f(x) = 2 3 x3 + 3x 2 + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. ( 9 4 ) 8 4

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1 Übungen zur Mathematik II für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Analysis und Lineare Algebra) im Sommersemester 017 Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke, Mathias Schacht A: Präsenzaufgaben am 6. Juli Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x) = x + x + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. Lösung: f (x) = x + 6x + 4 f (x) = 4x + 6 f (x) = 0 0 = x + 6x = x + x + x 1, = ± ( ) = ± ( 9 4 ) 8 4 = ± ( 1 4 ) Damit ist ( 1, 5 = ± 1 x 1 = 1 x = f (x 1 ) = 4 ( 1) + 6 = > 0 lokales Minimum f (x ) = 4 ( ) + 6 = < 0 lokales Maximum 4 ) ein lokales Minimum und (, ) ein lokales Maximum.. Haben die folgenden Funktionen auf dem Intervall [0, π] irgendwo horizontale Tangenten? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung (a) f(x) = x + sin x Wir müssen überprüfen, wann f (x) = 0 mit x [0, π] gilt. f (x) = 1 + cos x = 0 cos x = 1 x {(n 1)π : n N}.

2 Also hat f(x) eine horizontale Tangente in [0, π], nämlich bei π. (b) g(x) = x + cos x Wir gehen analog zu (a) vor. Wir müssen überprüfen, wann g (x) = 0 mit x [0, π] gilt g (x) = 1 sin x = 0 sin x = 1 sin x = 0, 5 Für x = 1 6π hat g(x) eine horizontale Tangente in [0, π].. Bestimmen Sie den Grenzwert x 0 arctan x. x Lösung: Sei I := ( π, ) π. Seien f, g : I R gegeben durch f(x) = arctan x und g(x) = x. Nach Satz 5.9. ist dann f (x) = 1 1+x. Weiterhin ist g (x) =. Für alle x I mit x 0 ist dann g(x) 0 und g (x) 0. Zudem ist x 0 f(x) = x 0 g(x) = 0. Somit lässt sich Satz anwenden und wir erhalten, dass arctan x f(x) = x 0 x x 0 g(x) = f (x) x 0 g (x) = 1 x 0 (1 + x ) = 1. Für die letzte Gleichheit haben wir benutzt, dass die durch f (x) g (x) B: Übungsaufgaben zum 1. Juli Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x x. definierte Funktion stetig ist. Lösung Um in der Lage zu sein x x abzuleiten benutzen wir die Identität x x = e x(ln x). Es folgt, dass f(x) = x x = e x ln x Nun definieren wir f 1 (x) = e x, f (x) = x und f (x) = ln x, sowie f 4 (x) = f (x) f (x). Damit gilt: f(x) = f 1 (f f (x)) = f 1 (f 4 (x)). Nun gilt f (x) = (f 1 (f 4 (x))) Nach Kettenregel gilt = f 1(f 4 (x)) f 4(x) = e x ln x f 4(x) Nach der Produktregel folgt: f 4(x) = f (x) f (x) + f (x) f (x) f 4(x) = x ln x + x 1 x = x ln x + x = x( ln x + 1) Zusammen ergibt sich also f (x) = e x ln x x( ln x + 1) = x x x( ln x + 1) = x x +1 ( ln x + 1). Finden Sie die Seitenlängen einer quaderförmigen Streichholzschachtel, die bei gegebenem Volumen von 45cm die minimale Oberfläche hat, um den Materialverbrauch möglichst klein zu halten. Dabei soll eine der Seiten die Länge 5cm haben, damit die Streichhölzer hineinpassen.

3 Lösung: Das Volumen V eines Quaders ist abc, wobei a, b, c die Seitenlängen des Quaders beschreiben. Die Oberfläche O eines Quaders ist ab + ac + bc. Nun sei c = 5cm und V = 45cm gegeben. Damit folgt V = 5ab = 45 ab = 9 also a = 9 b und O = ab + 10a + 10b. Zusammen folgt: O = b 9 b b + 10b = 18 + b + 10b Nun können wir die Oberfäche als Funktion in b betrachten, also O(b) = b + 10b Zum bestimmen das Minimum von O(b) analog zu Aufgabe 1. der Präsenzaufgaben. O (b) = 90 b + 10 O (b) = 180 b O (b) = 0 0 = 90 b b = b = 10 9 = b ± = b Weil im Sinne der Aufgabe nur b = eine akzeptable Lösung ist, verwerfen wir b =. Da die Funktion O (b) > 0 für alle b R + ist, handelt es sich bei b = um ein Lokales Minimum. Es ergibt sich sofort, dass dann auch a = gelten muss.. Welches gleichschenklige Dreieck hat bei gegebenem Umfang U die größte Fläche? Lösung: Sei a, b, c die Längen der Seiten des Dreiecks. Es gelte a = b. Weiter gilt für den Umfang U = a + b + c = a + c und für die Fläche A = c a c 4 Es gilt U c = a a = U c. Damit gilt: (U A = c ) c c 4 A = c (U ) cu + c c 4 4 A = c 4 U cu + c c A = c 4 U cu A = 1 4 U c c U

4 Nun fassen wir A nun als Funktion A(c) auf, dies geht da U als konstant angenommen wird. Im Weiteren benutzen wir die Annahme, dass U, c 0. Benutzten wir die Tatsache, dass wenn für eine Funktion f(x) = g(x) h(x) gilt, aus f(x) = 0 folgt, dass g(x) = 0 oder h(x) = 0. Zudem nehmen wir an, dass (U c) 0 gilt, sonst wäre der Umfang des Dreiecks gleich der Summe zweier Seiten, was eine Fläche von 0 ergeben würde. A(c) = 4 1 U c c U A (c) = U c c U (U c 6c U) A (c) = 0 U c 6c U = 0 0 = U c 6c U 0 = Uc c = c(u c) 0 = U c c = U c = a = U Um zu zeigen, dass es sich bei dieser Lösung um ein lokales Maximum handelt können wir nachweisen, dass bei A (c) an der Stelle c = U ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Es gilt: U c c U > 0 für alle c R für die Funktion definiert ist. Es bleibt (U c 6c U) = Uc(U c). Es gilt, dass U, c > 0. Offenbar gilt für hinreichend kleine ε > 0, d.h. 0 < ε < U, dass U U + ε ( U U + ε ) = U U + ε (U U ε) = U U + ε ( ε) < 0 sowie analog: U U ε = U U ε ( U U ε ) (U U + ε) = U U ε (ε) > 0 4. Benutzen Sie die Regeln von L Hospital um zu zeigen, dass die Funktion ln x langsamer als jede Wurzelfunktion wächst. D.h., zeigen Sie, dass für jedes n N gilt: ln(x) x n = 0 x

5 Lösung: Es ist x ln(x) = n x x = und n x 0 für alle x > 0. Es ist weiterhin ln (x) = 1 x und ( n x) = 1 n n x x. Hier können wir nun den Satz 5.5 anwenden und erhalten folgendes: ln(x) x n = n x x x x n x = n 1 x n = 0 x 5. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: (a) (b) x π arcsin (cos(x)) x π ( 1 x 0 sin x 1 ) x Lösung: (a) Es sei I = (0, π). Dann seien f, g : I R gegeben durch f(x) = arcsin (cos(x)) und g(x) = x π. Daraus folgt dann, dass f (x) = sin(x) = 1 und g (x) = 1 für alle 1 cos (x) = sin(x) sin(x) x (0, π). Die Voraussetzungen von Satz 5.50 sind für diese Funktionen erfüllt und somit erhalten wir: arcsin (cos(x)) f(x) x π x π = x π g(x) = f (x) x π g (x) = 1. (b) Für alle x ( π, ) π \ 0 ist 1 sin x 1 x = x sin x x sin x. Seien also f, g : ( π, ) π R gegeben durch f(x) = x sin x und g(x) = x sin x. Dann gilt f (x) = 1 cos x und g (x) = sin x + x cos x sowie f (x) = cos(x) x sin(x) und g (x) = x sin(x). Die Voraussetungen von Satz 5.50 sind für sowohl für die Funktionen f und g als auch für f und g erfüllt. Zweimalige Anwendung des Satzes ergibt also folgendes: ( 1 x 0 sin x 1 ) f(x) = x x 0 g(x) = f (x) x 0 g (x) = sin(x) x 0 cos(x) x sin(x) = 1 sin(x) = 0. x 0 C: Noch ein paar Aufgaben 1. a) Definieren Sie, wann eine Abbildung f : U V zwischen K-Vektorräumen linear ist. b) Zeigen Sie, dass das Bild einer linearen Abbildung f : U V ein Unterraum von V ist.. Stellen Sie fest, ob die folgenden Vektoren über R linear unabhängig sind: v 1 = (1,,, 4), v = (1, 1,, ), v = (1, 0, 1, 0).. Berechnen Sie die Inverse und die Determinante der Matrix 0 1 A := Bestimmen Sie die Ableitungen: (a) f(x) = e x (b) g(x) = x ln x (c) h(x) = sin(x ) (d) k(x) = sin x x 5. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

6 (a) n (n+1) (n 1) n +5n (b) n x 5 x (c) x 0 x 5x x x (d) x 1 4x 4 1 x