Durch das Borgen steht an der Zehner-Stelle jetzt nur noch eine 1 statt einer 2

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Johannes Kranz
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1 .9 Subtraktion 55.9 Subtraktion Allgemein Bezeichnungen: Minuend - Subtrahend = Differenz Die Subtraktion zweier Zahlen wird stellenweise ausgeführt. Dabei kann es vorkommen, dass eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert werden muss. Um dies zu bewerkstelligen, kann aus der nachfolgenden Stelle ein Wert geborgt werden. Beispiel: = und wieviel ist? ) geht nicht ) von -er Stelle borgen ) aus wird 4 und wieviel ist? ) 7 Durch das Borgen steht an der Zehner-Stelle jetzt nur noch eine statt einer 2 und wieviel ist? ) geht nicht ) von -er Stelle borgen ) aus an der Zehner-Stelle wird und wieviel ist? ) 8 Durch das Borgen steht an der Hunderter-Stelle jetzt nur noch eine 2 statt einer 2 und wieviel ist 2? ) und wieviel ist 4 ) Statt beim Borgen die Minuenden-Stellen zu verkleinern, kann die Subtrahenden-Stelle vergrößert werden (wie Übertrag) = 8 7 Das Ergebnis ist das gleiche, da die Differenz zwischen Minuenden-Stelle und Subtrahenden-Stelle gleich bleibt. Beim Borgen über mehrere Stellen hinweg kann einem dieses Vorgehen jedoch leichter fallen.

2 56 Arithmetische Schaltungen a) Subtrahieren Sie - 6 = 5 im Binärsystem bei einer Wortbreite n =4. - = b) Subtrahieren Sie 2-5 = 7 im Binärsystem bei einer Wortbreite n =4. - = T c) Subtrahieren Sie 4 - = im Binärsystem bei einer Wortbreite n =4. - =

3 .9 Subtraktion 57 Halb-Subtrahierer Ein Halb-Subtrahierer ist ein Schaltung, die ein Eingangs-Bit von einem Eingangs-Bit subtrahiert. Das Ergebnis ist ein Differenz-Bit und ein Borge-Bit (b = borgen = engl. borrow). Eingang Eingang Borgen Differenz Die Differenz entspricht der XOR-Verknüpfung der Eingänge; hat den Wert, wenn der Minuend ist und der Subtrahend ist. HS Halbsubtrahierer können Binärzahlen nur halb subtrahieren: Der Halbsubtrahierer an Stelle i erkennt zwar, ob er ein Bit von Stelle i +borgen musste, kann jedoch selbst nicht berücksichtigen, ob der Halbsubtrahierer an Stelle i von ihm selbst ein Bit borgen musste.

4 58 Arithmetische Schaltungen Voll-Subtrahierer Im Gegensatz zum Halbsubtrahierer kann ein Vollsubtrahierer berücksichtigen, ob die vorangegangene Stelle i ein Bit borgen musste. a) Vervollständigen Sie nachfolgende Wertetabelle eines Vollsubtrahierers. 4 XOR 2 invertiert XOR &( ) & b) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung (links) eine Implementierung einer Vollsubtrahierer-Schaltung ein. b - VS -

5 .9 Subtraktion 59 Ripple-Borrow-Subtrahierer Beim Ripple-Borrow Subtrahierer werden n Vollsubtrahierer so verschaltet, dass sich damit die Differenz d = x y zweier n Bit breiter Zahlen berechnen lässt. x n- x 2 x x y n- y 2 y y VS - VS - VS - VS - d n- d 2 d d Betrachten Sie den Zahlenring für vorzeichenlose Zahlen Richtung steigender Werte a) Nehmen Sie an, die Eingangswerte des entworfenen Ripple-Borrow-Subtrahierers sind vorzeichenlos. Welches Zahlenformat hat die Differenz d? Welche Funktion hat das Borrow Out? Zahlenformat d: Ebenfalls vorzeichenlos. Das Borrow Out -Bit zeigt an, ob ein Unterlauf aufgetreten ist, d.h. ob der gültige Wertebereich verlassen wurde.

6 6 Arithmetische Schaltungen Betrachten Sie den Zahlenring für Zahlen im Zweier-Komplement: negativ positiv b) Funktioniert der Subtrahierer auch mit dem Zweier-Komplement? Wenn ja: Wie kann man einen Überlauf feststellen? Wenn nein: Warum nicht? Ja. pos - pos: - =, 4-= pos - neg: - =, - (-) = 6 neg - pos: - =, - - = -4 neg - neg: - =, -2 - (-) = Überläufe treten auf beim Überschreiten der Grenze betragsmäßig größte negative Zahl $ größte positive Zahl : neg - pos = pos pos - neg = neg

7 .9 Subtraktion 6 c) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung eine Schaltung ein, die einen Überlauf von Zahlen im Zweierkomplement feststellt. x n- y n- u d n-

8 62 Arithmetische Schaltungen. Division Allgemein Bei der Division gilt allgemein: Dividend / Divisor = Quotient + Rest Division zur Basis, wie in der Schule gelernt: 9876 : 54=. Runde. Teildividend = 9 Passt 54 in 9? Nein, d.h. mal : 54= 2. Runde 2. Teildividend = 98 Passt 54 in 98? Ja Wie oft? = 44 ( mal) = - (negativ bleibt bei mal) 4476 : 54=8. Runde. Teildividend = 447 Passt 54 in 447? Ja Wie oft? = 9 ( mal) 9-54 = 9 (2 mal) 9-54 = 285 ( mal) = 2 (4 mal) 2-54 = 77 (5 mal) = 2 (6 mal) 2-54 = 69 (7 mal) = 5 (8 mal) 5-54 = -9 (negativ bleibt bei 8 mal) 56 : 54=8 Rest Runde 4. Teildividend = 56 Passt 54 in 56? Ja Wie oft? = 2 ( mal) 2-54 = 48 (2 mal) = -6 (negativ bleibt bei 2 mal)

9 . Division 6 Die Division zur Basis 2 folgt demselben Prinzip wie die Division zur Basis. Da der Teildividend jedoch nur oder mal in den Divisor passen kann, ist die Bestimmung der jeweiligen Quotienten-Stelle wesentlich einfacher. a) Berechnen Sie binär vorzeichenlos für n =4die Division /4 =Rest. : = Rest. Teildividend: ; - = negativ passt nicht mal 2. Teildividend: ; - = negativ passt nicht mal. Teildividend: ; - = = positiv geht mal 4. Teildividend: ; - = = positiv geht mal Rest bzw: : = R e s t - - T b) Berechnen Sie binär vorzeichenlos für n =4die Division / =Rest. : = Rest. Teildividend: ; - = negativ passt nicht mal 2. Teildividend: ; - = negativ passt nicht mal. Teildividend: ; - = = positiv geht genau mal 4. Teildividend: ; - = = positiv geht genau mal Rest bzw: : = Rest - -

10 64 Arithmetische Schaltungen Kombinatorischer Dividierer a) Vervollständigen Sie nachfolgende Abbildung um geeignete Bauelemente und Verbindungen zu einer Schaltung, die zwei vorzeichenlose 4 Bit breite Zahlen zu einem Quotienten q und einem Rest r dividiert. x x 2 x x : y y 2 y y 2 VS VS VS HS 2 2 VS VS VS HS 2 2 VS VS VS HS 2 2 VS VS VS HS q q 2 q q Rest: r r 2 r r

11 . Division 65 Sequentieller Dividierer Nachfolgende Abbildung skizziert eine sequentielle Schaltung, die zur Division (hier: x/y) vorzeichenloser Zahlen der Wortbreite n =4verwendet werden kann. D y y 2 y y SUB R R x x 2 x x Das Divisor-Register D ist n =4Bit breit, das Rest-Register R ist 2n =8Bit breit. Zuerst wird der Dividenn der rechten Hälfte des Rest-Registers R abgelegt; die linke Hälfte wird mit initialisiert Der Divisor wirm Divisor-Register D abgelegt Anschließend wirterativ n =4mal folgendes durchgeführt: Rest-Register R um eine Stelle nach links schieben, dabei von rechts mit Nullen auffüllen. Der Subtrahierer bestimmt mittels Subtraktion R 2n...n D, ob der Divisor D in den Teil-Dividenden R 2n...n passt. Ist das Ergebnis der Subtraktion positiv, d.h. hat der Divisor in den Teil-Dividenden reingepasst, wird R auf gesetzt und das Ergebnis der Subtraktion (der Rest) in R 2n...n übernommen. Der Quotient findet sich in der rechten Hälfte des Rest-Regstiers, d.h. R n..., der Divisions-Rest in der linken Hälfte, d.h. R 2n...n.

12 66 Arithmetische Schaltungen a) Tragen Sie in folgende Abbildung für n =4die Registerinhalte ein, die sich für die Division : 4 = Rest ergeben. a SUB a-b b Nach Schieben: Nach Schieben: Nach Schieben: Nach SUB/ODER: Nach Schieben: Nach Subtr./ODER: Initialisierung Erste Runde Zweite Runde Dritte Runde Dritte Runde Vierte Runde Vierte Runde Nachfolgende Abbildungen zeigen eine Schaltung, welche die sequentielle Division implementiert, sowie den zugehörigen Zustandsautomaten. T b) Tragen Sie in den Zustands-Automaten geeignete Übergänge und Ausgangssignale so ein, dass der Zustandsautomat die Schaltung in gewünschter Weise steuert.

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