Denition 1 (Die Peanoschen Axiome). Es gibt eine Menge N und eine sogenannte Nachfolgefunktion S mit folgenden Eigenschaften.

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2 In dieser Ausarbeitung handelt es sich es um die Menge der natürlichen Zahlen und deren Eigenschaften. In der Analysis werden häug zunächst die reellen Zahlen als vollständig geordneter Körper betrachtet und die natürlichen Zahlen als die kleinste induktive Teilmenge der reellen Zahlen deniert. Die Konstruktion der natürlichen Zahlen ist auch axiomatisch möglich. Damit beschäftigte sich der Mathematiker Giuseppe Peano ( ), dessen Denition in dieser Ausarbeitung genutzt wird, um einige Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu beweisen. Denition 1 (Die Peanoschen Axiome). Es gibt eine Menge N und eine sogenannte Nachfolgefunktion S mit folgenden Eigenschaften. (i) Es ist 1 N, d.h. N ist nicht leer. (ii) Es sei n N. Dann ist S(n) N. (iii) Es gilt 1 S(n) für alle n N, d.h. 1 ist kein Nachfolger von einem Element aus N. (iv) Für alle m, n N mit S(m) = S(n) folgt m = n, d.h. S : N N ist injektiv. (v) Das Prinzip der Induktion: Es sei A eine Teilmenge von N mit folgenden Eigenschaften. (a) Es gilt 1 A. (b) Für alle n A ist S(n) A. Dann gilt, dass A = N ist. Bemerkung. Wir schreiben S(1) = 2, S(2) = 3, usw. Bemerkung. Es sei A eine Menge, für deren Elemente die Aussage einer Aussagenform ϕ(n), n N wahr ist. Um die Identität A = N zu beweisen, sind folgende Eigenschaften der Aussagenform ϕ nachzuweisen. (a) Die Aussage ϕ(1) ist wahr (Anker). (b) Für alle n N folgt aus der Wahrheit von ϕ(n), dass ϕ(s(n)) wahr ist (induktive Hypothese). Lemma 2. Die Bildmenge S(N) von S ist N \ {1}. Beweis. Es sei A = {1} S(N). Dann ist 1 A und aus n A folgt S(n) A (denn S(n) A für alle n N). Folglich ist A = N (Induktion) und da 1 / S(N) ist, ist S(N) = N \ {1}. Bemerkung. Die Funktion S : N N \ {1} ist surjektiv und damit bijektiv. Damit existiert die Umkehrabbildung S 1 : N \ {1} N. Denition 3 (Addition der natürlichen Zahlen). Für alle n, m N sei die Addition + : N N N induktiv durch (a) n + 1 := S(n), (b) n + S(m) := S(n + m) 2

3 deniert. Bemerkung. Hier ist n + 2 = n + S(1) = S(n + 1), n + 3 = n + S(2) = S(n + 2), usw. In den folgenden Lemmata werden einige Eigenschaften der Addition durch Induktion bewiesen. Lemma 4. Für alle n N gilt 1 + n = n + 1. Beweis. Dies zeigen wir durch Induktion über n. (a) Für n = 1 ist 1 + n = = n + 1. (b) Es sei nun 1 + n = n + 1 für ein n N. Dann gilt 1 + S(n) = S(1 + n) (Denition von +, (b)) = S(n + 1) (Induktive Hypothese) = (n + 1) + 1 (Denition von +, (a)) = S(n) + 1 (Denition von +, (a)) und somit 1 + S(n) = S(n) + 1. Lemma 5. Es sei m N. Dann gilt (m + 1) + n = (m + n) + 1 für alle n N. Beweis. Dies zeigen wir durch Induktion über n. (a) Für n = 1 ist (m + 1) + n = (m + 1) + 1 = (m + n) + 1. (b) Es gelte (m + 1) + n = (m + n) + 1 für ein n N. Dann ist (m + 1) + S(n) = S((m + 1) + n) (Denition von +, (b)) = S((m + n) + 1) (Induktive Hypothese) = S(S(m + n)) (Denition von +, (a)) = S(m + S(n)) (Denition von +, (b)) = (m + S(n)) + 1 (Denition von +, (a)) und somit (m + 1) + S(n) = (m + S(n))

4 Satz 6. Es sei n N. Dann gilt m + n = n + m für alle m N. Beweis. Dies zeigen wir durch Induktion über m. (a) Für m = 1 ist m + n = 1 + n = n + 1 = n + m. (b) Es gelte m + n = n + m für ein m N. Dann gilt S(m) + n = (m + 1) + n (Denition von +, (a)) = (m + n) + 1 (Lemma 5) = (n + m) + 1 (Induktive Hypothese) = S(n + m) (Denition von +, (a)) = n + S(m) (Denition von +, (b)) und somit S(m) + n = n + S(m). Bemerkung. Eine binäre Verknüpfung auf einer Menge A mit r s = s r für alle r, s A heiÿt kommutativ. Folglich ist nach Satz 6 die Addition auf N kommutativ. Satz 7. Für alle m, n, p N ist (m + n) + p = m + (n + p). Beweis. Die Aussage wird in ähnlicher Weise zu Satz 6 bewiesen. Bemerkung. Eine binäre Verknüpfung auf einer Menge A mit (r s) t = r (s t) für alle r, s, t A heiÿt assoziativ. Folglich ist nach Satz 7 die Addition assoziativ auf N. Satz 8. Für ein m N gibt es kein n N mit n + m = m. Beweis. Dies zeigen wir durch Induktion über m. (a) Für m = 1 ist n + 1 = S(n) 1, d.h. es gibt kein n N mit n + 1 = 1. (b) Es gelte n + m m für ein m N. Dann gilt n + S(m) = S(n + m) S(m). Bemerkung. Da + kommutativ ist, gilt analog n + m m für jedes m, n N. Bemerkung. Eine binäre Verknüpfung hat ein neutrales Element i A, wenn i a = a und a i = a für alle a A. Nach Satz 8 gibt es kein neutrales Element i + N. Satz 9. Es seien m, n, p N mit m + n = m + p. Dann gilt n = p. 4

5 Beweis. Die Aussage wird in ähnlicher Weise zu den vorherigen Ergebnissen bewiesen. Denition 10 (Multiplikation der natürlichen Zahlen). Für alle m, n N sei die Multiplikation : N N N durch (a) n 1 := n, (b) n S(m) := (n m) + n deniert. Satz 11. Für alle n N gilt n 1 = 1 n = n, d.h. 1 ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation auf N. Lemma 12. Wenn ein neutrales Element für eine binäre Verknüpfung auf einer Menge A existiert, ist es eindeutig. Beweis. Seien i 1, i 2 neutrale Elemente bezüglich. Dann gilt i 1 = i 1 i 2 (i 2 ist neutrales Element) = i 2. (i 1 ist neutrales Element) Satz 13. Für alle m, n N gilt m n = n m, d.h. die Multiplikation ist kommutativ auf N. Beweis. Die Aussage wird analog zum Beweis der Kommutativität der Addition gezeigt. Satz 14. Für alle m, n, p N gilt m (n p) = (m n) p, d.h. die Multiplikation ist assoziativ auf N. Beweis. Die Aussage wird analog zum Beweis der Assoziativität der Addition gezeigt. Satz 15. Für alle m, n, p N gilt (m + n)p = mp + np. Beweis. Dies zeigen wir durch Induktion über p. Für p = 1 ist (m + n)p = (m + n) 1 = m + n (Denition von, (a)) = m 1 + n 1 (Denition von, (a)) = mp + np. (b) (a) Es gelte nun (m + n)p = mp + np für ein p N. Dann ist (m + n) S(p) = ((m + n)p) + (m + n) (Denition von, (b)) = (mp + np) + (m + n) (Induktive Hypothese) = (mp + m) + (np + n) (+ ist ass. & komm.) = ms(p) + ns(p) (Denition von, (b)) und da nach Satz 13 die Multiplikation kommutativ ist, gilt auch m(n + p) = mn + mp. 5

6 Bemerkung. Seien : A A A, : A A A zwei binäre Verknüpfungen auf einer Menge A mit der Eigenschaft, dass und r (s t) = (r s) (r t) (r s) t = (r t) (s t) für alle r, s, t A gilt. Dann heiÿt ist distributiv über und folglich ist nach Satz 15 die Multiplikation distributiv über die Addition. Denition 16 (Potenzierung). Für alle m, n N sei die Potenzierung N N N, (m, n) n m induktiv durch (a) n 1 := n, (b) n S(m) := n n m deniert. Die folgenden Sätze werden durch Induktion bewiesen. Satz 17. Für alle n N gilt 1 n = 1. Satz 18. Für alle m, n, p N gilt n m n p = n m+p. Satz 19. Für alle m, n, p N gilt (np) p = n m p m. Satz 20. Für alle m, n, p N gilt n pm = (n p ) m. Bemerkung. In der Regel gilt m n n m (z.b. für m = 2 und n = 1) und (n p ) m n (pm ) (z.b. für für n = 2 und p = 3), so dass Potenzierung weder kommutativ noch assoziativ ist. Nach Satz 19 ist Potenzierung einseitig distributiv. 6