Notizen zur Vorlesung Analysis 3

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1 Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet und x: R 3 eine Prmetrisierung des reguläres Flächenstück = x(), d. h. x ist injective uf \ und für lle Punkte (u, v) ist die 3 2-Mtrix (x u (u, v), x v (u, v)) vom Rng 2 (die plten x u (u, v) und x v (u, v) sind liner unbhängig). Die (erste) metrische Fundmentlform von (bezüglich x) n der telle x(u, v) ist die symmetrische 2 2-Mtrix ( ) xu (u, v) x g(u, v) u (u, v) x u (u, v) x v (u, v). x v (u, v) x u (u, v) x v (u, v) x v (u, v) Ihre Einträge E(u, v) x u (u, v) 2, F(u, v) x u (u, v) x v (u, v), G(u, v) x v (u, v) 2, nennt mn metrische Fundmentlgrößen von (bezüglich x). Merkregel 2.38 Mn spricht von metrischen Fundmentlgrößen, weil sich viele wichtige metrische egriffe durch sie usdrücken lssen. Zum eispiel ht ds von den Vektoren x u (u, v) und x v (u, v) ufgespnnte Prllelogrmm den Flächeninhlt Dies rechnet mn einfch wie folgt nch: x u x v = det(g) = E G F 2. () x u x v = x u x v sin( (x u, x v )) = x u x v cos 2 ( (x u, x v )) = x u 2 x v 2 x u 2 x v 2 cos 2 ( (x u, x v )) = x u 2 x v 2 (x u x v ) 2.

2 Definition 2.39 (Oberflächenintegrl einer Funktion) ei D R 2 ein Gebiet, D ein regulärer ereich, ein reguläres Flächenstück mit Prmetrisierung x: und f : R eine stetige Funktion. Dnn definieren wir ds Oberflächenintegrl von f entlng durch f (x) do f (x(u, v)) x u x v d(u, v). Dbei ist f (x) do unbhängig von der Whl der Prmetrisierung (ws mn mit der Trnsformtionsformel für ds Riemnnschen Integrl über reguläre ereiche nchrechnen knn). Folgerung 2.40 ei D R 2 ein Gebiet, D ein regulärer ereich, R 3 ein reguläres Flächenstück. eien f, f und f 2 : R stetige Funktionen und α, α 2 R. Anlog zum Riemnnschen Integrl über reguläre ereiche in R 2 gilt nlog:. Linerität: (α f + α 2 f 2 ) do = α f do + α 2 f 2 do. 2. Monotonie: Gilt f (x) f 2 (x) für lle x, so gilt uch f do f 2 do. 3. ereichsdditivität: eien,..., k R 3 reguläre Flächenstücke so ds die chnittmengen i j für i j nur us endlich vielen Kurven bestehen. Für = k i= i gilt f (x) do = k i= i f (x) do. 4. Mittelwertstz: Für reguläre Flächenstücke gibt es stets ein x 0 mit f do = f (x 0 ) do. (Vorsicht, dies brucht nicht mehr zu gelten, wenn nicht zusmmenhängend ist; zum eispiel, wenn us mehreren regulären Flächenstücken zusmmengesetzt ist!) Definition 2.4 ei R 3 ein reguläres Flächenstück. Die Größe do nennt mn den Flächeninhlt von. Wir gehen zunächst ein pr eispiele durch. eispiel ei R 2 ein regulärer ereich und f : R eine stetig differenzierbre Funktion. Der Grph grph( f ) von f über ist die durch u x: R 3, x(u, v) v f (u, v) 2

3 prmetrisierte reguläre Fläche. Wir erhlten x u = (, 0, f u ) T und x v = (0,, f v ) T und ( ) + f 2 g = u f u f v f v f u + fv 2, det(g) = ( + fu 2 )( + fv 2 ) fu 2 fv 2 = + fu 2 + fv 2. Etws kürzer hätte mn uch rechnen können det(g) = xu x v = ( f u, f v, ) T = + f 2 u + f 2 v. Wir erhlten für den Flächeninhlt eines Grphen lso grph( f ) = + fu (u, v) 2 + f v (u, v) 2 d(u, v) 2. Mit der obigen Formel können wir z.. den Flächeninhlt des durch x 3 = x 2 + x2 2, 0 x 2 4 gebenen Prboloidbschnittes berechnen. Als regulären ereich wählen wir die Kreisscheibe { (u, v) R 2 (u, v) 2 } und die Funktion f (u, v) u 2 + v 2, so dss wir = grph( f ) erhlten. Nun können wir wie folgt mit Polrkoordinten rechnen: π 2 2 = + (2 u)2 + (2 v) 2 d(u, v) = + 4 r2 r dr dϕ = 2 π r + 4 r 2 dr. Mit der ubstitution z = + 4 r 2 kommen wir uf r dr = dz und erhlten 8 = π 7 2 π[ ] 3 z=7 z dz = z = 2 π ( ) z= 3 π 3. Eine weitere wichtige Klsse von Flächen stellen die Rottionsflächen dr: Für eine positive, stetig differenzierbre Funktion f : [, b] ]0, [ betrchten wir ds durch u x: [, b] [ π, π] R 3, x(u, v) = f (u) cos(v) f (u) sin(v) prmetrisierte Flächenstück = x(), wobei [, b] [ π, π]. Dmit ist lso die Rottionsfläche, die durch die Kurve u (u, 0, f (u)) beim Rotieren um die erste Koordintenchse überstrichen wird. Diesml erhlten wir 0 f (u) f (u) x u = f (u) cos(v), x v = f (u) sin(v) und x u x v = f (u) cos(v), f (u) sin(v) f (u) cos(v) f (u) sin(v) lso x u x v = f (u) + f (u) 2. Der Flächeninhlt von beträgt lso = f (u) b π + f (u) 2 d(u, v) = f (u) + f (u) 2 dv du = 2 π b f (u) + f (u) 2 du. 0 π 0 3

4 2.2 Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche Definition 2.43 (Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche) ei R 3 ein reguläres Flächenstück mit Prmeterisierung x: R 3 und sei F : R 3 ein stetiges Vektorfeld. Die Größe F d O F(x) n(x) do nennt mn den Fluss von F durch. Hierbei ist n: R 3 gegeben durch n(x(u, v)) x u(u, v) x v (u, v) x u (u, v) x v (u, v) ds (orientierte) Normlenvektorfeld von. Für konkrete erechnungen können die folgenden Identitäten nützlich sein: F d O = F(x(u, v)) (x u (u, v) x v (u, v)) d(u, v) = det ( x u (u, v), x v (u, v), F(x(u, v)) ) d(u, v). 4

5 2.3 Integrlstz von Green Definition 2.44 (Wegintegrl über Rnd eines regulären ereichs) ei D R 2 offen, F : M R 2 ein stetiges Vektorfeld, D ein regulärer ereich mit Rnd. D ein regulärer ereich ist, gibt es endlich viele Kurven γ i : [ i, b i ] R 2, i =,..., k, die gemeinsm den Rnd einml im mthemtisch positiven inne umlufen, ds heißt, der Vektor N i (t), den mn us γ i (t) durch 90 -Rottion im Uhrzeigersinn erhält, zeige us dem ereich hinus. Dnn ist ds Wegintegrl von F entlng des Rndes definiert durch k bi F(x) d x F(γ i (t)) γ i(t) dt. i= tz 2.45 (Integrlstz von Green) ei D R 2 ein Gebiet und D ein regulärer ereich und sei F : D R 2 ein stetig differenzierbres Vektorfeld. Dnn gilt ( F2 F d x = (x) F (x) ) d(x, x 2 ). x x 2 Proof. Wir rechnen ds für ds eispiel eines Rechteckes = [, b] [c, d] explizit durch. Der llgemeine Fll folgt dnn, indem mn ds Gebiet mit einer Folge von geeignet gewählten Rechtecken usschöpft. Wir prmetrisieren den Rnd des Rechtecks durch die Kurven ( ( t b γ (t) =, t [, b], γ c) 2 (t) =, t [c, d] t) ( ) ( ) + b t γ 3 (t) =, t [, b] γ d 4 (t) =, t [c, d]. c + d t F d x = F d x + F d x + F d x + F d x γ 2 γ 4 γ γ 3 d ( ) ( F (b, x = 2 ) 0 d ( ) ( ) F (, x dx c F 2 (b, x 2 ) ) ) 0 dx c F 2 (, x 2 ) 2 b ( ) ( F (x +, c) b ( ) ( ) F (x dx F 2 (x, c) 0) +, d) dx F 2 (x, d) 0 d ( = F2 (b, x 2 ) F 2 (, x 2 ) ) b ( dx 2 F (x, d) F (x, c) ) dx. c Nun verwenden wir den Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung und erhlten d b F b d 2 F F d x = (x, x 2 ) dx dx 2 (x, x 2 ) dx 2 dx c x c x 2 b d ( F2 (x, x 2 ) F (x, x 2 ) ) dx dx 2 x x 2 = = c ( F2 x (x) F x 2 (x) ) d(x, x 2 ). i 5

6 2.4 Zirkultion und Wirbelstärke Definition 2.46 (Wegintegrl über Rnd eines regulären Flächenstücks) ei M R 3 offen, F : M R 3 ein stetiges Vektorfeld, M ein reguläres Flächenstück mit stetigem Normlenfeld n: R 3 und Rnd. Es gibt lso endlich viele Kurven γ i : [ i, b i ] R 3, i =,..., k, die gemeinsm den Rnd einml im positiven inn umlufen, ds heißt, der Vektor γ i (t) n(γ i(t)) zeige us der Fläche hinus. Dnn ist ds Wegintegrl von F entlng des Rndes definiert durch F(x) d x k i= bi i F(γ i (t)) γ i(t) dt. treng genommen hängt ds Vorzeichen des Wegintegrls von der Whl des Normlenfeldes b! (Dvon gibt es immer genu zwei verschiedene.) Definition 2.47 (Zirkultion, Wirbelstärke) ei M R 3 eine offende Menge und F : M R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld. ei r M eine (stückweise) reguläre, orientierte, geschlossene Kurve mit Prmetrisierung x: [, b] R 3. Als Zirkultion von F entlng r bezeichnet mn die Größe Z F(x) d x = r b F(x(t)) x (t) dt. ei nun x 0 M ein fester Punkt und n R 3 ein Einheitsvektor. Wir betrchten für den Moment nur orientierte, reguläre Flächenstücke A M mit Rnd A, die x 0 ls inneren Punkt enthlten und n jedem Punkt den Vektor n ls Flächennormle besitzen. Wir definieren die Wirbelstärke des Vektorfeldes F bezüglich n m Punkt x 0 durch den Grenzwert W n (x 0 ) lim x 0 A ϱ (x 0 ) n A ϱ 0 A wobei ϱ (x 0 ) den ll mit Rdius ϱ um x 0 bezeichne. Merkregel 2.48 Es gilt stets A W n (x 0 ) = n rot F(x 0 ). F(x) d x, Zum Nchweis vereinfchen wir die itution durch eine geeignete Rottion und eine Verschiebung dhingehend, dss n = (0, 0, ) T und x 0 = (0, 0, 0) T. Dmit liegt sowohl ds reguläre Flächenstück A ls uch seine Rndkurve A in der durch die ersten beiden Koordintenchsen ufgespnnten x -x 2 -Ebene. Die Prmetrisierung x von A ht dnn die Form x(t) = (x (t), x 2 (t), 0) T 6

7 Nun rechnet mn mit dem Greenschen Integrlstz: F(x) d x Green = ( F2 (x) F (x) ) d(x, x 2 ). A A x x 2 A A D der letzte Integrnd stetig ist, können wir den Mittelwertstz der Integrlrechnung benutzen und finden einen Punkt x (A) A mit ( F2 (x) F (x) ) d(x, x 2 ) = F 2 (x (A)) F (x (A)) = n rot F(x (A)). A x x 2 x x 2 A Geht nun ϱ gegen 0, so muss uch x (A) gegen x 0 konvergieren (denn x (A) x 0 ϱ) und mn erhält (weil rot F noch stetig ist) W n (x 0 ) = F(x) d x = lim n rot F(x (A)) = n rot F(x 0 ). A lim x 0 A ϱ (x 0 ) n A ϱ 0 A 2.5 Integrlstz von tokes x 0 A ϱ (x 0 ) n A ϱ 0 tz 2.49 (Integrlstz von tokes) ei M R 3 offen, F : M R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld, M ein reguläres Flächenstück mit Rnd. Dnn gilt F(x) d x = rot F(x) d O. In Worten: Die Zirkultion entlng der Rndkurve ist gleich dem Integrl der Wirbelstärken uf der Fläche. Proof. (kizze) Zu gegebenem ϱ > 0 zerlegt mn ds Flächenstück in reguläre, orientierte Flächenstücke,... k(ϱ) mit Durchmesser kleiner ls ϱ, so dss wnn immer sich zwei verschiedene Flächenstücke i und j schneiden, die dies nur uf ihrem Rnd tun und die Rndstücke von i und j uf ihrem chnitt jeweils unterschiedlich orientiert sind. Mn erhält dnn k(ϱ) F(x) d x = F(x) d x. j j= Zu jedem dieser Flächenstücke wählt mn einen Punkt x j j und bezeichnet mit n j die Flächennormle n (und dmit n j ) m Punkt x j. Nch Definition der Wirbelstärke hben wir nun F(x) d x W n j (x j ) j = n j rot F(x j ) j rot F(x) d O. j j 7

8 ummiert mn über lle Flächenstücke, so erhält mn k(ϱ) F(x) d x rot F(x) d O j j= und diese Approximtion wird umso besser, je kleiner die Flächenstücke werden. Im Limes ϱ 0 ht mn schließlich k(ϱ) F(x) d x = lim rot F(x) d O = ϱ j j= rot F(x) d O. 8