3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )"

Transkript

1 . Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl wird in Einzelteile ufgeteilt: :. Der oere Teil des Bruches (der Dividend) heisst Zähler, der untere Teil (Divisor) heisst Nenner. Echte Brüche: Der Zähler ist kleiner ls der Nenner z.b. ; ; Unechte Brüche: Der Zähler ist mindestens so gross wie der Nenner z.b. ; ; Schreiweise: oder edeutet (nicht ) Steht llerdings zwischen Ziffern und Vrilen kein Opertionszeichen, edeutet ds eine Multipliktion (d.h. edeutet ). Neen der Bruchschreiweise kennen wir uch die Dezimlschreiweise. Bruchschreiweise: Dezimlschreiweise: 0. Bei der Dezimlschreiweise git die. Dezimlstelle nch dem Komm die Zehntel n: Brüche und Dezimlrüche Teile eines Gnzen können ls Bruch z.b. oder ls Dezimlzhl (z.b. 0.) drgestellt werden. Jeder Bruch knn ls Dezimlzhl und umgekehrt jede Dezimlzhl ls Bruch drgestellt werden... Brüche in Dezimlrüche umwndeln Brüche sind eigentlich Divisionen. Indem wir die Division usführen, können wir einen Bruch in seine Dezimldrstellung üerführen. Am einfchsten geht ds mit dem Tschenrechner. ) : 0.6 Nicht lle Divisionen gehen uf, es knn zu unendlich vielen Stellen kommen, die sich er spätestens nch einer estimmten Anzhl Stellen wiederholen. ) c) d) : Mn spricht hier von der Periode 6 und schreit 0.6. : 0. 8 Eine Periode ht mximl Stelle weniger ls der Wert des Nenners. ht mximl eine Periode mit 6 Stellen ( ). : Eine Periode knn er uch weniger Stellen hen. e) : 0.6 Oder die Periode knn nicht direkt nch dem Dezimlpunkt eginnen. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

2 .. Dezimlrüche in Brüche umwndeln Nicht periodische Dezimlrüche können wir in Brüche umwndeln, indem wir ls Nenner ds entsprechende Zehnervielfche nlog der Anzhl Dezimlstellen einsetzen. 9 ' ' ' Bei periodischen Dezimlrüchen ist ds Verfhren zur Umwndlung in Brüche ufwändiger. Wir müssen durch geschickte Sutrktion erreichen, dss sich der periodische Teil des Dezimlruchs uflöst. Beispiele ) 0. 6 ) x x ( x ) - ( x ) 9x 6 99x 6 x 6 6 x 9 99 c) 0. d) x... 0'000x ' ( 0x... ) - ( 00x ) 90x 66 9'900x ' 66 ' x x 90 9'900 e) f). 00x - ( x ) 00x - ( 0x ) 99x 90 90x x x 90 8 g) h) 0.00 '000'000x 6' ( x ) 0'000x - ( 0x ) 999'999x 6'9 9'990x x 6'9 999'999 x 9' 990 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

3 . Runden, Genuigkeit und signifiknte Stellen Brüche lssen sich in Dezimlrüche umwndeln. Oft ergeen sich dei sehr viele (oder sogr unendlich viele) Dezimlstellen. Wenn in der Prxis mit diesen Dezimlzhlen gerechnet werden soll, so müssen wir uns mit Näherungswerten egnügen. Diese Werte erhlten wir durch geeignetes Runden der Ursprungszhl. Rundungsregel: Folgt der Rundungsstelle die Ziffer 0,,, oder, leit die Rundungsstelle unverändert. die Ziffer, 6,, 8 oder 9, wird die Rundungsstelle um erhöht. Die Ziffern hinter der Rundungsstelle fllen weg. Runden uf Dezimlstelle Runden uf Dezimlstellen ) ) ) ) c).. c) d) d)..8 e) e).. f) f) Sonderfll: Rundung uf Rppen Im Finnz- und Rechnungswesen kommen oft Frnkeneträge ls Resultte vor. Hier gilt meist noch die Regel, dss uf Rppen genu gerundet werden muss. Regel: Sofern es im Resultt weniger ls. Rppen ht Zehner eiehlten, dnch eine 0 hinzufügen (nchfolgende Ziffern fllen weg) mindestens., er weniger ls. Rppen ht Zehner eiehlten, dnch eine hinzufügen (nchfolgende Ziffern fllen weg) mindestens. Rppen ht Zehner um erhöhen, dnch eine 0 hinzufügen (nchfolgende Ziffern fllen weg) Beispiele: is is is is is is Rppen <.. und <.. runden uf Rppen uf-/runden ufrunden.0..0 ).. ) c)..0 d).8.0 e) f) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

4 Genuigkeit Die gerundete Zhl. ist weniger genu ls die Zhl.0. Dies lässt sich n den Werteschrnken der gerundeten Zhl erläutern. Zhl Genuigkeit untere Schrnke oere Schrnke. Dezimlstelle.0..0 Dezimlstellen.09.0 Deshl esteht ein Unterschied in Bezug uf die Genuigkeit zwischen den Zhlen. und.0. Signifiknte Stellen Mit signifiknten ( edeutsmen) Stellen meint mn die Anzhl Stellen, die ürig leit, wenn mn führende Nullen links der Zhl nicht mitzählt. 0.8 sind signifiknte Stellen (0.8) ist signifiknte Stelle (0.000).00 sind signifiknte Stellen (.00) 0.00 sind signifiknte Stellen (0.00) Runden Sie die folgenden Zhlen uf signifiknte Stellen: ) ) c) d) e) f). g).8. h) i) j) k) Signifiknte Dezimlstellen Werden signifiknte Dezimlstellen gefordert, so gilt die Regel der führenden Nullen nlog, er nur für die Dezimlstellen (d.h. führende Nullen links in der Folge der Dezimlstellen werden nicht mitgezählt). Runden Sie die folgenden Zhlen uf signifiknte Dezimlstellen: l).0.08 m) n) o) p) q) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

5 . Vorzeichen ei Brüchen Die Regeln für Vorzeichen gelten uch ei Brüchen. Zusätzlich gilt, dss wenn ds Vorzeichen für den gesmten Zähler oder Nenner gilt, es üerll stehen knn, uch vor dem Bruch. ) oder Vorzeichen im Nenner oder Vorzeichen vor dem Bruch ) oder Vorzeichen im Zähler oder ( ) Vorzeichen vor dem Bruch c) oder Vorzeichen im Zähler ( ) oder Vorzeichen im Nenner. Erweitern und Kürzen, 8 und hen denselen Wert. 8 6 Sie sind durch Erweitern zw. Kürzen useinnder hervorgegngen. Erweitern: Zähler und Nenner werden mit demselen Fktor multipliziert Die Technik des Erweiterns wird vor llem enötigt, um ei der Addition und Sutrktion von Brüchen die Nenner gleichnmig zu mchen. Kürzen: Zähler und Nenner werden durch denselen Fktor dividiert. Dei leit sowohl im Zähler wie im Nenner immer ein Fktor ürig (oft die Zhl ). : 8 : Jede Lösung einer Aufge muss möglichst einfch drgestellt werden, d.h. sie muss vollständig gekürzt sein. Gewöhnen Sie sich itte drn, von "kürzen" zu sprechen, und vermeiden Sie ds Wort "streichen". Streichen edeutet nämlich "wegstreichen". Würde der Nenner eines Bruchs er "weggestrichen", würde ds zu einer Division durch Null führen, die nicht definiert ist. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

6 Bei Termen mit Vrilen müssen zuerst geeignete Fktoren usgeklmmert werden, dmit ein Bruch gekürzt werden knn. Summnden dürfen nicht gekürzt werden. ) 0 Ausklmmern Kürzen im Zähler: mit und ( - ) im Nenner: ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) Mnchml können Terme uch ls Produkt zweier nderer Terme geschrieen werden. ) Fktorzerlegung Kürzen inomische Formeln mit ( - ) ( ) ( - ) ( ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) - Mnchml ist es uch möglich, sowohl einen Fktor uszuklmmern ls uch eine Zerlegung in zwei Klmmern vorzunehmen. c) Ausklmmern Kürzen und Fktorzerlegung mit und ( ) 6 ( ) ( - ) 6 ( ) ( - ) ( - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. Spezilfll I: Ausklmmern von - d) Ds Ausklmmern von ( - ) eim Nenner des. Bruchs führt dzu, dss die Nenner gleichnmig werden: - ( ) ( - ) Ds Weiterrechnen knn uf zwei Arten geschehen: Vrinte : ( - ) in den Zähler setzen Vrinte : ( - ) vor den Bruch setzen Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

7 .. Spezilfll II: Erweitern mit - e) Auch ds Erweitern des einen oder ndern Bruchs mit ( - ) knn dzu führen, dss Nenner gleichnmig werden. Durch Erweitern mit ( - ) eim. Bruch erhält mn: ( ) - ( - ) ( ) Durch Erweitern mit ( - ) eim. Bruch erhält mn: ( ) - ( - ) ( ) Bechten Sie, dss die eiden Resultte identisch sind. Jedes der eiden Resultte knn durch Erweitern mit ( - ) in ds jeweils ndere Resultt umgeformt werden... Spezilfll III: Ausklmmern von Fktoren Speziell echten müssen Sie ds Ausklmmern von Fktoren ei Potenzen. f) ( 6) Durch Ausklmmern von erhält mn: [ ] ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) Durch Ausklmmern von erhält mn: [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) h) ( ) (6 ) Durch Ausklmmern von im Zähler und im Nenner erhält mn: [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 9 i) (9 ( ) ) Durch Ausklmmern von im Zähler und im Nenner erhält mn: [ ( ) ] [ ( ) ] ( ( ) ) 9 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) 9

8 .. Spezilfll IV: Binomische Formeln Bechten Sie die Spezilfälle ei inomischen Formeln: j) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) er: k) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ] ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fzit: Der Exponent n ist eine gerde Zhl: Der Exponent n ist eine ungerde Zhl: n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) l) (x y) (y x) (x y) y) (x y) ( ) (x y) (x y) [( ) (x ] (x y) (x y) m) (x y) (y x) (x y) [( ) (x y ] ) (x y) ( ) (x y) (x y) ( ) (x y) (x y) (x y) 8 (x y) 0 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

9 . Addition und Sutrktion von Brüchen Brüche können nur ddiert oder sutrhiert werden, wenn sie gleiche Nenner hen. Zuerst müssen die Brüche lso gleichnmig gemcht werden. Ds geschieht durch Erweitern uf einen gemeinsmen Nenner. Als gemeinsmen Nenner wählen wir ds kgv ( kleinstes gemeinsmes Vielfches), Detils dzu finden Sie in Kpitel... Beispiele ) 6 6 ) Wenn ein Bruch sutrhiert wird, müssen sämtliche Vorzeichen im Zähler des zu sutrhierenden Bruchs geändert werden. Ausklmmern: Huptnenner: ( ) ( - ) ( ) ( ) ( ) Erweitern uf ( ) ( ) Huptnenner: ( ) ( ) ( ) ( ) Vereinfchen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) Erweitern uf Huptnenner: ( ) ( - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oder ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 6 ( 6 ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ) Huptnenner: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

10 .. Brüche gleichnmig mchen: ds kgv (kleinstes gemeinsmes Vielfches) Brüche können nur ddiert oder sutrhiert werden, wenn sie gleichnmig sind (d.h. gleiche Nenner hen). lssen sich deshl nicht ohne weiteres ddieren. Brüche werden gleichnmig gemcht, indem sie uf einen gemeinsmen Nenner erweitert werden. Als gemeinsmen Nenner sollte immer ds kgv ( kleinstes gemeinsmes Vielfches) gewählt werden. Es sollten lso nicht einfch die einzelnen Nenner miteinnder multipliziert werden, weil so unnötig grosse Zhlen zw. unnötig komplizierte Ausdrücke entstehen können. Brüche werden wie folgt gleichnmig gemcht: Huptnenner (ds kgv) ermitteln Jeden Nenner in seine Primfktoren zerlegen (d.h. in Fktoren, die nicht mehr weiter ufgeteilt werden können) Für lle unterschiedlichen Primfktoren ds häufigste Vorkommen ermitteln Jeden Primfktor so oft mit sich seler multiplizieren, wie es dem häufigsten Vorkommen entspricht. Die Gesmtmultipliktion ller Primfktoren mit deren Häufigkeit entspricht dem kgv. Alle Brüche uf den Huptnenner (ds kgv) erweitern Anschliessend knn die Addition / Sutrktion erfolgen, vgl. Beispiele uf der vorherigen Seite. Fll I: Die Nenner estehen nur us Zhlen ) 8 8 Jeden Nenner in seine Primfktoren zerlegen 8 8 Häufigstes Vorkommen für lle Primfktoren ermitteln Fktor : ml (im Nenner "8") Fktor : ml (im Nenner "8") Huptnenner (ds kgv) ermitteln kgv kgv Jeder verschiedene Fktor (hier und ) muss so oft in die Berechnung üernommen werden, wie er m häufigsten vorkommt. Der Fktor kommt eim ersten Nenner m häufigsten vor (dreiml) und der Fktor kommt eim dritten Nenner m häufigsten vor (zweiml). Alle Brüche uf den Huptnenner (ds kgv) erweitern Noch wichtiger ls ei der Addition und Sutrktion von Brüchen ist die Verwendung des kgv eim Auflösen von Bruchgleichungen. Werden die Brüche nicht durch Erweitern uf ds kgv zum Verschwinden gercht, entstehen oft Gleichungen mit x oder gr mit x, ws uns vor unnötige und teilweise sogr unlösre Proleme stellen wird. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

11 Fll II: Die Nenner estehen us Produkten mit Zhlen und Prmetern ) Fktor : ml (im Nenner "8") Fktor : ml (im Nenner "8 ") Fktor : ml (im Nenner "8 ") Fktor : ml (im Nenner " ") Fktor : ml (im Nenner " ") kgv kgv 60 Um ds kgv zu estimmen, muss wiederum jeder verschiedene Fktor so oft in die Berechnung üernommen werden, wie er m häufigsten vorkommt Fll III: Die Nenner estehen us Summen und Differenzen c) ( ) ( ) ( - ) ( - ) Fktor : ml (im Nenner "8 6") Fktor : ml (im Nenner "6 - ") Fktor ( ): ml (im Nenner "8 6" zw. " - ") Fktor ( - ): ml (im Nenner " - " zw. "6 ") kgv ( ) ( - ) kgv ( )( ) Um ds kgv zu estimmen, muss wiederum jeder verschiedene Fktor so oft in die Berechnung üernommen werden, wie er m häufigsten vorkommt. ( - ) ( ) 8 ( ) ( - ) ( ) ( - ) 6 ( - ) ( ) ( ) ( - ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

12 .6 Multipliktion von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem die Zähler sowie die Nenner je miteinnder multipliziert werden. ) c d c d ) Vor dem Multiplizieren sollte wenn möglich zuerst gekürzt werden, um die Aufge zu vereinfchen ( )( ) ( ) c) Bei der Multipliktion mit einer gnzen Zhl wird diese ls Bruch mit dem Nenner geschrieen. d) e) 6 6 Bei solchen Aufgen muss vor dem Ausmultiplizieren versucht werden, Zähler und Nenner in Fktoren zu zerlegen und die Aufge durch Kürzen zu vereinfchen. ( ) ( ) 6 ( 6 9) ( 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

13 f) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) g) ( ) 6 6 h) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

14 . Division von Brüchen Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs (Reziprokwert) multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs entsteht durch Vertuschen von Zähler und Nenner. Kehrwert Kehrwert ( ) Kehrwert Beispiele ) c : d d c d c ) ( ) : 6 ( ) ( )( ) : 6 ( ) ( ) 6 ( )( ) c) : ( ) Auch ei Divisionen zwischen gnzen Zhlen und Brüchen wird die gnze Zhl ls Bruch mit dem Nenner geschrieen. : d) 6 : 6 : 6 ( ) 6 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

15 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) e) : ) ( f) 9 0 : ) ( g) ) ( : ) ) ( ( 9 0 ) )( ( ) ( ) )( ( : ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( (

16 .8 Doppelrüche Eine Division zweier Brüche lässt sich wie eine Division zweier gnzer Zhlen uch ls Bruch schreien. c : d c d D nun Zähler und Nenner uch wieder Brüche sind, spricht mn hier von einem Doppelruch. Die Auflösung eines Doppelruchs geschieht, indem der Bruch im Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner multipliziert wird. Beispiele ) c d d c d c Ntürlich können ei Doppelrüchen sowohl im Zähler wie uch im Nenner gnze Zhlen stehen. Diese werden wie ereits eknnt ls Bruch mit dem Nenner geschrieen. ) c c c c c) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

17 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) 9 Anspruchsvoll(er) wird ds Auflösen eines Doppelruchs, wenn im Zähler und / oder Nenner eine Summe oder Differenz von Brüchen oder eine Komintion von gnzen Zhlen und Brüchen steht. Vorgehen: Sowohl den Zähler wie uch den Nenner zuerst ls einen einzigen Bruch schreien. Dies geschieht durch Gleichnmigmchen des Zählers zw. des Nenners. Dnch weiterfhren mit der Division des "Zählerruchs" durch den "Nennerruch". D.h. der Multipliktion des "Zählerruchs" mit dem Kehrwert des "Nennerruchs". d) e) x x x x x x x x x x x f) Bei noch komplexeren Doppelrüchen etrchten wir zuerst Zähler und Nenner seprt, und setzen dnch eide Ausdrücke zum Gesmtruch wieder zusmmen Zähler: ) )( ( Nenner: ) ( Zusmmenfssung (Gesmtruch): ) )( ( Nenner Zähler

18 g) Hier hen wir sowohl im Zähler ls uch im Nenner nur einen einzigen Bruch. "Zählerruch" Kehrwert des "Nennerruchs" Vorgehen wie ei den Mustereispielen ) und ). Zähler: Nenner: ( ) Zusmmenfssung (Gesmtruch): ( ) ( ) h) Hier hen wir sowohl im Zähler ls uch im Nenner noch je zwei Brüche. Diese müssen zuerst zu einem einzigen "Zählerruch" und zu einem einzigen "Nennerruch" umgeformt werden. Vorgehen wie ei den Mustereispielen d) is f). Zähler: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nenner: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zusmmenfssung (Gesmtruch): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

19 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) i) j) ) ( Zähler: Nenner: ) ( Zusmmenfssung (Gesmtruch): Zähler: ) ( Nenner: ) ) ( ( ) ( ) ( Zusmmenfssung (Gesmtruch):

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

RESULTATE UND LÖSUNGEN

RESULTATE UND LÖSUNGEN TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:

Mehr

a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert

a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert 8. Potenzen 8. Einführung in Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Neen den klssischen Grundrechenopertionen git es weitere Opertionen, welche Beziehungen zwischen Zhlen schffen: Potenzieren Rdizieren Wurzelziehen)

Mehr

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

2 Rechnen mit Termen. 2.1 Grundrechenarten mit Termen

2 Rechnen mit Termen. 2.1 Grundrechenarten mit Termen 9 Rechnen mit Termen Rechnen mit Termen Die Einführung von Buchsten ls Vrile und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lt. terminre estimmen).. Grundrechenrten mit Termen.

Mehr

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms Bruchterme I Definitionsmenge eines Bruchterms Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm ilden die Definitionsmenge D. Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge.

Mehr

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:

Mehr

5 Gleichungen (1. Grades)

5 Gleichungen (1. Grades) Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche... .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................

Mehr

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,

Mehr

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Bruchterme. Franz Embacher

Bruchterme. Franz Embacher mthe online Skripten http://www.mthe-online.t/skripten/ Bruchterme Frnz Emcher Fkultät für Mthemtik der Universität Wien E-mil: frnz.emcher@univie.c.t WWW: http://homepge.univie.c.t/frnz.emcher/ In diesem

Mehr

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben.

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben. ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN MULTIPLIZIEREN Grundlgen der Mthemtik Lösen Sie die nchfolgenden grundlegenden Aufgben. Beweisen Sie durch Ausrechnung, dss b ) b ist! ( Wichtige mthemtische Regeln: 0 = 0 = 0

Mehr

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3 2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

5.6 Gleichsetzungsverfahren

5.6 Gleichsetzungsverfahren .6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3

Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3 Lehrgng: Digitltechnik ( Grundlgen ) Dtum: Nme: Seite: Inhltsverzeichnis: Im Lehrgng verwendete Gtter ( Üersicht ) Seite 3 Aufu von Zhlensystemen deziml, dul ( Infoseite ) Seite 4 ( Areitsltt ) Seite 5

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

Kleine Algebra-Formelsammlung

Kleine Algebra-Formelsammlung Immnuel-Knt-Gymnsium Heiligenhus Gierhrt Kleine Alger-Formelsmmlung Mittelstufe (is Klsse 0) Drgestellt sin ie wichtigsten Fkten un Gesetze, woei iverse Ausnhmeregeln wie z.b. s Verot er Division urch

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen 1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra)

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra) Ausgbe 2008-05 Einführung in ds Rechnen mit Zhlen (elementre Algebr) Algebr ist ein Teilgebiet der Mthemtik und beschäftigt sich mit der Verknüpfung von Zhlen durch Rechenopertionen 1. Rechenregeln der

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00)

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhl der c. 50.000 Mthemtikufgen zu orientieren, enutzen Sie unedingt ds Lesezeichen Ihres Acrot Reders: Ds Icon finden Sie in der links stehenden Leiste.

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen Definitionen Wir gehen von der Gleichung c und dem Beispiel 8 2 us: nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Allgemein: "Unter versteht mn die -te Potenz zur Bsis " " ist hoch " Beispiel: 2 8 Vorgng:

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Umstellen von Formeln und Gleichungen

Umstellen von Formeln und Gleichungen Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst

Mehr

Der Gauß - Algorithmus

Der Gauß - Algorithmus R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes

Mehr

hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt:

hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt: 1 Determinnten Die Determinnte einer qudrtischen Mtrix ist eine reelle Zhl. Sie ermöglicht insbesondere eine Aussge über die Existenz der inversen Mtrix bzw. über die Lösbrkeit von lineren leichungssystemen.

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen

Mehr

Am Anfang stand die Algebra

Am Anfang stand die Algebra Am Anfng stnd die Alger In diesem Kpitel Sich mit Vorzeichen und Klmmern nfreunden Assozitiv-, Kommuttiv- und Distriutivgesetz kennen lernen Mit Brüchen und Prozenten rechnen Potenzen, Wurzeln und Logrithmen

Mehr

Grundbegriffe der Mengenlehre

Grundbegriffe der Mengenlehre Reiner Winter Grundegriffe der Mengenlehre 1. Der Mengenegriff Die Mengenlehre wurde von Georg Cntor (1845-1918) egründet. Im Jhre 1895 g er die folgende, erühmt gewordene Begriffsestimmung der Menge n:

Mehr

Mathematik PM Rationale Zahlen. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine neue Zahl, Bruch oder rationale Zahl genannt. Sie bilden die Menge Q.

Mathematik PM Rationale Zahlen. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine neue Zahl, Bruch oder rationale Zahl genannt. Sie bilden die Menge Q. Mthetik PM Rtionle Zhlen Rtionle Zhlen. Einführung Die Gleihung = 9 ht ie Lösung. Z 9 9 Die Gleihung = ht ie Lösung. Z Definition Die Gleihung =, it, Z un 0, ht ie Ist kein Vielfhes von, so entsteht eine

Mehr

Grundwissen 6. Klasse

Grundwissen 6. Klasse Grundwissen Mthemtik Klsse / Grundwissen Klsse Positive Brühe ) Grundegriffe z Brühe hen die Form n mit z I N0, n I N z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruhes Bezeihnung Bedingung Beispiele Ehter Bruh

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} + Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}

Mehr

Grundwissen Mathematik 5/1

Grundwissen Mathematik 5/1 1 Wichtige Symole Grundwissen Mthemtik 5/1 Wichtige Symole Rechenrten Qudrtzhlen IN Menge der ntürlichen Zhlen { 1; ; 3; 4;... } IN 0 Menge der ntürlichen Zhlen einschließlich der Null {0; 1; ; 3; 4;...

Mehr

Der Koeffizient wird an erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Variablen werden zusammengefasst, Variablen werden alphabetisch geordnet.

Der Koeffizient wird an erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Variablen werden zusammengefasst, Variablen werden alphabetisch geordnet. 5 Polynome 5.1 Definitionen Definition 8 Monom Ein Monom ist ein Produkt us einer reellen Zhl dem Koeffizienten) und beliebig vielen ntürlichen Potenzen von Vriblen dem Nmen des Monoms). Ist ds Monom nur

Mehr

6c 4b 5a. 6c 4b + 5a.

6c 4b 5a. 6c 4b + 5a. Bltt Nr.0 Mthemtik Online - Übungen Bltt Klsse Bltt Kpitel Terme Addition Terme und Gleichungen Nummer: 0 0000 Kl: X Grd: Zeit: 0 Quelle: eigen W Aufgbe..: Fssen Sie den folgenden Bruchterm zusmmen und

Mehr

Grenzwerte von Funktionen

Grenzwerte von Funktionen Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet.

Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet. Prof Dr Dr hc W Thoms Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Präsenzüung Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik

Mehr

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }. Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,

Mehr

5.6 Additionsverfahren

5.6 Additionsverfahren 5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5 Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34

Mehr

Zahlen und Grundrechenarten

Zahlen und Grundrechenarten Zhlen und Grundrechenrten In diesem Kpitel... Ntürliche Zhlen durch die Nchfolgeropertion erkennen Mit Differenzen zu den gnzen Zhlen Mit Quotienten zu den rtionlen Zhlen Irrtionle Zhlen hinzunehmen v

Mehr

O. GRUNDBEGRIFFE. Grundbegriffe

O. GRUNDBEGRIFFE. Grundbegriffe Grundegriffe O. GRUNDBEGRIFFE Versuchen Sie die folgenden Begriffe - durchwegs Begriffe des täglichen Sprchgeruchs - genuer (mthemtisch) zu definieren. Ziffer Zhl Null Rechnen Rechenopertionen Stellenwert

Mehr

Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B

Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den

Mehr

0. Wiederholung 0.1 Rechnen in der Menge der positiven rationalen Zahlen lq + 0

0. Wiederholung 0.1 Rechnen in der Menge der positiven rationalen Zahlen lq + 0 0. Wiederholung 0.1 Rechnen in der Menge der positiven rationalen Zahlen lq + 0 0.1.1 Formveränderungen von Brüchen Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplizieren. a

Mehr

Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius. Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8 Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr