Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 8

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Alfred Kaiser
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1 Mthemtik für Wirtschftswissenschftler im WS /3 Lösunen zu den Übunsufben Bltt 8 Aufbe 3 Berechnen Sie die folenden Interle durch prtielle Intertion. ) c) e d. (Hinweis: Interieren Sie zweiml prtiell). cos () d. (Hinweis: Nutzen Sie nch der prt. Intertion die Identität sin () cos ()). d. (Hinweis: ). Lösun zu Aufbe 3 Die Formel für die prtielle Intertion lutet b b f() () d [f()()] b f ()() d. ) Wir setzen zunächst f() und () e. Dnn ist f (), () e und wir erhlten e d [ e ] e d. Ds verbleibende Interl interieren wir wieder prtiell. Dbei setzen wir jetzt f() und () e. Dnn ist f (), () e und wir erhlten Insesmt eribt sich somit e d [e ] e d [e e ]. e d [ e e + e ] e. Wir setzen f() cos() und () cos(). Dnn ist f () sin(), () sin() und wir erhlten cos () d [cos() sin()] + sin () d. Der erste Summnd uf der rechten Seite wird Null. Für ds verbleibende Interl nutzen wir die Formel sin () cos () und erhlten cos () d + cos () d

2 bzw. cos () d d. Der esuchte Wert des Interl eribt sich lso zu. c) Wir setzen f() und (). Dnn ist f (), () und wir erhlten e d [] e d [ ] e. Aufbe 3 Berechnen Sie die folenden Interle durch Substitution. ) c) d. + d. d. (Hinweis: Mn setze sin(t)). Lösun zu Aufbe 3 Die Formel für die Intertion durch Substitution lutet ( () f(u) du b f(()) () d ) Wir setzen f() und () und können direkt die Formel nwenden, indem wir diese von rechts nch links lesen: e d f(()) () d (e) (). f(u) du u du Alterntive Lösunsstrie: Wir führen eine neue Intertionsvrible ein, ennnt u, die von bhänt. Dbei wählt mn u mölichst eschickt, so dss sich der Internd

3 vereinfcht. In diesem Beispiel wählen wir u. Dmit ist u lso eine Funktion, die wir nch bleiten können. Es ist du d du d. Die rechte Seite ist zunächst nur eine rein formle Identität. Unter dem Interl können wir jetzt ber d ersetzen durch udu. Als Letztes müssen wir noch die Interlrenzen ersetzen. Dzu setzen wir ledilich die Grenzen in die Funktion u ein, d.h. die untere Grenze eribt sich zu u() und die obere Grenze zu u(e). Inesmt eribt sich dmit d u du, wie bereits oben ezeit. Ist mn nicht nur m Wert des Interls interessiert, sondern uch n der Stmmfunktion, so knn mn m Ende die Substitution wieder rückäni mchen. d [ u du u ] u [ ln () u ] e. Mn rechnet leicht nch, dss ln () ttsächlich eine Stmmfunktion von / ist. Wir setzen u +. Dnn ist du bzw. du d. Die Interlrenzen ereben d sich zu u() und u(). Wir erhlten lso + d (u ) du u u + u du [ u u + ln(u) ln(). ] u u

4 c) Wir setzen sin(t) mit t [ /, /]. Dnn ist d cos(t) bzw. d cos(t)dt. dt Die untere bzw. obere Interlrenze eribt sich zu / bzw. /. Wir erhlten d sin (t) cos(t) dt cos (t) dt. Die letzte Gleichheit folt mit Hilfe von prtieller Intertion (verleiche Aufbe 3 ). Aufbe 33 Es seien f, : (, ) (, ) zweiml differenzierbr. Zeien Sie folende Identitäten für die Elstizitäten E f () bzw. E () von f() bzw. (). ) E f () E f () + E (). E () E f (). f c) E f () E f () E (). Lösun zu Aufbe 33 ) E f () [f()()] f()() f ()() + f() () f()() f ()() f()() + f() () f()() f () f() + () () E f () + E (). E () f [ ] f() f() f () f () f() f () f() E f ().

5 c) Folt sofort us ) und, denn Aufbe 34 E f () E f () + E () ween ) E f () E () ween. ) Bestimmen Sie ds Tylorpolynom der Ordnun 4 von f() cos() um den Entwicklunspunkt. Bestimmen Sie ds Tylorpolynom der Ordnun 3 von () um den Entwicklunspunkt. Lösun zu Aufbe 34 ) Ds Tylorpolynom p() ht die Form 4 f (k) () p() k! k Die Ableitunen f (k) () berechnen sich zu f () () cos() cos() f () () sin() sin() f () () cos() cos() f (3) () sin() sin() f (4) () cos() cos(). Wir erhlten lso p() ls Tylorpolynom vom Grd 4 für die Funktion f() cos() um. Mit einer (nicht einfchen) Abschätzun des Restlieds in der Tylorformel erhält mn die Tylorreihe cos() ( ) k k (k)!. k k. Ds Tylorpolynom p() ht die Form 3 (k) () p() ( ) k. k! k Die Ableitunen (k) () berechnen sich zu () () () () () () / () () () () 4 3/ () () 4 (3) () 3 8 5/ (3) () 3. 8 Wir erhlten lso p() + ( ) 8 ( ) + 6 ( )3 ls Tylorpolynom vom Grd 3 für die Funktion () um.

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