Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 5

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1 TUM, Zetrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 13/14 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weider Tutoraufgabe: Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Lösugsvorschläge zu Übugsblatt 5 Aufgabe T5.1 Bestimme Sie die Erwartugswerte der Zufallsvariable X, Y ud Z, falls (i) X Beroulli(p)-verteilt zum Parameter p (, 1), (ii) Y Biomial(, p)-verteilt zu de Parameter p (, 1) ud N ud λ λk (iii) Z Poisso(λ)-verteilt zum Parameter λ >, d. h. P(Z k) e für k N k!, ist. Bereche Sie außerdem die Erwartugswerte vo V : e ty für t R ud W : Z. Lösug: Die Erwartugswerte vo X, Y ud Z bereche sich ach Defiitio wie folgt: E(X) 1 P(X 1) + P(X ) 1 p + (1 p) p ( ) E(Y ) kp(y k) k p k (1 p) k k k ( 1)! p (k 1)!( k)! pk 1 (1 p) k ( ) 1 p p k 1 (1 p) k k 1 k p(p + (1 p)) 1 p λ λk E(Z) kp(z k) ke k! λ k 1 λe λ (k 1)! λe λ e λ λ De Erwartugswert vo Y erhält ma mit eiem Trick auch mit weiger Recherei. Dazu erier wir us dara, wie die Biomialverteilug i der Vorlesug eigeführt wurde: Wir führe mal hitereiader ud uabhägig voeiader ei Zufallsexperimet durch, das mit Wahrscheilichkeit p geligt ud mit Wahrscheilichkeit 1 p missligt. Die Zufallsvariable, die die Azahl der Erfolge zählt, ist laut Vorlesug Biomial(, p)- verteilt, geauso wie Y. Für i {1,..., } sei u X i eie Zufallsvariable, die de Wert 1 aimmt, we das i-te Experimet geligt, ud de Wert, falls es missligt. Die Zufallsvariable X i sid jeweils Beroulli(p)-verteilt ud (i Verteilug) gilt die

2 Gleichug X i1 X i. Da der Erwartugswert liear ist, ergibt sich daraus mit dem Ergebis vo (i) ( ) E(Y ) E X i i1 E ( ) X i i1 p p. i1 Zum Schluss bereche wir die Erwartugswerte vo V ud W. Nach Vorlesug, siehe Satz 4.4, gilt ud E(V ) E(W ) e tk P(Y k) k ( pe t + 1 p ) k k P(Z k) k ( ) e tk p k (1 p) k k k (k 1)e λ λ k (k 1)! + λ e λ k λ k (k )! + λe λ λ e λ e λ + e λ e λ λ + λ k k λ λk e k! (k 1 + 1)e λ λ k (k 1)! e λ λ k (k 1)! λ k 1 (k 1)! ( ) (pe ) t k (1 p) k k Aufgabe T5. Wir betrachte folgedes Zufallsexperimet, das us bereits i Aufgabe H. begeget ist: Zum Wichtel brige Kider je ei Geschek mit. Die Gescheke werde gesammelt, gemischt ud völlig zufällig wieder ausgegebe, sodass jeder geau ei Geschek erhält. Sei X die Azahl der Kider, die das Geschek bekomme, das sie selbst mitgebracht habe. Bestimme Sie de Erwartugswert vo X. Lösug: Wir verwede wieder de Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) mit dem Ergebisraum Ω {σ : {1,..., } {1,..., } : σ bijektiv}, der σ-algebra F P(Ω) ud der Gleichverteilug als Wahrscheilichkeitsmaß P. Dabei gibt σ(i) a, welches Geschek Kid i bekommt. Defiiere wir für jedes i {1,..., } die Zufallsvariable { 1 falls σ(i) i X i : Ω {, 1}, σ sost da gibt X i1 X i die Azahl der Kider a, die ihr eigees Geschek zurückbekomme. Aufgrud der Liearität des Erwartugswertes gilt E(X) i1 E(X i). Wir müsse also die Erwartugswerte der X i bestimme. Offebar ist X i Beroulli-verteilt zum Parameter P(X 1) {σ Ω:σ(i)i} ( 1)! 1. Nach Aufgabe T5.1 ist also Ω! E(X i ) 1 1 für jedes i {1,..., } ud wir erhalte E(X) 1.

3 Hausaufgabe: Aufgabe H5.1 (i) Beweise Sie de folgede Trasformatiossatz für Dichte: Sei X eie Zufallsvariable mit Werte im offee Itervall I R ud Dichtefuktio f X. Sei J R ei weiteres offees Itervall ud g : I J ei Diffeomorphismus, d. h., g sei bijektiv ud g sowie g 1 seie stetig differezierbar. Da hat die Zufallsvariable Y : g(x) die Dichtefuktio f Y (y) f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) für y J ud f Y (y) für y J c. (ii) Sei X auf eie auf (, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimme Sie die Dichte vo X, X ud log X Lösug: (i) Ei Diffeomorphismus g ist etweder strikt mooto steiged oder falled. Wir betrachte hier de erste Fall, der Beweis im zweite ist aalog. Falls g strikt mooto ist, gilt für a, b J mit a b P Y ([a, b]) P(a Y b) P ( g 1 (a) X g 1 (b) ) g 1 (b) g 1 (a) f X (x) dx b a f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) dy. Im letzte Schritt habe wir die aus der Aalysis bekate Substitutiosregel mit y g(x) verwedet. Da die Mege der Form [a, b] mit a, b J, a b eie durchschittsstabile Erzeuger der Borel-σ-Algebra auf J bilde, folgt u aus dem Eideutigkeitssatz, dass Y auf J die Dichtefuktio f Y (y) f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) besitzt. Außerhalb vo J ist die Dichtefuktio vo Y gleich, da Y dort keie Werte aimmt. (ii) Die Dichtefuktio vo X ist die Fuktio f X : R [, ), x 1 (,1] (x). Wir verwede die Trasformatiosformel mit I (, 1] ud (a) J (, 1] sowie g : I J, x x. Hier ist g 1 (y) y ud folglich d dy g 1 (y) 1. Wir erhalte als Dichtefuktio vo y X g(x) f X (y) 1 (,1] ( 1 y) y 1 1 (,1](y) y. (b) J (, 1] sowie g : I J, x x. Hier ist g 1 (y) y ud folglich d dy g 1 (y) y. Wir erhalte als Dichtefuktio vo X g(x) f X (y) 1 (,1]( y ) y 1 (,1] (y)y.

4 (c) J [, ) sowie g : I J, x log(x). Hier ist g 1 (y) e y ud folglich d dy g 1 (y) e y. Wir erhalte als Dichtefuktio vo log X g(x) f log X (y) 1 (,1] (e y ) e y 1[, ) (y)e y. Aufgabe H5. (i) Sei X eie (, )-wertige Zufallsvariable mit der Eigeschaft P(X > t) > für alle t >. Zeige Sie, dass die folgede beide Aussage äquivalet sid: (a) X ist expoetial-verteilt zu eiem Parameter λ >. (b) Es gilt P(X > x + t X > x) P(X > t) für alle x, t >, d. h. die Verteilug vo X ist gedächtislos. Hiweis: Um zu zeige, dass (b) Aussage (a) impliziert, setze Sie zuächst die Voraussetzug der Gedächtislosigkeit i eie Gleichug für G(x) 1 F (x), wobei F die Verteilugsfuktio vo X ist, um. Löse Sie diese, idem Sie zuächst G(1) ud G(x) für ratioale x i Verbidug brige ud wede Sie geeigete Stetigkeitseigeschafte der Verteilugsfuktio a. (ii) Bereche Sie Erwartugswert ud Variaz der Expoetialverteilug mit Parameter λ >. Lösug: Amerkug: Die Dichtefuktio eier Expoetial(λ)-verteilte Zufallsvariable X ist f : R [, ), x λe λx 1 [, ) (x). (i) Wir zeige zuerst, dass (a) Aussage (b) impliziert: Ist X zum Parameter λ expoetialverteilt, so gilt für x > [ ] P(X > x) λe λx dx e λx e λx. Daher folgt für x, t > x P(X > x + t X > x) e λ(x+t) e λx P({X > x + t} {X > x}) P(X > x) e λt P(X > t). P(X > x + t) P(X > x) Nu ehme wir umgekehrt a, dass X gedächtislos ist ud betrachte die Fuktio G : R [, ), x P(X > x). Aus der Gleichug, die die Gedächtislosigkeit defiiert, folgt G(x + t) G(x)G(t) für alle t, x >. Für N gilt also ( ) ( ) 1 1 G(1) G G... Somit erhalte wir für m N ( m ) ( ) ( ) 1 m 1 G G G... ( G ( G ( 1 )). ( )) m 1 ( ) m G(1) 1 m G(1).

5 Für jede positive ratioale Zahl q gilt also G(q) G(1) q. Da G eie rechtsseitig stetige Fuktios ist (Verteilugsfuktioe sid rechtsseitig stetig) ud sich jede positive reelle Zahl x vo rechts durch ratioale Zahle approximiere lässt, erhalte wir G(x) G(1) x für alle x R +. Defiiere λ als λ : log G(1). Da ist λ eie positive reelle Zahl (beachte: G(1) (, 1) ach Voraussetzug) ud es gilt G(x) e λx. X ist also expoetialverteilt. (ii) Nach der Defiitio des Erwartugswertes für stetige Zufallsvariable ist der Erwartugswert eier Expoetial(λ)-verteilte Zufallsvariable X E(X) xλe λx dx [ 1 ] λ e λx 1 λ. [ xe λx ] e λx dx Im zweite Schritt wurde partiell itegriert. Aalog bereche wir E(X ) x λe λx dx + λ E(X) λ. Die Variaz vo X ist daher [ x e λx ] Var(X) E(X ) E(X) λ 1 λ 1 λ. xe λx dx Aufgabe H5.3 (i) Es sei X eie Zufallsvariable mit Werte i N. Zeige Sie: E[X] k 1 P(X k) (ii) Gegebe sei ei fairer Würfel mit Seite ud der Beschriftug {1,..., }. Die Zufallsvariable M bezeiche die größte gewürfelte Augezahl bei m-maligem Würfel (m N fest). Bestimme Sie de Erwartugswert vo M. Lösug: (i) Es ist P(X k) P(X i) P(X i) i P(X i) k 1 k 1 i k i 1 k i i 1 i i P(X i) E(X). Im zweite Schritt habe wir die Summatiosreihefolge geädert, was aufgrud der Nichtegativität der Summade möglich ist.

6 (ii) Mit (i) ud T4. erhalte wir E(M) k 1 P(M k) (1 P(M < k)) ( ) m k 1. Aufgabe H5.4 Für eie reellwertige Zufallsvariable X ist ei Media eie reelle Zahl m, für die sowohl P(X m) 1 als auch P(X m) 1 gilt. (i) Zeige Sie, dass E ( X m ) if a R E( X a ) gilt, falls m ei Media der Zufallsvariable X ist. Hiweis: Nehme Sie ohe Eischräkug a, dass a > m ud zeige Sie zuächst E ( X a X m ) [ ( (a m) P(X m) 1 ) + E ( (a X)1 (m,a) (X) )]. (ii) Für N sei X eie auf {1,..., } gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimme Sie eie Media m N vo X i Abhägigkeit davo, ob gerade oder ugerade ist. Lösug: (i) Wir zeige zuerst de Hiweis. Sei a > m. Da erhalte wir mit der Liearität des Erwartugswertes E ( X a X m ) E ( ( X a X m ) (1 (,m] (X) + 1 (m,a) (X) + 1 [a, ) (X)) ) E ( ( X + a + X m)1 (,m] (X) ) + E ( ( X + a X + m)1 (m,a) (X) ) + E ( (X a X + m)1 [a, ) (X) ) E ( (a m)1 (,m] (X) ) + E ( (a X)1 (m,a) (X) ) + E ( (m a)1 (m,a) (X) ) + E ( (m a)1 [a, ) (X) ) (m a) E ( 1 (,m] (X) + 1 (m,a) (X) + 1 [a, ) (X) ) + (a m)e ( 1 (,m] (X) ) + E ( (a X)1 (m,a) (X) ) (m a) + (a m)p ( 1 (,m] (X) 1 ) + E ( (a X)1 (m,a) (X) ) [ ( (a m) P(X m) 1 ) + E ( (a X)1 (m,a) (X) )]. Da m ei Media ist ud a > m, gilt [ ( (a m) P(X m) 1 ) + E ( (a X)1 (m,a) (X) )] >, also ist für alle a > m E ( X a ) > E ( X m ). (1)

7 Aalog gilt diese Ugleichug auch für die Zufallsvariable X mit Media m: Für alle a > m ist E ( X ( a) ) > E ( X ( m) ), also gilt, äquivalet dazu, Ugleichug (1) auch für alle a < m, woraus die Behauptug folgt. (ii) Sei gerade. Da ist m ei Media, de ud P(X m) {1,..., } P(X m) {,..., } Sei ugerade. Da ist m +1 ei Media, de ud P(X m) {1,..., +1 } +1 1 P(X m) { +1,..., }

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