Chaotisches Verhalten in nichtlinearen mechanischen Modellsystemen

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1 Bachelorarbeit im Studienfach Physik Chaotisches Verhalten in nichtlinearen mechanischen Modellsystemen Maximilian Schilcher Matrikelnummer Theoretische Physik II Universität Augsburg 17. September 014 Erstgutachter: Prof. Dr. Ulrich Eckern

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 Chaostheorie 3.1 Nichtlineare dynamische Systeme Phasenraum Kausalität Ljapunov-Exponent Attraktoren Fixpunkte und Untersuchung von Orbits auf Stabilität und Dichte Die logistische Gleichung - Bifurkationsroute Seltsame Attraktoren Integrable Hamiltonsche Systeme Poincaré-Abbildungen und -Schnitte Hamiltonsches Modellsystem - Die Wippe Beschreibung des Systems Aufstellen der Bewegungsgleichungen und des Kraftvektors Lösungsansätze Näherung in Analogie zum Fadenpendel Linearisierung für kleine Auslenkungen Konstante Rotation Numerische Lösungen des Modellsystems Runge-Kutta-Verfahren Numerische Lösung des Systems Verweildauer des Massepunkts auf der Wippe Keine Anfangsgeschwindigkeiten Mit Anfangsgeschwindigkeiten Andeutung des chaotischen Verhaltens anhand der Verweildauer Konstante Rotation mit Schwerefeld Reflektierende Wände Poincaré-Schnitte am Beispiel der Wippe Periodische Orbits Zusammenfassung und Fazit 49 Literaturverzeichnis 51 Abbildungsverzeichnis 53

4 Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis 55 A Diagramme zur numerischen Betrachtung des Systems 57 B Suche nach periodischen Orbits 69

5 1 Einführung Im Anfang schuf Gott Himmel und Erde, die Erde aber war wüst und leer, Finsternis lag über der Urflut und Gottes Geist schwebte über dem Wasser. 1 Schon in der Bibel findet sich die Vorstellung von der Welt als Schöpfung und damit als einer Ordnung, die aus einem Zustand hervorgegangen sein soll, der in der Ungeordnetheit und Verwirrung bestand, für die man biblisch die Begriffe Tohuwabohu ( wüst und leer ), Finsternis, Urflut und Wasser verwendete. An solch eine Urvorstellung glaubten auch die alten Griechen. Sie nannten sie χάoς, also Chaos, und bezeichneten damit jenen Nebel, jenes Nichts, in welchem sich nach den griechischen Sagen das Universum vor dem Entstehen der ersten Götter befand. Der Gegenbegriff lautete κóσµoς, also Kosmos. Er steht für die geordnete Welt, wie sie nach dem ordnenden und formenden Eingriff in das Chaos existierte und noch heute besteht (zum historischen Kontext siehe auch [1]). Auch viele Jahrhunderte später lässt sich die Vorstellung von Chaos und Ordnung beobachten. Der französische Mathematiker Pierre Simon Marquis de Laplace ( ), seinerseits ein überzeugter Vertreter der Physik Sir Isaac Newtons ( ), glaubte - ausgehend von dessen Bewegungsgleichungen -, dass das ganze Universum determiniert sei und jeder beliebige Zustand in Vergangenheit oder Zukunft sich mithilfe der Physik und der Mathematik unter Kenntnis aller Naturgesetze und der Anfangsbedingungen des Universums berechnen lasse. Das Ziel läge somit bei einer Art Weltformel. Diesen Sachverhalt bezeichnet man als Laplaceschen Dämon. Neue Erkenntnisse in der modernen Physik des 0. Jahrhunderts brachten die Vorstellung der Unterscheidung von Chaos und Kosmos zu Fall und führten damit auch den Laplaceschen Dämon ad absurdum. Diese neuen und neuesten Entwicklungen bestehen in der Relativitätstheorie Albert Einsteins, der damit verbundenen Theorie der Gleichwertigkeit von Masse und Energie, Erkenntnissen in der Quantenmechanik, wie zum Beispiel der Heisenbergschen Unschärferelation, und der Chaostheorie. Heute ist die Chaostheorie ein festes Teilgebiet der Mathematik und Physik und beschäftigt sich mit nichtlinearen dynamischen Systemen, die sich durch bestimmte gemeinsame Eigenschaften auszeichnen und in ihrer Langzeitentwicklung nicht prognostizierbar sind. Sie weisen chaotisches Verhalten auf, das als deterministisches Chaos bezeichnet wird, da die Dynamik der jeweiligen Systeme zwar den physikalischen Gesetzen unterliegt, sich aber dennoch scheinbar irregulär verhält. Viele Probleme der klassischen Mechanik gehorchen nichtlinearen Differentialgleichungen. Während das Verhalten linearer System bereits seit langem gut erforscht ist, wurde die Untersuchung nichtlinearer Systeme - wie bereits erwähnt - erst in der zweiten Hälfte des 0. Jahrhunderts wesentlich vorangetrieben. Der Grund dafür ist, dass sich lineare Differentialgleichungen immer exakt lösen lassen, da für deren Behandlung eine vollständige Theorie existiert. Hingegen lassen sich nichtlinea- 1 Gen 1,1- nach Neue Jerusalemer Bibel (Einheitsübersetzung) 1

6 1 Einführung re Differentialgleichungen im Allgemeinen nur numerisch lösen. Deshalb wurde die Untersuchung nichtlinearer System durch den Einsatz von Computern wesentlich vereinfacht. In meiner Bachelorarbeit möchte ich zunächst einen Überblick über die Chaostheorie geben, wobei dabei unter anderem die Begriffe des Phasenraums, des Ljapunov-Exponenten, der Attraktoren und der Bifurkationskaskade sowie die logistische Gleichung behandelt werden. Anschließend widme ich mich einem System der klassischen Mechanik, welches einer nichtlinearen Differentialgleichung gehorcht. Hier werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt sowie versucht, diese zu lösen. Zu guter Letzt wird das System numerisch gelöst, in den Anfangsbedingungen variiert und in verschiedenen Fällen die Stabilität des Systems betrachtet sowie nach periodischen Orbits gesucht.

7 Chaostheorie In diesem Kapitel sollen die Grundbegriffe der Chaostheorie erläutert werden..1 Nichtlineare dynamische Systeme Zu Beginn soll eine Einführung und grobe Übersicht über nichtlineare dynamische Systeme gegeben werden, wie sie z.b. in [] zu finden ist. Ein dynamisches System bezeichnet ein mathematisches Modell eines Prozesses, der sich in Abhängigkeit der Zeit verändert. Das dynamische System wird definiert durch einen Zustands- oder Phasenraum (dazu später mehr) M R n (oder eine offene Teilmenge davon) und eine einparametrige Abbildung φ t : M M, x φ t (x). (.1) Man unterscheidet dann zwischen zeitkontinuierlichen Systemen und zeitdiskreten Systemen. Bei ersteren gilt t { R, R +} und bei letzteren t { Z, Z +}. Wir setzen zur besseren Schreibweise Γ = { R, R +, Z, Z +}. Als dynamisch wird das System dann bezeichnet, wenn zusätzlich gilt: φ 0 (x) = x für alle x M, φ t (φ s (x)) = φ t+s (x) für alle t, s Γ, x M. Man unterscheidet dann noch zwischen diskreten und kontinuierlichen dynamischen Systemen. Ist ein dynamisches System diskret, so handelt es sich um eine endliche Anzahl an Differentialgleichungen (zeitkontinuierlich) bzw. Differenzengleichungen (zeitdiskret). Behandelt man dagegen Probleme aus der Kontinuums- oder Quantenmechanik, so handelt es sich um kontinuierliche dynamische Systeme (zu dynamischen Systemen, wie sie hier definiert sind, siehe auch [3]). Selbstverständlich spielen Differentialgleichungen in Wissenschaft und Technik eine weitaus größere Rolle, jedoch können Differenzengleichungen dazu dienen, einfache Beispiele für chaotisches Verhalten zu liefern. Das Interesse dieser Arbeit liegt dabei auf dem Zeitverhalten chaotischer Systeme. Allgemein werden physikalische Systeme von Interesse durch die Gleichungen. beschrieben: ẋ 1 = f 1 (x 1,..., x n ). (.) ẋ n = f n (x 1,..., x n ). So können x 1,..., x n beispielsweise Konzentrationen von Chemikalien, Populationen von Spezien in einem Ökosystem oder auch Positionen und Geschwindigkeiten von Planeten repräsentieren. Auch 3

8 Chaostheorie der harmonische gedämpfte Oszillator mẍ+bẋt+kx = 0 kann in ein solches System umgeschrieben werden, indem man die neuen Variablen x 1 = x und x = ẋ einführt. Das Gleichungssystem nimmt dann folgende Gestalt an: ẋ 1 = x, ẋ = b m x k m x 1. Ein solches System nennt man linear, weil alle x i nur in erster Potenz auftreten. Andernfalls ist das System nichtlinear. Ein Beispiel hierfür ist das Pendel, dessen Bewegung durch die Gleichung ẍ + g l sin(x) = 0 bzw. ẋ 1 = x, ẋ + g l sin(x 1) = 0 beschrieben wird, wobei x der Auslenkungswinkel, l die Länge des Pendels und g die Erdbeschleunigung ist. Auch explizit zeitabhängige Probleme können behandelt werden, indem man die Zeit als eine zusätzliche Variable behandelt. Mit x 1 = x, x = ẋ und x 3 = t wird so die Gleichung des getriebenen harmonischen Oszillators mẍ + bẋ + kx = F cos(t) zu ẋ 1 = x, ẋ = 1 m ( kx 1 bx + F cos(x 3 )), ẋ 3 = 1. Differentialgleichungen dieser Art nennt man auch autonom. Als autonome Differentialgleichung oder autonomes System bezeichnet man einen Typ von gewöhnlichen Differentialgleichungen, bei denen die rechte Seite nicht explizit von der unabhängigen Variable abhängt. Nichtlinearität führt im Allgemeinen dazu, dass die Gleichung nicht mehr analytisch gelöst werden kann, es sei denn, man führt mehr oder weniger drastische Näherungen ein, wie zum Beispiel die Entwicklung der Sinusfunktion zu sin(x) x im Falle des Fadenpendels (für kleine Auslenkungen). Dadurch geht jedoch ein wesentlicher Teil der Physik verloren. Zwar kann das Pendel durch elliptische Integrale analytisch gelöst werden, die analytische Lösung nichtlinearer Systeme bleibt allerdings die Ausnahme. Der Hauptgrund dafür, dass nichtlineare Systeme viel komplexer sind als lineare, liegt darin, dass lineare Systeme immer in Teile aufgespalten werden können. Diese können einzeln gelöst werden und anschließend wieder zur Lösung zusammengesetzt werden. Diesem Prinzip unterliegen solch grundlegende Methoden wie Superposition, Laplace-Transformationen oder auch die Fourieranalysis. Die überwältigende Mehrheit der Systeme in der Natur verhält sich jedoch nichtlinear. 4

9 Chaostheorie Linear Anzahl der Variablen n = 1 n = n 3 Wachstum, Verfall oder Gleichgewicht RC-Schaltungen Exponentielles Wachstum Radioaktiver Zerfall Schwingungen Linearer Oszillator Masse-Feder- Oszillator RLC-Schwingkreis Zweikörperproblem Bauingenieurwesen Elektrotechnik Nichtlinear Fixpunkte Bifurkationen Überdämpfte Systeme Logistische Gleichung Pendel Anharmonischer Oszillator Nichtlineare Elektronik (z.b. van der Pol-System) Chaos Seltsame Attraktoren (Lorenz) Dreikörperproblem Iterierte Abbildungen (Feigenbaum) Fraktale Linear n 1 Anzahl der Variablen Kontinuum Kollektive Phänomene gekoppelte harmonische Oszillatoren Festkörperphysik molekulare dynamische Systeme statistische Physik (Gleichgewicht) Elastizität Wellengleichungen Elektromagnetismus (Maxwell) Quantenmechanik Nichtlinear gekoppelte nichtlineare Oszillatoren Laser, nichtlineare Optik Nichtlineare Festkörperphysik Nichtlineare Wellen Quantenfeldtheorie Allgemeine Relativitätstheorie Plasmen Turbulente Fluide Tabelle.1: Beispiele und Stichworte für dynamische Systeme [] Nimmt man eine Einteilung nach der Anzahl der Variablen bzw. der zu lösenden Differentialgleichungen sowie der Linearität bzw. Nichtlinearität vor, so ergeben sich in Tabelle.1 einige Beispiele für verschiedenste dynamische Systeme. Der lineare Bereich für n 1 sowie für den kontinuierlichen Bereich, in dem die Superposition von Lösungen durch Integrieren erfolgt, bildet den Rahmen, in dem die meisten partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik behandelt wer- 5

10 Chaostheorie den. Mögen diese Systeme auch kompliziert sein, sind sie doch exakt behandelbar durch lineare Superpositionsmethoden wie Fourieranalysis und Transformationen. Die nichtlinearen Systeme für n 3 sowie für das Kontinuum bilden einen großen Forschungsbereich, der bis heute noch nicht voll verstanden ist. Sie sind zum Teil hochkompliziert sowohl im Raum als auch in der Zeit. Beispiele hierfür sind die Bewegung eines turbulenten Fluids oder das Muster der elektrischen Aktivität beim Herzkammerflimmern. Einige der in Tabelle.1 erwähnten Begriffe werden im Weiteren näher erläutert.. Phasenraum Wird ein dynamisches System durch Gleichungen der Art von. beschrieben, so repräsentieren die n zeitabhängigen Variablen physikalische Größen. Diese lassen sich in einem abstrakten Raum, dem Phasenraum, darstellen. Er ist n-dimensional und wird von den (Zustands)variablen x 1, x,..., x n aufgespannt. Der Zustand des gesamten Systems wird durch einen Punkt in diesem Phasenraum festgelegt. Die zeitliche Entwicklung einer n-dimensionalen Kurve x(t) im Phasenraum, nennt man Trajektorie. Der Vektor ẋ gibt die Geschwindigkeit des Punkts x(t) an. Den stationären Zuständen des Systems mit ẋ = 0 entsprechen zeitlich konstante Punkte im Phasenraum, die Fixpunkte heißen. Diese werden später noch genauer besprochen. Werden deterministische Systeme behandelt, also Systeme, die sich vorhersagbar im Einklang mit strengen Gesetzen entwickeln und dabei natürlich von der Ursache zur Wirkung voranschreiten, was bei allen in dieser Arbeit betrachteten Systemen der Fall ist, so kann bei stetigen Bewegungen durch jeden Punkt im Phasenraum, der nicht Fixpunkt ist, nur eine Trajektorie laufen. Nur im Fixpunkt können mehr als eine Trajektorie (im Allgemeinen sogar unendlich viele) zusammenlaufen. Periodische Systeme besitzen geschlossene Trajektorien. Bei Verdopplung der Periode schließt sich dieser Orbit, also die Menge der Zustände, die ein dynamisches System im Laufe der Zeit einnimmt, erst nach zwei Umläufen wieder. Systeme mit unendlich langer Periode, sprich chaotische Systeme, besitzen daher keine geschlossenen Trajektorien. Die obige Darstellung des Phasenraums basiert auf derjenigen aus [4]..3 Kausalität In der Chaostheorie und -forschung wird zwar der prinzipielle Determinismus in Form des Axioms der schwachen Kausalität eine bestimmte Ursache hat eine bestimmte Wirkung beibehalten, jedoch wird das in der klassischen Physik meist als wesentliche Voraussetzung verwendete Axiom der starken Kausalität, nach dem auch ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen haben, als allgemein gültiges Prinzip als unhaltbar zurückgewiesen. Das hängt mit der in vielen Systemen beobachteten Verletzung der starken Kausalität zusammen. Auch in der Natur und in unserem täglichen Umfeld sind die meisten Systeme nicht stark kausal; man denke nur an einen auf der Spitze stehenden Bleistift (in welche Richtung wird er fallen?) oder einen tropfenden Wasserhahn (tropft er regelmäßig oder unregelmäßig?). Zwei Systeme können sich in den Anfangszuständen beliebig wenig unterscheiden und sich dennoch langfristig völlig verschieden entwickeln. Der beschriebene Sachverhalt 6

11 Chaostheorie wird durch Nichtlinearitäten ausgelöst, wenn sich zum Beispiel eine minimale Abweichung von den Anfangsbedingungen exponentiell fortpflanzt. Man sagt dann, das System hängt sensitiv von den Anfangsbedingungen ab. Abbildung.1 verdeutlicht dies. Nachzulesen ist diese Betrachtung der Kausalität in [5]. Abbildung.1: Kausalität [5].4 Ljapunov-Exponent Die folgende Herleitung und Betrachtung des Ljapunov-Exponenten orientiert sich an [6]. Der Ljapunov-Exponent beschreibt in einem dynamischen System quantitativ das Auseinanderstreben von zwei anfangs beliebig nah zusammen liegenden Trajektorien. Beträgt der Abstand der Trajektorien im Phasenraum ɛx 0, so ist deren räumliches Auseinanderstreben gegeben durch ɛx(t) e λt ɛx 0. (.3) Betrachtet man nun die zeitdiskrete Abbildung x n+1 = f(x n ), so ist der Abstand der zwei Trajektorien nach N Iterationsschritten gegeben durch ɛe Nλ(x 0) = f N (x 0 + ɛ) f N (x 0 ). (.4) Die Gleichungen.3 und.4 führen zusammen mit den Grenzübergängen ɛ 0 und N zum formal korrekten Ausdruck für λ(x 0 ): λ(x 0 ) = lim lim 1 N ɛ 0 N ln f N (x 0 + ɛ) f N (x 0 ) 1 = lim ɛ N N ln df N (x 0 ) dx 0. (.5) 7

12 Chaostheorie Das bedeutet, dass e λ(x 0) der Durchschnittsfaktor ist, mit dem die Distanz zweier Trajektorien nach einer Iteration gestreckt bwz. gestaucht wird. Ein interessanter Aspekt ist, dass der Ljapunov-Exponent auch mit dem Informationsverlust im Laufe der Iteration in Verbindung gebracht werden kann. Die Information, die man beim Eintreten eines Ereignisses E i mit der Wahrscheinlichkeit w i erhält, ist definiert durch I(w i ) = c ln w i mit einer Konstanten c. Die mittlere Information ist dann die Summe über alle möglichen Informationen, gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit: I = c N i=1 w i ln w i. In der Informationstheorie verwendet man auch häufig den Logarithmus zur Basis zwei (ld). Man betrachtet nun im einfachsten Fall eine lineare Funktion in einer Dimension. Wir teilen das Intervall [0,1] in n gleich große Teilintervalle und nehmen an, dass der Punkt x 0 in jedem von ihnen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1 n auftaucht. Wenn man den Punkt x 0 findet, erhält man die Information I 0 = n i=1 1 n ld 1 n = ldn, denn das Intervall muss n-mal eingegrenzt werden zur Suche von x 0. Bei Verringerung von n wird die Information reduziert und sie wird null für n = 1. Die lineare Funktion f(x) streckt bzw. staucht die Länge eines Intervalls mit dem Faktor a = f (0). Die Änderung der Information beträgt dann (.6) a/n a I = n ld a n + n 1 n ld 1 n = ldn a ldn = lda = ld f (0). (.7) i=1 i=1 Variiert man f (x) bei einer nichtlinearen Funktion, muss nochmals der Mittelwert gebildet werden: N 1 1 I = lim ld f (x i ). (.8) N N i=0 Im Gegenzug kann auch der Ljapunov-Exponent umgeschrieben werden. Dazu benutzt man die Kettenregel d dx f (x) = f (x 1 )f (x 0 ) mit x 1 = f(x 0 )usw. (.9) x0 und schreibt den Ljapunov-Exponenten um zu λ(x 0 ) = lim N 1 N ln df N (x 0 ) dx 0 = lim 1 N 1 N N ln f (x i ) = lim N i=0 Der Vergleich der Gleichungen.8 und.10 führt dann auf N 1 1 N i=0 ln f (x i ). (.10) λ(x 0 ) = ln I. (.11) 8

13 Chaostheorie Man sieht an diesem Beispiel gut, wie sich die Brücke zwischen dem Auseinanderstreben von Trajektorien und der Informationsgewinnung schlagen lässt..5 Attraktoren Die nachfolgende Darstellung von Attraktoren basiert weitestgehend auf derjenigen aus [7]. Wir betrachten ein n-dimensionales System von gewöhnlichen Differentialgleichungen u = V(u). Die Funktion V : R n R n sei dabei analytisch und u(t = 0) = u 0 vorgegeben. Die Zustandsvariablen entwickeln sich also gemäß der nichtlinearen Funktionen V i. Dabei soll eine Lösung mit u(t) = Φ t (u 0 ) (.1) vorgegeben sein, die über den Phasenfluss Φ t und alle möglichen Anfangszustände u 0 den Systemzustand zu jedem Zeitpunkt determiniert. Für eine erste Motivation des Begriffs des Attraktors soll das System zusätzlich dissipativ sein, was bedeutet, dass das zeitliche Mittel der Divergenz des Vektorfeldes negativ sein soll: divv < 0 bzw. divv < 0 für divv = const. (.13) Für den Beweis betrachten wir das infinitesimale Phasenraumvolumen δv = i δu i. (.14) Dessen zeitliche Änderung ist d dt δv = i d dt δu i δu j. (.15) j i Dabei ist und d dt δu i = d dt (u i + δu i ) d dt u i = V i (..., u i + δu i,...) V i (..., u i,...) = V i(u) δu i (.16) u i d dt δv = i V i (u) u i δv = divv(u)δv. (.17) Dieser Beweis stammt aus [8]. Das Volumen im Phasenraum, das die Funktion einnimmt, wird daher exponentiell verkleinert gemäß V(t) = V(0)exp( t divv ), (.18) 9

14 Chaostheorie wobei V(0) das Volumenelement zur Zeit t = 0 bezeichnet. Das Phasenraumvolumen konzentriert sich also im Lauf der Zeit nur noch auf eine Untermenge des Phasenraums R n. Diese Mengen an Punkten im Phasenraum, die nach einem Einschwingverhalten erreicht werden, nennt man Attraktoren. Attraktoren A werden somit allgemein ausgezeichnet durch die Eigenschaften: Es gibt eine offene Umgebung U von A mit A U, sodass Φ t (U) U für t > 0 und A = t>0 Φ t (U). Aus u 0 A folgt auch Φ t (u 0 ) A für alle t. Mit wachsendem t und für fast alle u 0 gilt Φ t (u 0 ) U a für beliebige Umgebungen U a aller Attraktorpunkte a A. Der Ausdruck fast alle Startwerte bedeutet hier: für alle Startwerte bis auf endlich viele, deren n-dimensionales Volumen verschwindet. Einen Attraktor kann man sich als eine Kurve im Phasenraum vorstellen, an die sich eine Bewegung nach dem Start immer mehr annähert. Es gibt verschiedene Arten von Attraktoren. Bei einem Fadenpendel mit Reibung läuft die Trajektorie zum Beispiel spiralförmig auf einen Punktattraktor im Phasenraum zu, der im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Das Pendel verliert nämlich im Laufe der Zeit sowohl an Geschwindigkeit als auch an Auslenkung. Dies ist ein Beispiel für ein dissipatives System, dessen Phasenraumvolumen sich gemäß obiger Erklärung immer weiter verkleinert. Ist das System nicht dissipativ, wie es z.b. bei einem getriebenen ungedämpften Federpendel der Fall ist, kann sich beispielsweise jede Trajektorie im Phasenraum einer Ellipse annähern. Diese Ellipse ist also ebenfalls ein Attraktor. Sie stellt die gleichbleibende Schwingung, die nach dem anfänglichen Einschwingvorgang erreicht wird, dar. Bei jedem periodischen Vorgang wird der Attraktor eine geschlossene Kurve im Phasenraum sein; irgendwann erreichen schließlich Ort und Geschwindigkeit wieder die gleichen Werte. Bei nichtlinearen dynamischen Systemen mit der Dimension d 3 kann ein sogenannter seltsamer Attraktor existieren, der sich unter anderem durch seine fraktale Struktur auszeichnet; dazu später aber mehr..6 Fixpunkte und Untersuchung von Orbits auf Stabilität und Dichte Zur Beschreibung von Fixpunkten und der Stabilität von Orbits findet sich eine gute Darstellung in [7], auf der die folgenden Überlegungen beruhen. Wie bereits im Abschnitt über den Phasenraum angedeutet, sind für die Beschreibung von Systemen, die nicht in die Unendlichkeit divergieren, Fixpunkte von Bedeutung. In höheren Dimensionen ist dabei der Begriff des Fixpunkts irreführend - vielmehr handelt es sich um einen Fixorbit. Zur Charakterisierung von Fixobjekten werden hauptsächlich die folgenden Größen verwendet: Stabilität, 10

15 Chaostheorie invariante Dichte, Ljapunov-Exponenten, die sogenannte Autokorrelationsfunktion, sogenannte Momente. Im Folgenden sollen die ersten zwei neu hinzu gekommenen Begriffe erläutert werden. Ein Punkt x S einer Abbildung f : S S heißt dann Fixpunkt, wenn gilt x = f(x ). Man benötigt außerdem zur Untersuchung der Stabilität die sogenannte Variationsgleichung. Es sei x t+1 = f(x t ) eine zeitdiskrete Abbildung und differenzierbar. Dann heißt y t+1 = df dx (x t) y t (.19) die Variationsgleichung der dynamischen Abbildung. Sie folgt aus der Variation nach ɛ: y t+1 = d dɛ f(x t + ɛy t ) f(x t + ɛy t ) f(x t ) = lim. (.0) ɛ=0 ɛ 0 ɛ Zur Lösung der Variationsgleichung muss zuerst die ursprüngliche dynamische Gleichung gelöst werden, da ihre Lösung x t in die Variationsgleichung eingesetzt wird. Ein Fixpunkt heißt dann lokal stabil, wenn unter f für t alle Punkte in einer Umgebung U(x ) nach x streben. Wann dies erfüllt ist, lässt sich aus der Variationsgleichung ablesen. Setzt man in.0 einen Fixpunkt ein, so folgt y t+1 = df dx (x ) y t = η y t mit η = df dx (x ). (.1) Diese Gleichung wird gelöst durch y t = η t y 0, (.) wobei y 0 der Startwert und t N ist. Ist η < 1, dann folgt y t 0 für t. Mit Gleichung.0 heißt das aber nichts anderes, als dass für t 1 alle x t sehr nah zusammenwandern. Somit ist der Fixpunkt für η < 1 stabil. Ist dagegen η > 1, dann folgt für t, dass y t für y 0 > 0 bzw. y t für y 0 < 0. Daraus folgt, dass als Stabilitätsbedingung df(x) dx = η < 1 x=x (.3) gilt. Ein Fixpunkt x heißt instabil, wenn es eine Umgebung U von x derart gibt, dass für alle y U ein t(y) N existiert mit f (t) (y) U. Eng mit der Thematik zusammen hängt auch die Periode einer Bahn. Eine Bahn x 0, x 1, x,... heißt periodisch von der Ordnung p, wenn für ein p N und für alle t N 0 gilt: x t+p = x t. Ein Fixpunkt ist also eine Bahn der Periode eins und auch ein Beispiel für einen einfachen Attraktor. Mithilfe der iterierten Abbildung lässt sich ebenfalls eine Bahn definieren. Eine Bahn B der Periode 11

16 Chaostheorie p heißt stabil bzw. instabil, wenn x B ein stabiler bzw. instabiler Fixpunkt der Abbildung f (p) = f(f p 1 ) ist. Betrachten wir erneut die mehrdimensionale Abbildung u = V(u) mit u(t) = Φ t (u 0 ), so gilt für einen Fixpunkt: Φ t u = u. Wir können die Bewegungsgleichungen zum Erhalt der Stabilitätsbedingung linearisieren (siehe dazu auch [8]), wenn wir Punkte der Art u = u + δu betrachten: d dt δu i(t) = j V i (u) u j δu j (t) = u=u j M ij δu j (t), (.4) wobei die Stabilitätsmatrix M im Allgemeinen nicht symmetrisch ist. Die Lösung dieser Gleichung ist dann δu(t) = e Mt δu 0. Entwickelt man δu nach den Eigenvektoren e λ, so erhält man δu(t) = λ e λt δu λ,0 e λ. (.5) Im Falle eines zweidimensionalen Phasenraums sind attraktive Fixpunkte entweder Knoten, falls beide Eigenwerte reell und kleiner als null sind, oder vom Typ Fokus, falls beide Eigenwerte konjugiert komplex sind und Re(λ) < 0 gilt (siehe Abbildung.). Grenzzyklen, also geschlossene Orbits mit kontrahierender Umgebung, sind weitere mögliche Attraktoren (siehe Abbildung.3). In Systemen mit zweidimensionalem Phasenraum sind Knoten, Fokus und Genzzyklus die einzigen möglichen Attraktoren. Abbildung.: Knoten und Fokus [8] Abbildung.3: Grenzzyklus [8] Die Stabilitätsbedingung.3 taucht auch im Ljapunov-Exponenten.10 auf. Das bedeutet, der Ljapunov-Exponent enthält ebenfalls bereits die Information über die Stabilität eines Fixpunkts. Chaotisches Verhalten wird also durch einen positiven Ljapunov-Exponenten angezeigt. Zu bemerken ist, dass dieser auch mithilfe der Variationsgleichung umgeschrieben werden kann zu λ(x 0 ) = lim N 1 N ln y N y 0, bzw. λ(x 1 0) = lim t t ln y t y, (.6) 0 wobei y 0 0 angenommen ist. Letztere Formel gilt für den zeitkontinuierlichen Fall. 1

17 Chaostheorie Eine Möglichkeit, die Orte zu untersuchen, an denen sich Fixpunkte (oder auch andere Funktionswerte) häufen, ist die invariante Dichte einer zeitdiskreten Abbildung f : S S: T 1 1 T 1 1 ρ(x) = lim δ(x x t ) = lim δ(x f (t) (x 0 )). (.7) T T T T t=0 t=0 Lässt sich diese Definition auf ein System anwenden, das heißt, wenn sich Zeitmittelwerte durch Raummittelwerte ersetzen lassen, so nennt man das System ergodisch. Der Ljapunov-Exponent schreibt sich dann über eine Mittelung des Raums um zu λ = ρ(x) ln( f (x) ) dx. (.8) S Die Dichte ρ zum Anfangszeitpunkt ist lediglich die Diracsche Deltadistribution: ρ t=0 (x) = δ(x x 0 ). Führt man eine Iteration durch, bekommt man δ(x f(x 0 )). Dies lässt sich verallgemeinern zu bzw. ρ t+1 (y) = ρ t (x)δ(y f(x)) dx (.9) S ρ(y) = S ρ(x)δ(y f(x)) dx, da ρ zeitunabhängig ist. Diese Gleichung heißt Frobenius-Perron-Integralgleichung. Die Größe ρ(x)dx gibt nun den Anteil der Iterationen an, deren Werte im Intervall [x, x + dx] liegen. Zum Beispiel findet man für die sogenannte logistische Gleichung f : [0, 1] [0, 1] mit f(x) = 4x(1 x) (diese soll später noch genauer behandelt werden) unter Ausnutzung der Eigenschaften der Deltafunktion die Frobenius- Perron-Integralgleichung 4 ( 1 1 yρ(y) = ρ + 1 ) ( 1 1 y + ρ 1 ) 1 y. (.30) Ihre Lösung ist gegeben durch ρ(y) = 1 π y(1 y). (.31) Die invariante Dichte lässt sich auch anschaulich motivieren. Ein eindimensionales chaotisches System ist grundsätzlich nichtinvertierbar. Deshalb häufen sich an bestimmten Punkten die Beiträge mehrerer iterierter Urbilder. Die Dichte am Punkt y kann man deshalb auch über die Summe der Dichten von Urbildern berechnen, wobei man diese mit der Ableitung der chaotischen Abbildung skalieren muss: ρ(y) = x i f 1 (y) ρ(x i ) f (x i ). Diese Gleichung würde für den Fall der logistischen Gleichung ebenfalls auf.31 führen. (.3) 13

18 Chaostheorie Um die letzten zwei Abschnitte mit Leben zu füllen, wollen wir den Ljapunov-Exponenten eines mehrdimensionalen Systems berechnen. Ist ein solches durch u = V(u) gegeben, so ist die Variationsgleichung analog zum eindimensionalen Fall gegeben durch dy dt = V u (u(t))y, (.33) wobei V die Jacobimatrix bezeichnet. Die Lösung der dynamischen Gleichung wollen wir diesmal in der Form u(t) = Φ(t)u 0 schreiben. Zu bemerken ist, dass es in einem n-dimensionalen u System höchstens n eindimensionale Ljapunov-Exponenten gibt. Zusätzlich gibt es höherdimensionale Ljapunov-Exponenten. Ein k-dimensionaler Ljapunov-Exponent gibt an, wie stark sich ein k-dimensionales Parallelepiped unter der Abbildung verformt und verändert. Allgemein gilt, dass es höchstens ( ) n n! = (.34) k k!(n k)! k-dimensionale Ljapunov-Exponenten gibt. Will man die eindimensionalen Exponenten berechnen, so muss man zusätzlich in Formel.6 die Richtung mit einbeziehen, in der der Exponent berechnet werden soll. Dies führt zum Ausdruck λ j (u 0 ) = lim ln U(t)e j, (.35) t e j wobei j die j te Richtung und y j die j te Gleichung im n-dimensionalen Gleichungssystem bezeichnen. U(t) ist die um die Anfangswerte bereinigte Lösung der Variationsgleichung gemäß y(t) = U(t) y 0. Wir betrachten nun als Beispiel den gedämpften und getriebenen harmonischen Oszillator d u dt + du + u = cos t. dt (.36) Dies schreibt man in ein autonomes System um zu u 1 = u, u = u u 1 + cos u 3, u 3 = 1. (.37) Die allgemeine Lösung ist u 1 (t) = u 10 e t + (u 10 + u 0 1 )te t + 1 sin t, (.38) u (t) = (u 10 + u 0 1 )te t + (u 0 1 )e t + 1 cos t, (.39) u 3 (t) = t, (.40) wobei u 1 (t = 0) = u 10 (analog für u und u 3 ). 14

19 Chaostheorie Die Jacobimatrix lautet dann V 1 V 1 V 1 u 1 u u 3 V V V u 1 u u = 1 sin u 3. (.41) V 3 V 3 V 3 u 1 u u 3 Somit ist die Gleichung der ersten Variation dy 1 dt dy dt dy 3 dt y 1 = 1 sin u 3 y. (.4) y 3 Daraus erhält man die allgemeine Lösung y 1 (t) e t + te t te t 1 ( te t + cos t) y (t) = te t e t te t 1 (te t e t sin t) y 3 (t) }{{} U(t) y 10 y 0 y 30. (.43) Der Ljapunov-Exponent in x-richtung errechnet sich nun wie folgt: 1 lim t t ln U(t) e 1 x = lim t t ln e t (1 + t + t ) = lim t t t + lim 1 t t ln(1 + t + t ) = 1. (.44) Der Ljapunov-Exponent in x-richtung beträgt somit 1. Derjenige in y-richtung ist (mit analoger Rechnung) ebenfalls 1, während derjenige in z-richtung 0 beträgt. Dieses Beispiel stammt ebenfalls aus [7]. Es soll nun noch eine Übersicht über verschiedene Attraktortypen und deren zugehörige Ljapunov-Exponenten gezeigt werden (Tabelle.). 15

20 Chaostheorie Attraktortyp Ljapunov-Exponenten Fixpunkt, Ruhelage (,,...) }{{} n mal periodischer Orbit (0,,,... ) }{{} (n 1) mal quasiperiodischer Orbit (z.b. Torus) (0, 0,...,,... ) }{{}}{{} k mal, (n k) mal seltsamer Attraktor (+, +,..., 0, 0,... } {{ } j mal }{{} k mal Tabelle.: Attraktoren-Übersicht [3],,,... }{{} ) (n j k) mal Die Ruhelagen eines dynamischen Systems werden durch negative Ljapunov-Exponenten beschrieben, während periodische Bewegungen einen verschwindenden und (n 1) negative Ljapunov- Exponenten besitzen. Obiges System des getriebenen, gedämpften Oszillators hat also periodische Orbits. Quasiperiodisches Verhalten heißt, dass ausgehend von irgend einem Zustand auf einem Kreis um x(t) mit der Zeit auch jeder andere Zustand auf diesem Kreis zum Orbit des Ausgangszustandes hinzukommt. Dieses Verhaltensmuster tritt auch bei Tori auf. Quasiperiodische Orbits haben mehrere veschwindende und negative Ljapunov-Exponenten. Hat das System mindestens einen positiven Ljapunov-Exponent, so zeigt dies exponentielle Divergenz in mindestens einer Phasenraumrichtung an und ist gleichbedeutend mit der sensitiven Abhängigkeit gegenüber Anfangsbedingungen. Deshalb benutzt man Ljapunov-Exponenten für die Charakterisierung chaotischer dynamischer Systeme..7 Die logistische Gleichung - Bifurkationsroute Ein einfaches, aber erhellendes Beispiel für chaotisches Verhalten soll in diesem Abschnitt untersucht werden: die logistische Gleichung. Der belgische Mathematiker und Biologe Pierre-Francois Verhulst entwickelte zur Beschreibung von Tierpopulationen das folgende Wachstumsmodell: x n+1 = r x n (1 x n ). (.45) Mit der Abkürzung r w = r (1 x n ) wird das zu x n+1 = r w x n. r stellt die tierspezifische Vermehrungsrate dar. x n bezeichnet die aktuelle Auslastung des Biotops, also das Verhältnis des aktuellen Tierbestandes zum Maximalbestand im Biotop (Anzahl Tiere / max. Anzahl Tiere). x n+1 bezeichnet die Auslastung im nächsten Jahr. x 0 beschreibt als Startwert die Auslastung zu Beginn des beobachteten Zeitraums. x n, x n+1 und x 0 sind also Werte zwischen 0 und 1. r w stellt die von x n abhängige Vermehrungsrate dar. 16

21 Chaostheorie Das Modell x n = x 0 r n eines uneingeschränkten Wachstums wird dabei dahingehend korrigiert, dass r vom Platz und Futterangebot abhängt, welche mit steigender Population abnehmen. Daher wird noch der Faktor (1 x n ) eingeführt (zu Verhulsts Wachstumsmodell siehe auch [9]). Im Folgenden soll die hierauf basierende quadratische Iterationsfunktion f(x) = rx(1 x) für verschiedene Werte von r im Intervall [0, 4] iteriert werden, wobei f(x) dann im Intervall [0, 1] liegt. Die Fixpunkte dieser Funktion sind x 1 = 0 sowie x = 1 1 r. Für die Stabilität eines Fixpunkts muss f (x ) < 1 gelten. Mit f (x) = rx + r folgt dann: f (x 1 ) = f (0) = r Stabilität für 0 < r < 1. f (x ) = f (1 1 r ) = r + Stabilität für 1 < r < 3. Abbildung.4: logistische Abbildung - Graph [10] Abbildung.4 zeigt eine graphische Iteration für r =,8. Man erkennt, dass die Iteration auf den Fixpunkt 0,6486 zustrebt. Schließlich ist der Fixpunkt 0 nun kein Attraktor mehr (wird dann auch Repellor genannt). Für r > 3 verhält sich keiner der Fixpunkte mehr als Attraktor und ein neues Verhalten kann festgestellt werden. Die x n oszillieren nun zwischen den zwei Werten x s1 = f(x s ) und x s = f(x s1 ). Sie formen also einen er-zyklus gemäß x s1 = f(f(x s1 )), x s = f(f(x s )). (.46) Man betrachtet deshalb nun die iterierte Abbildung f (x n ) = rf(x n )(1 f(x n )) = r x n (1 x n )(1 rx n + rx n). 17

22 Chaostheorie Die neuen Fixpunkte - unter denen der eine wie beschrieben das Bild des jeweils anderen ist - betragen dann: x 3,4 = 1 (1 + 1 r ) ± 1 r r r 3. (.47) Es sind beide Fixpunkte damit gleichzeitig stabil für 3 < r < Für r = = 3, tritt eine zweite so genannte Bifurkation, eine Änderung der Anzahl an (stabilen und instabilen) Grenzwerten (Gleichgewichtszuständen) unter dem Einfluss eines Parameters auf. Es gibt schlagartig 4 Häufungspunkte und somit einen 4er-Zyklus. Ab r = 3,5... existiert ein 8er-Zyklus, ab r = 3, ein Zyklus der Periode 16 usw. Dieses Phänomen wird auch als Periodenverdopplung bezeichnet. Verallgemeinernd oszillieren die Werte x n (für 3 r r ) zwischen k Werten hin und her, wobei k die Anzahl der Periodenverdopplungen bezeichnet. Ab dem Punkt r 3, findet man jedoch einen Zyklus unendlicher Länge vor, sodass man nicht mehr von Periodizität sprechen kann. Chaos tritt auf. Um das chaotische Verhalten zu charakterisieren, verwendet man das sogenannte Feigenbaumdiagramm, wo man die Fix- bzw. Häufungspunkte über dem Parameter r aufträgt (siehe Abbildung.5). Diese Betrachtungen der logistischen Gleichung sind z.b. in [10] zu finden. Abbildung.5: Feigenbaumdiagramm [11] Man kann leicht erkennen, dass sich der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bifurkationen mit zunehmendem r rasch verkleinert. Das Verhältnis δ k 1 δ k der Längen zweier aufeinanderfolgender Verzweigungen konvergiert gegen einen bestimmten Wert (siehe Abbildung.6). δ 1 δ = 4, δ δ 3 = 4,

23 Chaostheorie δ 3 δ 4 = 4, δ 4 δ 5 = 4, Abbildung.6: Periodenverdopplung - [1] Der Quotient nähert sich der so genannten Feigenbaumkonstante δ = lim k a k a k 1 a k+1 a k = 4, an. a k bezeichnet dabei die Position des k-ten Verzweigungspunktes. Diese Konstante ist universell. Dies bedeutet, dass sie exakt die gleiche ist für eine ganze Klasse von Iterationen, welche von Funktionen erzeugt werden, die der quadratischen Funktion in gewisser Weise ähnlich sind. Solche Funktionen sind etwa f(x) = sin(πx). Sie ist im Umfeld von Chaos eine Konstante von ähnlich großer Bedeutung wie die Zahl pi in der herkömmlichen Geometrie. Feigenbaums Entdeckung war eine der ersten von vielen Fußspuren, an denen wir heute Zeichen des Chaos erkennen können. Die Zahl δ kann in vielen unterschiedlichen Systemen beobachtet werden, zum Beispiel beim tropfenden Wasserhahn, bei der Oszillation von flüssigem Helium und bei den Fluktuationen einer Mottenpopulation. Es ist eine vorhersagbare Konstante in der Welt des Chaos. [1] Eine Besonderheit ist x = 1/. Hier ist der Ljapunov-Exponent λ( x) = lim x 0 ln x. Man sagt, der Zyklus ist dann superstabil. Es lassen sich zudem senkrechte Abstände h n an den Schnittpunkten der Kurven aus Abbildung.6 und x = 1/ sowie dem nächsten darunter bzw. darüber liegenden Ast bestimmen. Für diese Abstände gilt: lim n h n h n+1 = α,503. (.48) Die Konstante α heißt zweite Feigenbaumkonstante und ist ebenfalls charakteristisch für Systeme, die über die Bifurkationskaskade ins Chaos übergehen (zu Feigenbaumdiagrammen und -konstanten siehe auch [13]). Es lassen sich noch einige Besonderheiten feststellen, die hier kurz dargestellt werden sollen: In der Abbildung des Feigenbaum-Diagramms lassen sich im chaotischen Bereich immer wieder weiße senkrechte Streifen erkennen, die so genannten Fenster der Ordnung. Für r-werte aus einem solchen Bereich existieren erstaunlicherweise stabile periodische Bahnen. Am deut- 19

24 Chaostheorie lichsten, weil am breitesten, tritt das Fenster zwischen r 3,88 und r 3,857 hervor. Hier liegt ebenfalls erstaunlich! ein Zyklus der Periode 3 vor. Es gibt unendlich viele Fenster der Ordnung von unterschiedlicher Breite und mit unterschiedlichen Zyklen. Die sogenannte Selbstähnlichkeit des Feigenbaum-Diagramms fällt an verschiedenen Stellen auf. Bei der Betrachtung der Vergrößerung des größten Fensters der Ordnung wird ein identisch aufgebautes Feigenbaumdiagramm sichtbar. Auch in dessen größtem Fenster der Ordnung lässt sich wieder ein Feigenbaumdiagramm finden, das genau gleich aufgebaut ist, einschließlich Periodenverdopplung, Übergang ins Chaos am Feigenbaum-Punkt, Fenster der Ordnung usw. (siehe dazu auch [1]). Das Prinzip der Selbstähnlichkeit ist ebenfalls charakteristisch für chaotische Systeme. Beim Übergang von einem Fenster der Ordnung zum wiederum chaotischen Bereich lässt sich bei geeignetem Parameter r und Startwert x 0 (hier spielt die Wahl des Startwerts eine Rolle), beispielsweise r = 3,881 und x 0 = 0,5, ein anscheinend periodisches Verhalten feststellen (hier 3er-Zyklus), das jedoch von Intervallen mit völlig unregelmäßigem Verhalten unterbrochen wird. Dieses Phänomen heißt Intermittenz und ist, wie das Bifurkations-Szenario, typisch für den Übergang von Ordnung zu Chaos (zur Intermittenz siehe beispielsweise [5] und [1])..8 Seltsame Attraktoren Für eine Einführung in seltsame Attraktoren, auf der auch die Darstellung in dieser Arbeit beruht, wird auf [] verwiesen. Das wichtigste Beispiel eines sogenannten seltsamen Attraktors basiert auf den sogenannten Lorenz-Gleichungen ẋ = σ(y x), ẏ = rx y xz, (.49) (.50) ż = xy bz, (σ, r, b > 0), (.51) die vom US-amerikanischen Mathematiker und Meteorologen Edward Lorenz entwickelt wurden. Sie beschreiben beispielsweise Zustände in der Atmosphäre zur besseren Langzeitvorhersage, aber dienen auch als Modelle für Laser oder sogar für ein mit Eimern bestücktes Wasserrad, auf das von oben Wasser fließt. Lorenz entdeckte, dass dieses nicht besonders komplex wirkende System ein sehr schwankendes und unberechenbares Verhalten zeigt. Über weite Strecken der Parameter oszillieren die Lösungen scheinbar irregulär, wiederholen sich jedoch nie und verbleiben immer in einem bestimmten Bereich des Phasenraums. Beim Plotten der Trajektorien in drei Dimensionen (Abbildung.7) sah er dieses komplizierte Verhalten bestätigt und nannte das Verhalten einen seltsamen Attraktor. Beim seltsamen Attraktor handelt es sich um ein sogenanntes Fraktal. Fraktale Mengen zeichnen sich durch nicht-ganzzahlige Dimensionen aus bzw. durch die Erweiterung des ganzzahligen Dimensionsbegriffs auf reelle Werte. Um zu solch einem erweiterten Dimensionsbegriff zu gelangen, betrachtet man einen beliebigen Raum R n. Bei beliebiger Koordinatenwahl definiert man eine Kugel mit Radius ɛ im jeweiligen Raum R n. Die Wahrscheinlichkeit, einen beliebigen Punkt in der Kugel auszuwählen, ist proportional zum Radius hoch der Dimension: P (ɛ, x(i)) ɛ d, wobei d die 0

25 Chaostheorie Abbildung.7: Lorenz-Attraktor [14] Raumdimension und x(i) den Kugelmittelpunkt bezeichnet. Die Dimension bestimmt sich dann gemäß d = ln P (ɛ, x(i)). ln ɛ (.5) Ist der betrachtete Raum nicht homogen und isotrop, so lässt sich dieses Konzept verallgemeinern. Allerdings gefordert werden, dass zumindest im Limes ɛ 0 jede Punktumgebung gleich aussieht, d.h. ein Skalierverhalten vorliegt. Auf diese Weise definiert man sich für jeden Kugelmittelpunkt eine (i.a.) fraktale Dimension d f : ln P (ɛ, x(i)) d f = lim. ɛ 0 ln ɛ (.53) Ein einfaches Beispiel ist die sogenannte Drittel-Cantormenge. Von einem Intervall der reellen Zahlen wird das mittlere offene Drittel entfernt, sodass die zwei äußeren geschlossenen Drittel übrigbleiben. Mit den zwei verbliebenen Dritteln wird nun genauso verfahren usw. Macht man dies z.b. auf dem Einheitsintervall, dann haben die eindimensionalen Kugeln Radien von 1/3 n, wobei n die Anzahl der Drittelungen angibt. Die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt innerhalb einer Kugel zu finden, beträgt dann (1/) n. Damit gilt für die fraktale Dimension der entstehenden Menge: ln(1/) n d f = lim n ln(1/3) n = ln 0, (.54) ln 3 Zu fraktalen Dimensionen wird auf [7] verwiesen. Zusammenfassend zeichnet sich eine fraktale Menge F anschaulich durch folgende Eigenschaften aus: 1

26 Chaostheorie F hat eine Feinstruktur, d.h. es zeigen sich auch auf beliebig kleinen Skalen immer neue Einzelheiten. F ist zu irregulär, als dass man es mit traditionellen geometrischen Mitteln beschreiben könnte. F trägt häufig eine gewisse Form der Selbstähnlichkeit. Die fraktale Dimension von F ist gewöhnlich größer als die topologische Dimension von F. In den meisten interessierenden Fällen ist F auf eine sehr einfache Weise definiert, zum Beispiel rekursiv. Auf diese Punkte soll jedoch nicht weiter eingegangen werden. Durch einen Rundungsunterschied bei einer zweiten Berechnung musste Lorenz jedoch feststellen, dass die Entwicklung des Systems sehr stark von den Anfangsbedingungen abhängig ist. Es wurde somit deutlich, dass im atmosphärischen Strömungsbild kleine Ursachen große Wirkung zeigen können. Der Inhalt des Titels eines Vortrags von Lorenz im Jahr 197 Does the flap of a butterfly s wings set off a tornado in Texas? ist als der Schmetterlingseffekt bekannt geworden und versinnbildlicht heute allgemein die Eigenschaft der Sensitivität in chaotischen nichtlinearen Systemen..9 Integrable Hamiltonsche Systeme Generell gelten für Hamiltonsche Systeme die Begriffe und Beziehungen, die bereits besprochen wurden. Es lassen sich jedoch schon vor Aufstellen der Bewegungsgleichungen Aussagen über chaotisches Verhalten treffen. Nachdem in Abschnitt.6 bereits ein dissipatives System untersucht wurde, sollen von nun an konservative Systeme betrachtet werden. Konservativ heißt, dass bestimmte Eigenschaften (z.b. die Energie) sich mit der Zeit nicht ändern. Sie werden dann auch Kostanten der Bewegung genannt. In konservativen Systemen gibt es keine Attraktoren. Für die Dynamik des Systems ist die (maximale) invariante Menge Λ von Bedeutung. Dies ist diejenige (maximale) Teilmenge des Phasenraums, die unter der Dynamik des Systems invariant ist. Γ enthält bei konservativen Systemen stabile als auch instabile Orbits. Bei sogenannten integrablen (der Begriff soll im Folgenden erläutert werden) Systemen treten nur periodische und quasiperiodische Orbits auf. Den anderen Grenzfall bilden sogenannte hyperbolische Systeme. Diese enthalten nur instabile Orbits, sodass ihre Dynamik vollkommen irregulär ist. Die Hamiltonfunktion berechnet sich über die Legendretransformation der Lagrangefunktion L: H(q, p, t) = i p i q i (q, p, t) L(q, q(q, p, t), t) = T + V = E, (.55)

27 Chaostheorie wobei die letzten zwei Gleichheitszeichen nur bei konservativen Systemen gelten und q = (q 1,..., q n ) gilt (analog für p und die Ableitungen von q und p). Die n Lösungen der Bewegungsgleichugnen (kanonische Gleichungen) ( H q =,..., H ), p 1 p n ( H ṗ =,..., H ) q 1 q n (.56) spannen somit einen n-dimensionalen Phasenraum auf. Die Zahl der Freiheitsgrade ist n. Eine Funktion f(q, p, t) liefert dann eine Konstante der Bewegung, wenn df dt = f + {f, H} = 0 gilt, t wobei {f, H} die Poisson-Klammer bezeichnet. Anders als bei dissipativen Systemen bleibt auch das Phasenraumvolumen, das durch die Anfangsbedingungen aufgespannt wird, konstant. Das Volumen V ist dabei allgemein definiert über 1 V dv dt = i f i x i. (.57) Für den Beweis betrachten wir o.b.d.a. nur q 1 = f 1 (x 1,...) = H und ṗ 1 = f (x 1,...) = H ; p 1 q 1 so folgt aus der rechten Seite von Gleichung.57: f 1 x 1 + f x = q 1 ( H p 1 ) + ( H ) p 1 q 1 wenn wir die Vertauschbarkeit der Ableitungen benutzen. = 0, (.58) Aber auch die Phasenraumdichte ist erhalten. Die Stabilitätsmatrix ist M = H(q,p) q p H(q,p) q q. (.59) H(q,p) p p H(q,p) p q Es gilt dann mit den Gleichungen.56, welche zusammen die Matrix V bilden: divv = ( ) H + H = Spur(M) = 0. (.60) p i i q i q i p i Daraus folgt, dass die Phasenraumdichte erhalten ist. Um generelle Aussagen über chaotisches Verhalten in hamiltonschen Systemen zu treffen, ist es nützlich, kanonische Transformationen zu betrachten. Eine solche ist die Transformation zu neuen Koordinaten bzw. Impulsen sowie einer neuen Hamilton-Funktion: q i Q i, p i P i, H H, (.61) 3

28 Chaostheorie wobei sich die Integranden in den jeweiligen Variationsprinzipien δ dt (p q H(q, p, t)) = 0, δ dt (P Q H(Q, P, t)) = 0 (.6) nur um das totale Differential einer Erzeugenden F 1 (q, Q, t) unterscheiden dürfen. Die unabhängigen Variablen, von denen die Erzeugende abhängt, können auch anders gewählt werden. Das muss jedoch auch in den kanonischen Gleichungen berücksichtigt werden. Wählt man sie so wie hier, berechnet sich die neue Hamiltonfunktion mit p = F 1 q und P = F 1 Q zu H = H + F 1 t. Die neuen Bewegungsgleichungen haben also ihre Struktur nicht verändert: Q = H P, P = H Q. (.63) Man spricht nun davon, dass eine Hamiltonfunktion integrabel ist, wenn sich mittels einer kanonischen Transformation Koordinaten J i, θ i finden lassen mit J i = H (θ, J), θi = H (θ, J), (.64) θ i J i unter denen die neue Hamiltonfunktion H nicht mehr von den θ i, sondern nur noch von den J i abhängt, d.h. wenn gilt: J i = 0. (.65) Eine dazu äquivalente Formulierung ist, dass in einem Hamiltonschen System mit n Variablen und n Freiheitsgraden n Konstanten der Bewegung existieren müssen, damit das System integrabel ist. Hat man nämlich n Erhaltungsgrößen A 1,..., A n = const., so sind dies n Gleichungen, die als Phasenraumtrajektorien aufgefasst werden können. Alle diese Trajektorien beschreiben eine Mannigfaltigkeit M, die über die Startbedingungen ( festgelegt ist. Auf den n Trajektorien lassen Ai sich außerdem n tangentiale Vektorfelder v i =, A ) i definieren. Das sogenannte Poincaré- p i q i Hopf-Theorem besagt nun, dass es sich bei M um einen n-dimensionalen Volltorus handeln muss, auf dem n geschlossene Kurven Γ i definiert werden können, die sich nicht ineinander transformieren lassen. Entlang dieser Kurven berechnen wir nun die Wirkungskoordinate J: J i = 1 π Γ i n p k dq k. k=1 (.66) Das entspricht der Wirkung entlang der Kreisbahn Γ i. Die p k sind im Allgemeinen von den q i und den A i abhängig. Da wir jedoch über q integrieren, gilt J i = J i (A). Damit sind sie ebenfalls Kostanten der Bewegung. Schafft man es also, die J i mittels einer kanonischen Transformation mit 4

29 Chaostheorie der Erzeugenden F (q, J) = p dq als neue Impulse zu bekommen, so gilt für die dazugehörigen θ i : θ i = H = ω i (J) = const. Es gilt also: J i J i = const, θ i = ω i t + β i, (.67) (.68) was der obigen Definition für Integrabilität entspricht. Falls das System in den ursprüngliche Variablen beschränkt bleibt, müssen die Trajektorien quasiperiodische Funktionen der neuen Ortskoordinaten Q sein. Die Perioden sind durch die Frequenzen ω i gegeben, und die Bewegung findet auf einem Torus im k-dimensionalen Raum statt. Als einfachstes Beispiel lässt sich dazu der harmonische Oszillator mit dem Hamiltonian H = p m + mω q betrachten. Dieser besitzt einen Freiheitsgrad und eine Konstante der Bewegung, nämlich die Energie E. Deshalb ist zu erwarten, dass er integrabel ist. Die Erzeugende F (q, Q) = mω q cot Q führt dann auf den neuen Hamiltonian H = ω P mit den neuen Koordinaten P = E ω und Q(t) = ωt + β. H hängt also nur noch vom neuen Impuls P ab, was die Integrabilität bestätigt. Sind Hamiltonsche Systeme integrabel, schließt dies chaotisches Verhalten aus. Die Überlegungen in diesem Abschnitt basieren auf [13], [15] und [16]..10 Poincaré-Abbildungen und -Schnitte Interessiert man sich für Poincaré-Abbildungen und -Schnitte, ist die Lektüre von [17] nützlich, worauf auch folgende Darstellung beruht. Es gilt allgemein, dass integrable Hamiltonsche Systeme nie chaotisches Verhalten zeigen. Eindimensionale Systeme sind demnach nie chaotisch, genauso wenig n-dimensionale mit n linearen Bewegungsgleichungen. Über nichtlineare hamiltonsche Systeme mit n > 1 Dimensionen lassen sich jedoch nicht so einfach Aussagen treffen. Man bedient sich deshalb häufig des Konzepts der Poincaré-Abbildungen bzw. -Schnitte. Durch die konstante Energie wird ein konservatives Hamiltonsches System, dessen Phasenraum ein N-dimensionaler Vektorraum im R N ist, auf die Energieschale R E = {ξ R N H(ξ) = E} ( T eingeschränkt mit ξ(t) = q(t), p(t)), der Trajektorie. Poincaré führte nun Schnitte von ξ(t) mit einer (N 1)-dimensionalen Hyperfläche { Σ qi = ξ R N q i = q (0) } i (.69) ein. Das bedeutet, man setzt die Variable q i auf einen festen Wert q (0) i und registriert von nun an die Durchstoßpunkte der Trajektorie ξ(t) an genau den Zeiten t n, an denen die Hyperfläche q i in einer (z.b. positiven, mit p i > 0) bestimmten Richtung durchstoßen wird. Das ergibt eine diskrete Folge von Punkten ξ(t n ) mit n = 0, 1,... mit ξ(t 0 ) als Anfangsbedingung. Die Punkte ξ(t n ) vermitteln so ein stroboskopisches Abbild der Trajektorie. 5

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