Kap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung

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1 Kap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 18. VO A&D WS 08/

2 Literatur für diese VO V. Chvatal: Linear Programming D. Bertsimas: Linear Programming 2

3 Überblick 4.3 Das Duaitätstheorem der linearen Optimierung Duales Programm Schwacher Dualitätssatz Dualitätssatz 3

4 Dualität der Linearen Programmierung Es ist vorteilhaft, Schranken für Lineare Programme angeben zu können Ein Punkt, der (2)-(4) erfüllt, erfüllt auch die Ungleichung: 2(2)+(3) Wir suchen die besten Schranken: Dualität 4

5 Dualität der Linearen Programmierung Primales Programm: Duales Programm: 5

6 Dualität der Linearen Programmierung Definition: Das zu (P ) max c T x Ax b x 0 duale Problem ist (D) min y T b y T A c T y 0 6

7 Paare von dualen Problemen (P ) max c T x, Ax b, x 0 (D) min y T b, y T A c T,y 0 (P ) max c T x, Ax b (D) min y T b, y T A = c T,y 0 (P ) max c T x, Ax = b, x 0 (D) min y T b, y T A c T Transformationsregeln: Jeder primalen Ungleichung ist eine nicht-negative duale Variable zugeordnet Jeder primalen Gleichung ist eine nichtvorzeichenbeschränkte Variable zugeordnet. Jeder primalen nicht-negativen Variablen ist eine duale Ungleichung zugeordnet. Jeder primalen nicht-vorzeichenbeschränkten Variablen ist eine Gleichung zugeordnet 7

8 Beziehungen zwischen (P) und (D) (D) min y T b y T A c T y 0 (P ) max c T x Ax b x 0 max ( b T )y ( A) T y ( c) y 0 min x T ( c) x T ( A) T ( b) T x 0 Das Duale des Dualen ist das Primale.

9 Schwacher Dualitätssatz Schwacher Dualitätssatz: Seien (P) und (D) zueinander duale Lineare Programme. Sei x ein zulässiger Punkt für (P) und y zulässig für (D). Dann gilt: c T x y T b Beweis: c T x (y T A)x = y T (Ax ) y T b Korollar: Ist x* zulässig für (P) und y* zulässig für (D), und gilt c T x*=y* T b, dann ist x* optimal für (P) und y* optimal für (D). 9

10 Beispiel Optimales Tableau unseres Beispiels: Lösung (P ) x 1 =0 x 2 = 7 6 x 3 = 2 3 Das duale LP lautet x x 1 x 4 (y 1 ) x 5 (y 2 ) x (D) min 3y 1 +5y 2 2y 1 +y 2 3 2y 1 +2y 2 5 y 1 +4y 2 4 y 1, y Lösung (D) y 1 =2 y 2 = 1 2

11 Bemerkung Man kann eine optimale Duallösung aus dem Tableau ablesen: im Beispiel korrespondiert y 1 zu x 4 und y 2 zu x 5. Die Dualvariablen erhalten die negativen Werte der reduzierten Kosten für die korrespondierenden Schlupfvariablen, falls diese nicht in der Basis sind, sonst 0. Im Beispiel: y 1 *=2, y 2 *=1/2. Einsetzen in (D) zeigt: Zulässigkeit für (D) und Wert=17/2 Optimalität wegen schwacher Dualitätssatz 11

12 Dualitätssatz Dualitätssatz: Sei (P): max c T x, Ax b x 0. Wenn (P) eine Optimallösung x* hat, so hat auch sein duales Problem (D) eine Optimallösung y*, so dass c T x*=y* T b. Beweis: Für den Beweis müssen wir aus x* eine zulässige Lösung y* bestimmen, die zulässig für (D) ist. Hierzu betrachten wir das letzte Tableau von (P) zu x*. Die Variablen x n+1,...,x n+m seien die Schlupfvariablen. 12

13 Beweis ff Ist j N, so sei c j der zu x j gehörige Wert der reduzierten Kosten. Setze c j = 0 für alle j B. Wir definieren y i = c n+i für i 1, 2,..., m und haben yi 0 für alle i 1, 2,..., m. Dann gilt für alle x 1,x 2,..., x n n c j x j = j=1 n+m j=1 c j x j = c T x n+m = c T BA 1 B b +(ct N c T BA 1 B A N)x N = z + = z + = (z n c j x j j=1 m b i yi )+ i=1 m y i (b i i=1 n ( c j + j=1 n a ij x j ) j=1 m a ij yi )x j i=1 j=1 c j x j

14 Beweis vom Dualitätssatz Diese Gleichung muss für jede Wahl von x gelten, also auch für die beiden folgenden Besetzungen von x: Für x j = 0 für alle j {1, 2,..., n} folgt 0=z m b i yi z = i=1 m b i yi i=1 Für x j = 1 und x k = 0 für alle k {1, 2,..., n}\j: c j = 0 + c j + m a ij yi i=1 m a ij yi c j für alle j {1, 2,..., n} i=1

15 Dualitätssatz Korollar (alternative Version zum Dualitätssatz): Seien (P) und (D) zwei zueinander duale LPs. Sei x* ein zulässiger Punkt für (P) und y* zulässig für (D). Dann gilt: y* T b=c T x* beide Lösungen x* und y* sind optimal Der Dualitätssatz ist ein Grund dafür, dass Lineare Optimierung in vielen Bereichen (wie z.b. Approximationsalgorithmen, primal-duale Algorithmen) eine wichtige Rolle spielt. 15

16 Complementary Slackness Theorem Primales Programm (P): Duales Programm (D): max c T x, Ax b, x 0 min b T y, y T A c, y 0 Seien x eine zulässige Lösung für (P) und y zulässig für (D). Dann sind beide Lösungen optimal für alle j gilt: m (c j a ij y i )x j =0 i=1 16

17 Folgerungen aus Dualitätssatz (P) besitzt genau dann eine Optimallösung, wenn (D) eine Optimallösung besitzt. Wenn (P) unbeschränkt ist, dann muss (D) unzulässig sein (d.h. Lösungsmenge ist leer) Wenn (D) unbeschränkt ist, dann muss (P) unzulässig sein (d.h. Lösungsmenge ist leer) Es kann aber sein, dass beide (P) und (D) unzulässig sind. 17

18 Abschließende Bemerkungen Es ist keine Polynomialzeitvariante des Simplexalgorithmus bekannt. Dennoch ist er in der Praxis sehr effizient; kommerzielle Pakete sind z.b. CPLEX, XPRESS, OSC,... Es gibt polynomielle LP-Verfahren Ellipsoidmethode nicht praxistauglich Innere-Punkte-Verfahren werden oft in Praxis verwendet: zunächst Innere-Punkte, dann Simplex Untere und obere Schranken für Variaben lassen sich mit Varianten der revidierten Simplexmethod effizient behandeln. 18

19 Nicht behandelt Phase 1 für das Simplexverfahren (Bestimmen einer zulässigen Lösung) Duales Simplexverfahren (i.w. Simplex für das duale Problem) In der Praxis wird oft das duale Verfahren verwendet, das hängt von der Anwendung ab Post-Optimierung: bei leichter Änderung von c,b oder A kann man von der Optimallösung aus weiterrechnen Die Dualvariablen kann man ökonomisch interpretieren (Schattenpreise, s. Übung) ENDE LP 19