KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I

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1 Mthemtik mcht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Erkläre, wrum die eiden drgestellten Dreiecke ähnlich zueinnder sind und erechne die fehlenden Seitenlängen x und y. x y Aufge 1.2. Um die Breite von schmlen Fugen zu messen, knn ein Messkeil verwendet werden: 10 mm 42 mm 250 mm Berechne die Breite der geildeten Fuge. Aufge 1.3. δ γ sin() = sin() = sin(γ) = sin(δ) = z h y cos() = cos() = cos(γ) = cos(δ) = w x tn() = tn() = tn(γ) = tn(δ) = Dtum: 20. April

2 Mthemtik mcht Freu(n)de Aufge 1.4. Vom drgestellten Dreieck sind = 7 cm und = 4 cm eknnt. Berechne die Länge von c und h c, die Winkel und sowie den Flächeninhlt A. Aufge 1.5. Vom drgestellten Dreieck sind = 65 und h c = 22 m eknnt. Berechne die Länge von, und c, den Winkel sowie den Flächeninhlt A. Aufge 1.6. Vom drgestellten Dreieck sind die Längen der Seiten x und y eknnt. Gi eine Formel zur Berechnung des Winkels n. = Aufge 1.7. Ein Tennisspieler trifft eim Aufschlg den Bll in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genu üer der Mitte der Grundlinie. Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlglinie) n. Um nicht ins Netz zu gehen, muss der Bll ds Netz in einer Höhe von mindestens 1 Meter (üer dem Boden) üerqueren. 2

3 Mthemtik mcht Freu(n)de Die Flughn des Tennislles eim Aufschlg knn modellhft mittels einer Gerde eschrieen werden. Üerprüfen Sie nchweislich, o der Bll ei diesem Aufschlg üer ds Netz geht. Aufge 1.8. Von einer neuen Prknlge sieht mn die Spitze des 51 m hohen Stdtturms unter dem Höhenwinkel = 38,2. Berechnen Sie, um wie viel Meter mn sich dem Stdtturm entlng der Strecke P F nähern muss, dmit dieser unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist. 1.1 Die eiden Dreiecke hen zwei gemeinsme Winkel, dher muss uch der dritte Winkel in eiden Dreiecken üereinstimmen (γ = 180 ). Die Seitenlängen etrgen x = 5 und y = ,68 mm 1.3 sin() = h z, sin() = h y, sin(γ) = x y, sin(δ) = w z cos() = w z, cos() = x y, cos(γ) = h y, cos(δ) = h z tn() = h w, tn() = h x, tn(γ) = x h, tn(δ) = w h 1.4 c = 8, cm, h c = 3, cm, = 60,25..., = 29,74..., A = 14 cm = 52,05... ( m, ) = 24,27... m, c = 57,43... m, = 25, A = 631,8... m 2 x 1.6 = rccos y 1.7 Beim Netz ht der Bll eine Höhe von rund 0,80 m. Der Bll lndet lso im Netz. 1.8 P B = 52,47 m 3

4 Mthemtik mcht Freu(n)de 2. Ähnlichkeit von Dreiecken Zwei prllele Gerden werden von einer dritten Gerde geschnitten: = = Der gleiche Winkel kommt noch drei Ml in der Skizze vor. Zeichne diese Winkel ein. Derrtige Winkel nennen wir Prllelwinkel oder Z-Winkel. Erkläre nhnd der Skizze, wrum die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 eträgt. Konstruiere ein Dreieck mit Winkeln = 40 und = 60. Begründe, wrum die Lösung nicht eindeutig ist. Ist der dritte Winkel γ in jeder Lösung gleich groß? Zwei Dreiecke heißen zueinnder ähnlich, wenn sie dieselen Winkel hen: Schreiweise: ABC A B C 4

5 Mthemtik mcht Freu(n)de C γ C γ A B A B c c Zwei verschiedene Dreiecke enthlten eide die Winkel und. Erkläre, wrum die eiden Dreiecke ähnlich zueinnder sein müssen. Beispiel 2.1. Miss die Seitenlängen der eiden oen drgestellten Dreiecke. = = = = c = c = Welchen Zusmmenhng knnst du zwischen den Seitenlängen erkennen? Ds ist kein Zufll! Ttsächlich knn mn eweisen, dss in ähnlichen Dreiecken die entsprechenden Seitenlängen im selen Verhältnis zueinnder stehen: (1) = = c c = k (= 2 im oigen Beispiel) Ein geometrischer Beweis dfür efindet sich in Aschnitt 5. Zusmmengefsst: In ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel gleich groß, während die entsprechenden Seitenlängen um den gleichen Fktor k gestreckt (k > 1) oder gestucht (k < 1) werden. Sind die entsprechenden Seitenlängen gleich lng (k = 1), nennt mn die Dreiecke nicht nur ähnlich, sondern uch kongruent. 5

6 Mthemtik mcht Freu(n)de Beispiel 2.2. Die eiden drgestellten Dreiecke sind ähnlich zueinnder: Berechne die fehlenden Seitenlängen und. Lösung. Anhnd der Winkel finden wir die einnder entsprechenden Seiten (mrkiere sie mit drei unterschiedlichen Fren): Wir erechnen die fehlenden Seitenlängen: 3 5 = = 13 = = = 7,2 = = = 7,8 Bechte eim Aufstellen der Gleichung, dss die im Zähler stehenden Seiten stets us dem gleichen Dreieck stmmen, und im Nenner stets die dzu entsprechenden Seiten us dem nderen Dreieck stehen. Wir formen die erste Gleichung in (1) folgendermßen um: = = = Beschreie nhnd der Skizze, ws die in ähnlichen Dreiecken geltende Gleichung = ussgt. Gi weitere Beispiele solcher Gleichungen n. c c 6

7 Mthemtik mcht Freu(n)de 3. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Betrchte die folgenden rechtwinkligen Dreiecke: c c Erkläre, wrum ds Verhältnis von je zwei Seitenlängen im kleinen Dreieck gleich groß wie ds Verhältnis der eiden entsprechenden Seitenlängen im großen Dreieck ist, z.b.: c = c, c = c, =. Ds Verhältnis zweier Seiten hängt lso nur dvon, wie groß der Winkel ist, er nicht dvon, wie groß mn ds rechtwinklige Dreieck zeichnet. Kennt mn den Winkel, knn mn die zugehörigen Seitenverhältnisse c, c und durch eine Konstruktion näherungsweise, er uch rechnerisch elieig genu estimmen. Derrtige Üersetzungstellen g es ereits vor c Jhren 1. Heutzutge enötigen wir keine Tellenücher mehr, m Tschenrechner stehen dfür die drei Winkelfunktionen Sinus sin, Cosinus cos und Tngens tn zur Verfügung. Je nchdem welches Seitenverhältnis mn estimmen möchte, ist eine ndere Winkelfunktion notwendig: Im rechtwinkligen Dreieck hen die drei Seiten spezielle Bezeichnungen. Die dem rechten Winkel gegenüerliegende Seite heißt Hypotenuse, die eiden nderen Seiten heißen Ktheten. Um uch die Ktheten unterscheiden zu können, erhlten diese die Bezeichnungen Gegenkthete und Ankthete: Kthete liegt gegenüer von = Gegenkthete von c Kthete liegt m Winkel n = Ankthete von Bechte, dss es im rechtwinkligen Dreieck nicht die Gegenkthete und die Ankthete git, sondern dss die Bezeichnungen vom Winkel hängen, von dem us die Seiten etrchtet werden. 1 Sehnentfel des Ptolemäus [3] 7

8 Mthemtik mcht Freu(n)de Erkläre, welche Seite im oigen Dreieck die Gegenkthete von und welche die Ankthete von ist. i) Die Winkelfunktion Sinus üersetzt jeden Winkel in ds zugehörige Seitenverhältnis von Gegenkthete zu Hypotenuse: Winkel Gegenkthete von Hypotenuse Sinus = sin() Sprechweise: Sinus von ii) Die Winkelfunktion Cosinus üersetzt jeden Winkel in ds zugehörige Seitenverhältnis von Ankthete zu Hypotenuse: Winkel Ankthete von Hypotenuse Cosinus = cos() Sprechweise: Cosinus von iii) Die Winkelfunktion Tngens üersetzt jeden Winkel in ds zugehörige Seitenverhältnis von Gegenkthete zu Ankthete: Winkel Gegenkthete von Ankthete von Tngens = tn() Sprechweise: Tngens von Zusmmengefsst gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck die folgenden Gleichungen: sin() = c, cos() = c, tn() =. c Beispiel 3.1. Im oen drgestellten rechtwinkligen Dreieck sind der Winkel = 35 sowie die Seitenlänge = 4 cm eknnt. Berechne die Länge der eiden nderen Seiten. Erkläre zunächst, wrum diese Angen usreichen, um die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks eindeutig festzulegen. Wie würdest du ds Dreieck konstruieren? 8

9 Mthemtik mcht Freu(n)de Lösung. Aus Sicht des Winkels ist die Gegenkthete. Ds Seitenverhältnis der Gegenkthete zur Hypotenuse c knn mit Hilfe der Sinusfunktion estimmt werden: sin() = c c sin() = c = sin() = 4 cm sin(35 ) 6,97 cm Erkläre, wrum jede der folgenden drei Möglichkeiten, um die Seitenlänge zu erechnen, korrekt ist: = c 2 2, = c cos(), = tn() Erkläre, wrum sin() cos() = tn() gilt. Üerprüfe mit dem Tschenrechner folgende Werte der Winkelfunktionen: sin(30 ) = , sin(60 ) = 2, cos(30 ) = 2, cos(60 ) = 1 2 Erkläre nhnd des neenstehenden gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 2, wrum kein Tschenrechner zur Berechnung der Werte notwendig gewesen wäre. 9

10 Mthemtik mcht Freu(n)de Wir hen gesehen, dss sin(30 ) = cos(60 ) und sin(60 ) = cos(30 ) gilt. Erkläre, nhnd des folgenden Dreiecks, wrum llgemein sin() = cos(90 ) gilt: Wie groß ist der dritte Winkel? c Erkläre, wrum sin(45 ) = cos(45 ) = 1 2 gilt. 10

11 Mthemtik mcht Freu(n)de Von einem Kreis mit Rdius 1 ( Einheitskreis ) zeichnen wir nur ein Viertel und wählen m Kreisogen einen Punkt P. Ausgehend von P konstruieren wir ein rechtwinkliges Dreieck: Die Hypotenuse ist die Strecke von P zum Kreismittelpunkt, die Ktheten werden senkrecht und wgrecht wie neenstehend eingezeichnet. i) Erkläre, wrum die Länge der senkrechten Kthete stets sin() eträgt, unhängig dvon wo m Kreisogen der Punkt P gewählt wird. ii) Erkläre, welchen Einfluss die Position von P uf den Winkel ht. Wie groß zw. klein knn der Winkel sein? iii) Erkläre, welchen Einfluss die Position von P uf die Länge der senkrechten Kthete lso sin() ht. Wie lng zw. kurz knn die senkrechte Kthete sein? iv) Erkläre, wrum sin 2 () + cos 2 () = 1 gilt. sin 2 () ist die Kurzschreiweise für sin() sin() Wir hen gesehen, dss es für jeden Winkel zwischen 0 und 90 genu einen zugehörigen Sinuswert sin() zwischen 0 und 1 git. Umgekehrt können wir für jede Zhl zwischen 0 und 1 genu einen Winkel zwischen 0 und 90 ngeen, dessen Sinuswert die gegeene Zhl ist. Diese umgekehrte Zuordnungsufge üernimmt die sogennnte inverse Winkelfunktion Arcussinus: sin() = 1 2 Arcussinus Sprechweise: Arcussinus von 1 2 = rcsin ( ) 1 2 = 30 Die zugehörige Funktion m Tschenrechner ist sin 1 und knn üer 2nd sin erreicht werden. Auch für Cosinus und Tngens existieren nlog die Umkehrfunktionen Arcuscosinus und Arcustngens. 11

12 Mthemtik mcht Freu(n)de Beispiel 3.2. Im folgenden rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenlängen = 4 cm und c = 5 cm eknnt. Berechne die Winkel und. c Erkläre zunächst, wrum diese Angen usreichen, um die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks eindeutig festzulegen. Wie würdest du ds Dreieck konstruieren? Lösung. Aus Sicht des Winkels ist die Ankthete und c die Hypotenuse. Dher gilt cos() = c = rccos ( ) c 36,87 Erkläre, wrum die folgenden Möglichkeiten zu erechnen eide korrekt sind: ( ) = 90, = rcsin c 4. Skizzen im Snd Der Legende nch wurde der griechische Mthemtiker Archimedes 212 v. Chr. während der Eroerung von Syrkus im zweiten punischen Krieg getötet: Archimedes wr gerde dei mthemtische Skizzen im Snd zu studieren, ls er von einem römischen Soldten unterrochen wurde. Angelich soll er zum Soldten genervt gesgt hen: Störe meine Kreise nicht! Es wren der Legende nch seine letzten Worte... [2] 12

13 Mthemtik mcht Freu(n)de Im Folgenden sind Formeln und Lehrsätze, die du estimmt us der Unterstufe kennst, im Snd skizziert worden. Knnst du sie wiedererkennen? 13

14 Mthemtik mcht Freu(n)de Beispiel 4.1. Der Wind ht die Beschriftungen einiger Skizzen weggelsen. Beschrifte lle Seiten und Winkel, und gi gleich lngen Seiten zw. gleichen großen Winkeln den selen Nmen. 1) c 3) 60 c 2) 4) 5. Geometrischer Beweis des Strhlenstzes Theorem 5.1 (Strhlenstz). Werden zwei von einem Punkt C usgehende Strhlen von zwei prllelen Gerden geschnitten, so gilt: 1) = = c c 2) = Erkläre nhnd des Strhlenstzes folgende Aussge: Bei zwei ähnlichen Dreiecken stehen einnder entsprechende Seitenlängen im gleichen Verhältnis zueinnder. 14

15 Mthemtik mcht Freu(n)de Beweis des Strhlenstzes nch Euklid ( 300 v. Chr.) [1]. Erkläre, wrum die Dreiecke ABA und ABB den gleichen Flächeninhlt esitzen: Erkläre, wrum die Dreiecke A BC und AB C den gleichen Flächeninhlt esitzen: 15

16 Mthemtik mcht Freu(n)de i) Erkläre, wrum h = h gilt. ii) Erkläre, wrum h = h gilt. iii) Folgere, dss = gilt. Um / = c/c zu zeigen, verschieen wir ds kleine Dreieck so prllel, dss der Eckpunkt A im Eckpunkt A zu liegen kommt: Erkläre, wrum nun die Gleichung = c c folgt. 16

17 Mthemtik mcht Freu(n)de Für den zweiten Teil des Strhlenstzes etrchten wir den Kehrwert der Brüche: = = }{{} = =1 Bildet mn den Kehrwert uf eiden Seiten, erhält mn den zweiten Teil des Strhlenstzes: = 6. Weitere Aufgenstellungen Aufge 6.1. Eine gerdlinige Strße ht eine konstnte Steigung von 12%. 1) Berechne den Steigungswinkel ϕ. 2) Welchen Höhenunterschied h üerwindet ein Fhrzeug, wenn es 2 km fährt? 3) Welche Strecke legt es in horizontler Richtung zurück, wenn es 750 m fährt? Wie lng duert die Fhrt ei einer konstnten Geschwindigkeit von 30 km/h? Steigung: h = 12% = 0,12 Aufge 6.2. Pc-Mn ist ein Videospiel, ds 1980 veröffentlicht wurde. Die Spielfigur Pc-Mn muss Punkte in einem Lyrinth fressen, während sie von Gespenstern verfolgt wird. Vernschulichen Sie cos() in der Aildung. Berechnen Sie den Flächeninhlt von Pc-Mn mit Rdius 1 cm und = π 5 rd. 17

18 Mthemtik mcht Freu(n)de Aufge 6.3. Aufge 6.4. Von zwei ähnlichen Dreiecken mit Seitenlängen (11, 14, x) zw. (10, 28, y) sind die eiden fehlenden Seitenlängen gesucht. Vergleiche die Aufgenstellung mit Aufge 1.1 und egründe wrum es uch eine zweite Lösung git ) ϕ 6,84 2) h 238 m 3) 745 m, t = 90 s 6.2 A = 4 5 π = 2, cm ,89...%, tn() = v w, sin() = v u, lneu 584 mm 6.4 Neen der Zuordnung (x, 11, 14) (5, y, 28) mit der Lösung (10, 11, 14) (5, 22, 28) us Aufge 1.1 ist ohne vorgegeene Skizze er uch die Zuordnung (x, 11, 14) (10, 28, y) mit Lösung (3,92..., 11, 14) (10, 28, 35,63...) möglich. Es git keine weitere Lösung: D die eknnten Seitenlängen nicht im gleichen Verhältnis zueinnder stehen, ist eine Zuordnung x y nicht möglich. Eine Zuordnung x 28 führt zu einer Seitenlänge y, die kürzer ls 14 sein müsste. Wegen der Dreiecksungleichung muss y jedoch länger ls 18 sein. Litertur [1] Euclid: Euclid s Elements. 300 BC [2] Pickover: Archimedes to Hwking: lws of science nd the gret minds. Oxford University Press Inc., 2008 [3] Scri ; Schreier: 5000 Jhre Geometrie. Springer-Verlg Berlin, 2001 Dieses Werk von Mthemtik mcht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.