Funktionen. D. Horstmann: Oktober

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1 Funktionen D. Horstmann: Oktober

2 Funktionen Definition 9. Eine Funktion f ist eine Rechenvorschrift, die jedem Element einer Menge D genau ein Element einer Zielmenge Z zuweist. Die Menge D heißt Definitionsbereich der Funktion und die Menge W, die alle Funktionswerte f(x) enthält, heißt Wertebereich. Anmerkung 8. Z. Offensichtlich ist der Wertebereich eine Teilmenge der Zielmenge, d.h. W Anmerkung 9. Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Ein anderes für den Begriff der Funktion verwendetes Wort ist zum Beispiel der Begriff der Abbildung. D. Horstmann: Oktober

3 Funktionen Beispiel 21. Das Wachstum einer Pflanze soll in Abhängigkeit ihres Alters (in Tagen) mit Hilfe einer Funktion beschrieben werden. Hierfür werden in regelmäßigen Abständen die Pflanzenhöhe h gemessen. 10 Tage nach dem Auspflanzen der Pflanze beginnen die Messungen und werden in einem Abstand von jeweils 10 Tagen wiederholt. Hierbei ergeben sich die nachfolgenden Daten: Planzenalter in Tagen Pflanzenhöhe in cm Wir können die Höhe h also durch die Vorschrift h = f(t) mit Hilfe des Alters berechnen, wobei f(10) = 10.4, f(20) = 30.7 usw. gelte. D. Horstmann: Oktober

4 Konvergenz von Folgen Definition 10. Eine Folge reeller Zahlen ist eine Zuordnung aus einer Menge der natürlichen Zahlen in die der reellen Zahlen derart, dass jedem n IN eine reelle Zahl a n IR zugeordnet wird. Definition 11. Es sei (a n ) n IN eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen eine Zahl a IR, falls zu jedem ε>0ein n 0 IN existiert, so dass der Betrag der Differenz a n a für alle n n 0, dass heißt für alle Zahlen in der Zahlenfolge ab dem Index n 0, kleiner als der Wert ε ist. Die Zahl a IR nennt man dann den Grenzwert der Zahlenfolge und schreibt hierfür lim a n = a oder auch a n a für n. n Ist eine Folge nicht konvergent, so nennt man sie divergent. D. Horstmann: Oktober

5 Konvergenz von Folgen Für zwei konvergente Folgen (a n ) n IN und (b n ) n IN mit lim n a n = a und lim b n = b n gelten die nachfolgenden Rechenregeln: ( ) ( ) 1.) lim n (a n b n )= lim n a n lim n b n = a b 2.) lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n = a + b. D. Horstmann: Oktober

6 Stetigkeit von Funktionen Definition 12. Eine Funktion f ist stetig an einer Stelle t D, wenn für jede Folge (t n ) n IN aus dem Definitionsbereich D, die gegen den Wert t konvergiert, auch die Folge der Funktionswerte (f(t n )) n IN gegen den Funktionswert f( t) der Funktion an der Stelle t konvergiert. D.h. eine Funktion ist genau dann stetig in t, wennfür jede gegen t konvergente Folge f(t n ) f( t) für t n t gilt. D. Horstmann: Oktober

7 Besondere Klassen von Funktionen Beispiel 22. Neugeboren wiegen Katzen im Durchschnitt 105 g. In der Regel verdoppeln sie ihr Gewicht in der ersten Woche und auch in der zweiten bis vierten Woche nehmen sie (relativ linear) ca. 100 g zu. Wobei Kater etwas schwerer sind als Katzen. Wenn man nun davon ausgeht, dass die Gewichtszunahme der Kater zwischen der ersten und vierten Woche linear verläuft, so lässt sich mit Hilfe dieser Werte eine eindeutig bestimmte Gerade angeben. Diese Gerade hat als lineare Funktion die Gestalt y = f(t) =a t + b. Mit Hilfe der Angaben lassen sich nun a und b eindeutig bestimmen, wie wir auf Grund unseres Wissens über das Lösen von Gleichungssystemen leicht einsehen. Offensichtlich muss gelten: 210 = a 1+b, 510 = a 4+b. Löst man dieses Gleichungssystem für a und b, so ergibt sich a = = 100 und b = 110 und somit die Geradengleichung f(t) = 100 t D. Horstmann: Oktober

8 Lineare Regression Auch wenn zwischen zwei Größen x und y eine lineare Beziehung besteht, so liegen die als Punkte P i im (x, y)-koordinatensystem dargestellten Paare (x i,y i ) vonmesswerteninder Regel nicht auf einer Geraden. Ziel ist es also, eine Gerade möglichst gut an n vorgegebene Punkte P i = (x i,y i ) (i = 1,..., n) anzupassen. Hierfür berechnet man zunächst die Kovarianz s xy = 1 n 1 n (x i x M )(y i y M ) i=1 der Stichproben beziehungsweise der Messreihe (hierbei bezeichnet x M wie im 1. Kapitel das arithmetische Mittel der x i und y M das arithmetische Mittel der y i ). Durch die Gleichung ŷ = s xy (x x M )+y M s 2 x wird eine Gerade beschrieben, die man Regressionsgerade (klausurrelevant) nennt. Der Wert ŷ stellt einen Näherungswert für den tatsächlichen Messwert dar. D. Horstmann: Oktober

9 Lineare Regression Beispiel 23. Die europäische Union verzeichnete von 1993 bis 2005 die nachfolgenden Jahresfänge (in Tonnen) an Scholle bzw. Goldbutt: x i y i x i y i Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen den Jahreszahlen und dem Umfang der Jahresfänge vermutet. Dieser soll mit Hilfe einer Regressionsgeraden angegeben werden. Hierfür berechnet man die arithmetischen Mittel und die Varianzen der Jahreszahlen sowie der Jahresfänge und schließlich auch noch die Kovarianz der Datenreihe. Hierbei ergeben sich: x M = = 1999, y M = = , s 2 x = = 91 6, s2 y = , s xy = D. Horstmann: Oktober

10 Setzt man nun die entsprechenden Werte in die Formel für die Regressionsgerade ein, so erhalten wir: Abbildung 2: Links: Die Datenpunkte (Punktwolke). Rechts: Die Punktwolke und die dazugehörige Regressionsgerade. D. Horstmann: Oktober

11 ŷ = (x 1999) = x Hiermit berechnen wir nun die durch die Regressionsgerade beschriebenen Näherungswerte für unsere Jahresfänge. Wir erhalten so: x i ŷ i x i ŷ i Tabelle 1: Mit der Regressionsgeraden berechnete Näherungen der Jahresfänge an Scholle bzw. Goldbutt (Pleuronectes platessa) in Tonnen. D. Horstmann: Oktober

12 Lineare Regression Die Güte der Anpassung der Regressionsgeraden an die Punkte P i lässt sich mit Hilfe des Ausdrucks n (ŷ i y M ) 2 i=1 B = (n 1)s 2 y beurteilen. Für das Bestimmtheitsmaß ergibt sich, dass B ist. Die Approximation durch die Regressionsgerade ist also recht zufriedenstellend. D. Horstmann: Oktober

13 Lagrange-Polynome Durch die Konstruktionsvorschrift P (x) = n y i n i=1 k=1,k i x x k x i x k ist ein eindeutiges Polynom gegeben. Man bezeichnet es als das zu den Datenpaaren (x i,y i ) gehörige Lagrange-Polynom (klausurrelevant), das nach dem französischen Mathematiker J.-L. Lagrange ( ) benannt ist. D. Horstmann: Oktober

14 Lagrange-Polynome Beispiel 24. Neugeborene Katzen wiegen im Durchschnitt 105 g. Wie wir bereits wissen verdoppeln sie ihr Gewicht in der Regel in der ersten Woche und auch in der zweiten bis vierten Woche nehmen sie ca. 90 g bis 100 g zu. Wobei Kater etwas schwerer sind als Katzen. So wiegen Kater durchschnittlich nach 3 Wochen 404 g, nach 5 Wochen 605 g und nach 8 Wochen 982 g. Auch wenn nach den hier angegebenenen durchschnittlichen Gewichtsangaben mit einer linearen Gewichtszunahme zu rechnen ist, wollen wir die Näherungswerte für das durchschnittliche Gewicht der jungen Kater nach t Wochen (im Bereich 0 t 8) mit Hilfe eines Polynoms P (t) vom Grad kleiner gleich 3 angeben. Hierfür verwenden wir die oben angegebene Formel und berechnen: D. Horstmann: Oktober

15 P (t) = (t 3)(t 5)(t 8) 105 (0 3)(0 5)(0 8) (t 0)(t 3)(t 8) +605 (5 0)(5 3)(5 8) = t t t (t 0)(t 5)(t 8) (3 0)(3 5)(3 8) (t 0)(t 3)(t 5) (8 0)(8 3)(8 5) D. Horstmann: Oktober

16 Somit können wir Näherungswerte für das durchschnittliche Gewicht der Jungtiere zum Beispiel nach 2, 4, 6 und 7 Wochen berechnen. Es ergeben sich: P (2) = P (6) = = , P(4) = = , P(7) = = 501.9, = D. Horstmann: Oktober

17 Beispiel 25. Die Entwicklung eines Schmetterlings vom Ei bis zum fertigen Falter hängt sehr von Umwelteinflüssen ab. Neben der artspezifischen Komponente hängt die Dauer eines jeden einzelnen Stadiums auch z.b. vom Klima ab. Eine tropische Art braucht zum Beispiel nur drei Tage, um aus einem Ei zu schlüpfen; acht Tage für das Leben als Raupe und 7 Tage für das Puppenstadium. In gemäßigtem Klima brauchen selbst schnell wachsende Arten hierfür statt der 18 Tage etwa 8 Wochen. Es sollen nun die Puppen einer normal wachsenden Schmetterlingsart in einen Brutschrank gelegt werden. Hierbei beobachtet man, dass bei einer Temperatur von 20 C das Puppenstadium durchschnittlich 30 Tage dauert. Bei 23 C sind es nur noch Tage und bei 26 C nur noch Tage. Um die Dauer des Puppenstadiums in Abhängigkeit der Umgebungstemperatur für den Temperaturbereich 20 t 26 anzugeben, berechnet man mit Hilfe der Daten ein Lagrange-Polynom zweiten Grades. Wir berechnen also: D. Horstmann: Oktober

18 P (t) = (t 23)(t 26) (t 20)(t 26) (20 23)(20 26) (23 20)(23 26) (t 20)(t 23) (26 20)(26 23) = t t Dieses Polynom kann somit zur Beschreibung der Dauer des Puppenstadiums in Abhängigkeit der Umgebungstemperatur für den Temperaturbereich von 20 C bis 26 C verwendet werden. D. Horstmann: Oktober

19 Rationale Funktionen Eine Funktion f heißt rational, wenn sich die Funktion f als Quotient zweier Polynome schreiben lässt, d.h. wenn f(x) = P (x) Q(x) gilt. Hierbei bildet die Funktion Elemente aus ihrem Definitionsbereich D IR in die Menge der reellen Zahlen ab. Allerdings muss man bei der Bestimmung des Definitionsbereichs vorsichtig sein. Die Funktion ist nur an den Stellen definiert, an denen der Nenner Q(x) 0ist. An den Nullstellen des Nenners hat die Funktion sogenannte Definitionslücken. D. Horstmann: Oktober

20 Potenzfunktionen Spezielle Polynome bzw. spezielle rationale Funktionen sind die sogenannten Potenzfunktionen. Sie haben die Gestalt f(x) =a x b, wobei wir hier anders als bei Polynomen zulassen, dass neben dem Koeffizienten a auch der Exponent b eine reelle Zahl ist. Potenzfunktionen kommen in der Biologie relativ häufig vor. So findet man sie zum Beispiel im Zusammenhang mit Allometrien bzw. allometrischen Gesetzen. Wenn man von Allometrie spricht, so beschäftigt man sich mit dem Messen und dem Vergleichen von Beziehungen zwischen einer Größe (zum Beispiel der Körpergröße) und deren Verhältnis zu anderen biologischen Größen (zum Beispiel der Schädelgröße). D. Horstmann: Oktober

21 Eigenschaften von Funktionen 1. Falls für alle x, y D mit x y auch f(x) f(y) gilt, so nennt man die Funktion f monoton steigend. 2. Ist für alle x, y D mit x y die Ungleichung f(x) f(y) erfüllt, so nennt man die Funktion f monoton fallend. 3. Analog heißt die Funktion f streng monoton steigend, wennfür alle x, y D mit x>y auch f(x) >f(y) gilt. Dementsprechend nennt man eine Funktion f streng monoton fallend, wennfür alle x, y D mit x>ydie Ungleichung f(x) <f(y) erfüllt ist. 4. Eine Funktion f heißt konvex in einem Intervall I D, wennfür alle x, y I und alle Zahlen λ mit der Eigenschaft, dass 0 <λ<1ist, die Ungleichung f(λx +(1 λ)y) λf(x) +(1 λ)f(y) gilt. Die Funktion f heißt konkav, wenn die Funktion f konvex ist. D. Horstmann: Oktober

22 Eigenschaften von Funktionen Lemma 4. [Existenz der Umkehrfunktion monotoner Funktionen] Ist eine durch die Funktionsgleichung y = f(x) gegebene Funktion f mit dem Definitionsbereich D IR und dem Wertebereich W IR streng monoton steigend (fallend), so existiert eine auf W definierte Funktion g(y), für die x = g(y) genaudanngilt,wenny = f(x) ist. W ist dann der Definitionsbereich von g und D der Wertebereich. Die Funktion g(y) wird als Umkehrfunktion zu f(x) bezeichnet. Offensichtlich gilt für die Funktion f und ihre Umkehrfunktion g x = g(f(x)) sowie y = f(g(y)). Da f streng monoton wachsend (fallend) war, ist ihre Umkehrfunktion g ebenfalls streng monoton wachsend (fallend). Ist f zusätzlich auch noch stetig, so gilt dies auch für g. D. Horstmann: Oktober