3. Unternehmenstheorie

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1 3. Unternehmenstheorie Georg Nöldeke WWZ, Universität Basel Intermediate Microeconomics (FS 10) Unternehmenstheorie 1 / 105

2 2 / Einleitung Als Ziel eines Unternehmens wird die Gewinnmaximierung unterstellt. Die (technologischen) Möglichkeiten eines Unternehmens werden durch eine Produktionsfunktion dargestellt. Möglichkeiten und Ziele bestimmen zusammen den optimalen Produktionsplan.

3 2. Produktion 2.1 Inputs und Outputs Ein Unternehmen verwendet Inputs, die auch Produktionsfaktoren genannt werden, um Outputs zu erzeugen. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass nur zwei Inputs verwendet werden, um einen Output zu produzieren. Zur Veranschaulichung kann man sich die beiden Inputs oft als Arbeit (Input 1) und Kapital (Input 2) vorstellen. Definition (Produktionsplan) Ein Produktionsplan (x 1,x 2,y) besteht aus der Angabe von Mengen der beiden Inputs, x 1 0 und x 2 0, und einer Outputmenge y 0. Die Technologie eines Unternehmens bestimmt, welche Produktionspläne durchführbar sind. Dies wird durch die Angabe einer Produktionsfunktion beschrieben. 3 / 105

4 2. Produktion 2.2 Produktionsfunktion Definition (Produktionsfunktion) Eine Produktionsfunktion f ordnet jeder Inputkombination (x 1,x 2 ) die maximale Outputmenge y = f (x 1,x 2 ) zu, die mit dieser Inputkombination erzeugt werden kann. Hinter der Produktionsfunktion steckt bereits die Lösung eines Maximierungsproblems (Logistik, Scheduling, Aufteilung der Produktion auf verschiedene Anlagen... ), das wir aber nicht weiter diskutieren werden. Formal enthält die zu einer Produktionsfunktion dazugehörige Produktionsmöglichkeitenmenge auch die Produktionspläne mit y < f (x 1,x 2 ), aber solche technologisch ineffizienten Produktionspläne werden wir nicht weiter betrachten. 4 / 105

5 2. Produktion 2.2 Produktionsfunktion Wird nicht explizit etwas anderes ewähnt, ist unterstellt, dass die betrachteten Produktionsfunktionen differenzierbar sind und dass beide Inputs unverzichtbar sind, d.h. gilt für alle x 1 und x 2. f (x 1,0) = f (0,x 2 ) = 0 5 / 105

6 6 / Produktion 2.3 Grenzprodukte Definition (Grenzprodukt) Die partielle Ableitung f (x 1,x 2 ) x i heisst das Grenzprodukt von Input i und wird als MP i (x 1,x 2 ) geschrieben. Ökonomische Interpretation des Grenzprodukts von Input i: Zusätzlicher Output der resultiert, wenn eine zusätzliche Einheit von Input i bei unveränderter Menge des anderen Inputs eingesetzt wird. Dies entspricht dem Konzept des Grenznutzens aus der Konsumententheorie mit dem wesentlichen Unterschied, dass das Grenzprodukt eine messbare Grösse ist. Annahme (Streng positive Grenzprodukte) Für alle (x 1,x 2 ) > 0 sind die Grenzprodukte beider Inputs streng positiv: MP 1 (x 1,x 2 ) > 0 und MP 2 (x 1,x 2 ) > 0.

7 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte MP i j (x 1,x 2 ) = 2 f (x 1,x 2 ) x i x j = MP i(x 1,x 2 ) x j für i, j = 1,2. MP 11 (x 1,x 2 ) beschreibt, wie sich ausgehend von den Inputmengen (x 1,x 2 ) das Grenzprodukt von Input 1 bei einer Erhöhung der Menge von Input 1 ändert die Menge von Input 2 bleibt dabei auf x 2 fixiert. Die Interpretation von MP 22 (x 1,x 2 ) entspricht der von MP 11 (x 1,x 2 ), nur dass jetzt die Auswirkung auf das Grenzprodukt von Input 2 bei einer Erhöhung der Menge von Input 2 betrachtet wird. MP 12 (x 1,x 2 ) = MP 21 (x 1,x 2 ) beschreibt, wie sich das Grenzprodukt eines Inputs bei einer Erhöhung der Menge des anderen Inputs ändert. 7 / 105

8 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte Definition (Abnehmende Grenzprodukte) Eine Produktionsfunktion weist abnehmende Grenzprodukte auf, wenn das Grenzprodukt eines jeden Inputs streng fallend in der Einsatzmenge des betrachteten Inputs ist: MP 11 (x 1,x 2 ) < 0 und MP 22 (x 1,x 2 ) < 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. Eine plausible Alternative zu überall abnehmenden Grenzprodukten ist ein ertragsgesetzlicher Verlauf der Grenzprodukte: Für eine gegebene Einsatzmenge des anderen Inputs ist das Grenzprodukt von Input i für kleine Einsatzmengen zunächst steigend in x i und dann für grosse Einsatzmengen fallend in x i. 8 / 105

9 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte Definition (Komplementäre Inputs) Die Inputs einer Produktionsfunktion sind komplementär, wenn das Grenzprodukt eines Inputs streng steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs ist: MP 12 (x 1,x 2 ) = MP 21 (x 1,x 2 ) > 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. 9 / 105

10 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Definition (Kurzfristige Produktionsfunktion) Eine kurzfristige Produktionsfunktion ordnet jeder Menge eines der Inputs bei gegebener Menge des anderen Inputs die maximal mögliche Outputmenge zu. Für eine gegebene Menge x 2 > 0 von Input 2, ist die dazugehörige kurzfristige Produktionsfunktion also durch f (x 1, x 2 ) gegeben. Der Input, dessen Menge gegeben ist, bezeichnet man als fixen Input oder fixen Faktor. Der Input, dessen Menge als veränderlich betrachtet wird, bezeichnet man als variablen Input oder variablen Faktor. In der Betrachtung kurzfristige Produktionsfunktionen gehen wir davon aus, dass Input 1 variabel und Input 2 fix ist. 10 / 105

11 11 / Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Abbildung: Kurzfristige Produktionsfunktionen f (x 1, x 2 ) für unterschiedliche Werte von x 2. Die zu Grunde liegende Produktionsfunktion ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x0.4 2.

12 12 / Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Verlauf der kurzfristigen Produktionsfunktion Die kurzfristige Produktionsfunktion beginnt im Nullpunkt. Da der variable Faktor unverzichtbar ist: f (0, x 2 ) = 0. Die kurzfristige Produktionsfunktion ist steigend in der Einsatzmenge des variablen Faktors. Ableitung der kurzfristigen Produktionsfunktion ist MP 1 (x 1, x 2 ) > 0. Liegen abnehmende Grenzprodukte vor, so ist die Steigung der kurzfristigen Produktionsfunktion fallend. Die zweite Ableitung der kurzfristigen Produktionsfunktion ist MP 11 (x 1, x 2 ) < 0. Bei einem ertragsgesetzlichen Verlauf ist die Steigung der Produktionsfunktion zunächst steigend und dann fallend.

13 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Komparative Statik der kurzfristigen Produktionsfunktion Eine Vergrösserung der Einsatzmenge des fixen Faktors verschiebt die kurzfristige Produktionsfunktion nach oben. Da MP 2 (x 1, x 2 ) > 0 angenommen wurde. Sind die Inputs komplementär, so verschiebt sich die kurzfristige Produktionsfunktion bei einer Vergrösserung der Einsatzmenge des fixen Faktors nicht nur nach oben, sondern sie wird zudem steiler. Da dann MP 12 (x 1, x 2 ) > 0 gilt. 13 / 105

14 14 / Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Abbildung: Für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x x0.4 2 aus der vorhergehenden Abbildung ist das Grenzprodukt des variablen Faktors um so grösser, je grösser die Einsatzmenge des fixen Faktors. Hier wird MP 1 (4, x 2 ) für verschiedene Werte von x 2 durch die Steigung der jeweiligen Tangente an die kurzfristige Produktionsfunktion dargestellt.

15 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Definition (Durchschnittsprodukt) Das Verhältnis f (x 1,x 2 )/x i von Outputmenge zur Einsatzmenge von Input i heisst das Durchschnittsprodukt von Input i und wird als AP i (x 1,x 2 ) geschrieben. Durchschnittsprodukte werden in der Praxis oftmals als Mass für die Produktivität eines Inputs verwendet. Siehe das folgende Beispiel zur Automobilindustrie. Fragen: Wie hängen Durchschnittsprodukte von den verwendeten Inputmengen ab? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchschnitts- und Grenzprodukten? 15 / 105

16 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Abbildung: 1/(Durchschnittsprodukt der Arbeit) in verschiedenen Unternehmen der Automobilindustrie (aus Capital 02/2006) 16 / 105

17 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte AP i j (x 1,x 2 ): partielle Ableitung des Durchschnittsprodukts von Input i nach der Menge des Input j. Satz Für i j beschreibt AP i j (x 1,x 2 ) also, wie sich das Durchschnittsprodukt des Inputs i bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des anderen Inputs j verändert. Der Ausdruck AP ii (x 1,x 2 ) beschreibt hingegen, wie sich das Durchschnittsprodukt des Inputs i bei einer Erhöhung der Menge des gleichen Inputs verändert. Das Durchschnittsprodukt eines Inputs ist steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs. Für alle x > 0 gilt AP i j (x 1,x 2 ) > 0 für i j. 17 / 105

18 18 / Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Das vorhergehende Ergebnis gilt, da bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des anderen Inputs, der totale Output und somit auch der Output pro Einheit des Inputs, der konstant gehalten wird, ansteigt. Formal gilt für i j: AP i j (x 1,x 2 ) = 1 x i f (x 1,x 2 ) x j = MP j(x 1,x 2 ) x i > 0. Weniger klar ist, wie das Durchschnittsprodukt eines Inputs auf eine Änderung der Einsatzmenge des gleichen Inputs reagiert. Jedoch gilt (Quotientenregel beachten!): AP ii (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i x i f (x 1,x 2 ) x 2 i = 1 x i [MP i (x 1,x 2 )] AP i (x 1,x 2 )].

19 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Satz Das Durchschnittsprodukt eines Inputs ist genau dann steigend (bzw. fallend) in der Einsatzmenge des gleichen Inputs, wenn das Grenzprodukt des Inputs oberhalb (bzw. unterhalb) des Durchschnittsproduktes liegt: AP ii (x 1,x 2 ) > 0 MP i (x 1,x 2 ) > AP i (x 1,x 2 ) AP ii (x 1,x 2 ) = 0 MP i (x 1,x 2 ) = AP i (x 1,x 2 ) AP ii (x 1,x 2 ) < 0 MP i (x 1,x 2 ) < AP i (x 1,x 2 ) Diese Zusammenhänge lassen sich am einfachsten durch die Betrachtung von kurzfristigen Produktionsfunktionen illustrieren. 19 / 105

20 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Abbildung: Eine kurzfristige Produktionsfunktion mit fallendem Grenzprodukt des variablen Faktors. Das Durchschnittsprodukt liegt oberhalb des Grenzprodukts und ist ebenfalls fallend. 20 / 105

21 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Satz Sind die Grenzprodukte abnehmend, muss der Zusammenhang zwischen Grenzprodukten und Durchschnittsprodukten so beschaffen sein, wie in der vorhergehenden Abbildung. Sind die Grenzprodukte abnehmend, so ist das Durchschnittsprodukt eines Inputs stets grösser als sein Grenzprodukt, AP i (x 1,x 2 ) > MP i (x 1,x 2 ) für alle x > 0, so dass das Durchschnittsprodukt eines Inputs streng fallend in der Einsatzmenge des betrachteten Inputs ist. Die folgende Abbildung illustriert den Zusammenhang zwischen Grenzprodukt und Durchschnittsprodukt für einen ertragsgesetzlichen Verlauf. 21 / 105

22 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Abbildung: Eine kurzfristige Produktionsfunktion mit zunächst steigendem und dann fallendem Grenzprodukt des variablen Faktors. Das Durchschnittsprodukt ist ebenfalls zunächst steigend und dann fallend. Grenzprodukt und Durchschnittsprodukt stimmen im Maximum des Durchschnittsprodukts überein. 22 / 105

23 2. Produktion 2.6 Produktionselastizität Definition (Produktionselastizität) Die Produktionselastizität eines Inputs i beschreibt das Verhältnis der relativen Änderung der Outputmenge zur relativen Änderung der Einsatzmenge des betrachteten Inputs bei einer Erhöhung der Inputmenge: ε i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i x i f (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) AP i (x 1,x 2 ) > 0 Aus ökonomischer Sicht ist die Produktionselastizität von Input i als (approximative) Antwort auf die Frage Um wieviel Prozent steigt der Output, wenn die Einsatzmenge von Input i um 1 Prozent steigt? zu verstehen. 23 / 105

24 2. Produktion 2.6 Produktionselastizität Beachte: Die Produktionselastizität eines Inputs hängt im allgemeinen von den Einsatzmengen beider Inputs ab. Ausnahme: Für einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind die Produktionselastizitäten beider Inputs konstant. Satz (Produktionselastizitäten und abnehmende Grenzprodukte) Bei abnehmenden Grenzprodukten gilt, dass die Produktionselastizitäten beider Inputs stets kleiner als 1 sind: ε i (x 1,x 2 ) < 1 für alle x > 0. Gilt das Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte nicht, so kann die Produktionselastizität eines Inputs ohne weiteres den Wert 1 übersteigen. 24 / 105

25 2. Produktion 2.6 Produktionselastizität Abbildung: Produktionselastizität bei einem ertragsgesetzlichen Verlauf. Die Produktionselastizität des variablen Faktors ist gleich dem Verhältnis Grenzprodukt/Durchschnittsprodukt. Lesebeispiel: Bei x 1 = 2 lässt eine Erhöhung des variablen Inputs um 1 Prozent den Output um 3 Prozent ansteigen. 25 / 105

26 2. Produktion 2.7 Isoquanten Definition (Isoquanten) Die Isoquante I(y) einer Technologie gibt alle Kombinationen von Inputmengen an, mit denen maximal die Outputmenge y erzeugt werden kann: I(y) = {(x 1,x 2 ) f (x 1,x 2 ) = y}. Eine Isoquante ist also nichts anderes als eine Niveaulinie der Produktionsfunktion und entspricht damit der Konstruktion einer Indifferenzkurve zu einer gegebenen Nutzenfunktion. In der grafischen Darstellung gilt: Isoquanten für y > 0 verlaufen streng fallend. Wieso? Gilt y > y, so liegt die Isoquante I(y ) rechts oberhalb der Isoquante I(y). Wieso? 26 / 105

27 2. Produktion 2.7 Isoquanten Abbildung: Einige Isoquanten der Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 4x 1 + 3x 2, in welcher die Inputs perfekte Substitute sind. 27 / 105

28 28 / Produktion 2.7 Isoquanten Abbildung: Einige Isoquanten der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 2x1 0.7x0.4 2.

29 2. Produktion 2.7 Isoquanten Abbildung: Einige Isoquanten der Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = min{2x 1,2x 2 } mit fixen Proportionen. 29 / 105

30 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Entsprechend zur Grenzrate der Substitution in der Konsumententheorie definiert man: Definition (Grenzrate der technischen Substitution) Die Steigung einer Isoquante heisst Grenzrate der technischen Substitution. Die Grenzrate der Substitution bei den Inputmengen (x 1,x 2 ) wird als GRT (x 1,x 2 ) geschrieben. Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt, in welchem Verhältnis die Inputs ausgetauscht ( substituiert ) werden können, so dass die Outputmenge unverändert bleibt. 30 / 105

31 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Satz Entsprechend zu dem Zusammenhang zwischen Grenzrate der Substitution und Grenznutzen in der Konsumententheorie gilt: Die Grenzrate der technischen Substitution ist gleich dem Negativen des Verhältnisses der beiden Grenzprodukte: GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) < / 105

32 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Satz (Fallende Grenzrate der technischen Substitution) Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so ist der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution streng fallend entlang einer Isoquante mit y > 0: f (x 1,x 2 ) = f ( x 1, x 2 ) und x 1 > x 1 impliziert GRT (x 1,x 2 ) < GRT ( x 1, x 2 ). Grafisch bedeutet dies, dass die Isoquanten einen streng konvexen Verlauf haben. Eine ökonomische Interpretation ist: Je mehr von einem Input zur Erzeugung einer bestimmten Outputmenge verwendet wird, desto leichter ist es, diesen Input durch den anderen Input so zu ersetzen, dass die Outputmenge unverändert bleibt. In Analogie zur Konsumententheorie sprechen wir von einer artigen Produktionsfunktion wenn die Grenzrate der technischen Substitution im eben beschriebenen Sinne fallend ist. 32 / 105

33 33 / Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Abbildung: Typischer Verlauf der Isoquanten einer artigen Produktionsfunktion. Die Isoquanten verlaufen streng fallend und streng konvex. Hier am Beispiel der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 2x1 0.4x0.4 2 dargestellt.

34 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Grenzprodukte, Durchschnittsprodukte und Produktionselastizitäten beziehen sich auf die Auswirkungen einer Veränderung der Einsatzmenge eines der Inputs bei gegebener Einsatzmenge des anderen Inputs. Bei der Betrachtung von Skaleneigenschaften der Produktionsfunktion wird hingegen eine proportionale Veränderung aller Inputs untersucht. 34 / 105

35 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Definition (Skalenelastizität) Die Skalenelastizität ist die Summe der Produktionselastizitäten der beiden Inputs: ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ). Die ökonomische Interpretation der Skalenelastizität ist, dass sie die prozentuale Veränderung der Outputmenge beschreibt, wenn beide Inputmengen um ein Prozente erhöht werden. Definition (Lokale Skalenerträge) Gilt ε S (x 1,x 2 ) < 1, so sind die Skalenerträge lokal fallend. Gilt ε S (x 1,x 2 ) = 1, so sind die Skalenerträge lokal konstant. Gilt ε S (x 1,x 2 ) > 1, so sind die Skalenerträge lokal steigend. 35 / 105

36 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Die Skalenerträge einer Produktionsfunktion mit abnehmenden Grenzprodukten können lokal fallend, lokal konstant oder lokal steigend sein. Ob die Skalenerträge lokal fallend, konstant oder steigend sind, kann für eine gegebene Produktionsfunktion davon abhängen, bei welchen Inputmengen man die Skalenelastizität berechnet. Die folgende Definition beschreibt die Fälle, in denen eine solche Abhängigkeit nicht besteht. 36 / 105

37 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Definition (Globale Skalenerträge) Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal fallend, so weist die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge auf. Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal konstant, so weist die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge auf. Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal steigend, so weist die Produktionsfunktion global steigende Skalenerträge auf. Die hier definierten Konzepte der globalen Skalenerträge entsprechen der Definition der Skalenerträge aus dem Lehrbuch. Das Lehrbuch diskutiert auch lokale Skalenerträge, definiert sie aber nicht / 105

38 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Satz (Charakterisierung der globalen Skalenerträge) Eine Produktionsfunktion f besitzt genau dann global fallende Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) < t f (x 1,x 2 ) global konstante Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) = t f (x 1,x 2 ) global steigende Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) > t f (x 1,x 2 ) für alle (x 1,x 2 ) > 0 und t > 1 gilt. Welche dieser Fälle sind plausibel? Beachte: Bei global fallenden und global konstanten Skalenerträgen müssen die Grenzprodukte abnehmend sein. Bei global steigenden Skalenerträgen können sie es sein. 38 / 105

39 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Definition (Kostenfunktion) Die Kostenfunktion eines Unternehmens gibt die minimalen Ausgaben C(y) an, die zur Produktion einer Outputmenge y 0 erforderlich sind. Bestimmungsfaktoren des Verlaufs der Kostenfunktion sind: Technologische Möglichkeiten - durch die Produktionsfunktion beschrieben. Vorgebene Einsatzmengen allfälliger fixer Inputs. Preise der Inputs (w 1,w 2 ) > 0, zumeist als Faktorpreise bezeichnet. Zunächst betrachten wir den Verlauf der Kostenfunktion als gegeben und führen verschiedene Kostenbegriffe ein. 39 / 105

40 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Fixkosten: Die Kosten F = C(0), die selbst dann anfallen, wenn kein Output produziert wird. Sie entsprechen den Ausgaben für fixe Inputs. Variable Kosten: Die Kosten VC(y) = C(y) C(0), die zusätzlich zu den Fixkosten entstehen, wenn statt keinem Output die Menge y produziert wird. Sie entsprechen den Ausgaben für die kostenminimierenden Einsatzmengen der variablen Inputs. Grenzkosten:Die Ableitung der Kostenfunktion nach der Outputmenge MC(y) = C (y). Dies wird als die zusätzlichen Kosten einer weiteren Outputeinheit interpretiert. Stückkosten oder Durchschnittskosten: Kosten pro Outputeinheit AC(y) = C(y)/y, welche in die durchschnittlichen Fixkosten AFC(y) = F/y und durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y) = VC(y)/y zerlegt werden können: AC(y) = C(y) y = FC y + VC(y) y = AFC(y) + AVC(y). 40 / 105

41 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Abbildung: Zerlegung einer Kostenfunktion in Fixkosten und variable Kosten. Die Fixkosten entsprechen dem vertikalen Achsenabschnitt der Kostenfunktion. 41 / 105

42 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Beachte die folgenden Zusammenhänge, die sich unmittelbar aus den Definitionen und den Regeln der Differentialrechnung ergeben: C(y) = F +VC(y): Gesamtkosten sind die Summe von Fixkosten und variablen Kosten. MC(y) = VC (y): Die Grenzkosten sind auch die Ableitung der variablen Kosten, da die Fixkosten unabhängig von der produzierten Outputmenge sind. AC(y) AVC(y): Die Durchnittskosten liegen stets oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten. AC (y) = AFC (y) + AVC (y) AVC (y). Die Ungleichung folgt, da die durchschnittlichen Fixkosten mit der Outputmenge sinken: AFC (y) 0 MC(0) = AVC(0): Die Grenzkosten der ersten Einheit stimmen mit ihren durchschnittlichen variablen Kosten überein. 42 / 105

43 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Abbildung: Die Durchschnittskosten liegen oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten und weisen eine niedrigere Steigung auf. 43 / 105

44 44 / Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Die Fläche unter den Grenzkosten entspricht den variablen Kosten: y MC(z)dz = C(y) C(0) = VC(y) = AVC(y)y. 0 Abbildung: Die braun schraffierte Fläche unter den Grenzkosten stimmt mit der Fläche des rot markierten Rechtecks überein.

45 45 / Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Für die Ableitung der Durchschnittskostenfunktion nach der Outputmenge gilt: AC (y) = ( ) C(y) = y MC(y)y C(y) y 2 = MC(y) AC(y) y Daraus folgt: Die Durchschnittskosten sind also genau dann fallend (bzw. steigend), wenn die Grenzkosten unterhalb (bzw. oberhalb) der Durchschnittskosten liegen: MC(y) > AC(y) AC (y) > 0 MC(y) = AC(y) AC (y) = 0 MC(y) < AC(y) AC (y) < 0 Verlaufen die Durchschnittskosten u-förmig, so folgt: Die Grenzkosten schneiden die Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten. u-förmig bedeutet: Zunächst fallend, dann steigend mit einem eindeutigen Minimum..

46 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Abbildung: Bei einem u-förmigen Verlauf der Durchschnittskosten schneiden sich Grenzkosten und Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten. 46 / 105

47 47 / Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.1 Kostenterminologie Für die Ableitung der durchschnittlichen variablen Kosten gilt: AVC (y) = ( ) C(y) C(0) = y MC(y)y VC(y) y 2 = MC(y) AVC(y) y. Also: MC(y) > AVC(y) AVC (y) > 0 MC(y) = AVC(y) AVC (y) = 0 MC(y) < AVC(y) AVC (y) < 0 Bei einem u-förmigen Verlauf der durchschnittlichen variablen Kosten folgt, dass sich Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten im Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten schneiden.

48 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Kurzfristige Kostenfunktion für gegebene Einsatzmenge x 2 > 0 des fixen Faktors und gegebene Faktorpreise (w 1,w 2 ): C(y) = c(w 1,w 2,y, x 2 ) := w 1 x 1(y, x 2 ) + w 2 x 2 F = w 2 x 2 > 0: Fixkosten sind die Ausgaben für den fixen Faktor. VC(y) = w 1 x 1 (y, x 2): Variable Kosten sind die Ausgaben für den variablen Faktor, wobei x 1 (y, x 2) die minimale Menge von Input 1 ist, mit der es möglich ist, y zu produzieren. x 1 (y, x 2) ist implizit durch die Gleichung y = f (x 1(y, x 2 ), x 2 ) bestimmt es handelt sich um die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsfunktion. 48 / 105

49 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: In der kurzen Frist ist die kostenminimierende Einsatzmenge von Input 1 durch die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsfunktion gegeben. 49 / 105

50 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: Eine kurzfristige Kostenfunktion zu der kurzfristigen Produktionsfunktion aus der vorhergehenden Abbildung. Die Faktorpreise sind durch (w 1,w 2 ) = (4,2) gegeben. 50 / 105

51 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Verlauf der kurzfristigen Grenzkosten: Grenzkosten sind das Verhältnis des Preises des variablen Faktors zu seinem Grenzprodukt: MC(y) = c(w 1,w 2,y, x 2 ) y = w 1 MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) > 0. Der Verlauf der Grenzkosten ist also durch den Verlauf des Grenzprodukts des variablen Inputs bestimmt: Abnehmende Grenzprodukte kurzfristige Grenzkosten streng steigend. Ertragsgesetzlicher Verlauf der Grenzprodukte kurzfristige Grenzkosten u-förmig. 51 / 105

52 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Verlauf der kurzfristigen durchschnittlichen variablen Kosten: Durchschnittliche variable Kosten sind das Verhältnis des Preises des variablen Faktors zu seinem Durchschnittsprodukt: AVC(y) = w 1x 1 (y, x 2) y = w 1 AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ). Auf Grund der bereits bekannten Zusammenhänge zwischen AVC und MC gilt: Abnehmende Grenzprodukte kurzfristige variable Durchschnittskosten streng steigend. Ertragsgesetzlicher Verlauf der Grenzprodukte kurzfristige variable Durchschnittskosten u-förmig. 52 / 105

53 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: Kurzfrstige Kostenkurven bei einem ertragsgesetzlichen Verlauf des Grenzprodukts des variablen Faktors. MC, AVC und AC verlaufen allesamt u-förmig. Die Grenzkosten schneiden sowohl die durchschnittlichen variablen Kosten als auch die Durchschnittskosten in derem jeweiligen Minimum. 53 / 105

54 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.2 Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion Kurzfristige Kosten und Produktionselastizität: Aus MC(y) = w 1 /MP 1 (x 1(y, x 2 ), x 2 ) und AVC(y) = w 1 AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) folgt: AVC(y) MC(y) = MP 1(x 1 (y, x 2), x 2 ) AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) = ε 1(x 1(y, x 2 ), x 2 ). Das Verhältnis von durchschnittlichen variablen Kosten zu Grenzkosten entspricht also der Produktionselastizität des variablen Faktors. 54 / 105

55 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.3 Komparative Statik der kurzfristigen Kostenfunktion Um eine Auswirkung der Änderung der Parameter auf den Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion zu bestimmen, betrachtet man die entsprechenden partiellen Ableitungen der kurzfristigen Kosten c(w 1,w 2,y, x 2 ) := w 1 x 1(y, x 2 ) + w 2 x 2 Bei einem Anstieg eines Faktorpreises steigen die Kosten gerade um die Einsatzmenge des betroffenen Faktors an: c(w 1,w 2,y, x 2 ) = w 1 x1 (y, x 2) > 0, c(w 1,w 2,y, x 2 ) = w 2 x 2 > / 105

56 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.3 Komparative Statik der kurzfristigen Kostenfunktion Die Frage, wie die kurzfristige Kostenfunktion auf eine Erhöhung der Einsatzmenge des fixen Faktors reagiert, ist schwieriger zu beantworten, da es zwei Effekte gibt: c(w 1,w 2,y, x 2 ) x 2 = w 2 w 1 MP 2 (x 1 (y, x 2), x 2 ) MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ). 1 Die Ausgaben für den fixen Faktor steigen um w 2 an. 2 Die Einsatzmenge des variablen Faktors, die erforderlich ist, um den gegebenen Output y zu produzieren, fällt um 1/GRT = MP 2 /MP 1 Einheiten. Multiplikation mit w 1 liefert die Kostenersparnis auf Grund der reduzierten Einsatzmenge von Input / 105

57 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.3 Komparative Statik der kurzfristigen Kostenfunktion Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so ist streng steigend in y. MP 2 (x 1 (y, x 2), x 2 ) MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) Also gilt für Produktionsfunktionen, die diese Annahmen erfüllen, dass bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des fixen Faktors die Kosten für geringe Outputmengen steigen und für grosse Outputmengen fallen. Keine Auswirkung auf die Kosten ergeben sich bei der Outputmenge y für die gilt: w 2 MP 2(x1 (y, x 2), x 2 ) MP 1 (x1 (y, x 2), x 2 ) w 1 = 0 w 1 = MP 1(x1 (y, x 2), x 2 ) w 2 MP 2 (x1 (y, x 2), x 2 ) 57 / 105

58 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.3 Komparative Statik der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: Für unterschiedliche Einsatzmengen des fixen Inputs resultieren unterschiedliche kostenminimierende Einsatzmengen des variablen Inputs. 58 / 105

59 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.3 Komparative Statik der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: Auswirkung der Einsatzmenge des fixen Inputs auf den Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion. Je grösser x 2, desto grösser ist hier der vertikale Achsenabschnitt der Kostenfunktion und desto flacher ihr anschliessender Verlauf. Die kurzfristigen Produktionsfunktionen sind die aus der vorhergehenden Abbildung; die Faktorpreise sind w 1 = w 2 = / 105

60 60 / Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Wir betrachten nun den Fall, in dem beide Inputs variabel sind die lange First. Definition (Kostenminimierungsproblem) Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem besteht darin, diejenigen Inputmengen (x1,x 2 ) zu bestimmen, welche das Problem lösen. minw 1 x 1 + w 2 x 2 unter der Nebenbedingung f (x 1,x 2 ) = y x 1,x 2 Beachte: Für y = 0 ist (x1,x 2 ) = (0,0) die eindeutige Lösung des Kostenminimierungsproblems. Wir betrachten daher im Folgenden den Fall y > 0 und unterstellen dabei, dass es Inputmengen gibt, die es ermöglichen y zu produzieren.

61 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Ein wichtiges Hilfsmittel zur grafischen Darstellung des Kostenminimierungsproblems sind die sogenannten Isokostenlinien w 1 x 1 + w 2 x 2 = c, die für vorgegebene Kosten c > 0, die Inputkombinationen (x 1,x 2 ) darstellen, deren Kosten bei den gegebenen Faktorpreisen gerade c entsprechen. Wie man an Hand der Darstellung x 2 = c w 2 w 1 w 2 x 1 erkennen kann, sind die Isokostenlinien parallele Geraden mit Steigung w 1 /w 2. Die komparative Statik der Isokostenlinien ist analog zu derjenigen der Budgetgeraden. 61 / 105

62 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Abbildung: Einige Isokostenlinien zu w 1 = 2 und w 2 = 1. Die Steigung ist 2. Die Kosten sind um so niedriger, je näher die Isokostenlinie am Ursprung liegt. 62 / 105

63 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem In der grafischen Darstellung besteht das Kostenminimierungsproblem darin, denjenigen Punkt auf der Isoquante I(y) zu finden, der die niedrigste Isokostenlinie erreicht. Ein solcher Punkt ist dort erreicht, wo die Isokostenlinie tangential zu der Isoquante verläuft. Da die Steigung einer Isokostenlinie w 1 /w 2 ist und die Steigung einer Isoquante GRS(x 1,x 2 ) = MP 1 (x 1,x 2 )/MP 2 (x 1,x 2 ) ist, wird so das folgende Ergebnis plausibel: 63 / 105

64 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Satz (Charakterisierung der Lösung des Kostenminimierungsproblems) Für alle (w 1,w 2,y) > 0 ist die eindeutige Lösung (x 1,x 2 ) > 0 des Kostenminimierungsproblems durch die Lösung der folgenden Gleichungen gegeben: MP 1 (x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) = w 1 w 2 und f (x 1,x 2) = y. Wegen der Annahme der Unverzichtbarkeit kann es keine Randlösungen mit x 1 = 0 oder x 2 = 0 geben. Eindeutigkeit folgt aus der Unterstellung einer artigen Produktionsfunktion. 64 / 105

65 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Abbildung: Die kostenminimierenden Inputmengen (x1,x 2 ) zur Produktion der Outputmenge y. Die dazugehörigen minimalen Kosten c = w 1 x1 + w 2x2 können an den Achsenabschnitten der Isokostenlinie abgelesen werden. 65 / 105

66 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Definition (Bedingte Faktornachfragefunktionen) Die Funktionen x 1 und x 2, die jedem (w 1,w 2,y) die eindeutige Lösung des dazugehörigen Kostenminimierungsproblems zuordnen, heissen bedingte Faktornachfragefunktionen. Bemerke: Das Kostenminimierungsproblem ist formal äquivalent zu dem Ausgabenminimierungsproblem aus der Konsumententheorie. Die bedingten Faktornachfragefunktionen entsprechen den kompensierten Nachfragefunktionen. Das Gegenstück zur Ausgabenfunktion der Konsumententheorie ist die langfristige Kostenfunktion, welche jedem (w 1,w 2,y) die aus Verwendung der kostenminimierenden Inputkombination resultierenden Kosten zuordnet: C(y) = c(w 1,w 2,y) := w 1 x 1(w 1,w 2,y) + w 2 x 2(w 1,w 2,y) 66 / 105

67 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Satz Die langfristigen Grenzkosten sind gleich dem Verhältnis aus Faktorpreis und Grenzprodukt eines jeden Inputs: c(w 1,w 2,y) y = w i MP i (x (w 1,w 2,y)) > 0 für i = 1,2. Ökonomische Intuition: 1 Die Formel entspricht derjenigen aus der kurzfristigen Betrachtung, wenn man sich Input i als variabel und den jeweils anderen Input j als fix vorstellt. 2 Obgleich sich bei einer Erhöhung der Outputmenge auch die Einsatzmenge des soeben als fix unterstellten Input j ändert, ergibt sich hieraus kein zusätzlicher Effekt auf die langfristigen Kosten, da die Bedingung erfüllt ist. MP 1 (x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) = w 1 w 2 67 / 105

68 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Satz (Langfristige Kosten und Skalenelastizität) Für eine langfristige Kostenfunktion ist das Verhältnis von Durchschnittskosten zu Grenzkosten gleich der Skalenelastizität: Wieso gilt das? AC(y) MC(y) = ε S(x 1(w 1,w 2,y),x 2(w 1,w 2,y)). Für beide Inputs entspricht das Verhältnis der Stückausgaben für diesen Input zu den Grenzkosten der Produktionselastizität des Inputs: w i x i (w 1,w 2,y)/y MC(y) = ε i (x 1(w 1,w 2,y),x 2(w 1,w 2,y)) für i = 1,2. Addiert man diese beiden Gleichungen, erhält man das Ergebnis aus dem Satz. 68 / 105

69 69 / Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Aus dem Ergebnis des vorhergehenden Satzes und den Ableitungseigenschaften der Durchschnittskostenfunktion erhält man: Satz Seien mit (x1,x 2 ) die Inputmengen bezeichnet, mit denen y > 0 kostenminimierend produziert wird. Dann gilt Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y steigend, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x1,x 2 ) fallend sind: ε S (x1,x 2 ) < 1 AC (y) > 0. Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y konstant, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x1,x 2 ) konstant sind: ε S (x1,x 2 ) = 1 AC (y) = 0. Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y fallend, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x1,x 2 ) steigend sind: ε S (x1,x 2 ) > 1 AC (y) < 0.

70 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Intuition für diesen Zusammenhang: Ist die Skalenelastizität z.b. grösser als 1, so müssen die Inputmengen um weniger als ein Prozent gesteigert werden, um ein Prozent mehr Output zu produzieren. Dies bedeutet, dass die Kosten um weniger als ein Prozent steigen, wenn ein Prozent mehr Output produziert wird. Die Kosten der zusätzlichen Outputeinheiten liegen also unterhalb der Stückkosten der bisherigen Outputmenge... und damit fallen die Stückkosten bei einer Ausweitung der Produktionsmenge. 70 / 105

71 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Der im Lehrbuch oftmals betrachtete Fall u-förmiger Durchschnittskosten resultiert in der langen Frist also, wenn die lokalen Skalenerträge bei einer Ausweitung der Produktionsmenge zunächst steigend und dann fallend sind. Ob die lokalen Skalenerträge diese Eigenschaft haben, hängt im Allgemeinen nicht nur von der Technologie, sondern auch von den Faktorpreisen ab. Wieso? Eindeutige Aussagen über den Verlauf der Durchschnittskosten lassen sich auf Grund der vorhergehenden Ergebnisse machen, wenn die Skalenerträge global konstant, steigend oder fallend sind. 71 / 105

72 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global konstanten Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge auf, so ist die langfristige Kostenfunktion linear in y, d.h. es gibt eine Konstante k > 0, so dass C(y) = ky. Insbesondere sind die Durchschnittskosten und Grenzkosten konstant und stimmen überein: AC(y) = MC(y) = k. Der Wert der Konstanten k entspricht den minimalen Kosten eine Einheit Output herzustellen; es gilt also k = c(w 1,w 2,1). Die ökonomische Intuition hinter dem Ergebnis ist, dass bei konstanten Skalenerträgen die kostenminimierenden Inputmengen proportional zur Outputmenge sind und die Kosten daher auch proportional zur Outputmenge sind. 72 / 105

73 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.5 Verlauf der langfristigen Kostenfunktion Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global steigenden Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global steigende Skalenerträge auf, so sind die langfristigen Durchschnittskosten AC(y) fallend in y und liegen für alle y > 0 oberhalb der Grenzkostenfunktion: AC (y) < 0 und MC(y) < AC(y). Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global fallenden Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge auf, so sind die langfristigen Durchschnittskostenfunktion steigend in y und liegen für alle y > 0 unterhalb der Grenzkostenfunktion: AC (y) > 0 und MC(y) > AC(y). 73 / 105

74 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.6 Komparative Statik der langfristigen Kostenfunktion Satz (Shepards Lemma) Für y > 0 stimmt die partielle Ableitung der langfristigen Kostenfunktion nach dem Preis von Input i mit der kostenminimierenden Einsatzmenge von Input i überein: c(w 1,w 2,y) w i = x i (w 1,w 2,y) > 0 für i = 1,2. Die Ableitung der langfristigen Kostenfunktion nach einem Faktorpreis ist also so bestimmt, als ob bei einer Veränderung des Faktorpreises die bedingte Faktornachfrage unverändert bliebe. Intuition: Da die Inputmengen in der Ausgangssituation kostenminimierend gewählt wurden, verursacht die optimale Anpassung der Inputmengen auf eine Preisänderung nur einen Effekt zweiter Ordnung, der bei der Bestimmung der Ableitung ignoriert werden kann. 74 / 105

75 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.7 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Frage Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Verlauf der langfristigen und der kurzfristigen Kostenkurven? In den folgenden Überlegungen werden die Faktorpreise (w 1,w 2 ) > 0 und die Produktionsfunktion als gegeben betrachtet. Die langfristige Kostenfunktion ist mit C(y) bezeichnet. C s (y, x 2 ) bezeichnet die kurzfristige Kostenfunktion, in der die Einsatzmenge von Input 2 durch x 2 gegeben ist. 75 / 105

76 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.7 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Da es in der kurzen Frist weniger Anpassungsmöglichkeiten als in der langen Frist gibt, müssen bei gegebenen Faktorpreisen die kurzfristigen Kosten zur Produktion einer Outputmenge y mindestens zu hoch sein, wie die langfristigen Kosten. Andererseits stimmen langfristige und kurzfristige Kosten bei der Menge y überein, wenn die kurzfristig fixe Einsatzmenge von Input 2 mit der langfristig kostenminimierenden Einsatzmenge von Input 2 übereinstimmt, also x 2 = x 2 (w 1,w 2,y) gilt. Satz Die langfristige Kostenfunktion liegt unterhalb aller kurzfristigen Kostenfunktionen, d.h. C(y) C s (y, x 2 ). Für x 2 = x 2 (w 1,w 2,y) stimmen langfristige und kurzfristige Kosten überein, d.h. C(y) = C s (y,x 2 (w 1,w 2,y)). 76 / 105

77 77 / Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.7 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Abbildung: Langfristige und einige kurzfristige Kostenfunktionen für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x0.4 2 bei den Faktorpreisen (w 1,w 2 ) = (1,1). Die jeweiligen Berührungspunkte sind markiert.

78 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.7 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Da die langfristige Kostenfunktion eine kurzfristige Kostenfunktion nicht schneidet, stimmen die Steigungen der beiden Funktionen in ihrem Berührungspunkt überein. Die vorhergehende Abbildung suggeriert zudem, dass die kurzfristigen Kostenfunktionen links von ihrem jeweiligen Berührungspunkt mit der langfristigen Kostenfunktion flacher als diese verlaufen. rechts von ihrem jeweiligen Berührungspunkt mit der langfristigen Kostenfunktion steiler als diese verlaufen. Unter der Annahme abnehmender Grenzprodukte und komplementärer Inputs muss das so sein: 78 / 105

79 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.7 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Satz Ist die kurzfristige Einsatzmenge des fixen Faktors diejenige, die in der langen Frist kostenminimierend ist, so stimmen langfristige und kurzfristige Grenzkosten überein: MC(y) = MC s (y,x 2(w 1,w 2,y)). Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so gilt zudem: x 2 > x 2(w 1,w 2,y) MC(y) > MC s (y, x 2 ) x 2 < x 2(w 1,w 2,y) MC(y) < MC s (y, x 2 ) 79 / 105

80 3. Kostenfunktion und Kostenminimierung 3.7 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Abbildung: Langfristige und eine kurzfristige Grenzkostenfunktion zu dem Beispiel aus der vorhergehenden Abbildung. 80 / 105

81 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.1 Einleitung Die Angebotsentscheidung eines Unternehmens hängt davon ab, wie die zu verkaufende Menge die Kosten und den Erlös (oder Umsatz) beeinflusst. Wir betrachten in diesem Abschnitt den einfachsten Fall: die einzelnen Unternehmen gehen davon aus, dass ihre Entscheidungen keinen Einfluss auf den Preis p haben, zu dem sie ihren Output verkaufen können. Dies modelliert einen sogenannten Wettbewerbsmarkt. Der Erlös eines Unternehmens, dass in einem Wettbewerbsmarkt die Menge y produziert und verkauft, ist py, wobei p > 0 eine Konstante ist. Wir unterstellen, dass Unternehmen daran interessiert sind, ihren Gewinn zu maximieren. 81 / 105

82 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Wir betrachten die Kostenfunktion C(y) des Unternehmens als gegeben und nehmen an, dass diese differenzierbar mit streng positiver Ableitung MC(y) = C (y) > 0 ist. Dies kann eine kurzfristige oder eine langfristige Kostenfunktion sein; entsprechend unterscheidet man kurzfristige und langfristige Gewinnmaximierung. Definition (Gewinnmaximierung in einem Wettbewerbsmarkt) Das Gewinnmaximierungsproblem eines Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt besteht darin, bei gegebener Kostenfunktion und gegebenem Outputpreis diejenige Outputmenge zu wählen, welche den Gewinn G(y) = py C(y) maximiert: max y 0 py C(y). 82 / 105

83 83 / Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Satz (Notwendige Bedingungen für Gewinnmaximierung) Wenn y > 0 eine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems ist, dann müssen 1 die Grenzkosten bei y mit dem Preis übereinstimmen: MC(y ) = p. Bedingung erster Ordnung 2 die Grenzkosten bei y steigend sein: MC (y ) 0. Bedingung zweiter Ordnung 3 die durchschnittlichen Variablen Kosten bei y geringer als der Preis sein AVC(y ) p. Durchschnittskostenbedingung

84 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung In all den Fällen, die wir betrachten werden, sind die genannten Bedingungen nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für eine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems mit y > 0. Gibt es keine Menge, bei der die Durchschnittskostenbedingung erfüllt ist, ist es optimal y = 0 zu produzieren. Satz (Stilllegungsbedingung) Gilt die Stilllegungsbedingung p < min y AVC(y), so ist y = 0 die einzige gewinnmaximierende Menge. In der langen Frist gilt AVC(y) = AC(y) ein Unternehmen sollte in der langen Frist stillgelegt werden, wenn durch Produktion kein Gewinn erzielt werden kann. In der kurzen Frist kann es hingegen gewinnmaximierend sein, die Produktion nicht still zu legen, obgleich dabei ein Verlust entsteht. 84 / 105

85 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Fallunterscheidung: 1 Grenzkosten sind steigend: MC (y) > 0 für alle y. 2 Grenzkosten sind konstant: MC (y) = 0 für alle y. 3 Grenzkosten sind fallend: MC (y) < 0 für alle y. 4 Grenzkosten sind u-förmig, d.h. erst fallend, dann steigend. 85 / 105

86 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Satz (Gewinnmaximierung bei steigenden Grenzkosten) Verlaufen die Grenzkosten steigend und erfüllt y > 0 die Bedingung erster Ordnung MC(y ) = p, so ist y die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Gilt MC(0) p, so ist y = 0 die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Dieses Ergebnis beschreibt insbesondere die Lösung eines kurzfristigen Gewinnmaximierungsproblems, falls die Grenzprodukte abnehmend sind. 86 / 105

87 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Abbildung: Steigender Verlauf der Grenzkosten. Die Menge y, bei der die Bedingung erster Ordnung erfüllt ist, ist die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. 87 / 105

88 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Satz (Gewinnmaximierung bei konstanten Grenzkosten) Sind die Grenzkosten konstant gleich c, so gilt: Für p < c ist y = 0 die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Für p = c ist jede Menge gewinnmaximierend. Für p > c besitzt das Gewinnmaximierungsproblem keine Lösung. Dieses Ergebnis beschreibt insbesondere die Lösung des langfristigen Gewinnmaximierungsproblems bei global konstanten Skalenerträge. Beachte: Für p > c macht die Annahme eines Wettbewerbsmarktes keinen Sinn, da ein Unternehmen seinen Gewinn durch Ausweitung der Produktion immer weiter steigern kann. 88 / 105

89 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Satz (Gewinnmaximierung bei fallenden Grenzkosten) Sind die Grenzkosten fallend und ist die Stilllegungsbedingung verletzt, so gibt es keine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Auch in diesem Fall macht die Annahme eines Wettbewerbsmarktes keinen Sinn, da ein Unternehmen entweder nicht produzieren oder die Produktion beliebig ausweiten möchte. Das Ergebnis gilt insbesondere für das langfristige Gewinnmaximierungsproblem bei global steigenden Skalenerträgen (auch ohne die zusätzliche Annahme fallender Grenzkosten). 89 / 105

90 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Verlaufen die Grenzkosten u-förmig, so gilt dieses auch für die durchschnittlichen variablen Kosten, die daher ein eindeutiges Minimum besitzen. Die Menge, bei der die durchschnittlichen variablen Kosten minimiert werden, wird im folgenden mit ŷ > 0 bezeichnet. Satz (Gewinnmaximierung bei u-förmigen Grenzkosten) Verlaufen die Grenzkosten u-förmig und erfüllt y > ŷ die Bedingung erster Ordnung MC(y ) = p, so ist y die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Für p < AVC(ŷ) ist y = 0 die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Für p = AVC(ŷ) sind y = 0 und y = ŷ die beiden Lösungen des Gewinnmaximierungsproblems. 90 / 105

91 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Abbildung: Die Menge y, bei der die Bedingungen erster und zweiter Ordnung sowie die Durchschnittskostenbedingung erfüllt sind, ist die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Bei der Menge y ist die Bedingung zweiter Ordnung und die Durchschnittskostenbedingung verletzt. 91 / 105

92 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.2 Gewinnmaximierung Abbildung: Die Stilllegungsbedingung ist erfüllt und y = 0 ist die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Bei der Menge y ist die Durchschnittskostenbedingung verletzt. 92 / 105

93 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.3 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Für eine gegebene Kostenfunktion ordnet die Angebotsfunktion eines Unternehmens einem Outputpreis p diejenige Outputmenge s(p) zu, welche das Gewinnmaximierungsproblem bei Preis p löst. Satz (Angebotsfunktionen sind steigend) Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist steigend in p: Aus p > p folgt s(p ) s(p). Ökonomische Intuition: Lässt sich der Gewinn bei einem Preis p durch eine Verringerung der Outputmenge steigern, so gilt dieses erst recht für alle p < p. Die Kosteneinsparung ist unabhängig vom Outputpreis. Die Reduktion des Erlöses ist um so kleiner, je kleiner p ist. 93 / 105

94 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.3 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Abbildung: Angebotsfunktion bei steigenden Grenzkosten. Die Angebotsfunktion ist rot dargestellt. Für p > MC(0) ist die Angebotsfunktion die Umkehrfunktion der Grenzkosten, also dadurch bestimmt, dass man die Gleichung MC(y) = p nach y auflöst. 94 / 105

95 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.3 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Abbildung: Angebotsfunktion bei u-förmigen Grenzkosten. Die Angebotsfunktion ist rot dargestellt. Für p > AVC(ŷ) ist die Angebotsfunktion die Inverse des steigenden Asts der Grenzkosten, also dadurch bestimmt, dass man die Gleichung MC(y) = p nach y > ŷ auflöst. 95 / 105

96 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.3 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Liegen global steigende Skalenerträge vor, macht es keinen Sinn von einer langfristigen Angebotsfunktion zu sprechen, da es keine Lösung des Gewinnmaximierungsproblem mit streng positiver Outputmenge gibt. Liegen global konstante Skalenerträge vor, so macht es ebenfalls wenig Sinn, von einer langfristigen Angebotsfunktion zu sprechen, da für einen Outputpreis, der gleich den langfristigen Durchschnittskosten ist, das Angebot unbestimmt ist. für Outputpreise oberhalb der langfristigen Durchschnittskosten keine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems existiert. Die Situation entspricht dem Fall, in dem das Angebot bei p = AC unendlich elastisch ist. 96 / 105

97 4. Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.4 Beispiele zur komparativen Statik der Angebotsfunktion Frage Wie beeinflusst eine Änderung der Faktorpreise das kurzfristige Angebot eines Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt? Ein Anstieg des Preises des fixen Faktors hat keinen Einfluss auf das kurzfristige Angebot. Ein Anstieg des Preises des variablen Faktors verschiebt die Grenzkostenfunktion nach oben und führt somit dazu, dass die kurzfristige Angebotsmenge eines Unternehmens bei einem gegebenen Outputpreis fällt. 97 / 105

98 98 / Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.4 Beispiele zur komparativen Statik der Angebotsfunktion Abbildung: Veränderung der kurzfristigen Angebotsfunktion bei einem Anstieg des Preises des variablen Faktors. Die Grenzkosten nach Preisanstieg sind MC. Die bei Outputpreis p angebotene Menge fällt auf s(p).

99 99 / Angebot in Wettbewerbsmärkten 4.4 Beispiele zur komparativen Statik der Angebotsfunktion Frage Welcher Zusammenhang besteht zwischen der kurzfristigen und der langfristigen Angebotsfunktion eines Unternehmens? Zur Beantwortung dieser Frage betrachtet man eine Situation, in der ein Unternehmen bei gegebenem Outputpreis p den langfristig gewinnmaximierenden Produktionsplan (x 1,x 2,y ) verwendet. Ändert sich nun der Outputpreis, so ist in der kurzen Frist die Einsatzmenge x2 fix und es wird die entsprechende kurzfristige Angebotsfunktion betrachtet. In der langen Frist kann auch x2 angepasst werden. Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so verläuft die langfristige Grenzkostenfunktion durch y flacher als die relevante kurzfristige Grenzkostenfunktion durch y. Also reagiert das langfristige Angebot eines Unternehmens in diesem Fall stärker auf eine Änderung von p als das kurzfristige Angebot.