1. Haftung. Betrachtet wird ein Klotz auf einer rauen Oberfläche, an dem eine horizontale Kraft F angreift:

Transkript

1 Das Coulombsche Gesetz: Betrachtet wird ein Klotz auf einer rauen Oberfläche, an dem eine horizontale Kraft F angreift: g m F rau Die Erfahrung zeigt: Solange die Kraft F einen bestimmten Betrag nicht überschreitet, bleibt der Körper in Ruhe. Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

2 Gleichgewicht: F x =0 : H + F=0 H =F G F y =0 : G+=0 =G F Der Körper haftet für F=H < H 0. Coulombsches Gesetz: H 0 =μ 0 Haftbedingung: H y x H <H 0 =μ 0 Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

3 Die Haftungskraft ist so gerichtet, dass die Bewegung verhindert wird. Der maximale Wert H 0 ist näherungsweise proportional zur ormalkraft. Der Proportionalitätsfaktor μ 0 heißt Haftungskoeffizient oder Haftzahl. Der Haftungskoeffizient hängt vom Material und der Beschaffenheit der Oberflächen ab. Der ngriffspunkt der ormalkraft kann aus dem Momentengleichgewicht bestimmt werden. Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

4 Typische Werte des Haftungskoeffizienten μ0 : Stahl auf Eis 0,03 Stahl auf Stahl (blank) 0,1 0,15 Stahl auf Stahl (rostig) 0,3 0,8 Stahl auf Teflon 0,04 Leder auf Grauguss 0,2 0,3 Leder auf Metall 0,2 0,6 Holz auf Holz 0,5 utoreifen auf Straße 0,7 0,9 Ski auf Schnee 0,1 0,3 Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

5 Haftungswinkel: Der Haftungswinkel gibt die maximal mögliche bweichung der Wirkungslinie der Reaktionskraft von der ormalenrichtung an, bei der noch Gleichgewicht herrscht. G ρ 0 H 0 F max tan (ρ 0 )= H 0 =μ 0 Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

6 Gleichgewicht ist möglich, wenn die benötigte Reaktionskraft innerhalb des Haftungskeils bzw. Haftungskegels liegt. Haftungskeil: Haftungskegel: ρ 0 ρ 0 Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

7 Beispiel 1: Schiefe Ebene Gegeben: mg Haftungskoeffizient μ 0 = 0,2 Gesucht: Winkel α0, bei dem der Körper anfängt zu gleiten α Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

8 Gleichgewicht: F x =0 : H m g sin (α)=0 H H =m g sin (α) F y =0 : m g cos(α)=0 α =m g cos(α) y x mg Haftbedingung: H <H 0 =μ 0 m g sin(α)<μ 0 m g cos(α) tan(α)<μ 0 α<α 0 =ρ 0 (Haftungswinkel) Zahlenwert: tan (α 0 )=0,2 α 0 =11,3 Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

9 Beispiel 2: Keilnut Gegeben: npresskraft Keilwinkel α Haftungskoeffizient μ0 Gesucht: F durch Haftung übertragbare Kraft F α Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

10 Kräfte am Keil: z α/2 x y H α/2 z α F y Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

11 Gleichgewicht am Keil: Maximale Haftungskraft pro Fläche: F x =0 : F 2 H =0 F=2 H H 0 =μ 0 F =2 H 0 = μ 0 sin(α/2) α/2 =μ ' 0 α/2 1 2 = sin ( α 2 ) = 2sin (α/2) Der Koeffizient μ' 0 = μ 0 sin (α/2) >μ 0 heißt Keilnuthaftzahl. Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

12 Beispiel 3: Leiter uf der dargestellten Leiter steht ein Mann der Masse m. mg Wie hoch kann er steigen, wenn die Wand als glatt betrachtet wird? Gegeben: h Haftungskoeffizient μ0 y Höhe h, Winkel ϕ ϕ Gesucht: maximale Höhe y Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

13 Gleichgewicht: M =0 : h B + x mg=0 B B B = x h m g mg F x =0 : H + B =0 H = B h F y =0 : mg=0 =m g y ϕ H Haftbedingung: B =H <μ 0 x h m g<μ 0 m g y x x <μ 0 h x y=x tan(ϕ)<μ 0 h tan (ϕ) Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

14 Wird auch im Punkt B eine Haftungskraft zugelassen, so treten vier unbekannte Reaktionskräfte auf. Die Leiter ist dann statisch unbestimmt gelagert. Mithilfe der Haftungskeile in den Lagerpunkten und B lässt sich graphisch ermitteln, unter welchen Bedingungen Gleichgewicht möglich ist. Die Leiter ist im Gleichgewicht, wenn sich die Wirkungslinien der Reaktionskräfte in den Punkten und B und der Gewichtskraft in einem Punkt schneiden. Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

15 Gleichgewicht ist möglich, wenn sich die Wirkungslinien im schraffierten Gebiet schneiden. B B Grenzlage mg Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

16 Beispiel 4: Klemmhalterung b Der Stab mit Gewicht G S wird von zwei Klemmbacken mit Gewicht G B gehalten. Gegeben: a α Gewicht GB bmessungen a, b B Haftungskoeffizient μ0 y G B G S G B Winkel α Gesucht: x maximales Stabgewicht GS Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

17 Gleichgewicht am Stab: d F x =0 : 1 2 =0 1 = 2 = y 1 P 2 x H 1 H 2 G S M P =0 : d 2 H 2 d 2 H 1 =0 H 1 =H 2 =H F y =0 : H 1 +H 2 G S =0 G S =2 H Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

18 Gleichgewicht am Klemmbacken: x α M =0 : a G B b H +b tan (α) =0 H = ( H + a b G B) cot (α) y a b G B y x Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

19 Haftbedingung: H <μ 0 =μ 0( H + a b G B) cot (α) (1 μ 0 cot (α)) H <μ 0 a b G B cot (α) (tan (α) μ 0 ) H <μ 0 a b G B Es müssen drei Fälle unterschieden werden: Für tan(α)>μ 0 gilt: H < μ 0 a tan(α) μ 0 b G 2μ B G S =2 H < 0 a tan (α) μ 0 b G B Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM

20 Für tan(α)=μ 0 gilt: 1. Haftung 0<μ 0 a b G B Für tan(α)<μ 0 gilt: tan(α) μ 0 <0 (μ 0 tan(α)) H <μ 0 a b G B H < μ 0 μ 0 tan(α) a b G B Die Bedingungen für tan(α) μ 0 sind immer erfüllt. Das Stabgewicht G S kann beliebig groß werden. Dieser Fall wird als Selbsthemmung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM