3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

Transkript

1 . Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl wird in Einzelteile ufgeteilt: :. Der oere Teil des Bruches (der Dividend) heisst Zähler, der untere Teil (Divisor) heisst Nenner. Echte Brüche: Der Zähler ist kleiner ls der Nenner z.b. ; ; Unechte Brüche: Der Zähler ist mindestens so gross wie der Nenner z.b. ; ; Schreiweise: oder edeutet (nicht ) Steht llerdings zwischen Ziffern und Vrilen kein Opertionszeichen, edeutet ds eine Multipliktion (d.h. edeutet ). Neen der Bruchschreiweise kennen wir uch die Dezimlschreiweise. Bruchschreiweise: Dezimlschreiweise: 0. Bei der Dezimlschreiweise git die. Dezimlstelle nch dem Komm die Zehntel n: Brüche und Dezimlrüche Teile eines Gnzen können ls Bruch z.b. oder ls Dezimlzhl (z.b. 0.) drgestellt werden. Jeder Bruch knn ls Dezimlzhl und umgekehrt jede Dezimlzhl ls Bruch drgestellt werden... Brüche in Dezimlrüche umwndeln Brüche sind eigentlich Divisionen. Indem wir die Division usführen, können wir einen Bruch in seine Dezimldrstellung üerführen. Am einfchsten geht ds mit dem Tschenrechner. ) : 0.6 Nicht lle Divisionen gehen uf, es knn zu unendlich vielen Stellen kommen, die sich er spätestens nch einer estimmten Anzhl Stellen wiederholen. ) c) d) : Mn spricht hier von der Periode 6 und schreit 0.6. : 0. 8 Eine Periode ht mximl Stelle weniger ls der Wert des Nenners. ht mximl eine Periode mit 6 Stellen ( ). : Eine Periode knn er uch weniger Stellen hen. e) : 0.6 Oder die Periode knn nicht direkt nch dem Dezimlpunkt eginnen. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

2 .. Dezimlrüche in Brüche umwndeln Nicht periodische Dezimlrüche können wir in Brüche umwndeln, indem wir ls Nenner ds entsprechende Zehnervielfche nlog der Anzhl Dezimlstellen einsetzen. 9 ' ' ' Bei periodischen Dezimlrüchen ist ds Verfhren zur Umwndlung in Brüche ufwändiger. Wir müssen durch geschickte Sutrktion erreichen, dss sich der periodische Teil des Dezimlruchs uflöst. Beispiele ) 0. 6 ) x x ( x ) - ( x ) 9x 6 99x 6 x 6 6 x 9 99 c) 0. d) x... 0'000x ' ( 0x... ) - ( 00x ) 90x 66 9'900x ' 66 ' x x 90 9'900 e) f). 00x - ( x ) 00x - ( 0x ) 99x 90 90x x x 90 8 g) h) 0.00 '000'000x 6' ( x ) 0'000x - ( 0x ) 999'999x 6'9 9'990x x 6'9 999'999 x 9' 990 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

3 . Runden, Genuigkeit und signifiknte Stellen Brüche lssen sich in Dezimlrüche umwndeln. Oft ergeen sich dei sehr viele (oder sogr unendlich viele) Dezimlstellen. Wenn in der Prxis mit diesen Dezimlzhlen gerechnet werden soll, so müssen wir uns mit Näherungswerten egnügen. Diese Werte erhlten wir durch geeignetes Runden der Ursprungszhl. Rundungsregel: Folgt der Rundungsstelle die Ziffer 0,,, oder, leit die Rundungsstelle unverändert. die Ziffer, 6,, 8 oder 9, wird die Rundungsstelle um erhöht. Die Ziffern hinter der Rundungsstelle fllen weg. Runden uf Dezimlstelle Runden uf Dezimlstellen ) ) ) ) c).. c) d) d)..8 e) e).. f) f) Sonderfll: Rundung uf Rppen Im Finnz- und Rechnungswesen kommen oft Frnkeneträge ls Resultte vor. Hier gilt meist noch die Regel, dss uf Rppen genu gerundet werden muss. Regel: Sofern es im Resultt weniger ls. Rppen ht Zehner eiehlten, dnch eine 0 hinzufügen (nchfolgende Ziffern fllen weg) mindestens., er weniger ls. Rppen ht Zehner eiehlten, dnch eine hinzufügen (nchfolgende Ziffern fllen weg) mindestens. Rppen ht Zehner um erhöhen, dnch eine 0 hinzufügen (nchfolgende Ziffern fllen weg) Beispiele: is is is is is is Rppen <.. und <.. runden uf Rppen uf-/runden ufrunden.0..0 ).. ) c)..0 d).8.0 e) f) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

4 Genuigkeit Die gerundete Zhl. ist weniger genu ls die Zhl.0. Dies lässt sich n den Werteschrnken der gerundeten Zhl erläutern. Zhl Genuigkeit untere Schrnke oere Schrnke. Dezimlstelle.0..0 Dezimlstellen.09.0 Deshl esteht ein Unterschied in Bezug uf die Genuigkeit zwischen den Zhlen. und.0. Signifiknte Stellen Mit signifiknten ( edeutsmen) Stellen meint mn die Anzhl Stellen, die ürig leit, wenn mn führende Nullen links der Zhl nicht mitzählt. 0.8 sind signifiknte Stellen (0.8) ist signifiknte Stelle (0.000).00 sind signifiknte Stellen (.00) 0.00 sind signifiknte Stellen (0.00) Runden Sie die folgenden Zhlen uf signifiknte Stellen: ) ) c) d) e) f). g).8. h) i) j) k) Signifiknte Dezimlstellen Werden signifiknte Dezimlstellen gefordert, so gilt die Regel der führenden Nullen nlog, er nur für die Dezimlstellen (d.h. führende Nullen links in der Folge der Dezimlstellen werden nicht mitgezählt). Runden Sie die folgenden Zhlen uf signifiknte Dezimlstellen: l).0.08 m) n) o) p) q) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

5 . Vorzeichen ei Brüchen Die Regeln für Vorzeichen gelten uch ei Brüchen. Zusätzlich gilt, dss wenn ds Vorzeichen für den gesmten Zähler oder Nenner gilt, es üerll stehen knn, uch vor dem Bruch. ) oder Vorzeichen im Nenner oder Vorzeichen vor dem Bruch ) oder Vorzeichen im Zähler oder ( ) Vorzeichen vor dem Bruch c) oder Vorzeichen im Zähler ( ) oder Vorzeichen im Nenner. Erweitern und Kürzen, 8 und hen denselen Wert. 8 6 Sie sind durch Erweitern zw. Kürzen useinnder hervorgegngen. Erweitern: Zähler und Nenner werden mit demselen Fktor multipliziert Die Technik des Erweiterns wird vor llem enötigt, um ei der Addition und Sutrktion von Brüchen die Nenner gleichnmig zu mchen. Kürzen: Zähler und Nenner werden durch denselen Fktor dividiert. Dei leit sowohl im Zähler wie im Nenner immer ein Fktor ürig (oft die Zhl ). : 8 : Jede Lösung einer Aufge muss möglichst einfch drgestellt werden, d.h. sie muss vollständig gekürzt sein. Gewöhnen Sie sich itte drn, von "kürzen" zu sprechen, und vermeiden Sie ds Wort "streichen". Streichen edeutet nämlich "wegstreichen". Würde der Nenner eines Bruchs er "weggestrichen", würde ds zu einer Division durch Null führen, die nicht definiert ist. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

6 Bei Termen mit Vrilen müssen zuerst geeignete Fktoren usgeklmmert werden, dmit ein Bruch gekürzt werden knn. Summnden dürfen nicht gekürzt werden. ) 0 Ausklmmern Kürzen im Zähler: mit und ( - ) im Nenner: ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) Mnchml können Terme uch ls Produkt zweier nderer Terme geschrieen werden. ) Fktorzerlegung Kürzen inomische Formeln mit ( - ) ( ) ( - ) ( ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) - Mnchml ist es uch möglich, sowohl einen Fktor uszuklmmern ls uch eine Zerlegung in zwei Klmmern vorzunehmen. c) Ausklmmern Kürzen und Fktorzerlegung mit und ( ) 6 ( ) ( - ) 6 ( ) ( - ) ( - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. Spezilfll I: Ausklmmern von - d) Ds Ausklmmern von ( - ) eim Nenner des. Bruchs führt dzu, dss die Nenner gleichnmig werden: - ( ) ( - ) Ds Weiterrechnen knn uf zwei Arten geschehen: Vrinte : ( - ) in den Zähler setzen Vrinte : ( - ) vor den Bruch setzen Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

7 .. Spezilfll II: Erweitern mit - e) Auch ds Erweitern des einen oder ndern Bruchs mit ( - ) knn dzu führen, dss Nenner gleichnmig werden. Durch Erweitern mit ( - ) eim. Bruch erhält mn: ( ) - ( - ) ( ) Durch Erweitern mit ( - ) eim. Bruch erhält mn: ( ) - ( - ) ( ) Bechten Sie, dss die eiden Resultte identisch sind. Jedes der eiden Resultte knn durch Erweitern mit ( - ) in ds jeweils ndere Resultt umgeformt werden... Spezilfll III: Ausklmmern von Fktoren Speziell echten müssen Sie ds Ausklmmern von Fktoren ei Potenzen. f) ( 6) Durch Ausklmmern von erhält mn: [ ] ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) Durch Ausklmmern von erhält mn: [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) h) ( ) (6 ) Durch Ausklmmern von im Zähler und im Nenner erhält mn: [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 9 i) (9 ( ) ) Durch Ausklmmern von im Zähler und im Nenner erhält mn: [ ( ) ] [ ( ) ] ( ( ) ) 9 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) 9

8 .. Spezilfll IV: Binomische Formeln Bechten Sie die Spezilfälle ei inomischen Formeln: j) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) er: k) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ] ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fzit: Der Exponent n ist eine gerde Zhl: Der Exponent n ist eine ungerde Zhl: n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) l) (x y) (y x) (x y) y) (x y) ( ) (x y) (x y) [( ) (x ] (x y) (x y) m) (x y) (y x) (x y) [( ) (x y ] ) (x y) ( ) (x y) (x y) ( ) (x y) (x y) (x y) 8 (x y) 0 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

9 . Addition und Sutrktion von Brüchen Brüche können nur ddiert oder sutrhiert werden, wenn sie gleiche Nenner hen. Zuerst müssen die Brüche lso gleichnmig gemcht werden. Ds geschieht durch Erweitern uf einen gemeinsmen Nenner. Als gemeinsmen Nenner wählen wir ds kgv ( kleinstes gemeinsmes Vielfches), Detils dzu finden Sie in Kpitel... Beispiele ) 6 6 ) Wenn ein Bruch sutrhiert wird, müssen sämtliche Vorzeichen im Zähler des zu sutrhierenden Bruchs geändert werden. Ausklmmern: Huptnenner: ( ) ( - ) ( ) ( ) ( ) Erweitern uf ( ) ( ) Huptnenner: ( ) ( ) ( ) ( ) Vereinfchen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) Erweitern uf Huptnenner: ( ) ( - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oder ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 6 ( 6 ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ) Huptnenner: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

10 .. Brüche gleichnmig mchen: ds kgv (kleinstes gemeinsmes Vielfches) Brüche können nur ddiert oder sutrhiert werden, wenn sie gleichnmig sind (d.h. gleiche Nenner hen). lssen sich deshl nicht ohne weiteres ddieren. Brüche werden gleichnmig gemcht, indem sie uf einen gemeinsmen Nenner erweitert werden. Als gemeinsmen Nenner sollte immer ds kgv ( kleinstes gemeinsmes Vielfches) gewählt werden. Es sollten lso nicht einfch die einzelnen Nenner miteinnder multipliziert werden, weil so unnötig grosse Zhlen zw. unnötig komplizierte Ausdrücke entstehen können. Brüche werden wie folgt gleichnmig gemcht: Huptnenner (ds kgv) ermitteln Jeden Nenner in seine Primfktoren zerlegen (d.h. in Fktoren, die nicht mehr weiter ufgeteilt werden können) Für lle unterschiedlichen Primfktoren ds häufigste Vorkommen ermitteln Jeden Primfktor so oft mit sich seler multiplizieren, wie es dem häufigsten Vorkommen entspricht. Die Gesmtmultipliktion ller Primfktoren mit deren Häufigkeit entspricht dem kgv. Alle Brüche uf den Huptnenner (ds kgv) erweitern Anschliessend knn die Addition / Sutrktion erfolgen, vgl. Beispiele uf der vorherigen Seite. Fll I: Die Nenner estehen nur us Zhlen ) 8 8 Jeden Nenner in seine Primfktoren zerlegen 8 8 Häufigstes Vorkommen für lle Primfktoren ermitteln Fktor : ml (im Nenner "8") Fktor : ml (im Nenner "8") Huptnenner (ds kgv) ermitteln kgv kgv Jeder verschiedene Fktor (hier und ) muss so oft in die Berechnung üernommen werden, wie er m häufigsten vorkommt. Der Fktor kommt eim ersten Nenner m häufigsten vor (dreiml) und der Fktor kommt eim dritten Nenner m häufigsten vor (zweiml). Alle Brüche uf den Huptnenner (ds kgv) erweitern Noch wichtiger ls ei der Addition und Sutrktion von Brüchen ist die Verwendung des kgv eim Auflösen von Bruchgleichungen. Werden die Brüche nicht durch Erweitern uf ds kgv zum Verschwinden gercht, entstehen oft Gleichungen mit x oder gr mit x, ws uns vor unnötige und teilweise sogr unlösre Proleme stellen wird. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

11 Fll II: Die Nenner estehen us Produkten mit Zhlen und Prmetern ) Fktor : ml (im Nenner "8") Fktor : ml (im Nenner "8 ") Fktor : ml (im Nenner "8 ") Fktor : ml (im Nenner " ") Fktor : ml (im Nenner " ") kgv kgv 60 Um ds kgv zu estimmen, muss wiederum jeder verschiedene Fktor so oft in die Berechnung üernommen werden, wie er m häufigsten vorkommt Fll III: Die Nenner estehen us Summen und Differenzen c) ( ) ( ) ( - ) ( - ) Fktor : ml (im Nenner "8 6") Fktor : ml (im Nenner "6 - ") Fktor ( ): ml (im Nenner "8 6" zw. " - ") Fktor ( - ): ml (im Nenner " - " zw. "6 ") kgv ( ) ( - ) kgv ( )( ) Um ds kgv zu estimmen, muss wiederum jeder verschiedene Fktor so oft in die Berechnung üernommen werden, wie er m häufigsten vorkommt. ( - ) ( ) 8 ( ) ( - ) ( ) ( - ) 6 ( - ) ( ) ( ) ( - ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

12 .6 Multipliktion von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem die Zähler sowie die Nenner je miteinnder multipliziert werden. ) c d c d ) Vor dem Multiplizieren sollte wenn möglich zuerst gekürzt werden, um die Aufge zu vereinfchen ( )( ) ( ) c) Bei der Multipliktion mit einer gnzen Zhl wird diese ls Bruch mit dem Nenner geschrieen. d) e) 6 6 Bei solchen Aufgen muss vor dem Ausmultiplizieren versucht werden, Zähler und Nenner in Fktoren zu zerlegen und die Aufge durch Kürzen zu vereinfchen. ( ) ( ) 6 ( 6 9) ( 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

13 f) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) g) ( ) 6 6 h) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

14 . Division von Brüchen Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs (Reziprokwert) multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs entsteht durch Vertuschen von Zähler und Nenner. Kehrwert Kehrwert ( ) Kehrwert Beispiele ) c : d d c d c ) ( ) : 6 ( ) ( )( ) : 6 ( ) ( ) 6 ( )( ) c) : ( ) Auch ei Divisionen zwischen gnzen Zhlen und Brüchen wird die gnze Zhl ls Bruch mit dem Nenner geschrieen. : d) 6 : 6 : 6 ( ) 6 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

15 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) e) : ) ( f) 9 0 : ) ( g) ) ( : ) ) ( ( 9 0 ) )( ( ) ( ) )( ( : ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( (

16 .8 Doppelrüche Eine Division zweier Brüche lässt sich wie eine Division zweier gnzer Zhlen uch ls Bruch schreien. c : d c d D nun Zähler und Nenner uch wieder Brüche sind, spricht mn hier von einem Doppelruch. Die Auflösung eines Doppelruchs geschieht, indem der Bruch im Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner multipliziert wird. Beispiele ) c d d c d c Ntürlich können ei Doppelrüchen sowohl im Zähler wie uch im Nenner gnze Zhlen stehen. Diese werden wie ereits eknnt ls Bruch mit dem Nenner geschrieen. ) c c c c c) Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

17 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) 9 Anspruchsvoll(er) wird ds Auflösen eines Doppelruchs, wenn im Zähler und / oder Nenner eine Summe oder Differenz von Brüchen oder eine Komintion von gnzen Zhlen und Brüchen steht. Vorgehen: Sowohl den Zähler wie uch den Nenner zuerst ls einen einzigen Bruch schreien. Dies geschieht durch Gleichnmigmchen des Zählers zw. des Nenners. Dnch weiterfhren mit der Division des "Zählerruchs" durch den "Nennerruch". D.h. der Multipliktion des "Zählerruchs" mit dem Kehrwert des "Nennerruchs". d) e) x x x x x x x x x x x f) Bei noch komplexeren Doppelrüchen etrchten wir zuerst Zähler und Nenner seprt, und setzen dnch eide Ausdrücke zum Gesmtruch wieder zusmmen Zähler: ) )( ( Nenner: ) ( Zusmmenfssung (Gesmtruch): ) )( ( Nenner Zähler

18 g) Hier hen wir sowohl im Zähler ls uch im Nenner nur einen einzigen Bruch. "Zählerruch" Kehrwert des "Nennerruchs" Vorgehen wie ei den Mustereispielen ) und ). Zähler: Nenner: ( ) Zusmmenfssung (Gesmtruch): ( ) ( ) h) Hier hen wir sowohl im Zähler ls uch im Nenner noch je zwei Brüche. Diese müssen zuerst zu einem einzigen "Zählerruch" und zu einem einzigen "Nennerruch" umgeformt werden. Vorgehen wie ei den Mustereispielen d) is f). Zähler: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nenner: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zusmmenfssung (Gesmtruch): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

19 Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) i) j) ) ( Zähler: Nenner: ) ( Zusmmenfssung (Gesmtruch): Zähler: ) ( Nenner: ) ) ( ( ) ( ) ( Zusmmenfssung (Gesmtruch):