Grundlagen Arbeit & Energie Translation & Rotation Erhaltungssätze Gravitation Reibung Hydrodynamik. Physik: Mechanik. Daniel Kraft. 2.

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1 Physik: Mechanik Daniel Kraft 2. März 2013 CC BY-SA 3.0, Grafiken teilweise CC BY-SA Wikimedia

2 Grundlagen

3 Zeit & Raum Zeit t R Länge x R als Koordinate

4 Zeit & Raum Zeit t R Länge x R als Koordinate Raum Eigentlich: x R 3 als Vektor!

5 Zeit & Raum Zeit t R Länge x R als Koordinate Raum Eigentlich: x R 3 als Vektor! Eine Bewegung wird dann durch eine Kurve x(t) (oder x (t) im Raum) beschrieben. Position im Raum zu jedem Zeitpunkt t gegeben!

6 Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit: v = s t

7 Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit: v = s t = s t

8 Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit: v = s t = s t ds dt

9 Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit: Definition v = s t = s t ds dt Die (momentane) Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit: v(t) = dx(t) dt = ẋ(t) oder v (t) = d x (t) dt = x (t)

10 Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit: Definition v = s t = s t ds dt Die (momentane) Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit: Achtung! v(t) = dx(t) dt = ẋ(t) oder v (t) = d x (t) dt = x (t) Eine Geschwindigkeit v besteht aus Betrag und Richtung!

11 Beschleunigung Definition Die Beschleunigung ist analog die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit: a(t) = dv(t) dt = v(t) = ẍ(t) oder a (t) = d v (t) dt Also die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit. = v (t) = x (t)

12 Beschleunigung Definition Die Beschleunigung ist analog die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit: a(t) = dv(t) dt = v(t) = ẍ(t) oder a (t) = d v (t) dt Also die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit. = v (t) = x (t) Größe: t x v a L L Dimension: T L T Einheit: s m m s T m 2 s 2

13 Grundgesetze der Mechanik

14 Grundgesetze der Mechanik Isaac Newton ( )

15 Grundgesetze der Mechanik Isaac Newton ( ) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Erstausgabe 1687 weitere 1713 und 1726

16 Newton sche Axiome Newton hat die Gesetze der Mechanik aus drei Grundannahmen ( Axiomen ) abgeleitet:

17 Newton sche Axiome Newton hat die Gesetze der Mechanik aus drei Grundannahmen ( Axiomen ) abgeleitet: 1 Trägheitsprinzip

18 Newton sche Axiome Newton hat die Gesetze der Mechanik aus drei Grundannahmen ( Axiomen ) abgeleitet: 1 Trägheitsprinzip 2 Die Änderung der Bewegung eines Körpers ist proportional zur einwirkenden Kraft.

19 Newton sche Axiome Newton hat die Gesetze der Mechanik aus drei Grundannahmen ( Axiomen ) abgeleitet: 1 Trägheitsprinzip 2 Die Änderung der Bewegung eines Körpers ist proportional zur einwirkenden Kraft. 3 Actio und Reactio

20 Kraft und Masse Zum zweiten Axiom: a F

21 Kraft und Masse Zum zweiten Axiom: 1 a = F m

22 Kraft und Masse Zum zweiten Axiom: F = m a

23 Kraft und Masse Zum zweiten Axiom: F = m a Wobei m Masse des Körpers genannt wird, und die Dimension der Kraft gegeben ist als: [F ] = [ma] = kg m s 2 = N

24 Kraft und Masse Zum zweiten Axiom: F = m a Wobei m Masse des Körpers genannt wird, und die Dimension der Kraft gegeben ist als: [F ] = [ma] = kg m s 2 = N Achtung! Das Newton ist eine abgeleitete Größe und keine Grundgröße, obwohl es einen eigenen Namen hat!

25 Arbeit & Energie

26 Der Impuls Definition Newton s Größe der Bewegung p = m v heißt heute Impuls.

27 Der Impuls Definition Newton s Größe der Bewegung p = m v heißt heute Impuls. Damit gilt das zweite Axiom auch in der allgemeinen Form: d ( ) F = p = m v dt

28 Der Impuls Definition Newton s Größe der Bewegung p = m v heißt heute Impuls. Damit gilt das zweite Axiom auch in der allgemeinen Form: d ( ) F = p = m v dt = m v

29 Der Impuls Definition Newton s Größe der Bewegung p = m v heißt heute Impuls. Damit gilt das zweite Axiom auch in der allgemeinen Form: d ( ) F = p = m v dt = m v Drittes Axiom: Impulserhaltung!

30 Arbeit & Energie Definition Geleistete Arbeit: W = Fs

31 Arbeit & Energie Definition Geleistete Arbeit: W = Fs, wenn die Kraft genau in Bewegungsrichtung wirkt.

32 Arbeit & Energie Definition Geleistete Arbeit: W = Fs, wenn die Kraft genau in Bewegungsrichtung wirkt. Allgemein: W = F s, [W ] = N m = J

33 Arbeit & Energie Definition Geleistete Arbeit: W = Fs, wenn die Kraft genau in Bewegungsrichtung wirkt. Allgemein: W = F s, [W ] = N m = J Energie: Gespeicherte Arbeit / Fähigkeit, Arbeit zu verrichten

34 Arbeit & Energie Definition Geleistete Arbeit: W = Fs, wenn die Kraft genau in Bewegungsrichtung wirkt. Allgemein: W = F s, [W ] = N m = J Energie: Gespeicherte Arbeit / Fähigkeit, Arbeit zu verrichten Mechanische Energie (potentiell oder kinetisch) Wärme Elektrische und magnetische Felder Chemische Verbindungen Radioaktive Stoffe

35 Arbeit & Energie Definition Geleistete Arbeit: W = Fs, wenn die Kraft genau in Bewegungsrichtung wirkt. Allgemein: W = F s, [W ] = N m = J Achtung! Im Gegensatz zum Impuls sind Arbeit und Energie Skalare und keine Vektoren (haben keine Richtung)!

36 Kinetische Energie Energie, die in der Bewegung (d. h. Geschwindigkeit) eines Körpers gespeichert ist.

37 Kinetische Energie Energie, die in der Bewegung (d. h. Geschwindigkeit) eines Körpers gespeichert ist. Wurde beim Beschleunigen aufgewendet:

38 Kinetische Energie Energie, die in der Bewegung (d. h. Geschwindigkeit) eines Körpers gespeichert ist. Wurde beim Beschleunigen aufgewendet: E kin = Fs = = T 0 T 0 F 2 m t dt = F ds(t) = ( F m T 0 ) 2 mt 2 Fv(t) dt = 2 = m(at)2 2 T 0 F at dt = mv 2 2

39 Leistung Definition Die Leistung gibt an, wie schnell eine bestimmte Menge physikalischer Arbeit geleistet wird (oder werden kann). Sie ist entsprechend: P = W t, [P] = J s = W

40 Leistung Definition Die Leistung gibt an, wie schnell eine bestimmte Menge physikalischer Arbeit geleistet wird (oder werden kann). Sie ist entsprechend: P = W t, [P] = J s = W Achtung! Die Einheit kwh gibt eine Arbeit an, obwohl Watt im Namen vorkommt. Denn: W = Pt!

41 Einfache Maschinen

42 Einfache Maschinen

43 Einfache Maschinen

44 Translation & Rotation

45 Gleichförmig beschleunigte Bewegung Satz Falls die Beschleunigung konstant ist ( a (t) = a ), ergibt sich die Bewegung zu: x (t) = x0 + v 0 t + t2 2 a

46 Gleichförmig beschleunigte Bewegung Satz Falls die Beschleunigung konstant ist ( a (t) = a ), ergibt sich die Bewegung zu: x (t) = x0 + v 0 t + t2 2 a Denn: t v (t) = v0 + a dt = v0 + a t 0

47 Gleichförmig beschleunigte Bewegung Satz Falls die Beschleunigung konstant ist ( a (t) = a ), ergibt sich die Bewegung zu: x (t) = x0 + v 0 t + t2 2 a Denn: t v (t) = v0 + x (t) = x0 + 0 t 0 a dt = v0 + a t v (t) dt = x0 + v 0 t + t2 2 a

48 Polarkoordinaten Gleichmäßige Rotation in der Ebene: ( ) cos t x (t) = r sin t

49 Polarkoordinaten Gleichmäßige Rotation in der Ebene: ( ) cos t x (t) = r v (t) = r sin t ( sin t cos t ), a (t) = r ( ) cos t sin t

50 Polarkoordinaten Gleichmäßige Rotation in der Ebene: ( ) cos t x (t) = r v (t) = r sin t ( sin t cos t ), a (t) = r ( ) cos t sin t Kartesische Koordinaten x sind sehr unpraktisch, verwende stattdessen Polarkoordinaten (r, φ): ( ) cos φ x = r sin φ

51 Polarkoordinaten Gleichmäßige Rotation in der Ebene: ( ) cos t x (t) = r v (t) = r sin t ( sin t cos t ), a (t) = r ( ) cos t sin t Kartesische Koordinaten x sind sehr unpraktisch, verwende stattdessen Polarkoordinaten (r, φ): ( ) cos φ x = r sin φ Dann wird die Bewegung einfach : r(t) = r ṙ(t) = 0 φ(t) = t φ(t) = 1

52 Rotation & Translation Translation Rotation Position x Winkel φ Geschw. v = x W.geschw. ω = φ Beschl. a = x W.beschl. α = φ

53 Rotation & Translation Translation Rotation Position x Winkel φ Geschw. v = x W.geschw. ω = φ Beschl. a = x W.beschl. α = φ Masse m Trägheitsmoment I (= mr 2 ) Impuls p = mv Drehimpuls L = I ω = r p Kraft F Drehmoment M = r F

54 Rotation & Translation Translation Rotation Position x Winkel φ Geschw. v = x W.geschw. ω = φ Beschl. a = x W.beschl. α = φ Masse m Trägheitsmoment I (= mr 2 ) Impuls p = mv Drehimpuls L = I ω = r p Kraft F Drehmoment M = r F 2. Axiom: p = F Euler: L = M Kin. Energie E kin = mv 2 2 Rotationsenergie E rot = I ω2 2

55 Erhaltungssätze

56 Impulserhaltung Die Änderung des gesamten Impulses eines abgeschlossenen Systems ergibt sich mit dem zweiten Newton schen Axiom: P = d dt n p i = i=1 n i=1 j i F ij

57 Impulserhaltung Die Änderung des gesamten Impulses eines abgeschlossenen Systems ergibt sich mit dem zweiten Newton schen Axiom: P = d dt n p i = i=1 n i=1 j i F ij Actio = Reactio : F ij = F ji! Deshalb: P = 0

58 Impulserhaltung Die Änderung des gesamten Impulses eines abgeschlossenen Systems ergibt sich mit dem zweiten Newton schen Axiom: P = d dt n p i = i=1 n i=1 j i F ij Actio = Reactio : F ij = F ji! Deshalb: P = 0 Satz In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls über alle Zeit erhalten (konstant).

59 Symmetrien & Erhaltungssätze In der Mechanik gibt es grundlegende Symmetrien der Raumzeit: Räumliche Verschiebung Zeitliche Verschiebung Rotation im Raum

60 Symmetrien & Erhaltungssätze In der Mechanik gibt es grundlegende Symmetrien der Raumzeit. Zu ihnen gehören Erhaltungsgrößen: Räumliche Verschiebung Zeitliche Verschiebung Rotation im Raum Impuls Energie Drehimpuls

61 Zwei Beispiele Energieerhaltung Ein Auto rollt mit Geschwindigkeit v den Berg hinauf. Wie weit kommt es?

62 Zwei Beispiele Energieerhaltung Ein Auto rollt mit Geschwindigkeit v den Berg hinauf. Wie weit kommt es? Elastischer Stoß Zwei Massen m 1 und m 2 mit Geschwindigkeiten v 1 und v 2 stoßen miteinander. Wie groß sind die neuen Geschwindigkeiten v 1 und v 2?

63 Zwei Beispiele Energieerhaltung Ein Auto rollt mit Geschwindigkeit v den Berg hinauf. Wie weit kommt es? Elastischer Stoß Zwei Massen m 1 und m 2 mit Geschwindigkeiten v 1 und v 2 stoßen miteinander. Wie groß sind die neuen Geschwindigkeiten v 1 und v 2? Energie und Impuls sind vor und nach dem Stoß jeweils gleich groß!

64 Gravitation

65 Gravitationsgesetz

66 Gravitationsgesetz Satz Zwei Körper mit Massen m 1, m 2 und Abstand r ziehen sich gegenseitig mit folgender Gravitationskraft an: F g = G m 1m 2 r 2

67 Gravitationsgesetz Satz Zwei Körper mit Massen m 1, m 2 und Abstand r ziehen sich gegenseitig mit folgender Gravitationskraft an: F g = G m 1m 2 r 2 Für den freien Fall ergibt sich: a = F g m = GM r 2

68 Gravitationsgesetz Satz Zwei Körper mit Massen m 1, m 2 und Abstand r ziehen sich gegenseitig mit folgender Gravitationskraft an: F g = G m 1m 2 r 2 Für den freien Fall ergibt sich: a = F g m = GM r 2 GM R 2 = g

69 Gravitationspotential Potentielle Energie im Gravitationsfeld: E g = F (r) dr

70 Gravitationspotential Potentielle Energie im Gravitationsfeld: E g = F (r) dr Erdoberfläche E g = h 0 mg dr = mgh

71 Gravitationspotential Potentielle Energie im Gravitationsfeld: E g = F (r) dr Erdoberfläche E g = h 0 Allgemein Φ g = r mg dr = mgh GM r 2 dr = GM r (Gravitationspotential)

72 Gravitationspotential Potentielle Energie im Gravitationsfeld: E g = F (r) dr Erdoberfläche E g = h 0 Allgemein Φ g = r mg dr = mgh GM r 2 dr = GM r (Gravitationspotential) m Φ g (r) gibt an, wie viel Energie benötigt wird, um einen Körper mit Masse m und Abstand r von der Erde unendlich weit weg zu bewegen.

73 Fluchtgeschwindigkeit Um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen, braucht man m Φ g (r) Energie. Diese muss als kinetische Energie vorhanden sein: GMm r = mv 2 2

74 Fluchtgeschwindigkeit Um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen, braucht man m Φ g (r) Energie. Diese muss als kinetische Energie vorhanden sein: GMm r = mv 2 2 v = 2GM r

75 Fluchtgeschwindigkeit Um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen, braucht man m Φ g (r) Energie. Diese muss als kinetische Energie vorhanden sein: GMm r = mv 2 2 v = 2GM r Mit realistischen Werten ergibt sich v 11, 2 km s.

76 Reibung

77 Das Reibungsgesetz Für Reibung nimmt man allgemein an, dass die (maximale) Reibungskraft proportional zur Normalkraft ist: F r = µf n Die Konstante µ heißt Reibungskoeffizient und hängt von den entsprechenden Materialien und der Art der Reibung ab.

78 Das Reibungsgesetz Für Reibung nimmt man allgemein an, dass die (maximale) Reibungskraft proportional zur Normalkraft ist: F r = µf n Die Konstante µ heißt Reibungskoeffizient und hängt von den entsprechenden Materialien und der Art der Reibung ab. Zum Beispiel für Haftreibung: Stahl auf Stahl 0,08 0,25 Gummi auf Asphalt 0,9 1,3 Holz auf Stein 0,70

79 Haft- und Gleitreibung

80 Haft- und Gleitreibung Es gibt: µ Haft > µ Gleit

81 Rollreibung Für rollende Kugeln (und dergleichen) kann man auch ein empirisches Gesetz der gleichen Form verwenden, wobei µ Roll µ Gleit.

82 Rollreibung Für rollende Kugeln (und dergleichen) kann man auch ein empirisches Gesetz der gleichen Form verwenden, wobei µ Roll µ Gleit.

83 Luftwiderstand Auch eine Art von Reibung ist der Luftwiderstand. Dabei gibt es im Wesentlichen zwei unterschiedliche Fälle:

84 Luftwiderstand Auch eine Art von Reibung ist der Luftwiderstand. Dabei gibt es im Wesentlichen zwei unterschiedliche Fälle: Laminare Strömung Proportional zur Geschwindigkeit: F W = 6πη rv

85 Luftwiderstand Auch eine Art von Reibung ist der Luftwiderstand. Dabei gibt es im Wesentlichen zwei unterschiedliche Fälle: Laminare Strömung Proportional zur Geschwindigkeit: Turbulenzen Proportional zu v 2 : F W = 6πη rv F W = c W 1 2 ρ Av 2

86 Hydrodynamik

87 Dichte & Druck Für die Behandlung von Flüssigkeiten brauchen wir noch zwei weitere wichtige Größen:

88 Dichte & Druck Für die Behandlung von Flüssigkeiten brauchen wir noch zwei weitere wichtige Größen: Dichte Masse pro Volumen: ρ = m kg V, [ρ] = m 3

89 Dichte & Druck Für die Behandlung von Flüssigkeiten brauchen wir noch zwei weitere wichtige Größen: Dichte Masse pro Volumen: ρ = m kg V, [ρ] = m 3 Druck Kraft pro Fläche: p = F A, [p] = N = Pa m 2

90 Dichte & Druck Für die Behandlung von Flüssigkeiten brauchen wir noch zwei weitere wichtige Größen: Dichte Masse pro Volumen: ρ = m kg V, [ρ] = m 3 Druck Kraft pro Fläche: p = F A, [p] = N = Pa m 2 Weitere Druckeinheiten: Bar: 1 bar = 0, 1 MPa bzw. 1 mbar = 1 hpa Torr: 1 mmhg = 1, 33 hpa

91 Hydrostatischer Druck Hydrostatischer Druck in der Flüssigkeit: Erzeugt in Tiefe h durch das Gewicht der darüberliegenden Menge

92 Hydrostatischer Druck Hydrostatischer Druck in der Flüssigkeit: Erzeugt in Tiefe h durch das Gewicht der darüberliegenden Menge, also p = F A = mg A = ρhag A = ρgh.

93 Hydrostatischer Druck Hydrostatischer Druck in der Flüssigkeit: Erzeugt in Tiefe h durch das Gewicht der darüberliegenden Menge, also p = F A = mg A = ρhag A = ρgh. Achtung! Der Druck hängt nur von der Dichte und Tiefe ab (und g), nicht von der Form des Gefäßes!

94 Hydrostatischer Druck Hydrostatischer Druck in der Flüssigkeit: Erzeugt in Tiefe h durch das Gewicht der darüberliegenden Menge, also p = F A = mg A = ρhag A = ρgh. Achtung! Der Druck hängt nur von der Dichte und Tiefe ab (und g), nicht von der Form des Gefäßes! Hydrostatisches Paradoxon (Blaise Pascal, 1648)

95 Auftrieb Körper in der Flüssigkeit: Druck wirkt auf alle Flächen. Seitliche Kräfte heben sich auf, aber die Kräfte auf Boden- bzw. Deckfläche sind nicht gleich:

96 Auftrieb Körper in der Flüssigkeit: Druck wirkt auf alle Flächen. Seitliche Kräfte heben sich auf, aber die Kräfte auf Boden- bzw. Deckfläche sind nicht gleich: F a = F Boden F Deck = ρga (h Boden h Deck ) = ρga L = ρgv

97 Auftrieb Körper in der Flüssigkeit: Druck wirkt auf alle Flächen. Seitliche Kräfte heben sich auf, aber die Kräfte auf Boden- bzw. Deckfläche sind nicht gleich: F a = F Boden F Deck = ρga (h Boden h Deck ) = ρga L = ρgv Satz Die Auftriebskraft entspricht also dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.

98 Strömung nach Bernoulli / Venturi Venturi-Effekt: Je größer die Strömungsgeschwindigkeit ist, desto kleiner ist der Druck der Flüssigkeit. Hydrodynamisches Paradoxon

99 Strömung nach Bernoulli / Venturi Venturi-Effekt: Je größer die Strömungsgeschwindigkeit ist, desto kleiner ist der Druck der Flüssigkeit. Hydrodynamisches Paradoxon