29 Uneigentliche Riemann-Integrale

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1 29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe Riemnn-Integrierbrkeit 29.6 Monotonie-Kriterium für uneigentlihe Riemnn-Integrierbrkeit 29.7 Absolut konvergentes uneigentlihes Riemnn-Integrl 29.8 Ds Integrlkriterium 29.9 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei zwei kritishen Integrtionsgrenzen In den Prgrphen htten wir ds Problem, den Inhlt von speziellen ebenen Flähen (nämlih den Ordintenmengen von Funktionen) zu definieren und zu berehnen, befriedigend gelöst. Wir hben jedoh ds Problem nur für den Fll betrhtet, dß sih die Ordintenmenge durh ein einziges großes Rehtek überdeken läßt: Wir hben nämlih ngenommen, dß sowohl der Definitionsbereih ls uh der Wertebereih der Funktion beshränkt ist. Häufig ist es durhus sinnvoll, uh Flähen einen Inhlt zuzuordnen, die ins Unendlihe rgen. Dies geshieht durh die Einführung des uneigentlihen Riemnn-Integrls. Hierzu zunähst 29. Beispiel Sei f : [0, ] R definiert durh f() := 0, f(t) := t für t [0, [. D f [0, ] niht beshränkt ist, ist f niht Riemnn-integrierbr über [0, ]. Nun ist F (x) = 2( x) /2 eine Stmmfunktion von f über [0, [. D f über [0, [ stetig ist, gilt für jedes b ]0, [ 0 f dx = 2( x)/2 b 0 = 2( ( b)/2 ) 2 für b. D dieser Grenzwert in R existiert, werden wir sgen, f sei über [0, [ uneigentlih Riemnn-integrierbr mit uneigentlihem Riemnn-Integrl 2. C [29]

2 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Sei f := x s [, [ und s >. Dnn existiert für jedes b > ds Riemnn-Integrl f dx und es ist x s dx = x s+ s+ b = s ( ) b s s für b. D dieser Grenzwert in R existiert, werden wir sgen, f sei über [, [ uneigentlih Riemnn-integrierbr mit uneigentlihem Riemnn-Integrl s. (iii) Sei f := x s [, [ und s. Ist s <, so gilt: x s dx = s ( b s ). D für b kein Grenzwert in R existiert, werden wir sgen, f sei über [, [ niht uneigentlih Riemnn-integrierbr, oder uh ds Integrl f dx sei divergent. Für s = ist ds Integrl ebenflls divergent wegen x dx = ln(x) b = ln(b) und ln(b) für b. Genu wie die obere Integrtionsgrenze sein knn (in und (iii)), bzw. die Funktion n der oberen Integrtionsgrenze niht beshränkt ist (in ), knn ein entsprehender Fll für die untere Integrtionsgrenze vorliegen. Diese Fälle sind jedoh völlig symmetrish, so dß wir in der Regel nur einen Fll betrhten werden. Wir geben nun die Definition des uneigentlihen Riemnn-Integrls für den Fll, dß die obere Integrtionsgrenze kritish ist (in ) bzw. die untere Integrtionsgrenze kritish ist (in ). In diesem Prgrphen bezeihnen durhweg, b, reelle Zhlen und, β Elemente von R Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze Sei β > und β R. Dnn heißt f : [, β[ R uneigentlih Riemnn-integrierbr über [, β[, wenn gilt: (I) b ], β[ ist f [, b] R[, b]; (II) lim b β f dx existiert in R. Sind die Bedingungen (I) und (II) erfüllt, so shreibt mn f dx := lim b β f dx, und sgt, ds Integrl β f dx sei konvergent. Ein niht konvergentes uneigentlihes Integrl wird uh divergent gennnt. [29] 2 C

3 Uneigentlihe Riemnn-Integrle Sei < b mit R. Dnn heißt f : ], b] R uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], b], wenn gilt: (I) ], b[ ist f [, b] R[, b]; (II) lim f dx existiert in R. Sind die Bedingungen (I) und (II) erfüllt, so shreibt mn + f dx := lim f dx und sgt, ds Integrl f dx sei konvergent. Ist β =, so versteht mn unter lim b β den in 6.2 definierten Grenzwert lim b β. An Stelle von f dx shreibt mn uh wieder β f dx, insbesondere für β =. Entsprehend shreibt mn uh f dx n Stelle von + Der folgende Stz zeigt, dß hierdurh keine Verwirrung entstehen knn. Ist nämlih f im bisherigen Sinne Riemnn-integrierbr über [, b], so ist f im uneigentlihen Sinne Riemnn-integrierbr über [, b[ und beide Integrle stimmen überein. Eine entsprehende Aussge gilt ntürlih uh für ], b] Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl Sei f : [, b[ R mit f R[, ] für jedes ], b[. Dnn gilt: f ist Riemnn-integrierbr über [, b] (mit beliebig definiertem f(b)) f ist beshränkt. Ist dies der Fll, so ist f uneigentlih Riemnn-integrierbr mit f dx = Beweis. folgt, d nh Definition der Riemnn-Integrierbrkeit eine Riemnn-integrierbre Funktion beshränkt sein muß. Es sei () f(t) M für lle t [, b]. Sei ε R + gegeben. Zu zeigen reiht (siehe 28.3), es gibt eine Zerlegung Z von [, b] mit (2) O(f, Z) U(f, Z) < ε. Wähle zum Nhweis von (2) ls erstes ein ], b[ mit (3) (b )M < ε/4. Wähle nun zu ε und eine Zerlegung Z := (x 0,..., x n ) von [, ] mit (4) O(f [, ], Z ) U(f [, ], Z ) < ε 2. C [29] 3

4 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Eine solhe Zerlegung existiert nh 28.3, d f [, ] nh Vorussetzung Riemnn-integrierbr ist. Bilde die Zerlegung Z := (x 0,..., x n, b) von [, b]. Dnn gilt: O(f, Z) U(f, Z) O(f [, ], Z ) U(f [, ], Z ) + 2M(b ) < ε. () (3),(4) Für den Zustz sei nun f Riemnn-integrierbr über [, b], dnn gilt: f dx = b 27.6 f dx = 29.2 Ist lso β <, so knn der Begriff des uneigentlihen Riemnn-Integrls nur für unbeshränkte Funktionen über ds Riemnn-Integrl hinusführen. Beispiel 29. zeigte, dß es in der Tt uh unbeshränkte Funktionen gibt, die uneigentlih Riemnn-integrierbr sind. Ein entsprehendes Beispiel mit kritisher linker Integrtionsgrenze wird geliefert durh 29.4 Beispiel f = x s ]0, ] ist für s < uneigentlih Riemnn-integrierbr mit 0 x s dx = s. f = x s ]0, ] ist für s niht uneigentlih Riemnn-integrierbr. Beweis. Es ist für ]0, [ und s F () := x s dx = x s+ s+ = s [ s ]. Ist s <, so folgt die Behuptung us lim 0 F () = s. Ist s >, so folgt die Behuptung, d F n der Stelle 0 keinen rehtsseitigen Grenzwert in R besitzt. Entsprehendes gilt für s = wegen F () = ln(). Aus den Konvergenzkriterien für die Existenz von Grenzwerten lssen sih sofort 29.5 und 29.6 herleiten Cuhy-Kriterium für uneigentlihe Riemnn-Integrierbrkeit Sei f : [, β[ R und f [, b] Riemnn-integrierbr für jedes b ], β[. Dnn ist f genu dnn uneigentlih Riemnn-integrierbr über [, β[, wenn es für jedes ε R + ein s ], β[ gibt mit t t f dx < ε für lle t, t ]s, β[. Beweis. Nh Definition ist f genu dnn uneigentlih Riemnn-integrierbr über [, β[, wenn lim b β F (b) mit F (b) := f dx in R existiert. Nh dem Cuhy-Kriterium für die Existenz eines endlihen Grenzwertes (wende 6.3 n uf t 0 := β, f := F ) ist letzteres äquivlent zu ( ε R + )( s ], β[) mit F (t) F (t ) < ε für lle t, t ]s, β[ (untersheide die Fälle t 0 = β R und t 0 = β = ). Die Behuptung folgt nun wegen F (t) F (t ) = t t [29] 4 C

5 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.6 Monotonie-Kriterium für uneigentlihe Riemnn-Integrierbrkeit Sei f : [, β[ [0, [ und f [, b] Riemnn-integrierbr für jedes b ], β[. Dnn ist f genu dnn uneigentlih Riemnn-integrierbr über [, β[, wenn es ein R + gibt mit t f dx für lle t ], β[. Beweis. Wegen 0 f ist F (t) := t f dx eine monoton whsende Funktion. (Benutze: t2 t < t 2 = t 26.4(iv) f(x) dx 0 und t 2 t f(x) dx = f(x) dx + t 2 t 27.2 f(x) dx.) Nh 6. gilt dher lim t β F (t) existiert in R und ist gleih sup F (], β[). Also ist f genu dnn uneigentlih Riemnn-integrierbr über [, β[, wenn sup F (], β[) < ist, d.h. genu dnn, wenn F nh oben beshränkt ist. In Anlogie zu unendlihen Reihen definiert mn (nlog uh für die untere Grenze): 29.7 Absolut konvergentes uneigentlihes Riemnn-Integrl Sei β > und β R. f heißt bsolut uneigentlih Riemnn-integrierbr, wenn f [, ] R[, ] für jedes ], β[ ist und β f dx konvergent ist. Mn nennt dnn uh β f dx bsolut konvergent. Ist β f dx bsolut konvergent, so ist β f dx uh konvergent und es gilt: f dx f dx. Beweis. Wähle zur Anwendung des Cuhy-Kriteriums ein ε R +. Dnn gibt es, d β f dx konvergent ist, nh 29.5 ein s ], β[ mit t t f dx < ε für lle t, t ]s, β[. Wegen t t f dx t t f dx folgt wiederum nh 29.5, dß β f dx konvergent ist. D für lle b ], β[ gilt: f dx f dx, folgt mit b β die Aussge über die Ungleihung der Integrle. Zum Nhweis der Konvergenz von Reihen ist oft der folgende Stz nützlih: 29.8 Ds Integrlkriterium Sei f : [m, [ [0, [ monoton fllend. Dnn ist die Reihe k=m f(k) genu dnn konvergent, wenn m f dx konvergent ist. C [29] 5

6 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Beweis. Zunähst gilt f [m, b] R[m, b] für jedes b > m (siehe 26.9). Ferner ist für jedes t [k, k + ] mit k m f(k) f(t) f(k + ), d f ls monoton fllend vorusgesetzt ist. Somit gilt für lle k m () f(k) = k+ k f(k) dx k+ k f dx k+ k f(k + ) dx = f(k + ). Mit Aufsummtion erhlten wir us () n k=m f(k) n+ m f dx n+ k=m+ f(k). Aus dem Monotoniekriterium für uneigentlihe Integrle (siehe 29.6) und dem Monotoniekriterium für Reihen (siehe 9.5) folgt dher die behuptete Äquivlenz. Für ds Folgende mhe mn sih (etw mit 28.3) klr: Ist f: [, ] R und gilt für ein b ], [, dß f über [, b] und f über [b, ] Riemnn-integrierbr ist, so ist f über [, ] Riemnn-integrierbr Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei zwei kritishen Integrtionsgrenzen Seien, β R mit < β und f : ], β[ R. f heißt uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], β[, wenn es ein ], β[ gibt, so dß f ], ] und f [, β[ uneigentlih Riemnn-integrierbr sind. Ist dies der Fll, so setzt mn + f dx := + f dx + f dx und nennt ds Integrl β f dx konvergent. Der Wert von + f dx hängt niht vom Zerlegungspunkt ], β[ b. Sind n, β n ], β[ und gilt n und β n β, so ist + f dx = lim βn n n (iii) + f dx = lim β(lim f dx). Beweis. Ist f uneigentlih Riemnn-integrierbr, so ist f [, ] R[, ] und f [, b] R[b, ] für jedes < < b mit, b ], β[. Also ist f [, b] R[, b] nh Vorbemerkung. Nh 27.2 ist dher f [u, v] R[u, v] für jedes Intervll [u, v] ], β[. Ht mn lso einen nderen Zerlegungspunkt, so ist zunähst f [, ] R[, ] und f [, b] R[, b] für jedes < und < b, mit, b ], β[ und es gilt () f dx = f dx + Dher existiert lim f dx mit lim f dx = lim f dx + () f dx = + f dx + [29] 6 C

7 Uneigentlihe Riemnn-Integrle Entsprehend existiert lim b β f dx und ist gleih f dx + Aus beiden zusmmen folgt wegen f dx + f dx = 0 die Behuptung. Nh Definition ist für ], β[ + f dx = + f dx + f dx = lim n n f dx + lim n βn fdx = lim n βn n (iii) Zunähst gilt für ], β[ lim f dx = + Es ist lso noh zu zeigen, dß lim β + fdx = + () lim β f dx = 0. dx, d.h. (benutze ) Sei hierzu ε R + gewählt. Dnn gibt es ein 0 ], β[ mit t f dx < ε für lle, t ] 0, β[ (siehe 29.5). Also gilt f dx < ε für lle ] 0, β[, d.h. es ist () erfüllt Beispiel f := ], [ ist uneigentlih Riemnn-integrierbr mit x 2 [Der Beweis folgt us 0 ( )+ 0 ( )+ x 2 dx = lim dx = π. x 2 0 x 2 dx = 22.8 lim (rsin(x) 0 ) = rsin( ) = π 2, x 2 dx = lim b (rsin(x) b 0 ) = rsin() = π 2.] 29. Beispiel +x 2 ist über R =], [ uneigentlih Riemnn-integrierbr mit +x 2 dx = π. [Der Beweis folgt us 0 dx +x 2 = 0 lim 0 +x 2 dx = lim ( rtn()) = π 2, 22.8(iii) +x 2 dx = lim rtn() = π 2.] C [29] 7

8 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 29.2 Zusmmenhng des uneigentlihen Integrls mit einer kritishen Integrtionsgrenze mit dem uneigentlihen Integrl mit zwei kritishen Integrtionsgrenzen Seien β > und f : [, β[ R uneigentlih Riemnn-integrierbr, dnn ist f ], β[ R uneigentlih Riemnn-integrierbr, und es gilt: f dx = + Seien < b und f : ], b] R uneigentlih Riemnn-integrierbr, dnn ist f ], b[ R uneigentlih Riemnn-integrierbr, und es gilt: + f dx = + Beweis. Es reiht, zu beweisen. Wähle hierzu > beliebig, ber fest. Zu zeigen ist: f ], ] und f [, β[ sind uneigentlih Riemnn-integrierbr mit () + f dx + f dx = fdx (siehe Definition 29.9). D f Riemnn-integrierbr über [, d] für jedes d ], β[ ist (siehe Definition 29.2), folgt, dß f uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], ] mit (benutze 29.3 für die untere Grenze) (2) + f dx = f dx ist. D f uh für jedes d ], β[ mit d > Riemnn-integrierbr über [, d] ist, folgt die uneigentlihe Riemnn-Integrierbrkeit von f über [, β[ us d f dx d (3) lim d β f dx = lim d β f dx = f dx Die behuptete Beziehung () über die Integrle folgt nun mit (2) und (3) us f dx = (3) f dx + f dx = + f dx + (2) 29.3 Absolut konvergentes uneigentlihes Riemnn-Integrl bei zwei kritishen Integrtionsgrenzen Seien, β R mit < β und f : ], β[ R. f heißt bsolut uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], β[, wenn eine der beiden äquivlenten Bedingungen erfüllt ist: Es gibt ein ], β[, so dß fdx und β f dx bsolut konvergent sind. Für lle, b ], β[ mit < b ist f R[, b] und sup{ f dx :, b ], β[ mit < b} <. Beweis. Zunähst ist für jedes d < (bzw. d > ) f Riemnn-integrierbr über [d, ] (bzw. [, d]). Also ist f Riemnn-integrierbr über jedem Intervll [, b] mit < < b und, b ], β[. Hierus folgt, dß f über jedem [29] 8 C

9 Uneigentlihe Riemnn-Integrle Intervll [, b] mit, b ], β[ und < b Riemnn-integrierbr ist. Ferner ist für jedes, b ], β[ mit < b offenbr f dx + f dx + f dx. Also ist sup{ f dx :, b ], β[ mit < b} endlih. Wähle ], β[. Wir zeigen: f dx ist bsolut konvergent; der ndere Fll folgt entsprehend. Zunähst ist f über [, ] Riemnn-integrierbr für jedes < mit ], β[. Zu zeigen reiht: f dx ist konvergent. Dies folgt ber us 29.6 wegen t f dx sup{ f dx :, b ], β[ mit < b} < Absolut konvergente Riemnn-Integrle sind konvergent Seien, β R mit < β und f : ], β[ R. Ist f bsolut uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], β[, so ist f uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], β[. Beweis. Nh 29.3 gibt es ein ], β[, so dß f dx und β f dx bsolut konvergent sind. Also sind f dx und β f dx konvergent (siehe 29.7), d.h. f ist uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], β[ (siehe 29.9) Mjorntenkriterium Seien, β R mit < β und f: ], β[ R stetig. Es gebe ein u 0 ], β[ und g : ], u 0 ] [0, [ sowie g 2 : [u 0, β[ [0, [, und es seien (I) g β dx, u 0 g 2 dx konvergent u0 und (II) f g uf ], u 0 ], f g 2 uf [u 0, β[. Dnn ist f bsolut uneigentlih und somit uh uneigentlih Riemnn-integrierbr über ], β[. Beweis. D f stetig ist, ist f R[, b] für lle, b ], β[ mit < b. Zum Nhweis, dß f dx bsolut konvergent (und dher nh 29.4 uh konvergent) ist, reiht es zu zeigen (siehe 29.3): () sup{ f dx :, b ], β[ mit < b} <. Sei nun o.b.d.a. < u 0 < b, dnn gilt wegen g, g 2 0 f dx = u 0 u 0 f dx + u 0 f dx (II) g dx + β u 0 g 2 dx < (I) u0. g dx + u 0 g 2 dx C [29] 9

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