Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014

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1 Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ] (c) r) q q (p r) ( (q (p q)) p ) 2. Sei eie Operatio, die durch die folgede Wahrheittafel defiiert ist: p q p q Drücke Sie p q mit Hilfe der Negatio ( ) ud der Kojuktio ( ) aus. 3. Sei p 1 eie Primzahl. Zeige Sie, dass p Q. 4. Seie A, B, C, D, E ud F die Mege: Bereche Sie: A = {1/ N, > 0}, B = {si N}, C = {2 N}, D = { 3 N}, E = {r R 1 < r 3}, F = {q Q q 4 Q}. (if C)(if D) + (sup E)(if E), (b) (sup A + if A)(sup B if B), (c) sup F. 1

2 2 5. Seie A ad B ichtleere Mege reeller Zahle ud A + B := {a + b : a A, b B}, AB := {ab : a A, b B}. Ma zeige sup(a + B) = sup A + sup B. Gilt auch sup(ab) = sup A sup B? 6. Seie z, w C beliebig mit 0 < z < 1 < w. Ma zeiche: z, w, z 2, w 2, {y C : y 3 = z}, {y C : y 4 = w}. 7. Löse Sie die folgede i C: z 5 = i, (b) (zz 1) 2 4, (c) z 5 + 2iz 3 4z = 0, (d) (zz) z 1 2 = 1, (e) (zz 1)((z 2) 4 1) = 0 2 Fuktioe 8. Sei A = {1, 2, 3}. Wie viele verschiedee Fuktioe f : A A gibt? Wie viele Fuktioe f : A A A A A gibt? 9. Fide Sie ei Beispiel vo f : N N ud A N so dass f 1 (f(a)) A, (b) f(f(a)) A, (c) A f(f(a)), (d) f(a) = f 1 (A) 10. Seie f : A A, B A ud sei F : A A A A so defiiert Sei B = f 1 (B ). Bereche Sie F (a, a ) := (a, f) (a, a ) A A. F (F (A B)), (b) F 1 (A B ), (c) F 1 (F (B B)). 3 Folge 11. Etscheide Sie jeweils welche der Eigeschafte ach obe beschräkt, ach ute beschräkt beschräkt, koverget, ueigetlich koverget für die gegebee reelle Folge vorliege. a = ( 1) + 1, b = ( 1) ( 1), c = ( 1) 3+1, d = si(1/), e = si(), f = , g = l, h =! (2)!.

3 3 12. Für alle α (0, 2), bereche ma: + α (+1) 1. (b) + ( +1 ) α. (c) + ( ) α /. 13. Seie (a ) ud (b ) reelle Folge, (a ) beschräkt, b b, c := 2 ab ud d = (a (b b)). Richtig oder falsch? (Beweis oder Gegebeispiel) (c ) ist beschräkt. (b) (c ) ist koverget. (c) (d ) ist koverget. (d) (d c ) ist koverget. 14. Seie (a ) ud (b ) reelle Folge, a a ud b +. Richtig oder falsch? (Beweis oder Gegebeispiel) a > 0 = a b +. (b) a = 0 = a b 0. (c) a /b 0. (d) a = 0 = a cos(b ) 0. (e) a b beschräkt = a b Bereche Sie: +! + 2 2, (c)! Sei (a ) eie reelle Folge. Richtig oder falsch? (Beweis oder Gegebeispiel) a a a +1 a 0. (b) 0 < a 2 < a a 0. (c) a a a 2+1 a. 17. Richtig oder falsch? (Beweis oder Gegebeispiel) (a ) mooto, (a 3 ) beschräkt = (a ) koverget. (b) (a ) koverget ud (a b ) koverget = {b } koverget. (c) a 2 l 1, a 2+1 l 2, a 3 l 3 = l 1 = l 2 = l 3. (d) a l, (a ) mooto = l = 0. (e) (a 2 ) mooto ud (a 2+1 ) koverget = (a 3 ) koverget. 18. Welche vo diese Folge kovergiert? Warum? ( ( )) 1 a = l l, b = (log 2 ) log 3, c = (arcta )+, d = (si(si )). l(+1)

4 4 4 Reihe 19. Bereche Sie =0 ( 3) 4, (b) + 1 ( + 1), (c) Beweise Sie die Kovergez der Reihe , (b) , (c) l 5/ Sei die Mege A R so defiiert { A = x R : Bereche Sie sup A 2 if A. x kovergiert }. 22. Utersuche Sie das Kovergezverhalte der foldede Reihe 1/, (b) +!, (c) + ( ) 2, (d) e. 23. Beweise Sie, dass die Reihe =0 +1 π 2 (2)! kovergiert ud mit der Hilfe des Tascherechers bereche Sie ihre Summe mit Toleraz Beweise Sie, dass die Reihe + =0 2 cos(π/2) kovergiert ud dass ihre Summe s zum Iterval (3/4, 13/16) gehört. 25. Welche vo diese Reihe sid absolut bwz. bedigt koverget? =2 1/10, (b) , (c), (d) + 2/. 26. Welche vo diese Eigeshafte (A) Nichtegative Terme, (B) koverget, (C) ueigetlichkoverget, (D) absolut koverget, habe die folgede Reihe? ( 1) 2 cos + 2, (b) + ( 7), (c)! ( ) 2, (d) ( ) + 1 l.

5 5 5 Elemetäre Fuktioe 27. Seie die Fuktioe f : [0, 1] R, g : R R ud h : (, 3] R so defiiert f(x) = x 2, g(x) = x x, h(x) = x ud sei C = [0, 1]. Fide Sie die folgede Mege f(c), g(c), h(c), f 1 (C), g 1 (C), h 1 (C), f(h(c)), g(h(c)), h 1 (f(c)), f(g(h(c))). 28. Sei f : R R eie Fuktio. Beweise Sie de folgede Satz f kostat f mooto wachsed ud mooto falled. 29. Seie f, g : R [0, ) Fuktioe. Beweise Sie die folgede Sätze f ud g mooto wachsed fg mooto wachsed, (b) fg mooto f mooto ud g mooto. 30. Sei f : R R, g : R R mooto, h : R R periodisch. Zeige Sie das Folgedes die Fuktio f h ist periodisch, (b) die Fuktioe g g ud g 3 sid mooto, (c) die Fuktioe g h, h g ud g 2 köe icht mooto sei. 31. Sei f : R R beliebig. Zeiche Sie de Graph der folgede Fuktioe g : x 2 f(x), h : x l(1 + f(x) ), l : x f( x ), m : x f(f(x)). 32. Sei f : R R Lipschitz mit Kostate L > 0 ud g : C C α-hölder mit Kostate M > 0. Zeige Sie, dass f f Lipschitz mit Kostate L 2 ist, (b) g g (2α)-Hölder mit Kostate M 1+α ist, (c) g f α-hölder mit Kostate L α M ist. 6 Stetigkeit 33. Beweise Sie, dass die folgede Fuktioe f i : R R stetig i x 0 = 0 sid: f 1 (x) = x +, f 2 (x) = x arcta(x), f 3 (x) = e x 1 { { x x Q x si(1/x) x 0 f 4 = 0 x Q, f 5(x) = 0 x = 0.

6 6 34. Beweise Sie, dass die folgede Fuktioe g i : C C stetig sid: g 1 (z) = z, g 2 (z) = e 3iπ z, g 3 (z) = z 2 zz, a 4 a + ib 0 g 4 (a+ib) = a 2 + b 2, g 5 (a+ib) = 0 a + ib = 0 ab 2 a 2 + b 2 a + ib 0 0 a + ib = Beweise Sie de folgede Satz: Sei f : [0, 1] [0, 1] stetig. Da x [0, 1], so dass f(x) = x. (Hiweis: betrachte Sie die Fuktio g(x) = f(x) x) 36. Beweise Sie de folgede Satz: Sei f : [0, 1] [0, 1] mooto wachsed. Da x [0, 1], so dass f(x) = x. (Hiweis: betrachte Sie de Pukt sup{x [0, 1] : f(x) x}) 37. Richtig oder falsch? (Beweis oder Gegebeispiel) f C 0 ([0, 1]), f(0)f(1) 0 x [0, 1], f(x) = 0. (b) f C 0 ([0, 1]), f(0)f(1) 0 x (0, 1), f(x) = 0. (c) f C 0 ([0, 1]), f(0)f(1) 0 x [0, 1], f(x) = 0. (d) f C 0 ([0, )), f(0) x f(x) < 0 x > 0, f(x) = 0. (e) f C 0 (R) ud periodisch f beschräkt. (f) f C 0 (R) ud periodisch f hat uedliche viele Maximumstelle. 38. Sei f : R R stetig ud f = 0 i Q. Beweise Sie, dass f = Sei f : R R so defiiert: f(x) = { arcta(x 2 ) + l(e + x) x > 0 si(x) + α sih(x 3 ) 4α x 0. Sei A := {α R : f stetig i 0 ist}. Wie viel ist 2 sup A 6 if A. 7 Grezwerte vo Fuktioe 40. Bereche Sie die folgede Grezwerte (falls sie existiere): x 3 1 x 3 8 x 1 x 1 x 2 x Bereche Sie die folgede Grezwerte (falls sie existiere): (1+x) 3 1 x 2 1 x 0 x x 1 x Bereche Sie die folgede Grezwerte (falls sie existiere): 1 x 0 1 x 2 x x 2 x 0 x.

7 7 43. Bereche Sie die folgede Grezwerte (falls sie existiere): x x x 3 x x x + l x 3 x Bereche Sie die folgede Grezwerte (falls sie existiere): ( ( ( ( exp 1 cos si x arcta x x 4 )))) x + ( x + 1 x) x. 8 Differetiarechug 45. Bereche Sie die Ableitug i R der foldede Fuktioe x x 2 si(x 3 ), (b) x l(1+x 2 ), (c) x e cos(x2), (d) x arcta(arcta(x)). 46. Utersuche Sie, wo die folgede Fuktioe differetierbar sid, ud bereche die Ableitug x R x 1/3, (b) x R l(1+ x ), (c) x R x + si x, (d) x arcta( x ). 47. Zeige Sie, dass die fuktio f : R R, f(x) = { x 2 si(1/x) x 0 0 x = 0 differezierbar ist ud bereche Sie die Ableitug. Ist f stetig? 48. Sei f : R R differezierbar. Bereche Sie die Ableitug vo x f(x 2 ), (b) x f(x) f( x), (c) x si(f(x)), (d) x e f(f(x)). 49. Sei f : R R so gegebe: f(x) = x 2 arcta(1+x) + si(x 3 ) + (x 1) 3 ud sei y = g(x) die Gleichug, die die Tagete zum Graf vo f im Pukt (0, 0) defiiert. Bereche Sie g(2) ud g (0).