4), dami die Pufferfunkion der Reserven sich nich negaiv auswirk, aber dennoch nachhaliges Wirschafen dem vollsändigen Verbrauch der Reserven vorgezogen wird. Als leze Komponene der Zielfunkion soll die Insolvenzwahrscheinlichkei berücksichig werden. Dazu wird diese von der Zielfunkion abgezogen, mi ω als Präferenzgewich muliplizier: ω P( I ) mi P () I = kummuliere Insolvenzwahrscheinlichkei über alle Perioden =, K, n Präferenzgewich ω (hier wählen wir ω = 0, 75 ) Parameerkombinaionen der Managemenregeln, bei denen die Insolvenzwahrscheinlichkei mehr als 3% beräg, sollen nich zulässig sein, genauso wenig wie negaive Dividendenzahlungen (Nachschüsse der Eigenkapialgeber). Dies wird über Nebenbedingungen berücksichig. Außerdem handel es sich bei den Größen D, G und R n um Realisierungen von Zufallsvariablen. Deswegen verdichen wir den gesamen Term mi Hilfe des Median und erhalen somi das folgende Gesam-Opimierungsproblem: 2

23 Zielfunkion 27 : Median n n D S ( α δ D + β δ G ) + γ Rn Sraffunkion ω P( I ) max = mi der Sraffunkion n n 2 ~ 2 ( D D ) { } + ( G ) D D G { G G } ~ α β n = n = und den Nebenbedingungen P() I 3% 0 für alle =, K,n D Die hier verwendeen Präferenzgewiche α, ~ α, β, ~ β, γ und ω sind Maße für die Bedeuung, die das LVU den jeweiligen Zielen beimiss. Sie sind deshalb unernehmensindividuell zu wählen. Da eine Veränderung der Eigenkapialrendie um % wesenlich leicher zu bewerkselligen is als eine Erhöhung der Gesamverzinsung um %, wurden die Präferenzgewiche α, β, γ und ω hier so fesgeleg, dass sie die der Höhe nach unerschiedlichen Größen D, G und R n möglichs gleich gewichen. Unsere Wahl erfolg beispielhaf, in Abschni 5 werden wir ihren Einfluss miels Sensiiviäsanalysen unersuchen. Die Nebenbedingungen sollen garanieren, dass die Eigenkapialgeber keine Miel nachschießen müssen und die Insolvenzwahrscheinlichkei auf keinen Fall die Schranke von 3% überschreie. 27 Da es sich bei den Ergebnissen von Simulaionen um Realisierungen von Zufallsvariablen handel, verwenden wir hier als Kennzahl den Median, da dieser auch die Fälle berücksichig, in denen das Unernehmen insolven geworden is. 22

24 4. Analysen Das Ziel der folgenden Analysen is, den signifikanen Einfluss von Managemenregeln im ALM zu belegen: Managemenregeln verändern esseniell die Ergebnisse der Projekion und sollen somi eine wesenliche Rolle bei der Analyse von ALM-Modellen spielen. Es wird sich zeigen, dass durch Managemenregeln der Zielerreichungsgrad der Unernehmung (gemessen an der Höhe der Zielfunkion) erheblich geseiger werden kann und dass das dynamische ALM durch das Aufzeigen und Analysieren unerschiedlicher Alernaiven eine wichige Hilfe bei der Enscheidungsfindung im LVU darsell. Um mi einem ALM-Modell die Realiä des Versicherungsumfeldes ausreichend abbilden zu können, müssen pfadabhängige Managemenregeln implemenier sein. Unsere Analysen demonsrieren, dass verschiedene Managemenregeln massiv die Enwicklung des Unernehmens in der Projekion beeinflussen und deswegen der Anwender von Managemenregeln ensprechende Sorgfal bei deren Einsaz walen lassen solle. Andererseis biee die Analyse von Managemenregeln gue Seuerungsmöglichkeien des LVU, da sie die Auswirkungen verschiedener Handlungsalernaiven verdeulich und somi die Spielräume des Managemens greifbar mach. Außerdem unersreichen unsere Analysen, dass bei der Anwendung von ALM die Wechselwirkungen von Akiv- und Passivseie der Bilanz eine wesenliche Rolle für Lebensversicherer spielen - nich nur im saischen Fall, sondern vor allem auch im dynamischen. Deswegen kann bei jeder Projekion ein Verzich auf simulanes ALM zu folgenschweren Fehleinschäzungen führen (vgl. Abbildung 4). Neben der Seigerung der Realiäsnähe haben Managemenregeln einen erheblichen Einfluss auf die Ergebnisse des ALM. Um diesen Einfluss sichbar zu machen, haben wir ein Opimierungsproblem aufgesell, das die Zielerreichung eines Sandard-LVU mi ypischen Zielen miss. Nun unersuchen wir die Auswirkungen von Kombinaionen der in Kapiel 3 vorgesellen Akiv- und Passivregeln auf die Zielfunkion. Dabei haben wir bei jeder Regel den Seuerparameer variabel gelassen, um die Effeke aufzuzeigen, welche unerschiedliche Managemenregeln haben, die der gleichen Klasse von Regeln angehören. Zunächs berachen wir die Kombinaionen von Fixed-Mix mi der Reservenreppe-Regel. Bei Fixed-Mix lassen wir die Akienquoe (AQ) von % bis zu den gesezlich zugelassenen 35% in %-Schrien variieren und bei der Reservenreppe verändern wir den Grad der Senkung k (bzw. der Erhöhung) der Überschussbeeiligung. 28 Da eine Senkung der Überschuss- 28 Vgl. Tabelle 5: Die unersuchen Managemenregeln im Überblick 23

25 beeiligung um mehr als % pro Jahr aus Webewerbsgründen nich wünschenswer is, lassen wir k das Inervall von 0% bis % in 0,025%-Schrien durchlaufen. Zu jeder der 400 möglichen Kombinaionen wird nun der Zielfunkionswer besimm. Falls eine Kombinaion wegen der Nebenbedingungen nich zulässig is, wird diese in der weieren Unersuchung nich berücksichig. Abbildung 3 zeig grafisch das Ergebnis der Berechnungen. Dabei sind auf der x-achse die Akienquoe von Fixed-Mix, auf der y-achse der Parameer k der Reservenreppe-Regel und auf der z-achse der ensprechende Zielfunkionswer abgeragen. Zielfunkionswer Parameer k Akienquoe Abbildung 3: Kombinaion Fixed-Mix und Reservenreppe Schon bei dieser einfachen Kombinaion dynamischer Managemenregeln kann man sehr deulich den Einfluss der Regeln auf die Ergebnisse der Projekion erkennen. Schon nach 5 Jahren Berachungszeiraum weichen die Zielfunkionswere in Abhängigkei von der Akienquoe und dem Parameer k um mehr als 5% von dem hier maximalen Zielfunkionswer ab (hier gleich 0,302 bei k=0,55% und AQ=5%). Um also sraegische Managemenenscheidungen eines LVU mi ALM wirksam unersüzen zu können, kann auf dynamische Managemenregeln und deren wei reichende Spielräume bzw. Analysemöglichkeien nich verziche werden. 24

26 Für fesen Parameer k verläuf hier der Graph der Zielfunkion konkav und besiz ein eindeuiges Maximum. Das lieg daran, dass die erwareen Erräge 29 und dami auch die Dividendenausschüungen, die Reserven und die Überschussbeeiligung mi wachsender Akienquoe auch seigen und somi die Zielfunkionswere erhöhen. Aber eine erhöhe Akienquoe ha nich unbeding gleichzeiig ein signifikan höheres Risiko zur Folge, da Lebensversicherer die Überschussbeeiligung anpassen können und erhebliche Reservespielräume haben. Die Insolvenzwahrscheinlichkei als Maß für das Risiko seig bis zu einer Akienquoe von ca. 0% nahezu gar nich an, aber danach sehr seil. Aus diesem Grund is die Zielfunkion nich monoon wachsend in der Akienquoe, sondern fäll ab einer besimmen AQ wieder, da die dann sehr hohe Insolvenzwahrscheinlichkei enweder die Kombinaion nich zuläss 30 oder die Erräge aus der hohen AQ negaiv überlager (durch den Term P( I ) μ in der Zielfunkion). Für k=0 is die Passivregel sozusagen ausgeschale und die Überschussbeeiligung wird in der Projekion nich veränder. Gerade für hohe Akienquoen (z.b. konsan 5%) liegen die Zielfunkionswere dann wei von dem globalen Maximum enfern. Das bedeue jedoch, dass die berachee Passivregel, wenn sie denn asächlich angewende wird (d.h. k 0), die Ergebnisse signifikan beeinfluss. Dies verdeulich: Managemenregeln im dynamischen ALM verändern die Ergebnisse im Vergleich zu saischen Berachungsweisen wesenlich. Auch muss man bei der Opimierung von Managemenregeln Akiv- und Passivseie gemeinsam (simulan) berachen, da die Inerakion wesenlichen Einfluss auf die Ergebnisse der Projekion ha. Opimier man die Akivregeln und Passivregeln nacheinander, so wird die gefundene Lösung im Allgemeinen subopimal sein. Wenn beispielsweise die Akienquoe zunächs bei 0% fixier wird, so ergib sich ein opimales k von 0,5% 3, was wei von dem global opimalen Wer für k von 0,55% enfern lieg. Genauso, wie für fese Akienquoe, sind auch die Lösungen nur subopimal, wenn danach der Parameer k fixier wird und dazu die bese Akienquoe gesuch wird. Das heiß, ohne simulane Berachung von Akiv- und Passivregeln lassen sich im Allgemeinen nur subopimale Ergebnisse erzielen. 29 Akien haben hier eine höhere erwaree Rendie als Renen (vgl. Kapialmarkparameer in Kapiel 2). 30 Wegen der Nebenbedingung, dass die Insolvenzwahrscheinlichkei kleiner 3% sein muss. 3 Vgl. Abbildung 3: Kombinaion Fixed-Mix und Reservenreppe 25

27 Auch bei einer Kombinaion von Fixed-Mix mi der Reservenkorridor-Regel erhäl man diese Resulae. Abbildung 4 zeig die Zielfunkionswere (z-achse) in Abhängigkei der Akienquoe (x-achse) und des Parameers m, der die Korridormie darsell (y-achse) 32. Deulich zeig sich wieder die Wirkung der Managemenregeln auf die Projekion. Diesmal is die Abweichung jedoch nich ganz so sark ausgepräg wie bei Fixed-Mix und der Reservenreppe, beräg aber immer noch wei über 0% des Maximalweres der Zielfunkion (hier gleich 0,294 bei m=3% und AQ=3%). Auch hier würde eine Opimierung von einzelnen Regeln nacheinander nur subopimal ausfallen (zu sehen an der jeweiligen Seigung des Graphen in Abbildung 4 bei fixierem Parameer m oder fixierer Akienquoe) zumindes für m<5%. Für größere Were von m is der Reservenkorridor so hoch, dass die Managemenregel in fas jedem Szenario die Überschussbeeiligung auf Null reduzier und somi die Passivregel für m>5% logischerweise nahezu keinen Einfluss mehr auf die Zielfunkion besiz. Für sehr kleine m jedoch is der Korridor so niedrig gewähl, dass die Überschussbeeiligung beinahe immer erhöh wird und danach nur selen wieder gesenk, was dazu führ, dass dann viele Kombinaionen nich mehr zulässig sind und das Niveau der Zielfunkion insgesam kleiner is als bei der Reservenreppe. Zielfunkionswer Korridormie m Akienquoe Abbildung 4: Kombinaion Fixed-Mix und Reservenkorridor Die Zielfunkion bilde hier jedoch eine Ar opimalen Gra, der für hohe Akienquoen auch einen hohen Reservenkorridor favorisier und bei niedrigen Akienquoen auch weniger Reserven verlang. Dieses Ergebnis resulier im Wesenlichen aus dem Einfluss der Insol- 32 Wobei hier der Parameer m Were von 6% bis 25% durchläuf. 26

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